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Análisis Matemático I – CIBEX

Facultad de Ciencias ExactasUniversidad Nacional de La Plata

Unidad 8: Aplicaciones delCálculo Integral

2015 - Primer Cuatrimestre

Dr. Gerardo Rossini, Dra. Ana AlonsoEquipo Coordinador

UNIDAD 8

Integrales impropias y aplicaciones del cálculo integral

Contenidos de la Unidad 8: Integrales impropias. Ecuaciones diferenciales y soluciones inte-grales. Cálculo de diversas cantidades acumuladas. Funciones nuevas, de�nidas como inte-gral inde�nida de funciones conocidas. Criterios de convergencia por comparación. Repasogeneral de cálculo integral.

Clase 8.1. Integrales impropias

Contenido de la clase: Noción de integrales impropias y de convergencia. Integrales impro-pias por discontinuidades in�nitas en el intervalo de integración. Integrales impropias porlímites de integración in�nitos. Estudio por primitiva directa.

8.1.1. Introducción

En la Unidad 7 estudiamos la integral de Riemann, o integral de�nida, en casos en que estábamosseguros de que la integral existe. La garantía está en el teorema 7.2.6: si una función f(x) en un intervalocerrado es continua a trozos, con límites laterales �nitos en cada discontinuidad, la integral de Riemannexiste y se puede calcular, si hace falta, sumando tramos, como si el integrando fuera una función continuaen cada sub-intervalo cerrado.

En esta clase discutiremos lo que puede suceder con el límite de una sucesión de sumas de Riemanncuando la función no cumple con las hipótesis de la Regla de Barrow 7.2.7.

Vamos a estudiar dos situaciones particulares que pueden aparecer al plantear integrales, distintas alas vistas en la Unidad 7:

1. integral de una función f(x) continua en un intervalo semi-abierto [a, b), cuandolımx→b− f(x) = ±∞, o de una función f(x) continua en un intervalo semi-abierto (a, b],cuando lımx→a+ f(x) = ±∞.

2. integral de una función f(x) continua en un intervalo semi-in�nito [a,+∞), o de una funciónf(x) continua en un intervalo semi-in�nito (−∞, b].

En el primer caso el motivo que hace especial a esta integral es que el integrando no es continuo enuno de los bordes del intervalo de integración, con límite +∞ o −∞textese borde. En el segundo caso, elmotivo especial es que el intervalo de integración tiene longitud in�nita. En ambos casos se dice que laintegral es impropia.

Aunque todavía no los discutimos concretamente, conviene anticipar una regla general: cuando unaintegral es especial por más de una de las causas mencionadas, debemos separar el intervalo de integraciónen distintos sub-intervalos que tengan una sola causa, y analizarlos por separado. Si tan sólo una delas integrales involucradas no existe, entonces la integral completa no existe. Y si todas las integralesinvolucradas existen, entonces la integral completa existe y usamos la aditividad respecto del intervalopara sumar los resultados de cada integral.

327

CLASE 8.1. INTEGRALES IMPROPIAS 328

Ejemplo 8.1.1. Consideremos la integral ˆ 1

−1

1

xdx

El integrando, es decir la función1

x, tiene una discontinuidad in�nita en x = 0, donde no está de�nida.

Observen la lista de causas de integral especial que anotamos: solamente encontramos funciones conti-nuas en intervalos semi-abiertos, es decir funciones que no son continuas en un solo borde del intervalode integración. La regla general indica que debemos analizar por separadoˆ 0

−1

1

xdx y

ˆ 1

0

1

xdx

En cada integral separada vemos que el integrando tiene una discontinuidad in�nita en un soloborde del intervalo (caso (a)):

en [−1, 0) encontramos que lımx→0−

1

x= −∞ y en (0, 1] encontramos que lım

x→0+

1

x= +∞

Corresponde analizar cada integral por separado, con las técnicas que veremos en esta clase. Si lasdos integrales quedan bien de�nidas, podemos usar la aditividad respecto del intervalo y sumar losresultados de cada parte.

8.1.2. Integrales impropias en intervalos �nitos, por causa de asíntotas verticales

Veamos el caso 1 mencionado en la Introducción: integrales de funciones continuas en intervalos semi-abiertos, con límite in�nito en el borde abierto.

Consideremos un intervalo semiabierto [a, b) y una función f(x) continua en [a, b) pero discontinuapor izquierda en x = b, con lımx→b− f(x) = +∞ o lımx→b− f(x) = −∞. Lo que hace especial a la integral´ ba f(x) dx es la discontinuidad in�nita de f(x) en un borde del intervalo de integración. Se la llama integralimpropia en el intervalo [a, b].

)[

Podemos interpretar en el dibujo que la integral intenta describir el área bajo una curva, en un casoen que la curva tiene una asíntota vertical. En la región sospechosa vemos una zona arbitrariamentealta, pero a la vez arbitrariamente angosta. El área que aporta a la suma de Riemann un rectángulo conbase tendiendo a cero y altura tendiendo a in�nito plantea una situación indeterminada, del tipo "0 porin�nito". Encontraremos en distintos ejemplos que el área total puede tomar un valor �nito, o tender ain�nito.

Para calcular estas integrales se recurre a un proceso de límite:

primero se calcula la integral en un intervalo cerrado[a, c] incluido en [a, b) (es decir con a < c < b). Se trata de la integral de una función continua enun intervalo cerrado, estamos seguros de que existe.


luego se calcula el límite del resultado anterior cuando c tiende a b por izquierda, es decir, se muevec para cubrir "lo mejor posible" el intervalo [a, b).si el límite existe, se dice que la integral de f(x) entre a y b converge, y el valor del límite es elresultado de la integral.si el límite es in�nito ( +∞ o −∞) se dice que la integral diverge, y no se le asigna valor.

)[

Formalizamos la siguiente de�nición:

Definición 8.1.2. Dada una función f(x) continua en un intervalo semi-abierto [a, b) conlımx→b− f(x) = +∞ o lımx→b− f(x) = −∞, se de�ne la integral impropiaˆ b

af(x) dx = lım

c→b−

ˆ c

af(x) dx

en el caso en que este límite exista y sea �nito, y se dice que la integral converge a dicho límite.Si el límite es in�nito, se dice que la integral impropia diverge.

Una de�nición similar se da en el caso de funciones continuas con asíntota vertical en el borde izquierdode un intervalo (a, b]. En este caso el valor del punto c debe tender hacia a por derecha al �nal del cálculo.Vale la pena copiar la de�nición en detalle:

Definición 8.1.3. Dada una función f(x) continua en un intervalo semi-abierto (a, b] conlımx→a+ f(x) = +∞ o lımx→a+ f(x) = −∞, se de�ne la integral impropiaˆ b

af(x) dx = lım

c→a+

ˆ b

cf(x) dx

en el caso en que este límite exista y sea �nito, y se dice que la integral converge a dicho límite.Si el límite no existe, se dice que la integral impropia diverge.

Ejemplo 8.1.4. Estudiemos el área que está "encerrada" entre el eje x y de la grá�ca de f(x) =1/√x entre x = 0 y x = 1.


La función tiene en x = 0 una asíntota vertical, ya que lımx→0+1√x

= +∞ y por lo tanto no está

acotada (por eso decimos "encerrada" entre comillas: el "techo" y la "pared" no llegan a juntarse). Enprincipio no sabemos si el área que buscamos será �nita. Siguiendo la de�nición 8.1.3 debemos correr elborde en x = 0 hacia la derecha del grá�co, construyendo un intervalo cerrado [c, 1] donde f(x) resultacontinua y por lo tanto integrable, y luego tomar límite tendiendo para c tendiendo a 0 por la derecha.Si el límite es �nito, la integral impropia converge a dicho valor. En caso de que el límite no exista,diremos que la integral diverge (o que no converge)

Calculemos la integral en [c, 1], con c entre 0 y 1:0ˆ 1

c

1√xdx =

[2x1/2

]1

c= 2

(1−√c).

Ahora tomemos el límite

lımc→0+

(ˆ 1

c

1√xdx

)= lım

c→0+2(1−√c)

= 2.

Como el límite es �nito, la integral impropia converge. Corresponde decirˆ 1

0

1√xdx = 2

En palabras, la integral converge aunque el integrando tenga una asíntota vertical.En este caso en que la función es positiva y por lo tanto la integral respresenta el área geométrica

entre la grá�ca y el eje x, entre x = 0 y x = 1, se dice que el área encerrada es �nita (a pesar de quela función no es acotada).

Ejemplo 8.1.5. Analicemos´ 3

01

x−3dx.Haciendo el grá�co, vemos que en [0, 3) la función es negativa y en x = 3 tiene una asíntota vertical,

ya que lımx→3−1

x−3 = −∞.

Para estudiar su posible convergencia, debemos tomar ahora un número 0 < c < 3, calcular laintegral en [0, c] (que existe por ser 1

x−3 continua en ese intervalo) y luego tomar límite cuando c→ 3−.ˆ c

0

1

x− 3dx = [ln |x− 3|]c0 = ln |c− 3| − ln | − 3| = ln(3− c)− ln 3

Tomando límite

lımc→3−

(ˆ c

0

1

x− 3dx

)= lım

c→3−(ln(3− c)− ln 3) = −∞

Por lo tanto la integral´ 3

01

x−3dx diverge.En ste caso, el integrando presenta una asíntota vertical y la integral diverge.


Queda claro de los dos ejemplos anteriores que la presencia de una asíntota vertical en un extremodel intervalo de integración puede causar la divergencia de la integral o no causarla y dar un resultadoconvergente. Será importante distinguir entre las dos posibilidades, incluso antes de intentar el cálculo.

Recuerden que la presencia de una asíntota vertical en el integrando causa una di�cultad de conver-gencia, y que esa di�cultad debe ser analizada.

Veamos un tercer ejemplo, donde la función a integrar presenta asíntotas verticales (di�cultades deconvergencia) simultáneamente en los dos extremos de un intervalo (a, b) de integración. En este caso,la regla general indica que se debe partir el intervalo de integración, para analizar por separado cadadi�cultad de convergencia.

Ejemplo 8.1.6. Intentemos calcular´ 3

01

x2−3xdx.

