Integrales impropias y técnicas de integración

Iriana Piñero

C.I: 25.787.085

Matemáticas II

SAIA B

Integrales impropiasEs el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, una integral definida es impropia cuando la función integrando de la integral definida no es continua en todo el intervalo de integración. También se pueden dar ambas situaciones. Carácter y valor de las Integrales Impropia: Si la integral que nos

ocupa es de fácil resolución podemos determinar su carácter mediante el cálculo de la integral impropia. Según el resultado que obtengamos sabremos si es convergente o divergente

Son del tipo

Presenta una asíntota horizontal

Primera especie

Segunda especie

Son del tipo

Y que no esta definida en el intervalo de integración o en cualquier punto del dominio o los extremos e integración

Tercera especie

Son mezclas de los dos tipos anteriores, es decir, que presentan un infinito en los extremos de integración y la función se hace infinito en uno o más puntos del intervalo de integración.

 ó 

Integración por parte La integración por partes, es una técnica que se utiliza para resolver integrales que no se resuelven inmediatamente o por un sencillo cambio de variable. Por lo general esta técnica se utiliza cuando el integrando contiene productos, funciones Logarítmicas o funciones Trigonométricas.

La expresión

es la que nos permite resolver integrales que algunas veces son largas y poco sencillas.

 

la integración por partes se usa cuando:► El integrando contiene

logaritmos.► El integrando contiene

productos.► El integrando contiene

funciones trigonométricas inversas.Si “u” y “v” son

funciones diferenciables, entonces:d(u.v) = v du + u dv despejando, udv = d(u.v) – vdu. Integrando en ambos lados

du . vv . udu v)v.u( ddv u

duv v. udv u

Ejemplo

I = sea u = arccos 2x, du = , dv = dx entonces v = x

I = x arcos2x - , resolviendo la segunda integral, sea t = 1- 4x2, dt = -8xdx

De donde dx = -

I = = x arccos 2x -

dx2x arccos 2)x2(1dx2

x41dx2x

22/12/1 x41 21

tdt

41)

x8 tdt(

dx2x rccosa Cx4121 2

Integración por sustitución

trigonométrica Es empleada cuando el integrando contiene funciones con ciertas características dentro de una raíz cuadrada, que mediante algunas sustituciones se pueden convertir en integrales inmediatas o muy sencillas para resolver.

Se debe tener en cuenta que los resultados se tienen que expresar en función de la variable original por lo que hay que devolver todos los cambios hechos, igualmente debemos tener presente, que los límites pertenecen a la variable original y es allí donde tenemos que evaluar la integral.

Esta sirve para integrar funciones que tienen la siguiente forma

Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras e identidades trigonométricas.

Ejemplo

Integración de funciones racionales por fracciones parciales

Esta técnica de Integración se aplica cuando el integrando contiene fracciones, con el fin de descomponerla en una suma de las mismas en forma sencilla; lo primero que tenemos que determinar es si la fracción es o no propia, cuando es impropia hay que convertirla en propia mediante una división de polinomio y con apoyo de propiedades resolvemos las integrales resultantes. Existen 4 casos:

Caso 1 : El denominador solo contiene factores lineales y ninguno se repite

Caso 2 : Los factores son lineales pero al menos uno se repite.

Caso 3 : Los factores son lineales y cuadráticos y ninguno de los cuadráticos se repite.

Caso 4 : Los factores son lineales y cuadráticos pero al menos uno de los cuadráticos se repite.

Ejemplo

Funciones racionales de seno y coseno:

Este tipo de integrales se reduce mediante la sustitución z = tan x/2 y expresando las funciones seno y coseno como una función de z. Una vez expresada en función de z, mediante simplificación se pueden obtener integrales mucho más sencillas y práctica cuando se trata de resolver integrales con integrados que contienen funciones racionales de seno y coseno.Para aplicar esta técnica se expresan las funciones trigonométricas en función de senos y/o cosenos, para luego hacer las respectivas sustituciones de z, sabiendo que z = tang x/2.

► Teorema: si entonces, se verifican las siguientes igualdades, las cuales pueden ser usadas para la integración de funciones racionales de seno y coseno:

Ejemplo Sustituimos los respectivos valores de sen x y dx

2

2 haciendo un cambio de variable: u = z –5/3, du =dx

xsen 53dx

22

2

22

2

2

z1 3z 10z 3 dz z1 2

z1z 10z 33 2z1

dz2)

z1z 2( 53

z1dz 2

9

1635z

dz32

1z310z 3

dz22

C 13z93z ln4

1C 4/35/3z4/35/3z ln4

1C 4/3u4/3u ln

342

132

916u

du32

2

C1tan 39tan 3

ln41

2x2

x

Integrados por sustitución diversa

Existen integrandos que contienen raíces de diferente índice mayores que 2, para ello es necesario hacer una sustitución adecuada que nos convierta la integral en otra u otras más sencillas.

Para ello tomamos el mínimo común múltiplo de los índices de las raíces y sustituimos. Algunas sustituciones son útiles para evaluar ciertas integrales.

Ejemplo

el mínimo es

que es una fracción impropia, mediante una división de polinomios la convertimos en una suma de dos fracciones propias.

4

0 x1dx

dz z 2dx y ;zx ;zx 212

4

0 z1dz 2z

4

0

4

021214

04

0 2ln34x1 lnx2 z1 lnz 2z1

dz2dz2

Integrales impropias con limites infinitos de integración:

Existe un tipo de integral en la que uno o ambos límites es o son infinito (s), este tipo de integral se resuelve mediante la aplicación y resolución de un límite.Si el límite existe, decimos que la integral converge. De lo contrario, diverge.Una integral finita es la que tiene límites finitos (definidos). Si estos límites se convierten en infinitos, entonces la integral es impropia.► Dada la integral: se pueden

presentar 3 casos:

1. Si el límite superior se convierte en más infinito (b = + ), nos queda

2. Si el límite inferior se convierte en infinito (a = - ), nos queda

3. Si ambos límites se convierten en infinito ( b = + ) y ( a = - ), debemos recordar que el intervalo de integración son todos los reales, por lo tanto se puede dividir en una serie de intervalos, integrar y luego sumar cada uno de ellos.

+ , si c = 0, entonces

+ +

SI EN LOS 3 CASOS LOS LIMITES EXISTEN LA INTEGRAL ES CONVERGENTE, DE LO CONTARIO ES

DIVERGENTE

b

a x dxf

a x dx f b

lím b

a x dxf

b

x dx f

alím

b

a x dxf

x dx f

alím

c

a x dx f

blím

b

c x dx f

x dx f

alím

0

a x dx f

blím

b

0 x dx f

Ejemplo

Integrales impropias con funciones discontinuas en el

intervalo de integración

En muchas oportunidades, se plantean integrales del tipo: , donde vemos que en el intervalo de integración existe un punto de discontinuidad para la función integrando.

Cuando el integrando tiene un punto de discontinuidad en su intervalo de integración, se hace necesario dividir el intervalo justo en donde se encuentra la discontinuidad, para estudiar el límite tanto por la izquierda como por la derecha. Si estos límites existen entonces la integral converge de lo contrario, es divergente. Si uno de los límites no existe, es suficiente para decir que la integral diverge.

Asíntotas verticales en los límites de integración

Considera Esta integral involucra

una función con una asíntota vertical en x = 0.Se puede obtener el valor de esta integral evaluándola desde b a 1, y entonces tomando el límite como b tendiendo a 0. Nótese que la anti-derivativa de la anterior función es la cual puede ser evaluada por sustitución directa para dar el valor El límite cuando b → 0 es 3 − 0 = 3.