Lic. Fis. Jorge Daniel Torres Alvarez Ciclo de Nivelación
RAZONAMIENTO MATEMATICO
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RAZONES Y PROPORCIONES
PROPORCIÓN ARITMÉTICA
RAZÓN
ARITMÉTICA
GEOMÉTRICA
puede ser
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
pueden ser
origina origina
Proporción Aritmética
Discretea
Proporción Aritmética
Continua
pueden ser
Proporción Geométrica Discretea
Proporción Geométrica Continua
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IDEA DE RAZÓN:
Ejemplo Ilustrativo 1: Ronaldo vive en Chosica lugar que se encuentra a 500 metros sobre el
nivel del mar y una temperatura promedio de 28°C. Víctor vive en Cerro de Pasco lugar que se
encuentra a 4500 metros sobre el nivel del mar y a una temperatura promedio de 7°C.
1500m
Cerro de Pasco 7°C
Chosica 28°C
500m
Observamos:
Cerro de Pasco se encuentra a
4500 500 4000 , 4000 metros más
sobre el nivel del mar que Chosica.
La temperatura promedio de Chosica es
284
7
4 veces la temperatura
promedio de Cerro de Pasco
Concluimos:
Al comparar las alturas sobre el nivel del mar de Cerro de Pasco y Chosica: lo comparamos por
medio de una sustracción.
4500 500 4000 A dicha comparación se le denomina Razón Aritmética.
Al comparar las temperaturas de Chosica respecto a la de Cerro de Pasco, lo comparamos por
medio de una división.
28
47 A dicha comparación se le denomina Razón Geométrica.
Al comparar dos cantidades se puede realizar de varias formas. Lo que desarrollaremos serán las
dos formas anteriores mencionadas.
Ejemplo Ilustrativo 2 : Sean las edades de Carlos y Jhon 48 y 28 años respectivamente, la razón
aritmética de sus edades es:
Donde 48 – 28 = 20
Podemos decir, que el peso de Diana (56=8 . 7) y el peso de Margoth (35=5 . 7) están en relación
o son entre sí , o son proporcionales a 8 y 5 en ese orden. La R.G. es más aplicable para una
variedad de problemas sólo indican la razón, quedará sobreentendido que es la R.G.
Valor de la Razón Aritmética
Consecuente
Antecedente
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RAZÓN
01.- Noción.- Es la comparación entre dos cantidades
02.- Clases de Razones.- están pueden ser:
A.- Razón Aritmética.- Cuando la comparación de dos cantidades se hace mediante la
diferencia:
rba
Dónde:
antecedente
consecuente
razón aritmética
a
b
r
B.- Razón Geométrica.- Cuando la comparación de dos cantidades se hace mediante la
división:
ak
b
Dónde:
antecedente
consecuente
razón geométrica
a
b
r
PROPORCIÓN
01.- Noción.- Es la igualdad de 2 razones de la misma clase
02.- Clases de Razones.- están pueden ser:
A.- Proporción Aritmética.- .- Es la igualdad de 2 razones aritméticas:
dcba
Dónde:
son extremos
son medios
a y d
b y c
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a.- Clases de Proporción Aritmética:
Proporción Aritmética Discreta.- Es aquella proporción cuyos términos medios
son diferentes:
dcba
Donde:
son extremos
son medios
es cuarta diferencial de ,
a y d
b y c
d a b y c
Proporción Aritmética Continua.- Es aquella proporción cuyos términos medios
son iguales:
cbba
Donde:
son extremos
es media diferencial
es tercera diferencial de
a y c
b a y c
c a y b
B.- Proporción Geométrica.- Es la igualdad de 2 razones geométricas
d
c
b
a
Donde:
son extremos
son medios
a y d
b y c
a.- Clases de Proporción Geométrica:
Proporción Geométrica Discreta.- Es aquella proporción cuyos términos medios
son diferentes:
d
c
b
a
Donde:
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son extremos
son medios
es cuarta proporcional de ,
a y d
b y c
d a b y c
Proporción Geométrica Continua.- Es aquella proporción cuyos términos medios
son iguales:
c
b
b
a
Donde:
son extremos
es media proporcional
es tercera proporcional de
a y c
b a y c
c a y b
b.- Propiedades:
Sea: a c
kb d
Se cumplen:
2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
a bk
c dk
a d b c
a b c d
b d
a b c d
a b c d
a c
b d
a ck
b d
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PROBLEMAS PROPUESTOS
01.- Hallar “x” si 6
5
3
x
A) 10 B) 5/2 C) 2/5 D) 5 E) 8
02.- Calcular la tercera diferencial de 17 y 12
A) 7 B) 6 C) 8 D) 12 E) 4
03.- Hallar la cuarta diferencial de 10, 7 y 5
A) 6 B) 3 C) 4 D) 2 E) 5
04.- Calcular la media proporcional de 9 y
49.
