7/23/2019 Separata Integrales Impropias
1/38
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
Departamento Acadmico de Matemtica
SEPARATA
Y
4 3 2 1 1 2 3 4
4
3
2
1
1
2
3
4
x
y
Rosa N. Llanos Vargas
Nuevo Chimbote- Per
2012
INDICE
1dx
1x
0
1(x+1)dx
x1
1
+dx
(x1
)
3
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Contenido Pa!"
#ntroducci$n 2
#nte!ra%e& impropia& con %'mite &uperior in(inito )
#nte!ra%e& impropia& con ambo& %'mite& in(inito *#nte!ra%e& impropia& con di&continuidad en e% %'mite in(erior +
#nte!ra%e& impropia& con di&continuidad en e% %'mite &uperior ,
A%!una& inte!ra%e& con %'mite in(inito" #nte!ra% p y exponencia%
./emp%o& y e/ercicio& re&ue%to& 10
./ercicio& Propue&to& 1)
A%!una& inte!ra%e& con inte!rando di&continuo 1*
./ercicio& Propue&to& 1
Criterio& de conver!encia de comparaci$n 1+
Criterio de% cociente 1
3eorema& 1
Criterio de conver!encia ab&o%uta 21
4unci$n !amma 2
4unci$n beta 2
./ercicio& propue&to& )0
5ib%io!ra('a )2
1
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INTRODUCCIN
.xi&ten do& condicione& 6ue !aranti7an %a exi&tencia de %a inte!ra% de(inida" 8a
(unci$n 6ue e& parte de% inte!rando &ea continuay 6ue e% interva%o de inte!raci$n &eacerrado" Cuando a%!una de e&ta& condicione& no &e cump%en9 &e extiende %a de(inici$n
de inte!ra% de(inida para con&iderar %'mite& de inte!raci$n in(inito& y:o di&continuidade&
de %a (unci$n &obre e% interva%o de inte!raci$n; a e&ta& inte!ra%e& &e %e& %%ama i!ro!ias"
8a pre&ente &eparata pre&enta un en(o6ue de %a& inte!ra%e& impropia& de modo
6ue a% (ina%i7ar &u e&tudio %o& e&tudiante& de in!enier'a de %a
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INTE"RALES I#PROPIAS $ I . I %
8a de(inici$n de inte!ra% de(inida exi!e 6ue %a (unci$n inte!rando &ea
continua y de(inida &obre un interva%o cerrado @ a , b Cuando uno o ambo&extremo& de% interva%o de de(inici$n de %a (unci$n no &on (inito& o cuando %a (unci$n
pre&enta un nmero (inito de punto& de di&continuidad inevitab%e &obre e% interva%o
@ a9 b ; e& decir
1.
b
f(x ) dx2 .a
+
f(x )dx 3.
+
f(x ) dx 4.a
b
f(x ) dx
.n *"8a (unci$n ( pre&enta di&continuidad in(inita en a%!n puntoBc de% interva%o @a , b
3oda& e%%a& &on %%amada&integrales impropias 9 para cuyo c%cu%o &e emp%ear
un proce&o de %'mite "8a& inte!ra%e& como 1929)9 &on %%amada& inte!ra%e& impropia& con
%'mite in(inito9 mientra& 6ue %a& inte!ra%e& como *9 &on inte!ra%e& impropia& con
di&continuidad"
DE&INICIN DE INTE"RAL I#PROPIA CON LI#ITE SUPERIOR IN&INITO
1"- =i ( e& continua en @ a9 E F 9 y &i e% %'mite exi&te 9 entonce&
+
+=
+
a
b
adxxf
b
dxxf Lim GHGH
)
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DE&INICIN DE INTE"RAL I#PROPIA CON LI#ITE IN&ERIOR IN&INITO
=b b
a
dxxf
a
dxxf Lim GHGH
2- =i ( e& continua en I - E9 b 9 y &i e% %'mite
exi&te 9 entonce&
=i %o& %'mite& en cada ca&o exi&ten9 &e dice 6ue %a inte!ra% impropia es con'ergente y e%
'alor de la integral es el 'alor del l(ite 9 en ca&o contrario &e dice 6ue %a inte!ra%
impropiaes di'ergente"
DE&INICIN DE INTE"RAL I#PROPIA CON LI#ITE SUPERIOR EIN&ERIOR IN&INITO
+
++
=
+
adxxf
a
dxxfdxxf GHGHGH
)"- =i ( e& continua en I - E9 E F 9
entonce&
.&ta& &e reducen a %o& ca&o& 1 y 29 re&pectivamente "
*
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8a inte!ra%
+
f(x ) dx Conver!e &i amba& inte!ra%e& conver!en" J diver!e &i a%!una
de e%%a& diver!e"
E)e!lo * . .va%uar %a inte!ra%9 &i e& conver!ente 1
+
1
x2dx
=o%uci$n
Por de(inici$n 1"