Como x2 − 3x = x(x − 3), el integrando f(x) = 1x2−3x

tiene asíntotas verticales en x = 0 y x = 3,ambos bordes del intervalo [0, 3]. Vamos a partir el intervalo [0, 3] en algún punto intermedio, digamosx = 1, y estudiar por separado las integrales

´ 10

1x2−3x

dx y´ 3

11

x2−3xdx. Gra�quen para visualizar el

procedimiento.Para hallar una primitiva usamos el método de fracciones simples, proponiendo

1

x(x− 3)=A

x+

B

(x− 3)

Sumando e igualando numeradores debe cumplirse (A+B)x−3A = 1. Resolvemos el sistema resultanteA+B = 0, −3A = 1 y obtenemos A = −1/3 y B = 1/3. Luego una primitiva esˆ

1

x(x− 3)dx = −1

3

ˆ1

xdx+

1

3

ˆ1

x− 3dx = −1

3ln |x|+ 1

3ln |x− 3|,

válida en intervalos que no contengan x = 0 ni x = 3.Tomemos un punto c entre 0 y 1 para calcular

ˆ 1

c

1

x2 − 3xdx =

[−1

3ln |x|+ 1

3ln |x− 3|

]1

c

=1

3ln(2) +

1

3ln |c| − 1

3ln |c− 3|

y un punto d entre 1 y 3 para calcular

ˆ d

1

1

x2 − 3xdx =

[−1

3ln |x|+ 1

3ln |x− 3|

]d1

= −1

3ln |d|+ 1

3ln |d− 3| − 1

3ln(2)

Tomemos ahora límites:

lımc→0+

[1

3ln |c| − 1

3ln |c− 3|

]= lım

c→0+

[1

3ln | c

c− 3|]

= −∞

lımd→3−

[−1

3ln |d|+ 1

3ln |d− 3|

]= lım

d→3−

[1

3ln |d− 3

d|]

= −∞

Vemos que no convergen ni´ 1

01

x2−3xdx ni

´ 31

1x2−3x

dx. Bastaría saber que una de estas integrales no

converge para concluir que la integral completa´ 3

01

x2−3xdx no converge.

8.1.3. Integrales impropias de funciones continuas en intervalos semi-in�nitos.

En esta sección vamos a considerar el caso 2 mencionado en la introducción: integrales impropias dela forma ˆ +∞

af(x) dx


donde f(x) es continua en el intervalo de longitud in�nita [a,+∞).Estas expresiones se llaman integrales impropias en el intervalo [a,+∞), porque no se ajustan a la

de�nición de integral de Riemann (de�nición 7.2.4), dada para intervalos cerrados de longitud �nita. Ladi�cultad de convergencia es precisamente que el intervalo de integración se extiende hasta +∞.

Ejemplo 8.1.7. Empecemos planteando el problema de convergencia con un ejemplo. Vamos aconsiderar la función f(x) = 1/x2 en el intervalo [1,+∞).

Nos preguntamos si tiene sentido calcular el área "encerrada" entre la curva y el eje x, desdex = 1 y hacia la derecha. Decimos "encerrada" entre comillas, porque este dibujo no está acotado, esin�nitamente largo hacia la derecha.

Para de�nir estas integrales se utiliza la siguiente estrategia:

trabajamos primero en un intervalo cerrado [a, b] con b > a. Allí existe´ ba f(x) dx.

luego tomamos el límite para b→ +∞, para cubrir lo mejor posible el intervalo [a,+∞).si el límite existe, se dice que la integral de f(x) entre a y +∞ converge, y el valor del límite es elresultado de la integral.si el límite es in�nito ( +∞ o −∞) se dice que la integral diverge, y no se le asigna valor.

Se formaliza esta estrategia en la de�nición

Definición 8.1.8. Dada una función f(x) continua en un intervalo semi-in�nito [a,+∞), se de�nela integral impropia como ˆ +∞

af(x) dx = lım

b→+∞

ˆ b

af(x) dx

En el caso en que este límite exista y sea �nito, se dice que la integral converge a dicho límite.Si el límite no existe, se dice que la integral impropia diverge.

Ejemplo 8.1.9. (continuación)

Veamos cómo funciona la de�nición con´ +∞

1

1

x2dx:

ˆ b

1

1

x2dx =

[−1

x

]b1

= 1− 1

b

luego

lımb→+∞

ˆ b

1

1

x2dx = lım

b→+∞

(1− 1

b

)= 1

Concluimos que la integral´ +∞

1

1

x2dx converge, con resultado

´ +∞1

1

x2dx = 1.


Una estrategia similar se utiliza para de�nir integrales impropias de la forma

ˆ b

−∞g(x) dx

Definición 8.1.10. Dada una función f(x) continua en un intervalo semi-in�nito (−∞, b], se de�nela integral impropia como ˆ b

−∞f(x) dx = lım

a→−∞

ˆ b

af(x) dx

en el caso en que este límite exista y sea �nito, y se dice que la integral converge a dicho límite.Si el límite no existe, se dice que la integral impropia diverge.

Ejemplo 8.1.11. Consideremos la integral impropia´ 0−∞ e

x dx

Tenemos que ˆ 0

aex dx = [ex]0a = 1− ea

y que

lıma→−∞

ˆ 0

aex dx = lım

a→−∞(1− ea) = 1

Es decir, la integral converge y de�ne el valor del área bajo la curva.

En los dos ejemplos anteriores la función integrando tiende a cero cuando x tiende al borde in�nitodel intervalo, y la integral resulta convergente. Es importante reconocer que, aunque el integrando tiendaa cero, una integral impropia en un intervalo semi-in�nito puede ser divergente . El ejemplo más sencilloes

Ejemplo 8.1.12. Estudiemos la convergencia de´ +∞

11x dx. Tenemos queˆ b

1

1

xdx = [ln(x)]b1 = ln(b)

que resulta divergente,

lımb→+∞

ˆ b

1

1

xdx = +∞


Si bien la grá�ca de 1/x se ve similar a la de 1/x2 en el ejemplo 8.1.7, hay una diferencia importanteen el cálculo del área bajo la curva: en un caso el área es �nita y en el otro el área es in�nita.

Lo que sí podemos a�rmar en general es que, si el integrando no tiende a cero, entonces la integralhasta in�nito no converge. Esto queda anotado como

Propiedad 8.1.13. Condición necesaria de convergencia.Dada la integral impropia

´ +∞a f(x) dx, si lımx→+∞ f(x) no vale cero entonces la integral impropia

no converge.

En el cálculo de una integral impropia siempre está involucrado un límite (cuando x → a o cuandox → ±∞). Puede ocurrir que necesitemos recurrir a límites asociados a comportamientos asintóticos dealgunas funciones básicas. Es lo que llamamos orden de magnitud . Las más importantes las estudiamos enla Unidad 4, y las podemos recordar como

cuando x→ +∞, lnx� xa � ex (siendo a > 0)

Ejemplo 8.1.14. Consideremos la integralˆ +∞

1

lnx

x2dx. En primer lugar, como lım

x→+∞

lnx

x2= 0 de

acuerdo al orden de magnitud recién mencionado (lnx� x2), tiene sentido preguntarnos si la integralconverge. Para calcular una primitiva podemos utilizar el método de integración por partes:

Llamando u = lnx, tenemos du = 1xdx. Por otro lado dv = 1

x2dx, y entonces será v = − 1

x .ˆlnx

x2dx = −1

xlnx+

ˆ1

x2dx = − lnx

x− 1

x.

Por la de�nición d eintegral impropia y la regla de Barrow podemos escribir

ˆ +∞

1

lnx

x2dx = lım

b→+∞

ˆ b

1

lnx

x2dx = lım

b→+∞

(− ln b

b− 1

b+

ln 1

1+ 1

)= 1,

donde hemos usado que ln b� b. Quiere decir que la integral converge y su valor es 1.

8.1.4. Ejercicios

Ejercicio 8.1.1. Las siguientes integrales impropias sirven como modelos sencillos para reconocercondiciones de convergencia en intervalos �nitos. Determinen cuáles son convergentes y cuáles son diver-gentes:


´ 10

1

xpdx cuando 0 < p < 1

´ 10

1

xpx cuando p > 1

´ 10

1

xpdx cuando p = 1´ 1

0 ln(x) dx

Ejercicio 8.1.2. También están en condiciones de completar el ejemplo 8.1.1. Discutan si se puedeasignar un resultado a ˆ 1

−1

1

xdx

Ejercicio 8.1.3. Dadas las siguientes integrales, analicen por qué son impropias. Determinen si con-vergen o divergen y en el caso en que converjan, calculen a qué valor lo hacen.

(a)

ˆ 1

0

1

x√xdx

(b)

ˆ 9

1

13√x− 9

dx

(c)

ˆ 0

−1

1

x2dx

(d)

ˆ 1

0

1

x2dx

(e)

ˆ 2

0

x− 3

2x− 3dx

Ejercicio 8.1.4. Las siguientes integrales impropias sirven como modelos sencillos para reconocercondiciones de convergencia en intervalos semi-in�nitos. Determinen cuáles son convergentes y cuáles sondivergentes:´ +∞

1

1


´ +∞1

1

xpx cuando p > 1

´ +∞1

1

xpdx cuando p = 1´ +∞

1 e−x dx

Ejercicio 8.1.5. Determinar si las siguientes integrales convergen o divergen:

(a)

ˆ +∞

1

1

1 + x2dx

(b)

ˆ 0

−∞

1

1 + x2dx

(c)

ˆ +∞

0xe−x

2dx

(d)

ˆ +∞

1xe−x dx

(e)

ˆ 1

0ln(x) dx


Ejercicio 8.1.6. Sin calcular, analizar si es posible que la integralˆ +∞

1

ex

xdx converja.

CLASE 8.2. ECUACIONES DIFERENCIALES 337

Clase 8.2. Ecuaciones diferenciales

Contenidos de la clase: Nociones de ecuaciones diferenciales. Ecuaciones diferenciales de pri-mer orden sencillas: integración directa e integración por separación de variables. Modelosexponenciales.

8.2.1. Introducción

Muchos modelos matemáticos se construyen relacionando derivadas de cierta función. Un ejemplotípico, que verán en Física I, es la segunda Ley de Newton que establece que la aceleración de un objeto esproporcional a la fuerza aplicada. Aquí la función de interés es la posición del objeto en función del tiempo,

digamos x(t), pero la ley se re�ere a la aceleración, que se escribe como la derivada segunda a(t) =d2x

dt2.