A) 36 B) 12 C) 42 D) 25 E) 21
05.- Hallar la tercera proporcional de 24 y 36
A) 48 B) 54 C) 64 D) 90 E) 18
06.- Calcular la cuarta proporcional de 6, 11
y 12
A) 33 B) 11 C) 22 D) 44 E) 55
07.- Hallar “ a ”. Si 6
4
b
a; 40ba
A) 24 B) 16 C) 8 D) 12 E) 20
08.- Si 67
ba ; 65ba . Hallar ba 2
A) 80 B) 85 C) 90 D) 95 E) 100
09.- Hallar “y” en: 9
5
y
x;
7
9
z
y; Si
12 zx
A) 5 B) 7 C) 9 D) 45 E) 35
10.- Dos números son entre sí como 4 es a 7
si la suma de estos es 121. Hallar el
mayor número.
A) 77 B) 44 C) 70 D) 40 E) 63
11.- Dos números son entre sí como 8 es a 3.
Hallar el mayor de lo números sabiendo
que su razón aritmética es 45.
A) 63 B) 27 C) 72 D) 81 E) 54
12.- La suma del antecedente y consecuente
de una razón geométrica es 26. ¿Cuál es
su diferencia si la razón vale 0.04?
A) 3 B) 24 C) 4 D) 0.96 E) 5
13.- La Razón Aritmética de 2 números es
16, si la Razón Geométrica de los
mismos es 7/5. Entonces el mayor de
dichos números es:
A) 42 B) 56 C) 35 D) 63 E) 21
14.- Dos números son entre sí como 11 es a
3. si la suma de dichos números es 112,
entonces la razón aritmética de ellos es:
A) 60 B) 62 C) 64 D) 72 E) 81
15.- Dos números están en la relación de 1 es
a 11. Hallar el mayor de dichos números
sabiendo que la suma de sus cuadrados
es 488.
A) 2 B) 11 C) 22 D) 33 E) 4
16.- La suma de dos números es 320 y su
razón geométrica es 3/7. Hallar el
número mayor.
A) 336 B) 224 C) 188 D) 163 E) 218
17.- Dos números son entre sí como 2 esa 5;
si su razón aritmética es 72. Hallar el
número mayor
A) 60 B) 82 C) 120 D) 96 E) 86
18.- Si “x” es la cuarta proporcional de 24, 18
y 8; m es la tercia proporcional de 2 y 4.
Hallar: mx
A) 48 B) 12 C) 24 D) 36 E) 60
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19.- La edad de Juan y la Edad de Rosa están
en la relación de 2 es a 3. ¿Dentro de
cuantos años dicha relación será de 3 es
a 4; si actualmente sus edades suman 40
años?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 12 E) 10
20.- Si kbababa
1635.Hallar:
2 2a b
A) 120 B) 150 C) 180 D) 210 E) 240
21.- Dos números son como 5 es a 9 y la
suma de estos es 14 ¿Cuál es la cantidad
que se le debe aumentar a cada uno de
los números para que la relación sea de 3
es a 4?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
22.- Si la media proporcional de A y B es 14
y la tercera proporcional de A y B es
112. ¿Cuál es la diferencia entre B y A?
A) 35 B) 42 C) 14 D) 7 E) 21
23.- Si A es la media diferencial de 8 y 36; B
es la cuarta diferencial de 12,5 y 8.
Hallar A – B
A) 23 B) 21 C) 22 D) 1 E) 24
24.- Un obrero produce dos tipos de platos:
ovalados y redondos. SI el número de
redondos es al total de platos como 7 es
a 9. Hallar cuántos ovalados produce en
27 días, si produce 14 redondos
diariamente
A) 140 B) 150 C) 104
D) 108 E) 118
25.- Lo que gana y ahorra semanalmente es 5
a 2. Lo que gana y gasta mensualmente
suman S/. 640. Hallar el ahorro mensual
A) 560 B) 640 C) 480
D) 720 E) N.A.
26.- La suma, la diferencia y el producto de
dos números están en la misma relación
que los números 5; 3 y 16. Determina la
suma de los números.
A) 30 B) 20 C) 45 D) 15 E) 12
27.- En un estadio completamente lleno se
observa que por cada 5 hinchas de
Universitario hay 4 de Alianza y por
cada 3 hinchas de Alianza hay 2 de
Cristal. ¿Cuál es la capacidad del estadio
si la diferencia entre el número de
hinchas de Universitario y Cristal es 7
000?