1
+1
x2dx= lim
b+1
b1
x2dx
.n primer %u!ar9 ca%cu%amo& %a inte!ra% 1
b1
x2dx 6ue aparece dentro de% %'mite
1x
1
b1
x2dx=
.n &e!undo %u!ar9 ca%cu%amo& e% %'mite de %a %tima expre&i$n
limb +
[1b1]=1
Por con&i!uiente
1
+1
x2dx=1
E)e!lo +"ca%cu%ar %a inte!ra%9 en ca&o de &er conver!ente
0
ex dx
=o%uci$n
Por %a de(inici$n 2"9 &e tiene9
0
ex dx=lima
a
0
ex dx
Ca%cu%amo& %a inte!ra% a
0
ex dx 6ue &e encuentra dentro de% %'mite
a
0
ex dx=
a
0
ex /2
dx=2 ex/2 ]a0
=2 (e0ea /2 )
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Ca%cu%amo& e% %'mite de %a expre&i$n anterior
lima
2 (1ea /2 )=2
Por %o tanto9
0
ex dx=2
E)e!lo ,. .va%uar %a inte!ra%9 &i e& conver!ente9
+1
x2+4x+8
dx
=o%uci$n
Por de(inici$n )"
+1
x2+4x+8
dx=
01
x2+4x+8
dx+0
+1
x2+4x+8
dx. . . . .()
Ca%cu%amo& %a primera inte!ra%
0
1
x2+4x+8
dx
01
x2+4x+8
dx= lima
a
01
x2+4x+8
dx= lima
a
01
(x+2)2+4dx
1
2Arctg
x+22
a0
lima
.ntonce&
01
x2+4x+8
dx=1
2 [4(2)]=38 . . . . . . . . .. . .. . .(1)
Ca%cu%amo& %a &e!unda inte!ra% 0
+1
x2+4x+8
dx
0
+1
x2+4x+8
dx= limb+
0
b1
x2+4x+8
dx= limb+[ 12Arctg(x+22)]0
b
limb +
1
2 [Arctg( b+22)Arctg(1)]=12 [ 2 4]= 8.ntonce&
0
+1
x2+4x+8
dx=
8. . . ... . . . . . . . . . . . . . . . ... . .. (2)
>eemp%a7ando H 1 G y H 2 G en HK G 9 re&u%ta
+
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+1
x2+4x+8
dx=
8
DE&INICIN DE INTE"RAL I#PROPIA CON DISCONTINUIDAD IN&INITA
EN SU L-#ITE IN&ERIOR
*"- =i ( e& continua en I a9 b y &i
+=+
xf
axLim GH
entonce&
+
=b
t
dxxf
at
b
adxxf Lim GHGH
=iempre 6ue e% %'mite exi&ta
4 3 2 1 1 2 3 4 5
4
3
2
1
1
2
3
4
x
y
E)e!lo ..va%uar %a inte!ra%9 &i e& conver!ente 0
11
1xdx
=o%uci$n
( HxG L 1
1x pre&enta una di&continuidad in(inita en e% punto x L19 6ue e& e% %'mite
&uperior de %a inte!ra% a ca%cu%ar" Por de(inici$n9
t 1
0
t1
1xdx
0
1
1
1xdx=lim
Ca%cu%amo& %a inte!ra% de(inida
0
t1
1xdx=2[ (1x )
1
2 ]0
t
=2[ (1t)1
21]
Por con&i!uiente
t 12[ (1t)
1
21]=2
0
1
1
1xdx= lim
a b
J
,
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DE&INICIN DE INTE"RAL I#PROPIA CON DISCONTINUIDAD IN&INITA
EN SU L-#ITE SUPERIOR
=
t
adxxf
bt
b
adxxf Lim GHGH
"- =i ( e& continua en @a9 b F y &i
GHGH +=
xf
bxLim
entonce&
DE&INICIN DE INTE"RAL I#PROPIA CON DISCONTINUIDAD IN&INITA
EN UN PUNTO INTERIOR DEL INTERVALO DE INTE"RACIN
+"- =i ( e& continua en @ a 9 b 9 excepto en c9 donde a I c I b y &i
limx c
f(x)=+
.ntonce&
a
b
f(x ) dx=a
c
f(x ) dx+c
b
f(x ) d x
=i %a& do& inte!ra%e& &on conver!ente&"
E)e!lo /"Ca%cu%ar %a inte!ra%9 &i e& conver!ente9 I=0
4dx
x22x3
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xL)
4 3 2 1 1 2 3 4
4
3
2
1
1
2
3
4
x
y
x1
24dx
0
t
.ntonce&
t3[14ln|t3t+1|14ln 3]=
lim
Por con&i!uiente %a inte!ra%
x1
24dx
0
3
diver!e
.n conc%u&i$n
0
41
(x1)2
4
diver!e
=o%uci$n
8a (unci$n (H x G L1
x22x3
= 1
(x1 )24
.& di&continua en x L )9 como &e
ob&erva en %a !r(ica por %o 6ue
x1
24
x1
24
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Algunas integrales i!ro!ias con l(ite in0inito
*.1 La integral ! para a F 0 y p un nmero rea%2 con'erge si ! 3 *y diver!e &i p1
a
+1
xp
dx
Para eva%uar %a inte!ra% debemo& con&iderar do& ca&o& p 1 9 p L 1
1
xpdx= lim
b+a
b
xp
dx= limb +[ x
p+1
p+1 ]ab
= 1
1p limb+
(b1pa1p)
a Si p1,a
+
el trmino a1p
es constante , el lmite existe limb+
(b1p)1p1
.% va%or de% %'mite en e&te ca&o &er
a1p
p1
Por otro %ado9
1
xpdx= lim
b+ln
a
b1
xdx= lim
b +ln ( ba )=+
bSi p=1,a
+
Por con&i!uiente %a inte!ra% p conver!e &i p F 1 y diver!e &i p 1
+.1 La integral e4!onencial.