La segunda Ley de Newton se escribe como una igualdad

Md2x

dt2= F

donde M es una constante (la masa del objeto) y F puede depender de la posición y del tiempo (la fuerzaneta aplicada). Supongan que la masa m y la fuerza F son conocidas, y que en esta igualdad tenemoscomo incógnita a la función x(t). El problema no es encontrar un número, sino encontrar una función quesatisfaga la igualdad. La ecuación que estamos discutiendo es una ecuación diferencial.

Se llama ecuación diferencial a una igualdad donde se considera incógnita a una función, y dondeinterviene no sólo la función, sino también sus derivadas.

Una solución de una ecuación diferencial será una función de�nida y derivable en cierto dominio, talque al reemplazar la función y sus derivadas en la ecuación se veri�que la igualdad para todos lospuntos del dominio.

Ejemplo 8.2.1. Veamos un ejemplo concreto de aplicación de la segunda Ley de Newton: un autode masa M = 1000 kg viaja por un camino recto, donde su posición se describe con una variable x,

sometido a una fuerza constante F = 2000kg.m

s2mientras el tiempo t transcurre en un cronómetro

desde t = 0 hasta t = 60 s. Intentemos encontrar la función x(t) que da la posición del auto en función

del tiempo, resolviendo la ecuación diferencial Md2x

dt2= F :

1000 kgd2x

dt2= 2000

kg.m

s2

o bien, despejando y trabajando sin unidades,

d2x

dt2= 2

Recordemos que la velocidad del auto se de�ne como la derivada primera v =dx

dt, y escribamos la

aceleración comod2x

dt2=dv

dt. Resulta más sencillo encontrar primero la velocidad resolviendo la ecuación

diferencialdv

dt= 2

Dado que conocemos su derivada, hallamos v(t) como la primitiva

v(t) =

ˆ2 dt = 2t+ C

donde la constante de integración C puede tomar cualquier valor.


¾Qué signi�ca que haya in�nitas soluciones posibles? Conviene evaluar la solución en el instanteinicial t = 0:

v(0) = 2× 0 + C = C

para reconocer que la función v(t) apropiada depende de la velocidad inicial v(0) del auto (la funciónv(t) será distinta, por ejemplo, para un auto que se hallaba detenido cuando se aplicó la fuerza o paraun auto que ya se hallaba en movimiento). La solución la escribimos entonces como

v(t) = 2t+ v(0)

y consideramos a v(0) como un dato conocido.Ahora que resolvimos la función velocidad, conocemos la derivada de la función posición x(t)

dx

dt= 2t+ v(0)

y podemos construir x(t) como una primitiva

x(t) =

ˆ(2t+ v(0)) dt = t2 + v(0) t+D

donde D es una nueva constante de integración que puede tomar cualquier valor. Para concretar el valorde esta constante conviene evaluar la solución en el instante inicial t = 0:

x(0) = 02 + v(0)× 0 +D = D

Esto nos permite reconocer que la función x(t) apropiada depende de la posición inicial x(0) del auto(la función x(t) será distinta, por ejemplo, para un auto que se hallaba en x = 100m cuando se aplicó

la fuerza o para un auto que ya se hallaba en x = 500m). La solución de la ecuación diferenciald2x

dt2= 2

es la familia de funcionesx(t) = t2 + v(0) t+ x(0)

donde x(0) y v(0) son constantes relacionadas con datos iniciales. El dominio de validez de esta solución

es el intervalo de tiempo [0, 60], porque según el enunciado sólo allí vale la ecuaciónd2x

dt2= 2. Podemos

gra�car varias soluciones:

Como en cualquier ecuación, conviene veri�car que el resultado sea correcto. Para eso basta derivarx′(t) = 2t + v(0) y volver a derivar x′′(t) = 2. Efectivamente, para cualquier valor de x(0) y v(0), severi�ca que

d2x

dt2= 2

Reconocemos en el ejemplo que es bastante sencillo veri�car una solución de una ecuación diferencial:basta con derivar la función propuesta, reemplazar en la ecuación y controlar que se cumpla la igualdadpara todos los valores de la variable en el dominio de interés. Reconocemos también que hay una familia


de soluciones con parámetros arbitrarios: eligiendo valores para esos parámetros se obtienen distintasfunciones que son soluciones de la misma ecuación diferencial.

Según las condiciones iniciales del problema habrá valores únicos x(0) y v(0) adecuados a esas con-diciones. Cuando se elige una determinada función dentro de la solución general, se dice que se identi�cauna solución particular de la ecuación diferencial.

Si existe la solución de una ecuación diferencial, típicamente no es única: se espera encontrar unafamilia de soluciones, dependientes de parámetros arbitrarios.Cuando se pueda probar que una familia incluye todas las soluciones posibles, se dice que se haencontrado la solución general de la ecuación diferencial.

Actividad 8.2.2. En el grá�co del ejemplo anterior,

1. Encuentren dos soluciones con el mismo valor x(0) y distinto valor de v(0).2. Encuentren dos soluciones con distinto valor x(0) y el mismo valor de v(0).

Por otro lado, construir soluciones de cierta ecuación diferencial puede ser un problema realmentedifícil. También puede ser difícil probar que la familia de soluciones hallada contiene todas las solucionesposibles.

A lo largo de sus carreras van a encontrar varias ecuaciones diferenciales. Si son sencillas podránresolverlas solos. En otros casos, el enfoque es el siguiente: van a aprender a reconocer ciertas ecuacionestípicas y tratar de recordar la forma de la familia de soluciones apropiada (o recordar dónde encontrarlas).

Actividad 8.2.3. Veri�quen que la ecuación

f ′′(t) = −ω2f(t)

conocida como ecuación de oscilaciones armónicas, admite soluciones en todo el eje real, de la forma

f(t) = a cos(ωt) + b sen(ωt)

donde a y b son constantes arbitrarias.

Otros ejemplos que encontrarán son la ecuación de difusión, ecuaciones de transporte, la ecuación deondas, etc.

Veremos en este curso solamente ciertas ecuaciones diferenciales sencillas con derivadas primeras.Vamos a construir soluciones de esas ecuaciones, utilizando directamente el cálculo integral.

8.2.2. Ecuaciones diferenciales de primer orden

Consideremos una ecuación diferencial donde la incógnita es una función f(x).1 Si aparece la derivadaprimera f ′(x) y no aparecen derivadas más altas, se dice que la ecuación es de primer orden. Si aparecenderivadas hasta f ′′(x) se dice que es de segundo orden, etc.

También se dice que la ecuación diferencial está escrita en forma normal cuando se despeja la derivadamás alta en términos de la función f(x), de sus otras derivadas y de la variable x. En el ejemplo 8.2.3 laecuación diferencial es de segundo orden y está escrita en forma normal.

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, en forma normal, son

1. f ′(x) = 2x

1Como trabajamos con funciones de una variable, se dice que la ecuación diferencial es ordinaria. En Análisis MatemáticoII verán funciones de dos o más variables; las ecuaciones diferenciales con funciones de varias variables se llaman ecuaciones

en derivadas parciales.


2. f ′(x) = 3f(x)3. f ′(x) = x f(x)− x2

Si usamos la notación y = f(x), se escriben estas ecuaciones como

1. y′ = 2x2. y′ = 3y3. y′ = xy − x2

(es la forma más usual, pero al leerla no deben olvidar que se asume que y es función de x). La últimaecuación podría aparecer en otra forma, por ejemplo como y′ + x2 − xy = 0.

Veremos técnicas para resolver los ejemplos 1 y 2. El ejemplo 3, aunque sea de primer orden, es algomás complicado y queda fuera de estas técnicas.

8.2.3. Ecuaciones diferenciales de primer orden que se pueden resolver por integracióndirecta

Veamos si podemos resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, donde la funciónincógnita y(x) cumpla

y′(x) = g(x)

y donde g(x) sea una expresión conocida, que en principio depende de x pero no depende de y. Aunque noconocemos y(x), la ecuación nos dice explícitamente que su derivada y′(x) es una función g(x) conocida.En otras palabras, la función incógnita y(x) debe ser una primitiva de g(x). La solución la hallamosintegrando,

y(x) =

ˆg(x) dx+ C

La solución, como anticipamos, no es única. Tenemos una familia de in�nitas funciones, según el valor queelijamos para la constante de integración C.

Ejemplo 8.2.4. Consideremos el movimiento del auto del ejemplo 8.2.1, pero con una fuerza os-cilante que depende del tiempo como F (t) = 1000 cos(5t) (escrita sin unidades). La segunda Ley de

Newton, escrita como Mdv

dt= F nos dice que

dv

dt= cos(5t)

Luego la velocidad del auto es

v(t) =

ˆcos(5t) dt =

1

5sen(5t) + C

donde se puede evaluar v(0) =1

5sen(0) + C = C para obtener C = v(0).

Actividad 8.2.5. Hallen la solución general y = f(x) de la ecuación

xy′ = ln(x)

para x ∈ (0,+∞). Veri�quen la solución obtenida y su dominio de validez.


8.2.4. Ecuaciones diferenciales de primer orden que se pueden resolver por separación devariables

Consideremos una ecuación diferencial ordinaria de primer orden más completa, donde la funciónincógnita y(x) cumpla una ecuación de la forma

g(y(x)) y′(x) = h(x)

Es decir, que el lado derecho depende de x solamente por composición con y(x). Por ejemplo,

(y(x) + 2) y′(x) = 3x2

En estos casos es apropiada la técnica de separación de variables, que combina ideas de diferenciales, desustitución y de funciones implícitas.

Primero consideramos un punto genérico (x, y) de la grá�ca de la función solución y multiplicamosambos miembros por un incremento diferencial dx:

g(y(x)) y′(x) dx = h(x) dx

Recorriendo un intervalo del eje x, la acumulación de contribuciones del lado izquierdo debe ser igual a laacumulación de contribuciones del lado derecho:ˆ

g(y(x)) y′(x) dx =

ˆh(x) dx

En el lado izquierdo reconocemos el diferencial dy = y′(x) dx, que nos permite escribir la sustituciónˆg(y) dy =

ˆh(x) dx

Finalmente, si conocemos primitivas G(y) y H(x) para cada lado, obtenemos

G(y) = H(x) + C

donde, recordemos, y = y(x) es función de x. Por eso esta ecuación nos dará, en general, una expresión dey como función implícita de x. En algunos casos se podrá despejar explícitamente y(x).