A) 30 000 B) 35 000 C) 40 000
D) 45 000 E) 50 000
28.- Si: 30 12 10
ab bc ca Donde: 52a b c
. Calcular: a c
A) 14 B) 16 C) 20 D) 12 E) N.A
29.- Si: 1175
cba y 2 2 2 780a b c .
Hallar: cba
A) 3 080 B) 2 050 C) 2 850
D) 3 280 E) 1 350
30.- Si: 974
cba
Sabiendo que: 114a b c
Hallar: 2
)(2
cba
A) 1 B) 0 C) 228 D) 2 E) 200
31.- Si: 7 13 15 19
a b c d
Además: a + b + c = 525. Hallar “d”
A) 285 B) 280 C) 225
D) 105 E) 295
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MAGNITUDES PROPORCIONALES
Introducción:
Al observar la naturaleza y los fenómenos que ocurren en ella podemos notar que se tienen
características que aparecen en diversos estados por lo que se puede cuantificar como por
ejemplo: El peso, la temperatura, el tiempo, el número de obreros, obras realizadas etc..... nuestro
estudio está basado en el análisis de todo esto.
I.- MAGNITUD: Es todo aquello que puede ser medido.
II.- CANTIDAD: Es un estado particular de la magnitud por ejemplo.
Magnitud Cantidad
Longitud 75 cm.
Volumen 30 litros
Número de días 25 días
Número de obreros 43 obreros
Cantidad de obra 700 m3
III.- RELACIONES ENTRE 2 MAGNITUDES
01.- MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL (D.P)
Por ejemplo un, vendedor ambulante vende cada una de las botellas con un litro de
gaseosa a S/. 2 analizamos las magnitudes, número de botellas vendidas y el precio.
# de botellas 1 4 2 6 5
precio 2 8 4 12 10
Se observa que: 5.010
5
12
6
4
2
8
4
2
1
Observamos que la relación entre los valores correspondientes entre las 2 magnitudes es
constante, cuando ocurre esto a las magnitudes las llamaremos D.P. Veamos
gráficamente.
1 2 4 5 6
12
10
8
4
2
de botellas#
x 4 x 32 x 5/6
Precio
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02.- MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I.P)
Por ejemplo, si 24 obreros pueden hacer una zanja en 10 días, analicemos los valores
correspondientes que pueden tomar las magnitudes número de obreros y números de días.
# de Obreros 24 8 16 12
# de días 10 30 15 20
2x 3 3/4
Podemos Observar que: 20 . 12 .15 16 8.30 10 . 24
Cuándo dos magnitudes cumplen que el producto de sus valores correspondientes es
constante les llamaremos magnitudes I.P.
(# de obreros) I.P (# de días)
Veamos gráficamente:
Luego 2 magnitudes son I.P. si el producto de sus valores correspondientes es constante,
su gráfica será una o parte de una rama de una hipérbole equilátera. Entonces, sean las
magnitudes A y B I.P.
Se cumple (valor de A) (valor de B) = etc.
x 23 x 3/4
8 12 16 24
30
10
15
20
de obreros#
de días#
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PROBLEMAS PROPUESTOS
01.- Si A2 D.P. B
2 y A = 2 cuando B = 3.
Hallar “B” cuando A = 4.
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
02.- Se tiene que A3 I.P. B
3. Cuando A = 2,
B = 3; Hallar “A” cuando B = 4.
A) 3/2 B) 5/4 C) 3/5 D) 1/2 E) 1/5
03.- La magnitud A es D.P. a la magnitud B
cuando A es igual a 51 entonces B es
igual a 3. Hallar el valor que asume B
cuando A es 34.
A) 4 B) 6 C) 2 D) 8 E) 12
04.- La magnitud A es I.P. a B ; además
cuando A es igual a 6 entonces B es
igual a 16. Hallar B cuando A es igual
a 4.
A) 16 B) 36 C) 24 D) 12 E) 18
05.- Si la magnitud P es D.P. a Q .
Cuando P = 48; Q = 144. Hallar P
cuando Q = 81
A) 34 B) 36 C) 38 D) 40 E) 42
06.- La magnitud A es I.P. a B. Cuando
A = 25; B = 24. Hallar B, cuando A =
64.
A) 15 B) 20 C) 30 D) 40 E) 45
07.- Sabiendo que M es D.P. 3 N e I.P. 2P
Cuando M = 40; N = 125; P = 6. Hallar
el valor de M, cuando N = 64; P = 12.
A) 9 B) 8 C) 12 D) 13 E) 18
08.- Si A D.P. B y C y cuando A = 10;
B = 2 y C = 7. Hallar C cuando A = 20
y B = 4.