009; >+
ksidivergeyksiconvergeIRkdxa
kxe
E)e!lo 5. .va%uar %a&
&i!uiente& inte!ra%e&9 &i &on conver!ente&
1.0
+
x e
x
dx
=o%uci$n
0
+
x ex
dx= limb+
0
b
x ex
dx
.n primer %u!ar ca%cu%amo& 0
b
x ex
dx 9 uti%i7amo& e% mtodo de inte!raci$n por
parte&
u=x , d=ex dx
10
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du=dx =ex
ex
e
(b1)
0
b
x ex dx=x ex ]0b+0
b
ex dx=(b eb0 )0b=b eb
.n &e!undo %u!ar9 ca%cu%amo& e% %'mite de %a %tima expre&i$n
bebeb
(+1)=limb+
(b
eb
1
eb+1)
limb+
Como
limb +
(be
b )esdela forma
,aplicamos lareglade ! " #ospital
limb +(beb )=limb+(
1
eb )=0
8ue!o
limb +
(b
eb
1
eb+1)=1
0
+
x ex
dx=1
2.$alcular
+
Senxdx
=o%uci$n
+
Senx dx=
0
Senx dx+0
+
Senx dx
.va%uamo& %a primera inte!ra%
cosx1+cos (a)
0
Senx dx= lima
a
0
Senxdx= lima
a0= lim
a
Pero
11
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lima
cos(a)no existe , entonces
0
senx dxes diergente &
+
Senx dx
e& diver!ente"
,.Calcular
limr +
r
r
senx dx
=o%uci$n"
$osx
(r )cos (r )cos
limr+
r
r
senxdx= limr+
rr = lim
r +
8ue!o
limr +
r
r
senxdx=0
*"Calcular e
+1
x (lnx )ndx
=o%uci$n
e
+1
x (lnx )ndx= lim
b+
e
b1
x (lnx )ndx
Para ca%cu%ar %a inte!ra%9 hacemo& e% cambio de variab%e u L %nx9 de donde du L1
xdx
e
b1
x (lnx )ndx=
1
lnb1
undu=
{
un+1
n+1 ]1lnb
=[(lnb )1n
1n
(1)1n
1n
] , s in1lnu]1
lnb
=ln ( lnb )ln (1 ) si n=1
Para e% primer ca&o n1
e
+1
x (lnx )ndx= lim
b+
1
1n[( lnb )1n1 ]= 1
n11n1
Para e% &e!undo ca&o
e
+1
x (lnx )ndx= lim
b+
ln (lnb )=+
=e conc%uye 6ue %a inte!ra% dada e& conver!ente &i y &o%o &i n F 1
12
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/.6Para 7u8 'alores de ncon'erge la integral 1
+
( n x2
x3+1
1
3x+1 )dx
1
+
( n x2
x3+1
1
3x+1 )dx= limb+1b
( n x2
x3+1
1
3x+1 )dxCa%cu%amo& %a inte!ra%
1
b
(n x2
x3+1
1
3x+1 )dx=n31b
( 3x2
x3+1 )dx131
b
( 13x+1 )dx
[n3ln (x3+1)13ln (3x+1)]1b
[n3ln (b3+1)13ln (3b+1)][n3ln213ln 4 ]
1
b
( n x2
x3+1
1
3x+1 )dx=ln [( b3+1)
n3
(3b+1 )1
3]( n23 ) ln 2Ana%i7amo& e% %'mite de %a %tima expre&i$n
1
+
( n x2
x3+1
1
3x+1 )dx= limb+ {ln[(b3+1)n
3
(3b+1 )1
3]( n23 ) ln 2}. . . . . . . .()Pue&to 6ue ( n23 ) ln2 e& con&tante Hno depende de bG entonce& %a conver!encia de%a inte!ra% depende de %a exi&tencia de% %'mite
limb+
ln [(b3+1 )n
3
(3b+1)1
3]el grado del polinomiodelnumerador es igualalrado de% po%inomio de% denominador 3(
n3 )=13n=13 9 en e&te ca&o
limb +
ln[( b3+1 )n
3
(3b+1 )1
3]=ln [ limb+ [(b3+1)1
9
(3b+1 )1
3]]=ln [ limb+ [(b3+1)1
9
(3b+1 )1
3]]
1)
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ln
[ limb+
[
b
1
3 (1+ 1b3 )1
9
b1
3 (3+ 1b )1
3
] ]=ln [
1
3
1
3]=13 ln 3
limb+
ln [(b3+1)n
3
(3b+1 )1
3]=13 ln 3n=13>eemp%a7ando nL1:) y e% va%or de% %'mite en H K G9 re&u%ta
1
+
( n x2
x3+1
1
3x+1 )dx=13 ln 3+ 59ln2
E9ERCICIOS *.