Ejemplo 8.2.6. Vamos a hallar la solución de la ecuación diferencial

y′ =2x

y2 + 1

donde se asume que y es una función derivable de x.Primero le damos a la ecuación una forma tal que y(x) e y′(x) aparezcan solamente en el lado

izquierdo de la igualdad, y que x aparezca solamente en el lado derecho,

(y2 + 1) y′ = 2x

En este momento se dice que hemos separado las variables. Luego multiplicamos ambos lados por dx yhacemos la integral inde�nida (o primitiva) de estas expresiones:ˆ (

(y(x))2 + 1)y′(x) dx =

ˆ2x dx

En el lado izquierdo, calculemos la integral por sustituciónˆ ((y(x))2 + 1

)y′(x) dx =

ˆ(y2 + 1)dy =

1

3y3 + y + C1

En el lado derecho, calculemos ˆ2x dx = x2 + C2


Igualando ambos resultados,1

3y3 + y = x2 + C

(donde es usual juntar las constantes desconocidas en una sola, C2 − C1 = C).

Esta ecuación en dos variables de�ne implícitamente soluciones y(x) de la ecuación diferencial, aunqueno es evidente que se pueda despejar y en forma explícita.

Actividad 8.2.7.

Podemos comprobar que la función (de�nida implícitamente) del ejemplo anterior es efectiva-mente solución de la ecución diferencial derivando en forma implícita:(

1

3y3 + y

)′=(x2 + C

)′1

33y2y′ + y′ = 2x(y2 + 1

)y′ = 2x

y′ =2x

y2 + 1Podemos hallar la solución que veri�que alguna condición inicial. Por ejemplo, si sabemos que lacurva solución pasa por el punto (1, 3), es decir y(1) = 3, reemplazamos los datos para encontrarla constante C adecuada:

1

3y(1)3 + y(1) =

1

333 + 3 = 12 = 1 + C, de donde despejando obtenemos que C = 11, es decir que la

curva solución es1

3y3 + y = x2 + 11

Observación 8.2.8. Las grá�cas de las distintas soluciones de una ecuación diferencial se conocencomo curvas integrales. El nombre se debe a que, como ya hemos visto en varios ejemplos, las solucionesse obtienen integrando.

8.2.5. Ecuaciones diferenciales escritas en lenguaje diferencial

Las ecuaciones diferenciales de primer orden frecuentemente se escriben usando diferenciales. Veamoscómo podemos hacerlo en los casos de integración directa y de separación de variables.

1. La ecuación diferencial y′(x) = f(x) se puede trabajar multiplicando ambos miembros por dx paraobtener y′(x) dx = f(x) dx o simplemente

dy = f(x) dx

Como las variables x e y están separadas (a cada lado de la igualdad) se pueden acumular losdiferenciales para resolver

y =

ˆf(x) dx

2. La ecuación diferencial g(y) y′ = h(x) también se puede trabajar multiplicando ambos miembrospor dx para obtener g(y) y′dx = h(x) dx o simplemente

g(y) dy = h(x) dx


Como las variables x e y están separadas se pueden acumular los diferenciales para resolverˆg(y) dy =

ˆh(x) dx

Para acostumbrarse a esta notación, proponemos la siguiente

Actividad 8.2.9.Hallen las curvas integrales y(x) de la ecuación

2x dx+ y2 dy = 0

Escriban la ecuación diferencial en forma normal despejando y′(x).

En los casos vistos, la ecuación diferencial establece una relación de proporcionalidad local entre dy ydx. Se puede despejar dy como

dy = (expresión que depende de (x, y)) dx

donde la "constante de proporcionalidad" no se mantiene constante, sino que varía a lo largo de la curvasolución. La ecuación diferencial nos dice que, siguiendo una función solución (todavía desconocida), losdiferenciales de x y de y están relacionados. Para �jar la idea conviene interpretar en un grá�co

Este punto de vista es muy signi�cativo en la construcción de modelos aplicados; de alguna manera,se parte de una "regla de tres simple" de validez local (en la aproximación diferencial) y se generaliza lanoción de proporcionalidad permitiendo que dependa de factores variables.

Una aplicación importante: leyes exponenciales

En muchos modelos aplicados se encuentra el siguiente planteo: que la variación de una función esproporcional al valor mismo de la función. Por ejemplo:

En cinética química, la velocidad instantánea de una reacción A → B, de�nida como −d[A]

dt, es

proporcional a la concentración molar [A] de la sustancia que reacciona (recuerden el ejemplo al�nal de la Clase 3.3). Llamando k a la constante de proporcionalidad, se plantea

−d[A]

dt= k[A]

En lenguaje diferencial,d[A] = −k[A] dt


En el crecimiento de una población de bacterias, la tasa de crecimiento se de�ne como la derivadadn

dtde la cantidad de bacterias n(t) respecto del tiempo t. Es razonable que la tasa de crecimiento

sea proporcional a la cantidad de bacterias presentes, por lo que se plantea

dn

dt= k n

En lenguaje diferencial,dn = kn dt

En el decaimiento de una sustancia radiactiva, la emisión de radiación se mide como la cantidadde núcleos que decaen por unidad de tiempo (llamada velocidad de desintegración). Si N(t) es lacantidad de núcleos activos en función del tiempo, la velocidad de desintegración se calcula como

−dNdt

. Experimentalmente se encuentra que

−dNdt

=1

τN

donde τ se conoce como tiempo de vida media y es característica de cada radioisótopo. En lenguajediferencial,

dN =1

τN dt

Todos estos casos se rigen por el mismo tipo de ecuación diferencial. Por supuesto, aunque se apliquen enproblemas distintos, el mismo tipo de ecuaciones tiene el mismo tipo de soluciones.

Vamos a resolver la ecuación diferencial y analizar sus soluciones. Llamemos y(t) a una cantidad quedepende del tiempo t, y estudiemos la ecuación diferencial

y′(t) = k y(t)

donde k es un valor constante.La ecuación es de variables separables. Para proceder, asumamos que para todo instante y(t) 6= 0.

Podemos escribir1

y(t)y′(t) = k

o bien1

ydy = k dt

Con las variables y y t ya separadas, integramosˆ1

ydy = k

ˆdt

La solución implícita es 2

ln |y(t)| = kt+ C

donde C es una constante arbitraria. El dominio de estas soluciones es el eje real completo.Podemos despejar la expresión explícita de y: en primer lugar, exponenciando ambos miembros des-

pejamos |y| como|y(t)| = eCekt

donde eC resulta una constante positiva. Ahora bien, dado que buscamos una función y(t) derivable, debeser continua. Como ekt 6= 0 en todo el eje real, cualquiera de estas soluciones, por el Teorema del ValorIntermedio, debe ser siempre positiva o siempre negativa: al resolver el valor absoluto encontramos dosfamilias de soluciones separadas, y(t) = eCekt y y(t) = −eCekt.

2Recuerden que, cuando x es positiva, la primitiva de 1/x es ln(x). Cuando x es negativa, la primitiva de 1/x es ln(−x).Se incluyen las dos posibilidades al escribir ln |x|.


Por último, falta estudiar la posibilidad de soluciones con y(t) = 0 en algún punto. Reemplazando lafunción nula y(t) = 0, con derivada y′(t) = 0, en la ecuación y′(t) = k y(t) vemos que también es solución.Se puede probar (aunque está fuera de nuestro alcance) que la función nula es la única solución que nosfaltaba.

La ecuación diferencial de primer orden

y′(t) = k y(t)

tiene como solución general a la familia de funciones

y(t) = Aekt

donde A toma cualquier valor real (positivo para representar y(t) = eCekt, negativo para representary(t) = −eCekt y cero para representar y(t) = 0). Cada solución de esta familia tiene como dominiotodo el eje real.

Más allá del método utilizado, es fácil veri�car explícitamente que una función y(t) = Aekt satisfacela ecuación diferencial

y′(t) = Akekt = k(Aekt

)= k y(t)

para cualquier constante A.

Observación 8.2.10. Por tener esta familia de soluciones, se dice que una ecuación diferencial dela forma

y′(t) = k y(t) o bien dy = k y dt

describe leyes exponenciales. Vale la pena recordar la forma de la ecuación y la forma de las soluciones.

Actividad 8.2.11. Gra�quen con GeoGebra parte de la familia de soluciones de y′(t) = k y(t) conk = 2 (sugerencia: use un deslizador para el valor de A).

Gra�quen con GeoGebra parte de la familia de soluciones de y′(t) = k y(t) con k = −2.¾Qué diferencia observan según el signo de k?

8.2.6. Ejercicios

Ejercicio 8.2.1. Hallen la solución general de la ecuación y′ = 2x. Gra�quen la familia de soluciones.

Ejercicio 8.2.2. Encuentren la solución general y(x) de(x2 + 1

)y′ = xy

Ejercicio 8.2.3. Encuentren la ecuación de la curva y(x) que pase por el punto (1, 3) y tenga pendientey′ = y/x2 en todos sus puntos. Gra�quen la solución.

Ejercicio 8.2.4. Encuentren la ecuación de la curva y(x) que satisface 2xy dx− x

ydy = 0 y pasa por

el punto (2, 1). Gra�quen la solución.

Ejercicio 8.2.5. Hallen la solución general de la ecuación diferencial f ′(x) = 3f(x). Gra�quen algunassoluciones particulares.


Ejercicio 8.2.6. Se analizan datos n versus t medidos en un cultivo de bacterias (n es el número de

bacterias, contado al microscopio, y t es el tiempo expresado en horas). Se acepta el modelodn

dt= k n,

pero no se conoce el valor de k.Si se observan 10 bacterias al comenzar las medidas (t = 0) y se observan 80 bacterias 5 horas después,

calculen el valor de k.

Ejercicio 8.2.7. (a) Ajusten los valores de A y k en un modelo exponencial f(t) = Aekt sabiendoque f(1) = 5 y f(5) = 2.

