Repaso 1D

Regiones ND

Matemticas para Ingeniera I

Primavera 2015

Lilia Meza Montes IFUAP

Intervalos

Cerrado

I=(a,b)={x| a

Funcin de una variable

Funcin : regla que asocia un nico valor a cada elemento

de un conjunto.

Dominio:Dominio:

ConuntoConunto de nmeros de nmeros

donde se evala la donde se evala la

funcinfuncin

x

RRRR

RRRR

y00

y=f(x)

Rango o Rango o CodominioCodominio::

Conjunto de valores Conjunto de valores

asignadosasignados

Grfica

x y=f(x)=x2

-2 (-2)(-2)=4

-1 1

0 0

1 1

2 22=4

1=x

Funcin par f(x) = f(-x)

x

(-1,1)

(0,0)

(1,1)

(2,4)(-2,4)

Grfica

Paso ms fino

1.0=x

Funcin lineal y=a+bx

bxay +=

tan

12

12

=

=

xx

yyb

y=x

a

),( 11 yx

),( 22 yx

12 xx

12 yy

y

x

Ejemplo 1

Exponencial

)exp( xey x ==

)exp(xey x ==

Ejemplo 2

pi2

pi

)cos(xy =

)(xseny =

Peridicas

Con periodo

par

impar

Impar: f(-x) = -f(x)

pi

Ejemplo 3

)exp( 2

2

x

ey x

=

=

Gaussiana

Ejemplo 5

Valor Absoluto

F(x)=|x|

= abs(x)

F(x) = x si x>=0

F(x) = -x si x

Ejemplo 4

1

/1

=

=

x

xy

Discontinua

en x=0

Impar

2.1 ESPACIOS DE N

DIMENSIONES

Unidad 1. Funciones de varias variables

Espacio n-dimensional

El conjunto de todas las n-adas ordenadasde nmeros reales se denomina espacionmerico n-dimensional y se denota por Rn

Cada n-ada ordenada (x1, x2, ,xn) se llama punto del espacio

Usualmente trabajaremos en R2

(representacin geomtrica es un plano) y R3 (espacio tridimensional)

Espacio numrico

Los elementos de las n-adas pueden ser

nmeros o representar cantidades fsicas.

Nosotros usaremos el espacio de nmeros,

es decir, el espacio nmerico.

Ejemplos de representaciones

grficas

R

R2(x1,y1)

x

y

x1

y1

x

Espacio

unidimensional

(de dimensin 1)

Espacio

bidimensional:

conjunto de

duplas (x,y),

donde x,yR

0

Espacio tridimensional:

representacin grfica

R3

y

z

(x,y,z)z

x

conjunto de

triadas (x,y,z),

donde x,y,zR

REGIONES

Puntos en el plano cartesiano

(x1,y1)

x

y

x1

y1

Distancia al origen (teorema

de Pitgoras)

2

1

21 yxr +=

r

Espacio bidimensional R2: {(x1,x2) | x1,x2R}

Se representa por un plano cartesiano

Rectas y rayos

y= ax+b

a es la pendienteb

Rayo

y = ax

b=0

Pasa por el origen

x

y

Rectas y rayos son subconjuntos de R2

Rectas: casos especiales

y= ax+b

a=0

y=b

Puntos sobre

recta (x,b)

b

x=c

Puntos sobre recta

Duplas (c,y)

a

c

y

x

Conjunto de duplas

(x,b)

Circunferencia

222 ryx =+r

Centrada en (xc,yc)

Centrada en el origen

x

y

(xc,yc)

( ) ( ) 222 ryyxx cc =+

Suconjunto de R2

Bolas abierta y cerrada

222 ryx +r

Abierta: No incluye frontera

Cerrada: Incluye frontera

x

y

(xc,yc)

( ) ( ) 222 ryyxx cc

Elipse

12

2

2

2=+

b

y

a

x

Centrada en (xc,yc)

Centrada en el origen

x

y

(xc,yc)

( ) ( )1

2

2

2

2

=

+

b

yy

a

xx cc

(-c,0) (c,0)

(x,y)

ba

Circunferencia es caso especial de elipse: a=b

Geometra Analtica 3D

Regiones en R3

Rectas y Rayos

Planos

Esferas y elipsoides

En el espacio 3D

x

y

z

(x,y,z)

Punto

Distancia al origen

222 zyxr ++=

r

Recta

x y

z

(x,y,z)

c

zz

b

yy

a

xx 000 =

=

El vector R=

= ai+bj+ck

determina la direccin

de la recta.

Si a,b,c no son cero

Ecuaciones simtricas

R

La recta pasa por el punto

(x0,y0,z0)

(x0,y0,z0)

Plano

x

y

z

(x,y,z) dczbyax

zzcyybxxa

=++

=++ 0)()()( 000

N

Ecuacin

O bien

N= es un vector

normal al plano.

El plano pasa por el punto

(x0,y0,z0)

(x0,y0,z0)

El vector N determina un conjunto infinito de planos paralelos

Se selecciona uno de los planos especificando d

Esfera

x

y

z

(x,y,z)r

2222 rzyx =++

Centrada en el origen

Centrada en otro punto,

Bolas abierta y cerrada

Elipsoide. etc