Ca%cu%ar %a& &i!uiente& inte!ra%e& en ca&o de &er conver!ente&
+
+
++
+
++
++
+
+
+
+
1 2G12H
)"10
0
co&"-
0 1"
0
",
0
"+
0
N""*
1 21
")
1 ):1
"2
1
"1
x
dxxxdxxe
dx
x
dx
xexe
dx
dxxexCosx
dx
x
dx
x
dx
x
dx
Resoluci:n de e)ercicios so;re integrales i!ro!ias con discontinuidades
*. 0
1
xlnx dx
=o%uci$n
Ob&ervamo& 6ue %a (unci$n (HxG L x %nx no e&t de(inida en x L 09 por %o tanto e& di&continua
a%%'"
t 0+
t
1
xlnxdx
0
1
xlnx dx=lim
1*
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Primero ca%cu%amo& %a inte!ra% de(inida t
1
xlnxdx mediante %a inte!raci$n por parte&
u=lnx,d=xdx
du=1
xdx, =x
2
2
lnx
x
2dx=
t2
2lnt
x2
4]t1
=t2
2 lnt
1
4+
t2
4
t
1
xlnxdx=x
2
2 t
1t
1
Ca%cu%amo& e% %'mite9
t 0
+
(t2
2 lnt
1
4 +
t2
4
)
t
1
xlnxdx=lim
Como
t 0+lnt
(2t2 )esde la formaindeterminada( )
t 0+t
2
2
lnt= lim
lim
Ap%icando %a re!%a de 8Qo&pita%
t 0+t
2
4=0
t 0+
1
t
(4t3 )=lim
t 0+lnt
(2t2 )=lim
lim
Por %o tanto
0
1
xlnxdx=14
+. Calcular2 si e4iste 1
+1
xx21 dx
1
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=o%uci$n
1
+1
xx21dx tienelmite superior infinito & la funcin f(x )=
1
xx21presenta
di&continuidad en x L 19 por %o 6ue
1
+1
xx21dx=
1
21
x x21dx+
2
+1
x x21dx
%a inte!ra% inde(inida e& inmediata9
1xx21
dx=arcsecx
arcsec (2 )arcsec (t)
t 1+
t 1
+arcsec(x)]t
2=lim
t 1+
t
2
1
x x21dx=lim
1
21
xx21dx=lim
Por otro %ado9
arcsec (x )]2b=
2
b 1
xx21dx= lim
b +
2
+1
x x21dx=lim
b+
limb+
arcsec (b )arcsec (2)=2arcsec (2)
1
+1
xx21dx=
2
AL"UNAS INTE"RALES CON INTE"RANDO DISCONTINUO
Demo&trar 6ue %a inte!ra% impropia
a
b1
(xa)pdxconergesi0
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ta+
t
b1
(xa )pdx
a
b1
(xa )pdx=lim
aG =i 0 I p I 1
t
b1
(xa )pdx=
t
b
(xa )p dx= 1p+1
(xa )p+1 ]tb
= 1
1p[(ba )p+1( ta )p+1 ]
t a+ 1
1p[(ba )p+1(ta )p+1 ]
a
b1
(xa )pdx=lim
8a exi&tencia de% %'mite depende de %a exi&tencia de% %'mite9
ta+ ( ta )p+1=0p+1>0p
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Con'erge si = > ! > * ? di'erge si ! *
E9ERCICIOS +.
1"=e de(ine
a( (b )=1
+1
(1+xb ) (1+x2 )dx , calcular( (0)
b( (a )=1
+1
1+a2x2dx ,$alcular ( (a ) ,s ia>0
c I=1
+1cosx
xn dx , )*ara+u aloresde nla integralconerge
d I=1
+
( nx+1 3x1+x2 )dx, ) *ara+u aloresden laintegral es conergente2"Ca%cu%ar %a& &i!uiente& inte!ra%e&9 en ca&o de &er conver!ente&
a
0
e2x
dxb
0
xe2x
dxc
+1
x2+1
dxd 0
+x
3
(x2+1)2dx
x
x( 29)dx-
e0
2
tgxdx f0
+
ex
dx g0
+
2
01
3x+1dx
i1
4
1
xx21dx
0
senu
31+cosu
du/1
+1x
21x+1
dxl 0
+1
x (1+ ln2x )dx
CRITERIOS DE CONVER"ENCIA
I. Criterio de co!araci:n @ =i ( y ! do& (uncione& ta%e& 6ue 0 ( H x G ! HxG 9
x [a, b] y si a
b
f(x ) dx ,a
b
g (x )dx &on do& inte!ra%e& impropia&9 donde a
puede &er - y b puede ser + , entonces
aSia
b
g (x ) dx conerge, entoncesa
b
f(x )dx conerge
1
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bSia
b
f(x ) dxdierge , entoncesa
b
g (x ) dxdierge
NOTA.=i a
b
g (x )dx diver!e9 e% criterio no permite conc%uir acerca de %a conver!encia o