(b) Ajusten los valores de A y k en un modelo exponencial f(t) = Aekt sabiendo que ln f = 3 + 2t.

CLASE 8.3. CÁLCULO DE CANTIDADES ACUMULADAS 347

Clase 8.3. Cálculo de cantidades acumuladas

Contenidos de la clase: Cálculo de cantidades acumuladas en Matemáticas: longitud deuna curva, área entre dos curvas, volumen y super�cie de sólidos de revolución. Cálculosaplicados en Física y Química: trabajo mecánico.

La integral de�nida se usa en todo tipo de cálculos donde se describa un proceso de acumulación.En general, podemos hablar de un proceso que se describe con una variable x que recorre valores

en cierto rango, digamos entre a y b, y de una cantidad F que se acumula cada vez que x realiza unincremento in�nitesimal dx (es decir, pasa de un valor x a un valor levemente incrementado x + dx).Si en cada paso dx del proceso la cantidad in�nitesimal dF acumulada se puede estimar (localmente)proporcional al incremento dx como

dF = f(x) dx

entonces el total acumulado se calcula como la integral de�nida

F =

ˆ b

af(x) dx

Vamos a describir varios planteos de este tipo, y proponerles que los resuelvan. Las primeras se re�erena objetos matemáticos, y luego discutimos cálculos que harán pronto en otras materias. Esperamos quereconozcan que el mecanismo de planteo es siempre el mismo (primero estimar la cantidad diferencialacumulada, luego integrarla) y que puedan aplicarlo a otras situaciones.

8.3.1. Cálculo de la super�cie encerrada entre dos curvas

Consideremos la grá�ca de dos funciones f(x) y g(x) en un intervalo del eje x, donde f(x) ≥ g(x).Nos interesa calcular el área A encerrada entre las dos curvas (se podría decir que g(x) describe el "piso"y que f(x) describe el "techo") y las rectas verticales que pasan por los bordes del intervalo ("paredes").

En esta aplicación la variable x recorre un rango entre a y b, y por cada incremento dx se acumula unárea rectangular in�nitesimal dA de altura f(x)− g(x) y base dx,

dA = (f(x)− g(x)) dx

OTRAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 348

Luego, la expresión para calcular el área total es

A =

ˆ b

a(f(x)− g(x)) dx

8.3.2. Ejercicios

Ejercicio 8.3.1. Encuentren el área de la región encerrada por las grá�cas de y = x2 + 2, y = −x,x = 0 y x = 1. Para organizar el cálculo deben gra�car y reconocer tanto el intervalo de integración comolas funciones que hacen de "piso" y "techo" del área encerrada.

Ejercicio 8.3.2. Encuentren el área de la región encerrada por las grá�cas de las parábolas y = 2x2

e y = 12− x2. En este caso, además de gra�car y reconocer las funciones que hacen de "piso" y "techo",deberán encontrar los puntos de intersección entre las curvas para ubicar los límites de integración.

Ejercicio 8.3.3. Encuentren el área de la región encerrada por las grá�cas de las curvas y = x3 ey = x. En este caso deberán encontrar los puntos de intersección entre las curvas para ubicar los límites deintegración (atención: son tres puntos) y decidir apropiadamente las funciones que hacen de piso y techo.Gra�quen la situación.

Otras aplicaciones de la integral de�nida

8.3.3. Cálculo de la longitud de una curva

Consideremos una curva dada como la grá�ca de una función f(x), derivable en un intervalo [a, b]. Nosinteresa calcular la longitud L de la curva, desde x = a hasta x = b.

Como la función f(x) es derivable, un tramo in�nitesimal de la curva se aproxima bien por su rectatangente. En esta aplicación la variable x recorre un rango entre a y b, y por cada incremento dx se acumulauna longitud de curva in�nitesimal dl que se calcula como la hipotenusa de un triángulo rectángulo, conbase dx y altura dy = f ′(x) dx:

dl =√

(dx)2 + (dy)2

=

√(dx)2 + (f ′(x))2 (dx)2

=

√1 + (f ′(x))2 dx

Luego, la expresión para calcular la longitud de la curva completa es

L =

ˆ b

a

√1 + (f ′(x))2 dx


8.3.4. Cálculo del volumen de un sólido de revolución

Imaginen una pieza trabajada en un torno ( por ejemplo, la columna de una baranda de madera). Setrata de un volumen con un eje de simetría, y un per�l dado por la distancia de la super�cie al eje: estadistancia varía a medida que recorremos el eje de la pieza, pero para cada punto del eje la distancia semantiene constante al dar una vuelta alrededor del eje. Cada corte perpendicular al eje de simetría es uncírculo de radio r, que depende del punto x del eje que se considere. A los cuerpos con esta forma se losllama sólidos de revolución.

Nos interesa calcular el volumen de un sólido de revolución, conociendo su per�l. Llamemos x al ejede simetría, y r(x) al radio del corte hecho en el punto x, y digamos que el sólido ocupa un intervalo deleje, desde x = a hasta x = b. El sólido se genera rotando sobre el eje una grá�ca como la que mostramos;cada rectángulo in�nitesimal como el sombreado genera un disco de radio r(x).

En esta aplicación la variable x recorre un rango entre a y b, y por cada incremento dx se acumulaun disco in�nitesimal de radio r(x) y altura in�nitesimal dx. Como la base del disco tiene una super�cieπ (r(x))2, y el volumen del disco se calcula como base por altura, tenemos

dV = π (r(x))2 dx

Luego, la expresión para calcular el volumen completo es

V = π

ˆ b

a(r(x))2 dx

8.3.5. Cálculo de la super�cie de un sólido de revolución

Nos interesa ahora calcular la super�cie de un sólido de revolución, conociendo su per�l. Como en laaplicación anterior, llamemos x al eje de simetría, y r(x) al radio del corte hecho en el punto x, y digamosque el sólido ocupa un intervalo del eje, desde x = a hasta x = b. El sólido se genera rotando sobre eleje una grá�ca como la que mostramos; cada arco in�nitesimal como el sombreado genera una super�cie


in�nitesimal con forma de cinta, de ancho dl y largo 2πr(x). La longitud in�nitesimal se escribe como

dl =√

1 + (r′(x))2 dx, como discutimos al calcular longitud de curvas.

En esta aplicación la variable x recorre un rango entre a y b, y por cada incremento dx se acumula unárea in�nitesimal

dA = 2πr(x) dl

= 2πr(x)

√1 + (r′(x))2 dx

Luego, la expresión para calcular la super�cie exterior del sólido de revolución es

A = 2π

ˆ b

ar(x)

√1 + (r′(x))2 dx

Noten que no hemos incluido la super�cie de las "tapas". Si las necesitan, sumen la super�cie de los círculosde radio r(a) y r(b).

8.3.6. Trabajo mecánico

El trabajo mecánico es una de las formas en que un sistema físico puede transferir energía a otrosistema: cuando un sistema empuja a otro, y ese empuje produce un desplazamiento, trans�ere energía. Eltrabajo mecánico realizado es la cantidad de energía transferida, y es común anotarlo con la letra W . Sien el proceso consideramos un desplazamiento in�nitesimal, podemos hablar de un diferencial de trabajodW ; luego el trabajo total es la acumulación de estas contribuciones a lo largo de un desplazamiento �nito.

La forma general de escribir dW requiere el uso de vectores. Sin embargo, vamos a mencionar dossituaciones particulares donde ya podemos realizar el cálculo del trabajo mecánico:

Cuando se realiza una fuerza F sobre un objeto en la misma dirección que su desplazamiento dx,el diferencial de trabajo realizado por la fuerza sobre el objeto se expresa

dW = F dx

Realizarán cálculos de este tipo en Física.Cuando un gas, con una presión P , empuja las paredes del recipiente que lo contiene y produceun aumento de volumen dV , el diferencial de trabajo realizado por el gas sobre el recipiente seexpresa

dW = F dV

Realizarán cálculos de este tipo en Química.

Veamos ejemplos de cálculos (teóricos) en estas dos situaciones:

APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA: DEFINICIÓN DE NUEVAS FUNCIONES 351

Ejemplo 8.3.1. Un mol de gas ideal se mantiene a temperatura constante T . Su presión P y suvolumen V se relacionan por la ley de gases ideales

PV = nRT

donde n es el número de moles y R es una constante (conocida como constante universl de los gases).En un proceso de expansión su volumen pasa de un valor V1 a un valor V2. Se desea calcular el trabajorealizado por el gas.

El cálculo planteado es la integral

W =

ˆ V2

V1

P (V ) dV

donde la presión depende del volumen como

P (V ) = nRT1

VComo n, R y T son constantes,

W = nRT

ˆ V2

V1

1

VdV

Podemos resolver esta integral, y el resultado es

W = nrT [lnV ]V2V1 = nRT ln

(V2

V1

)

Ejemplo 8.3.2. Se estudia un cuerpo unido al extremo de un resorte. Al estirar el resorte unalongitud x, su extremo ejerce una fuerza F (x) = −kx sobre el cuerpo (el signo − indica que la fuerza esopuesta a la dirección del desplazamiento). Calculemos el trabajo ejercido por el resorte sobre el cuerpoal estirarse desde x = 0 hasta una distancia d.

El trabajo se calcula como la integralˆ d

0−kx dx = −k1

2

[x2]d0

= −1

2kd2

No insistiremos mucho con estas aplicaciones, ya que todavía no han estudiado el contexto en que seplantean. Esperamos que recuerden estos ejemplos y resulten útiles cuando vean el tema en otras materias.

Aplicaciones de la integral inde�nida: de�nición de nuevas funciones

La integral inde�nida nos permite construir nuevas funciones, a partir de una función continua cono-cida: la expresión

F (x) =

ˆ x

af(u) du

tiene sentido preciso siempre que f(u) sea continua entre a y x. Además, el Teorema Fundamental delCálculo asegura que esta nueva función F (x) es derivable.

En muchos casos podemos conseguir una primitiva de f(u), y entonces sabemos que esta "nueva"función F (x) no es otra cosa que la primitiva más alguna constante.

Consideren ahora algún caso en que no podamos conseguir una primitiva de f(u). En estos casos lafunción F (x) es realmente nueva. Varias funciones importantes de de�nen con este mecanismo, y por sernuevas reciben nombres nuevos.