diver!encia de a
b
f(x ) dx " An%o!amente &i a
b
f(x ) dx conver!e9 e% criterio no o(rece
in(ormaci$n acerca de %a conver!encia o diver!encia de a
b
g (x )dx
E)e!lo*.Ana%i7ar %a conver!encia o diver!encia de %a inte!ra%
1
+1
x4x3+1
dx
=o%uci$n
8a (unci$n (HxG L 1
x4x3+1
F 0 9 x1, adems
x3'1x
3+1'2x3+1'2 1x3+1
0 1
200 ,x1 ,3 " =abemo& 6ue
a
b1
(xa)pdx conver!e para 0 I p
I 1 y diver!e para p1" .n e&te ca&o aL 19 b L )"
21
7/23/2019 Separata Integrales Impropias
23/38
(x1)p( x+1x31 )= limx 1+
(x1)p (x+1)
(x1)(x2+x+1)
x1+
x+1
x311
(x1)p
= lim
x1+
f(x)g (x)
= lim
x1+
A=lim
A L
2
3 9 &i p L19 entonce& %a inte!ra% a
b
g (x )dx=1
31
(x1)p diver!e y por e% criterio
de% cociente %a inte!ra%
1
3x+1x
31dx tambiendierge 8o& &i!uiente& teorema& re&umen e% criterio de% cociente
III. Teorea *.1 &i ( H x G 0 9 x ]a , b ] y presenta una discontinuidad
en x = a
xa+ (xa )p f(x )=ASealim
9 &i A 9 A0 9 entonce&
aa
b
f(x ) dxconerge si 0
7/23/2019 Separata Integrales Impropias
24/38
ba
b
f(x ) dx, dierge si p'1(A puedeser infinito)
Teorea,.- &i ( H x G 0 9 x [a , + [
Sea limx+
(x )p f(x )=A 9 &i A 9 A0 9 entonce&
aa
+
f(x ) dx conerge si p>1
ba
+
f(x ) dx dierge si p01(A puede ser infinito)
E)e!lo /"Ana%i7ar %a conver!encia o diver!encia de %a inte!ra% 1
+2x
3x4
+2x2
+5
dx
=o%uci$n
(HxG L2x
3x4+2x2+5
F 0 9 para x 1! Ap%icamo& e% teorema ) 9
xp
f(x )= limx +
xp( 2x3x4+2x2+5 )= limx +x
p
[ x (2)
x4(3+ 2x2 +
5
x4 ) ]=
limx +
xp
x3 [
2
3+2
x2+5
x4]=
2
3, si p=3
lim
x +
8ue!o A L2
30p=3>1 9
.ntonce&
1
+2x
3x4+2x2+5
dxconerge
E)e!lo 5" Determinar %a conver!encia o diver!encia de 1
41
x21dx
=o%uci$n
8a (unci$n (HxG L1
x21 F 0 9 x1 9 * 9 pre&enta di&continuidad en x L 1La
Ap%icamo& e% teorema 19
2)
7/23/2019 Separata Integrales Impropias
25/38
x1+ (x1 )
p 1
(x1)1/2(x+1)1 /2=2
2 , si p=
1
2
(x1 )p 1
x21= lim
x 1+
(xa )p f(x )= lim
x a+
lim
8ue!o A L 22
y p L1
2I 1 9 entonce& %a inte!ra%
1
4
1
x21dx e& conver!ente
E)e!lo " Determinar %a conver!encia o diver!encia de 0
3x
(3x)2dx
=o%uci$n
8a (unci$n (HxG Lx
(3x )2 F 0 9 x@ 0 9 ) 9 pre&enta di&continuidad en x L ) L b
Ap%icamo& e% teorema 2
x3 (3x )p
x
(3x )2=3 , si p=2
(bx )p f(x )= lim
x b
lim
8ue!o A L ) y p L 2 F 19 en con&ecuencia 0
3x
(3x)2dx diver!e
E)e!lo B. Ana%i7ar %a conver!encia o diver!encia de %a inte!ra% 0
senx
x3
dx
=o%uci$n
8a (unci$n (H x G Lsenx
x3 e& po&itiva y pre&enta di&continuidad en e% punto xL 0
Ap%icamo& e% teorema 1
x0+(x )p
1
x2(senxx )=1 , si p=2
x 0+(x0)p(senxx3 )=lim
x a+ (xa )p f(x )=lim
A=lim
3enemo& AL 10 9 pL2F1
2*
7/23/2019 Separata Integrales Impropias
26/38
Por %o tanto9
0
senx
x3
dxdierge
IV. Criterio de Con'ergencia A;soluta
Sia
b
|f(x)|dx conerge , entoncesa
b
f(x )dx conerge
.% criterio de conver!encia ab&o%uta no re6uiere 6ue %a (unci$n (HxG &ea no ne!ativa como
%o exi!en %o& dem& criterio&"
NOTA
*. Sia
b
|f(x)|dx conerge, entonces se dice +uea
b
f(x ) dxes absolutamente
con'ergente
+. =i a
b
f(x ) dx e& conver!ente pero a
b
|f(x )|dx e& diver!ente9 entonce& &e dice
6ue
a
b
f(x ) dx e& condicionalente con'ergente
E)e!lo .Ana%i7ar %a conver!encia o diver!encia de # L 0
+
ex
cosxdx
=o%uci$n
=e ob&erva 6ue %a (unci$n (HxG L ex cosx toma va%ore& po&itivo& y ne!ativo& en e%
interva%o @0 9 @ 9 &in embar!o S(H x G S0 9 x 9 y S (H x G S L S ex
cosx S Lex|cosx| entonce&
|f(x )|0 excosx
Por otro %ado9 como 0 S co&x S 19 x " se tiene #ue $ %& x ' $ ex
(a inte)ra* 0
+
ex
dx es coner)ente & inte)ra* exponencia* con = 1'
-n consecuencia , por e* criterio de comparaci.n 0
+
|f(x )|dx coner)e ,
entonces
2
7/23/2019 Separata Integrales Impropias
27/38
0
+
ex
cosxdxconerge
Ejemplo 10! /na*i0ar *a coner)encia o dier)encia de = 0
+senx
x dx
2o*uci.n
0
+senx
x dx=
0
1senx
x dx+
1
+senx
x dx . . . . . . . . . . . . .()
-n *a primera inte)ra* 0
1senx
x dx *a %unci.n f(x )=
senx
x es una %unci.n
secciona*mente continua en e* intera*o [ 3 , 1 ] , puesto #ue
x
0
+senx
x =1,por lo tantola integral0
1senx
x dxconerge
lim
.n %a &e!unda inte!ra%
1
+senx
x dx=lim
b+1
bsenx
x dx . . . . . . . . . . .(1)
Ca%cu%amo& %a inte!ra% de(inida mediante %a inte!raci$n por parte&
u=1
x, d=senxdx
du=1
x2dx ,=cosx
1
bsenx
x dx=
.1x
cosx ]1b
1
bcosx
x2
dx=1b
$osb+cos11
bcosx
x2
dx
1
+senx
x dx=lim
b+[1b $osb+cos11b
cosx
x2
dx ]. . . . . . . . . . . .(2)lim
b+1
b cosb se puede obtenermedianteel teoremadel sand1ic-
Ob&rve&e 6ue 0 |1bcosb|01bpor lo +uelim
b+1
b cosb=0
-n & 4 ' limb+
1
bcosx
x2
dx=1
+cosx
x2
dx , por *os criterios de coner)encia
abso*uta y comparaci.n, se tiene,
f(x )= cosxx
2 00|f(x )|=|
cosx
x2 |0
1
x2
2+
7/23/2019 Separata Integrales Impropias
28/38
=e conoce 6ue 1
+1
x2dx conerge, por lo+ue
1
+
|f(x)|dx conerge y por ende
1
+
f(x)dx=1
+cosx
x2
dx conergeaunalor !
Por H2G &e obtiene 6ue
1
+senx
x dx=(cos1 )2 !
.& decir %a inte!ra% e& conver!ente y por H K G &e conc%uye 6ue 0
+senx
x dx conver!e
E)e!lo **"Ana%i7ar %a conver!encia o diver!encia de
0
11
e3x1
dx
=o%uci$n
f(x )= 1
e3x1
no e& continua en x L 0
0 I x 1 0 I 3x 1 1 I e3x 0 ee
3x1>0 9 por %o 6ue (HxG F 0 9
x@091
Por e% criterio de% cociente9 &ea !HxG L1
xp
x 0+ x
p
e3x1
x0+f(x)
g (x)=lim
A= lim
Para p F 0 9 e% %'mite anterior e& de %a (orma0
0
9 ap%icamo& %a re!%a de 8Qo&pita%
x0+3p x
p13
e3x
=1, si p=1
3A=10 , *=
1
3
7/23/2019 Separata Integrales Impropias
29/38
0
1
g(x )dx=0
11
xp
dx=0
11
x1/3 dx conerge
0
11
e3x1
dxtambien conerge
La trans0orada de La!lace .1 =i ( e& una (unci$n de(inida para todo& %o& va%ore&
po&itivo& de t 9 %a tran&(ormada de 8ap%ace de %a (unci$n ( &e de(ine por
dttfts
esF GH
0
GH + =
=i e&ta inte!ra% impropia exi&te"
E)e!lo *+" Qa%%e %a tran&(ormada de 8ap%ace de
1G ( H t G L 19 2G ( H t G L t 9 )G ( H t G L t 9 *G ( H t G L Co& a t 9 G ( H t G L e
a t
=o%uci$n
e
[sb1]=1
s
10
+
est(1 ) dt= lim
b+0
b
est
dt=1
s limb +
est]0
b
=1s lim
b+
3I=0
+
est(t2)dt=lim
b+0
b
t2est