8.3.7. Función logaritmo natural como integral inde�nida

Vamos a aprovechar la integración inde�nida para discutir un complemento de teoría: la de�niciónformal de la función logaritmo natural.3

Consideren la función de�nida como

F (x) =

ˆ x

1

1

udu

es decir, la función área acumulada bajo la grá�ca de y = 1/u, entre u = 1 y u = x.

Según el Teorema Fundamental del Cálculo, esta expresión da una función derivable de x para cualquierx en un intervalo abierto donde 1/u sea continua y que contenga al número 1. El mayor intervalo posible,en este caso, es (0,+∞). Es decir, la función

F : (0,+∞)→ R con regla de asignación F (x) =

ˆ x

1

1

udu

está bien de�nida y es derivable en todo su dominio, con función derivada

F ′(x) = 1/x

Ahora recordemos la función logaritmo natural, ln(x). Vemos que tanto ln(x) como F (x) son primitivasde 1/x, en todo el intervalo (0,+∞). Es decir, están en la misma familia de primitivas y sólo pueden serdiferentes por una constante, ln(x) = F (x) + C.

Para averiguar esa constante basta evaluar en x = 1: F (1) =´ 1

1

1

udu = 0 y ln(1) = 0. Entonces C = 0,

y concluimos que

ln(x) =

ˆ x

1

1

udu

Desde otro punto de vista, si no conocemos la función ln(x), entonces esta última ecuación es lade�nición del logaritmo natural. Noten que se puede de�nir ln(x) a partir de una función algebraicasencilla y bien conocida, y = 1/u, mediante sumas de Riemman y el límite que de�ne la integral deRiemann. Recién a esta altura del curso podemos hacerlo.

Muchos libros de Análisis Matemático esperan este momento para introducir la función logaritmonatural, y luego de�nen la exponencial como su inversa. Siendo éste un curso cuatrimestral, preferimosintroducir tempranamente estas funciones tan importantes para a�anzar su uso y propiedades

3Supongan por un momento que no conocen la función logaritmo natural (o que no aceptan que la estemos usando sinuna de�nición precisa).


8.3.8. Función error

Mencionemos un ejemplo más de una función de�nida como integral inde�nida. Esta es realmentenueva, se llama función error, y es de uso frecuente en Estadística (por ejemplo, en la teoría de errores delos procesos de medición experimental).

Se de�ne

erf : R→ R con regla de asignación erf(x) =2√π

ˆ x

0e−t

2dt

Quizás quieran dedicar algunos intentos a calcular la primitiva´e−t

2dt, con todas las técnicas que

hemos practicado. No lo van a lograr, hoy en día se sabe que no se puede encontrar una primitiva escritacon funciones elementales. A pesar de eso, la función está bien de�nida y hay técnicas para calcularlacon la precisión deseada (por ejemplo mediante polinomios de Taylor). Está incluida en calculadoras yprogramas de cálculo, por ejemplo en GeoGebra. Su grá�ca es

y por supuesto conocemos su derivada,

erf′(x) =2√πe−x

2

8.3.9. Ejercicios

Les proponemos una serie de ejercicios aplicados. Verán que están en el mismo orden que los ejemplosde esta clase.

Ejercicio 8.3.4. Calculen la longitud de un tramo de la parábola y = x2, entre x = 1 x = 5. ¾Puedendar la fórmula para un tramo general, en términos de la posición de sus extremos?

Ejercicio 8.3.5. Calculen usando integrales la longitud del segmento de recta que une los puntos(−3, 1) y (5, 5). ¾Da lo mismo que la fórmula de distancia entre dos puntos?

Ejercicio 8.3.6.

Calculen la longitud de la curva y = ln(cosx) cuando 0 ≤ x ≤ π/4.Calculen la longitud de la curva y = 1

2 cosh 2x que se recorre desde x = 0 hasta x = 2 ln(√

5).

Ejercicio 8.3.7. Consideremos la grá�ca del tramo de parábola x = y2 + 1 recorrida desde x = 1hasta x = 5.

1. Calculen el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar la grá�ca alrededor del eje x.Gra�quen.

2. Si la grá�ca se rotara alrededor del eje y, ¾qué propondrían para calcular el volumen del sólido derevolución que se genera? Gra�quen.

Ejercicio 8.3.8. Calculen el volumen de un paraboloide de rotación, generado por rotación de laparábola y = x2 alrededor de su eje de simetría, para x entre 0 cm y 10 cm.


Ejercicio 8.3.9. Calculen el volumen de una esfera de radio R, tratándola como el sólido que segenera al girar una semicircunferencia del mismo radio.

Ejercicio 8.3.10. Un fármaco se presenta al público en comprimidos con forma de elipsoide achatado:

el sólido generado al rotar la elipsex2

a2+y2

b2= 1, con a = 5mm y b = 2mm, alrededor del eje y. Para

calcular la dosis contenida en cada comprimido les encargan calcular el volumen del comprimido. ¾Puedenhacerlo?

Ejercicio 8.3.11. Calculen la super�cie de un paraboloide de rotación, generado por rotación de laparábola y = x2 alrededor de su eje de simetría, para x entre 0 cm y 10 cm.

Ejercicio 8.3.12. Volvamos al comprimido del ejercicio 8.3.10. Para calcular la cantidad de azúcarnecesaria para revestirlo, les piden que calculen su super�cie. ¾Pueden hacerlo?

Ejercicio 8.3.13. La fuerza de atracción gravitatoria que el planeta Tierra ejerce sobre un cuerpode masa m depende de la distancia r en que se halla el cuerpo respecto del centro del planeta. Se puedeescribir, según la Ley de Gravitación Universal, como

F (r) =GMTm

r2

donde G es una constante universal y MT es la masa de la Tierra. Escriban una expresión para el trabajomecánico realizado sobre el cuerpo cuando su distancia al centro de la Tierra varía desde el radio terrestreR hasta un valor R+ h.

Ejercicio 8.3.14. Calculen el trabajo mecánico realizado por un gas cuando se expande manteniendosu presión P constante, desde un volumen V1 hasta un volumen V2.

Desafío (para pensar más) 8.3.15. Aunque no tengamos una expresión de la función error escritacon funciones conocidas, podemos trabajar con sus polinomios de Taylor.

1. Escriban el polinomio de Taylor de grado 3 de erf(x) centrado en x0 = 0.(ayuda: la derivada primera está en la guía, y a partir de ella pueden calcular las derivadas supe-riores con las reglas usuales.erf(0) se calcula usando propiedades de la integral de Riemann,consulten la De�nición 7.4.3. )

2. Utilicen el polinomio para calcular erf(0.5).3. Estimen el error cometido en la aproximación.

Desafío (para pensar más) 8.3.16. Supongan que no conocen la función logaritmo, y analicen lafunción de�nida como

F : (0,+∞)→ R con regla de asignación F (x) =

ˆ x

1

1

udu

1. Prueben que es continua y creciente en todo su dominio.2. Discutan la existencia de su función inversa.3. Den una expresión para la derivada de la función inversa.

Desafío (para pensar más) 8.3.17. Sabiendo ahora que ln(x) =´ x

1

1

udu,

1. Usando que ln(e) = 1, propongan una caracterización del número e.2. Justi�quen que existe el número propuesto (ayuda: deben usar el Teorema del Valor Intermedio)

CLASE 8.4. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN 355

Clase 8.4. Actividades de integración

Contenido de la clase: integrales impropias, ejercitación en aplicaciones del cálculo integral.

Ejercicio 8.4.1. Determinen si las siguientes integrales impropias son convergentes, y en ese casoindiquen su valor:

(a)

ˆ +∞

3

1

(x+ 1)5/2dx

(b)

ˆ 5

2

1

x− 2dx

(c)

ˆ +∞

0

1

4 + x2dx

Ejercicio 8.4.2.

(a) Calculen el área encerrada entre la curva y =ex

ex + 1y el eje x , para 0 ≤ x ≤ 1.

(b) Si se considera 0 ≤ x < +∞, ¾se encierra un área �nita?

Ejercicio 8.4.3. En cada caso hallen una función F (x) que cumpla las condiciones pedidas:

F ′(x) = x3 + x; F (1) = 0.

F ′(x) =x

x2 + 1; F (1) = 1.

Ejercicio 8.4.4. Hallen una solución f(x) particular de f ′(x) =√x+ 2x en el dominio (0,+∞), tal

que f(1) = 0. Gra�quen la solución.

Ejercicio 8.4.5. Resuelvan las siguientes ecuaciones diferenciales:

(a) y′ =√xy; (b) y′ = x(2 + y); (c)y′ =

5x

y(d) (cosx) y′ = senx; (e) eyy′ − 2 senx (ey + 1) = 0.

Ejercicio 8.4.6. (a) Para las ecuaciones diferenciales del ejercicio anterior, hallen la solución particularque pasa por el punto (0, 1).

(b) Hallen ahora en cada caso la solución particular que veri�ca y(0) = −1.

Ejercicio 8.4.7. La población de una colonia de bacterias en un laboratorio se duplica cada mediahora. El experimento comienza con una bacteria.(a) Encontrar el modelo exponencial que describe el crecimiento de la colonia de bacterias en función deltiempo t (medido en horas).(b) ¾Cuántas bacterias habrá después de 24 horas?

Ejercicio 8.4.8. En otra población de bacterias a las 2 horas había 125 bacterias y después de 4horas la población se incrementó a 350 bacterias. ¾Con cuántas bacterias comenzó el cultivo?

Ejercicio 8.4.9. La estructura molecular del azúcar cambia durante la re�nación, en la fase conocidacomo �inversión�. Iniciado el proceso, la razón de cambio de la cantidad de azúcar es proporcional a lacantidad restante. Si 1000kg de azúcar se reducen a 800kg en las primeras 10 horas, ¾qué cantidad deazúcar quedará después de otras 14 horas?

CLASE 8.4. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN 356

Ejercicio 8.4.10.

1. Calculen el área determinada por la grá�ca de la función f(x) = 3(x2 − x) y el eje x.2. Calculen el área determinada entre las grá�cas de las funciones f(x) = (x− 1)3 y g(x) = x− 1.3. Calculen el área determinada entre las grá�cas de las funciones f(x) = x2 − 4x − 3 y g(x) =−x2 + 2x+ 3.