dt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)
#nte!rando por parte&
u L t2 9 dv L e-&tdt
du L 2tdt 9 v L - 1
se
st
0
b
t2est
dt=t2(1s est)]0b
0
b1s
est(2 tdt)=1
s (b2 esb)+ 2
s0
b
t est
dt
#nte!ramo& por parte& %a %tima inte!ra%
< L t 9 d? L eT&tdt
d
7/23/2019 Separata Integrales Impropias
30/38
Por %o tanto 4H&G L1
s2
e
( (as ) b1)= 1sa
50
+
est(eat)dt= lim
b+0
b
e(as)t
dt=lim
b +1
as e
( as )t]0b
= 1
as limb+
Por %o tanto
0
+
est(eat)dt= 1
sa
&UNCION "A##A
D.4#N#C#UN "- 8a (unci$n amma 9 e&t de(inida para todo nmero rea% po&itivo y &u
re!%a de corre&pondencia e& %a &i!uiente 9
+ =0
1GH dtetx
tx
9 conver!e para x F 0
8a (unci$n (HtG Ltx et 1 ; e& continua en 09 @ " ( e& di&continua en t L 0 &i
x - 1 I 0 ; e& decir &i x I 1" =i a V 0 9 @ 9 entonce&
+ ++=
0
21
0 GHGHGH a
a
dttfdttfdttf
donde (HtG Ltx et 1
Para H1G 9 &i t 5 0 9 entonce& e-t W1 9 %o cua% imp%ica 6ue %a (unci$n
dtt
egrallaperot
ttf a
xx
x
=0 11
1 1int1
GH
9 conver!e &i 1-x I 1 X x F 0 "
.& decir %a inte!ra% H 1G conver!e &i x F 0
2
7/23/2019 Separata Integrales Impropias
31/38
A% ana%i7ar H2G &e %%e!ar a una conc%u&i$n &imi%ar H =e de/a como e/ercicio para e% %ectorG
P>OP#.DAD.=
1G 3(n)= (n1 ) 4 ,n'12G 3(0 )=04=1)G 3(x+1 )=x 3(x ) ; &e obtiene inte!rando por parte&
3(x )=0
+
tx1
et
dt= limb+
1
xt
xet]
0
b
+1
x0
+
tx
et
dt=0+1
x3(x+1)
x 3(x )=3(x+1)
*G 6 ( 12 )=3( 12 )=0
+
t
1
21
et
dt=0
+
t
12 e
tdt=
0
+et
tdt=
G 3(a)3(a1 )= sen(a)
; 0 I a I 1
OSERVACION"- =i en %a re!%a de corre&pondencia de %a (unci$n !amma 9 &e hace
u L e - t entonce& t L %n H u T 1G L - %nu ; %ue!o dt L -uT 1du 9 en con&ecuencia
duu
x
x 11
0
1%nGH
=
E)e!lo *," Ca%cu%ar 6H:2G
=o%uci$n
6H 5
2G L 3( 32 +1)=323( 32 )=323( 12+1)=32 .123( 12 )=34
7 6H 5
2G L
3
4
E)e!lo *" Ca%cu%ar 6H1:+G 6&89:'
2o*uci.n;or *a propiedad 8' de *a %unci.n )amma, se tiene
6H1:+G 6&89:'=
sen( .1
6)=2
Ejemplo 15!
7/23/2019 Separata Integrales Impropias
32/38
x = ?94 , entonces
0
+
x2e5x2
dx= 1
1050
+
t
1
2 et
dt= 1
1053( 32 )= 1105 .
1
2=5
100
0
+
x2e5x2
dx=5100
E)e!lo *. Ca%cu%ar 0
+
ex2
dx
=o%uci$n
=ea t L x2x=t ,dx=
1
2tdt
=i x L 0 t L 0
=i x L t = +
.ntonce&
0
+ex2
dx=0
+et
. 1
2tdt=1
20
+t1/2
et
dt=12
3(1
2 )=1
2
)1
7/23/2019 Separata Integrales Impropias
33/38
E)e!lo *B" Ca%cu%ar 0
+
(x )5
2n1
exn
dx en (unci$n de n
=o%uci$n
=ea t L xnx=t1
n , dx=1
n(t
1
n1)dt ; %a variab%e t var'a en e% mi&mo interva%o 6ue x9
.ntonce&
0
+
(x )5
2n1
ex
n
dx=0
+
(t1
n )5
2n1
( et) 1n( t
1
n1)dt= 1
n0
+
t
3
2 et
dt=1
n3( 52 )
0
+
(x)5
2n1
exn
dx= 3
4n
&UNCIN ETA
De0inici:n.1%a (unci$n beta e& de(inida para va%ore& po&itivo& de m y n por
dxn
xm
xnm
= 1
0
1G1H
1G9H
y conver!e &i m F 0 y n F 0
8a (unci$n (H x G L x m - 1 H 1 T x G n - 1 e& continua en I 0 9 1 F "
( H x G e& di&continua en x L 0 &i m -1 I 0 $ en x L 1 cuando n T 1 I 0 ; en e&to&
ca&o& 9 &i &e e%i!e un nmero A I 0 9 1 F
dxn
xm
xdxn
xm
xnmA
A
+
= 1
0
1G1H
1
1G1H
1G9H
=i x L 0 9 ( Hx Gmx
1
1
; %a inte!ra%
A
mdx
x0 11
conver!e &i 1 T m I 1 ; e& decir &i m F 0
=i x L 19 ( Hx Gnx
1G1H
1
; %a inte!ra%
1
1G1H
1
A ndx
x conver!e &i 1 T n I 1@m F 0
PROPIEDADES @
*. 6 (m ,n )=6 (n ,m)=3(m )3(n)
3(m+n)
)2
7/23/2019 Separata Integrales Impropias
34/38
+. 0
/2
(sen7)2m1(cos7)2n1 d7
Para comprobar %a &e!unda propiedad
=ea x L sen27dx=2 sen7cos7d7
sen
( 27)m1
xm1=
7=0x=0
A L
2x=1
en %a inte!ra%9 &e tiene
0
/2
(sen7 )2m1
( cos7 )2n1
d7=1
20
1
xm1
(1x )n1
dx=1
26 (m , n)
E)e!lo *" Ca%cu%ar 0
1
x6(1x )3dx
=o%uci$n
Pue&to 6ue %a inte!ra% e& %a (unci$n beta con m-1 L+ 9 y 9 n-1 L ); e& decir mL,9 nL*
0
1
x6 (1x )3 L BH, 9 * G L
3(7 )3(4)3(11)
=6 4 .4 4
10 4 =
1
210
0
1
x6(1x)3=
1
210
E)e!lo +="ca%cu%ar 0
11
5
1x5dx
=o%uci$n
Qacemo& e% &i!uiente cambio de variab%e
u=x5x= 5u,dx=1
5
u54 du
xL 0 u L 0 9 x L 1 u L 1
.ntonce&
0
11
5
1x5dx=
0
11
51u
.1
5u
5 /4du=
1
50
1
u5 /4(1u)1/5du=6 ( 15 ,45 )
Pue&to 6ue en %a %tima inte!ra% &e tiene
m T 1 L -:* m L 1: ; tambin n T 1 L -1: n L *:
como
))
7/23/2019 Separata Integrales Impropias
35/38
6 ( 15,45 )=3(1 /5 ) . 3(4 /5 )
3(1) =3(1/5 ) . 3(4 /5 )=
sen (15 ).n con&ecuencia
0
11
5
1x5dx=
sen( 5)E)e!lo +*" Ca%cu%ar %a inte!ra%
0
/2
sen
3
2 (x)cos1
2 (x )dx
=o%uci$n
Para ap%icar %a &e!unda propiedad de %a (unci$n beta9 en %a inte!ra% dada reconocemo&
2m T 1 L ):2 m L :*
2n T 1 L Y n = C
-ntonces
0
/2
sen3
2 (x)cos1
2 (x )dx=1
26 ( 54, 34 )=12
3(1
4+1)3(
3
4)
3(2) =
1
2.1
43(14 )3(34 )=18
sen(
4)
0
/2
sen3
2 (x )cos1
2 (
E)e!lo ++"#nte!rar
ln (1/x )
6
0
1
=o%uci$n
=ea u L %n ( 1x )=lnx x L eu, dx=eu du=i x L 0 u L
=i x L 1 u L 0
ln (1/x )6
0
1
)*
7/23/2019 Separata Integrales Impropias
36/38
ln (1/x )6
0
1
E9ERCICIOS
#"C%a&i(icar %a& &i!uiente& inte!ra%e&
10
+1
(x+1)(x+2)dx2
0
+e
t
1+etdt3
1
21
2tdt4
0
1lnu
u du
50
+et
t+1dt6
0
21
3t1
dt7 1
39
x2+x2
dx 8
1x+2
x (x+1)dx
##" Determinar para 6ue va%ore& de %a con&tante rea% R 9 conver!e cada inte!ra%
1 : 2 1
)1 0 0 0
N 1 11G 2G )G *G %n NH G
) 11 1 N
kk
k
kx x Cosxdx dx x x dx
xx xx
+ ++
###" .&tudiar %a conver!encia de%a& &i!uiente& inte!ra%e&
* * 2 ))0 2 2
2 : 2 2 )
0 1 0 0
*
0 2 0 0
N 1 1 21G 2G )G *G G
1 * 1 H%n G1
N 1 %n N 2+G ,G G -G
H 1G 1
co&10G 11G 12G 1)G
N 1 ) 2 1 co&
x
x
x x senx xdx dx dx dx dx
x x x xx
x x sen x sen xdx dx dx dx
x x x e x x
x x senxdx dx dx e sen x
x x x x
+ ++ + +
++ + + +
+ + +
*,2 2
0 1 2
1 1 1 1
)0 0 0 0 1
2 : 2 1 1: 2
) )0 0 0 0
1*G 1G arctanH G 1+G,
1 co& 1 %n1,G 1G 1-G 20G 21G
N %nH 1G 1 N 2
%n 1 N N %n22G 2)G %nH G 2*G 9 : : 1 2G
1 N
xx
dx
ex e dx x x dx
x
x x sendxdx dx dx dx
x x xx x x
x k x xdx senx dx dx k dx
x xx
+
+ +
"
2G Ca%cu%ar
1
0
1
1dx
x
)G .% e(ecto de %a &uper(icie %ibre de un e&tan6ue &obre %a temperatura en &u (ondo
e& dado por una expre&i$n 6ue imp%ica %a inte!ra%
N
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7/23/2019 Separata Integrales Impropias
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