4. Calculen el área determinada entre las curvas y = x3 e y = x, para 0 ≤ x ≤ 2.

Ejercicio 8.4.11. En cada caso, gra�quen la región indicada y calculen su área.

1. La región limitada por la grá�ca de la función f(x) = 4 − x2 y el segmento que une los puntos(2, 0) y (0, 4).

2. La región encerrada entre las rectas y = 2, y = 9/2 y la parábola y = x2/2.3. La región limitada por la grá�ca de la función f(x) = 4x − x2 − 1, el eje y y la recta tangente

horizontal a la grá�ca de f(x)

Ejercicio 8.4.12. Se asume que la razón de cambio del decaimiento de un elemento radiactivo esproporcional al número de núcleos radiactivos que están presentes en ese instante. Se llama vida media alnúmero de años que se necesitan para reducir la muestra a la mitad .

Supongamos que en el accidente de Chernobyl se liberaron 10g del isótopo plutonio. Sabiendo que lavida media del plutonio es de 24100 años, ¾cuánto tiempo debe pasar para que solamente quede 1g en ellugar?

Ejercicio 8.4.13. En los años 50 del siglo pasado el biólogo austríaco L. von Bertalan�y (1901-1972)desarrolló un modelo matemático para la talla de un individuo en función de su edad, que se utiliza confrecuencia para predecir el tamaño de los peces. Sea L(t) la longitud del individuo en la edad t y sea A latalla máxima de la especie, es decir la talla máxima alcanzable por un pez adulto. La ley de crecimientode este modelo dice que la velocidad de crecimiento es proporcional a la diferencia entre la longitud actualy la longitud máxima permisible, es decir:

L′ = k(A− L),

donde k es la constante de propocionalidad de cada especie.Supongamos que para cierta especie de peces se sabe que la talla máxima permisible es de 50 cm,

k = 0, 5, y t se mide en años. Admitiendo que L(0) = 0, calcular cuánto tiempo hay que esperar para quelos peces alcancen 30 cm y 40 cm.

CLASE 8.5. CRITERIOS DE COMPARACIÓN. 357

Clase 8.5. Criterios de comparación.

Contenidos de la clase: Criterios de comparación.

8.5.1. Criterios de convergencia para integrales impropias

Algunas veces es imposible, o muy complicado, hallar una primitiva para calcular exactamente unaintegral impropia y sin embargo es importante poder anticipar si es convergente o divergente4. Vamos amencionar teoremas de comparación que permiten a�rmar si una integral impropia converge o diverge.

Teorema 8.5.1. Consideremos dos funciones f(x) y g(x) no negativas y continuas en un intervalosemi-abierto [a, b), con asíntotas verticales en x = b, tales que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) en [a, b).

Si´ ba g(x) dx es convergente, entonces

´ ba f(x) dx también es convergente.

Si´ ba f(x) dx es divergente, entonces

´ ba g(x) dx también es divergente.

Un enunciado similar es válido para funciones no negativas y continuas en un intervalo semi-abierto(a, b], con asíntotas verticales en x = a.

En un grá�co como el siguiente podemos decir que la grá�ca de g(x) está por encima de la grá�ca def(x). Luego,* si el área bajo la curva g(x) es �nita, entonces el área bajo la curva f(x) necesariamente es �nita* si el área bajo la curva f(x) es in�nita, entonces el área bajo la curva g(x) necesariamente es in�nita

Teorema 8.5.2. Consideremos dos funciones f(x) y g(x) no negativas y continuas en un intervalosemi-in�nito [a,+∞), tales que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) en [a,+∞).

Si´ +∞a g(x) dx es convergente, entonces

´ +∞a f(x) dx también es convergente.

Si´ +∞a f(x) dx es divergente, entonces

´ +∞a g(x) dx también es divergente.

Un enunciado similar es válido para funciones continuas en un intervalo semi-abierto (−∞, b].En un grá�co como el siguiente podemos decir que la grá�ca de g(x) está por encima de la grá�ca de

f(x). Luego,* si el área bajo la curva g(x) es �nita, entonces el área bajo la curva f(x) necesariamente es �nita.* si el área bajo la curva f(x) es in�nita, entonces el área bajo la curva g(x) necesariamente es in�nita.

4Por ejemplo, si es convergente tiene sentido calcularla al menos en forma aproximada, usando métodos numéricos.


Argumento: en cada teorema, la idea grá�ca de la primer a�rmación es que, si el área bajo la grá�cade g(x) es �nita, y f(x) se mantiene debajo de g(x) en todo el intervalo, entonces el área bajo la grá�cade f(x) es obligadamente �nita. Análogamente, la idea grá�ca de la segunda a�rmación es que, si el áreabajo la grá�ca de f(x) es in�nita, y g(x) se mantiene encima de f(x) en todo el intervalo, entonces el áreabajo la grá�ca de g(x) es obligadamente in�nita. Una demostración formal involucra las propiedades dedesigualdades entre integrales 7.4.10 y el paso al límite de la de�nición 8.1.2.

Ejemplo 8.5.3. Comencemos con un ejemplo en que se pueda hacer una comparación, y también

la integral exacta, como´ +∞

1

x− 1

x3dx.

Vemos que para x ≥ 1

0 ≤ x− 1

x3=

1

x2− 1

x3<

1

x2

Como´ +∞

1

1

x2dx converge (lo resolvieron en un ejercicio anterior), entonces

´ +∞1

x− 1

x3dx también

converge.

El criterio de comparación es sencillo de aplicar, pero usualmente la di�cultad consiste en armarlas desigualdades. En esta guía propondremos ejercicios con comparaciones guiadas, o con desigualdadesbastante evidentes.

Para agilizar las comparaciones, resulta importante recordar patrones de comparación conocidos. Estosigni�ca conocer integrales que sabemos son convergentes o divergentes.

Actividad 8.5.4. En el ejercicio 8.1.1 les pedimos que calculen algunas integrales modelo. Con losresultados construyan una tabla clasi�cando si convergen o divergen´ 1

0

1


´ 10

1

xpx cuando p > 1

´ 10

1

xpdx cuando p = 1´ 1

0 (− ln(x)) dx

Gra�quen con GeoGebra las cuatro funciones (por ejemplo, con p = 1/2, 1, 2). Establezcan grá�camentecomparaciones entre los integrandos y la convergencia de las integrales.

Actividad 8.5.5. En el ejercicio 8.1.4 les pedimos que calculen algunas integrales modelo. Con losresultados construyan una tabla clasi�cando si convergen o divergen´ +∞

1

1


´ +∞1

1

xpx cuando p > 1

´ +∞1

1

xpdx cuando p = 1´ +∞

1 e−x dx

Gra�quen con GeoGebra las cuatro funciones (por ejemplo, con p = 1/2, 1, 2). Establezcan grá�camentecomparaciones entre los integrandos y la convergencia de las integrales.


Ejemplo 8.5.6. Supongamos que queremos analizar la convergencia o divergencia deˆ +∞

3

x− 2

x3 + 9dx.

Podemos usar que x− 2 < x y que x3 + 9 > x3 para escribirx− 2

x3 + 9≤ x

x3=

1

x2.

Como la integralˆ +∞

3

1

x2dx converge, por el criterio de comparación también converge la integral

original.

Para el caso en que x→ +∞, conocemos comparaciones asociadas a los comportamientos asintóticosde algunas funciones básicas. Es lo que llamamos orden de magnitud . Las más importantes las estudiamosen la Unidad 4, y las podemos recordar como

cuando x→+∞, lnx� xa � ex (siendo a > 0)

Ejemplo 8.5.7. Consideremos la integralˆ +∞

10

√x

e2xdx.

Como√x = x1/2 y 1/2 > 0, podemos escribir para x grande, que

√x < ex. Luego

√x

e2x<

ex

e2x=

1

ex.

Comoˆ +∞

10

1

exdx converge, también lo hace la integral original.

Hay ocasiones en los que conviene llevar una integral impropia por asíntotas en x = 0 a una integralimpropia en el +∞, en la esperanza de que la nueva integral sea más fácil de analizar. Esto se logra porsustitución: la sustitución adecuada para mapear el 0 a +∞ es u = 1/x.

Veamos en un ejemplo cómo se trabaja en estos casos.

Ejemplo 8.5.8. Consideremos la integral impropiaˆ 1

0[− ln(x)] dx.

Si bien esta integral tiene primitiva, supongamos que no recordamos cómo hacerla y solamente estamosinteresados en saber si converge o no. La di�cultad de convergencia se encuentra en x = 0, ya quelımx→0+ [− ln(x)] = +∞.

Corresponde tomar un número 0 < c < 1, trabajar con la integralˆ 1

c[− ln(x)] dx

y luego tomar límite para c→ 0+.Hagamos la sustitución x = 1/u. Tenemos que dx = −1/u2du; y que los límites de integración son

u(c) = 1/c y u(1) = 1.

Recordemos que ln(x) = ln(1/u) = ln 1− lnu = − lnu. Lamando d = 1/c podemos escribir entonces

ˆ 1

c[− ln(x)] dx =

ˆ 1

dlnu

[− 1

u2

]du =

ˆ d

1

lnu

u2du,


donde usamos que al cambiar los límites de integración la integral cambia de signo. Si además observamosque cuando c→ 0+, d = 1

c → +∞, tendremos queˆ 1

0[− ln(x)] dx = lım

c→0+

ˆ 1

0[− ln(x)] dx = lım

d→+∞

ˆ d

1

lnu

u2du =

ˆ +∞

1

lnu

u2du.

es decir cambiamos una integral impropia en el 0 por una integral impropia en +∞. Veamos que estaúltima converge por comparación.

Sabemos que si una variable u es su�cientemente grande, 0 ≤ ln(u) < uα, para cualquier exponenteα > 0. Como en el denominador tenemos u2, elijamos un exponente adecuado para que al dividir poresa potencia siga quedando una integral convergente (sabemos que 1/xp converge en in�nito si p > 1).Elijamos uα =

√x. Para u ≥ 1.

0 ≤ lnu ≤√u

es decir

0 ≤ lnu

u2≤√u

u2=

1

u3/2

cuando u > 1.

Finalmente aplicaremos el teorema de comparación para f(u) =lnu

u2y g(u) =

1

u3/2. Como sabemos

que la integralˆ +∞

1

1

u3/2du converge, también lo hace la integral de

ˆ +∞

1

lnu

u2du.

8.5.2. Ejercicios

Ejercicio 8.5.1. Demuestren que la integral impropia´ 1

0

1

x+√xdx converge, comparando

1

x+√x

con1√x

Ejercicio 8.5.2. Decidan por comparación la convergencia o divergencia de´ 1

0

(1

x+ x2

)dx (sugerencia: comparar con

´ 10

(1

x

)dx)

´ 10

(1√x− x2

)dx (sugerencia: comparar con

´ 10

(1√x

)dx)

Ejercicio 8.5.3. Analicen la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias enintervalos �nitos utilizando criterios de comparación.

(a)

ˆ 1

0

e−x√xdx

(b)

ˆ 1

0

1√x(1 + x)

dx

(c)

ˆ π/2

0

sen2 x4√xdx

(d)

ˆ 1

0

1

x− x4dx


Ejercicio 8.5.4. Analicen la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias en in-tervalos in�nitos utilizando criterios de comparación.

(a)

ˆ +∞

2

e−x√xdx

(b)´ +∞

1

3

ex + 5dx

(c)

ˆ +∞

1

1√x2 − 0.1

dx comparen con 1/x

(d)

ˆ +∞

−∞

1

ex + e−xdx separen en dos integrales y comparen con 1/ex o con 1/e−x

(e)

ˆ +∞

π

2 + cosx

xdx

Ejercicio 8.5.5. Proponiendo la sustitución u = 1/x, analicen si la integralˆ 1

0

− lnx√x

dx es con-

vergente o divergente.

CLASE 8.6. REPASO GENERAL DE LAS UNIDADES 7 Y 8: CÁLCULO INTEGRAL 362

Clase 8.6. Repaso general de las Unidades 7 y 8: Cálculo integral

Contenidos: esta clase está diseñada para repasar el cálculo integral, en vistas al SegundoParcial. Pueden encontrar ejercitación de repaso de las unidades 5 y 6 en el sitio web.

8.6.1. Integración directa - Familia de primitivas y solución particular

Ejercicio 8.6.1. Encontrar la familia de primitivas F (x) de cada función f(x) y hallar la primitivaparticular pedida en cada caso:

f(x) = 3x− 5; F (0) = 1f(x) =

√x; F (1) = 1

f(x) = senx; F (π) = 0f(x) = 8ex; F (0) = 3

Ejercicio 8.6.2. Calcular las siguientes integrales aplicando la regla de Barrow. Justi�car por quépuede utilizarse.

(a)

ˆ 2

1(x−2 + 2x) dx; (b)

ˆ π/4

0sec2 x dx; (c)

ˆ 2

1

(3√x+

23√x

)dx; (d)

ˆ −1

−2

(3√x+

23√x

)dx

Ejercicio 8.6.3. En cada caso escribir la función F (x) =´ x−1 f(t) dt, indicando su dominio. ¾Dónde

es derivable? ¾Cuánto vale F ′(x)?

f(t) =

{ex − 1, si -1≤x ≤ 0

senx, si 0 < x ≤ π; f(t) =

1, si -1≤x ≤ 0

x, si 0 < x ≤ 1

2− x, si 1 < x < 2

1, si 2 < x ≤ 3

Ejercicio 8.6.4. Supongamos una función continua f(x) en el intervalo [−5, 5] tal que´ 5

0 f(x) dx = 4.Calcular las siguientes integrales (justi�car los pasos realizados)

(a)

ˆ 5

0(f(x) + 2) dx; (b)

ˆ 3

−2f(x+ 2) dx;

(c)

ˆ 5

−5f(x) dx si f(x) es par;

(d)

ˆ 5

−5f(x) dx si f(x) es impar

8.6.2. Técnicas de integración

Ejercicio 8.6.5. Por medio de sustituciones adecuadas, calcular las siguientes integrales

(a)

ˆcos(3x) dx; (b)

ˆ √x− 1 dx; (c)

ˆ5x dx; (d)

ˆsenx sen(cosx) dx; (e)

ˆarctanx

1 + x2dx

Ejercicio 8.6.6. Integrando por partes, calcular las siguientes integrales

(a)

ˆx2 lnx dx; (b)

ˆx2 ln2 x dx; (c)

ˆx5x dx; (d)

ˆex sen(x) dx; (e)

ˆx2 cos(3x) dx


Ejercicio 8.6.7. Separando en fracciones simples, calcular las siguientes integrales

(a)

ˆx2 + 1

x2 − xdx; (b)

ˆ2x+ 3

(x− 1)2dx; (c)

ˆ1

x3 + xdx; (d)

ˆx2 + x

(x2 + 1)(x− 1)dx

8.6.3. Teoría y aplicaciones

Ejercicio 8.6.8. Deriven las siguientes funciones. Indiquen qué resultado teórico se está utilizando.

F (x) =´ x

0 ln(t2 + 5) dt

F (x) =´ 2x cos(5t) dt

F (u) =´ u2

5 cos(5x) dx

F (u) =

ˆ senu

2u−1

1

t4 + 1dt

Ejercicio 8.6.9. Encuentren la función f(x) que veri�ca queˆ x

0f(t) dt = senx+ 5x2.

¾Qué resultado teórico utilizaron para hallar la respuesta?

Ejercicio 8.6.10. Encuentren una función continua y positiva f(x) tal que para todo x ≥ 0 el áreade la región bajo la grá�ca de f(x) entre 0 y x sea igual a x3.

Ejercicio 8.6.11. Dadas las siguientes funciones, veri�quen las hipótesis del Teorema del Valor Mediopara integrales, y hallen el valor de c que toma el valor promedio de f(x) en el intervalo indicado (puedehaber más de un valor de c). Interpreten grá�camente.

(a) f(x) = 1/x; [1, e] (b) f(x) = x2; [−1, 1]

Ejercicio 8.6.12. Encuentren el valor de b adecuado para que el valor medio de f(x) = 2 + 6x− 3x2

en el intervalo [0, b] sea igual a 3. (puede haber más de un valor de b)

Ejercicio 8.6.13. Decidan si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. En todos los casosjusti�quen las respuestas (con un fundamento teórico si el enunciado es verdadero, o con un contra-ejemplo si es falso).(a) El valor de la integral

´ ba f(x) dx siempre es un número positivo.

(b)´ ba (f(x) + g(x)) dx =

´ ba f(x) dx+

´ ba g(x) dx

(c)´ ba f(x)g(x) dx =

(´ ba f(x) dx

)(´ ba g(x) dx

)8.6.4. Integrales impropias

Ejercicio 8.6.14. Analicen por qué son impropias las integrales siguientes. Decidan su convergenciao divergencia por cálculo directo, y en caso de ser convergentes, den el valor de la integral.

(a)

ˆ 1

−1

1

x2/3dx

(b)

ˆ −2

−∞

2

x2 − 1dx


(c)

ˆ 0

−∞e−|x| dx

(d)

ˆ π/2

0

senx

cosxdx

(e)

ˆ 2

0

1

x2 − 1dx

8.6.5. Aplicaciones de la integral (ecuaciones diferenciales, área entre curvas)

Ejercicio 8.6.15. Un vivero de plantas verdes suele vender cierto arbusto después de 6 años decrecimiento y cuidado. El ritmo de crecimiento durante esos 6 años es, aproximadamente,

dh

dt= 1.5t+ 5

donde t es el tiempo medido en años y h es la altura en centímetros. Las plantas de semillero miden 12cmde altura cuando se plantan (es decir en t = 0).(a) Determinar la altura después de t años.(b) ¾Qué altura tienen los arbustos en el momento en que son vendidos?

Ejercicio 8.6.16. Una población de animales aumenta con una rapidez igual a 200 + 50t, donde t semide en años. ¾Cuál es el aumento de la población entre el cuarto y el décimo año?

Ejercicio 8.6.17. Supongamos que la velocidad de un cuerpo que se mueve a lo largo de un eje s es

ds

dt= 9.8t− 3

(a) Encuentren el desplazamiento del cuerpo en el intervalo de tiempo de t = 1 a t = 3, sabiendo ques = 5 en el instante inicial t = 0.(b) Respondan la misma pregunta, suponiendo ahora que s = −2 en el instante inicial t = 0.

Ejercicio 8.6.18. Resuelvan las siguientes ecuaciones diferenciales para hallar y(x):

(a) 2√xydy

dx= 1 con dato y(4) = 1

(b)dy

dx=

e2x−y

ex+y con dato y(1) = 1/2.

Comprueben por derivación implícita que la respuesta hallada es correcta.

Ejercicio 8.6.19. Consideren la grá�ca de la función f(x) = e−x para 0 < x < 1.(a) Calculen el área bajo la curva.(b) Considerando ahora la región determinada para 0 < x < +∞, calculen el área de la región y el volumendel sólido in�nito generado al rotar la región alrededor del eje x.

Ejercicio 8.6.20. En todos los casos, gra�quen primero y resuelvan:(a) Encuentren el área de la región acotada por la parábola y = 2− x2y la recta y = −x.(b) Encuentrenel área de la región en el primer cuadrante, que está acotada por arriba por y =

√x y por

abajo por el eje x y la recta y = x− 2.(c) Encuentren el área determinada por las curvas y = 2 senx e y = sen(2x), con 0 ≤ x ≤ π.

Ejercicio 8.6.21. Calculen el área de la región limitada por la parábola y = x2, la recta tangente ala curva en el punto (1, 1) y el eje x.

EJERCICIO PARA AUTOEVALUACIÓN - UNIDAD 8 365

Ejercicio para autoevaluación - Unidad 8

Ejercicio 10. Recuerden que el campo magnético creado por un cable con corriente eléctrica I secalcula con la ley de Biot y Savart, acumulando contribuciones de cada tramo de cable (ejercicio deautoevaluación de la Unidad 7). En el caso de un cable recto de longitud in�nita, el campo magnético auna distancia d del centro del cable queda expresado por la siguiente integral:

µ0I

4π

ˆ ∞−∞

d(√x2 + d2

)3 dx

donde µ0 es una constante fundamental.

Veri�quen que la integral es convergente, y que el resultado esµ0I

2πd

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