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
09.- Si A es D.P. B y además I.P. a C.
Hallar A cuando B = 48 y C = 16;
cuando A es 5 entonces B = 12 y C = 8
A) 10 B) 11 C) 12 D) 8 E) 9
10.- Si “X” varia en razón directa a “Y” e
inversa al cuadrado de “Z” cuando
X = 10 entonces Y = 4 y Z = 14. Hallar
“X” cuando Y = 16 y Z = 7
A) 180 B) 160 C) 154
D) 140 E) 120
11.- Las magnitudes 2A y B son I.P. y
cuando A = 20. A es a B como 10 es 9.
¿Qué valor toma “A” cuando “B” =
72?
A) 18 B) 16 C) 10 D) 12 E) 15
12.- Se sabe que A es D.P. a B e I.P. 3 C
. Además cuando A es 14 entonces B
es 64 y C es igual a B. Hallar A cuando
B es 4 y C sea el doble de B
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
13.- Se tienen 3 magnitudes A, B y C tales
que A es D.P. a B ; a es I.P. C2 .
Cuando A = 8; B = 16 y C = 6.
Calcular B si A = 9 y C = 4
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
14.- Si A es D.P. con B2 e I.P. a C .
Cuando A = 4; B = 8 y C = 16. Hallar
A cuando B = 12 y C = 36
A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 12
15.- La magnitud “X” disminuida en 4
unidades es I.P. a la magnitud “Y”
aumentado en 7 unidades. Si cuando
X = 14 entonces Y = 2. Hallar “X”
cuando Y = 8
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
16.- A varia D.P. con B e I.P. a C3 si A =
3 cuando B = 256 y C = 2. Hallar B
cuando A = 24 y C = ½.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
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17.- Se tienen 2 números cuya suma es 67 si
se añade 23 al menor y se quita 23 al
mayor, la razón geométrica de los
números se invierte. Hallar el producto
de los números.
A) 976 B) 988 C) 980
D) 990 E) 1
18.- Hallar x + y2
A) 406 B) 414 C) 318
D) 418 E) 428
19.- El gasto de una persona es D.P. a su
sueldo, siendo el resto ahorrado. Un
señor cuyo sueldo mensual es de S/. 1
200 ahorra S/. 200. ¿Cuál será su
sueldo cuando su gasto sea de S/.
1 300?
A) S/. 1 400 B) S/. 1 134
C) S/. 1 500 D) S/. 1 620
E) S/. 1 560
20.- La velocidad del sonido es DP a T
absoluta, si la velocidad es 340 m/s a
una temperatura de 16 ºC, ¿Cuál será la
velocidad en m/s a una temperatura de
51 ºC?
A) 350 B) 380 C) 320 D) 360 E) 310
21.- Si A y C son D.P. con B que sucede
con A cuando C aumenta en ½ de su
valor y B disminuye en ¼ de su valor.
A) Se duplica
B) Se reduce a su mitad
C) Se reduce a su tercera parte
D) Se triplica
E) N.A.
22.- Dado el cuadro, hallar. (m + n)
A 27 75 n 192
B m 5 4 8
A) 48 B) 51 C) 50 D) 47 E) 54
23.- Se tiene que “A” es D.P. a B2 e I.P. 3 C . Si el valor de “B” se duplica y el
de “C” disminuye en sus 26/27. ¿Qué
sucede con el valor de “A”?
A) Se duplica
B) Se reduce a su mitad
C) Se reduce a su tercera parte
D) Se triplica
E) N.A.
24.- Si el precio de un diamante es D.P. al
cuadrado de su volumen. Si un
diamante de S/. 360 000 se parte en tres
pedazos iguales. ¿Cuánto se gana o se
pierde?
A) Se gana S/. 120 000
B) Se pierde S/. 120 000
C) Se gana S/. 240 000
D) Se pierde S/. 240 000
E) No se pierde
25.- El sueldo de un empleado es
proporcional al cuadrado de la edad
que tiene. Si actualmente tiene 18 años.
¿Dentro de cuantos años cuadriplicara
su sueldo?
A) 30 B) 24 C) 20 D) 15 E) 18
26.- Suponiendo que el costo de los terrenos
es D.P. a su área e I.P. a la distancia
que los separa de Trujillo. Se conoce
que un terreno de forma cuadrada
ubicada a 14 km. Al sur de Trujillo esta
valorizado en 600 dólares. ¿Qué precio
tendrá un terreno de forma cuadrada
cuyo perímetro sea los 3/4 del anterior
y está ubicado a 3 ½ km. Al sur de
Trujillo?
A) S/. 2 700 B) S/. 1 350 C) S/. 675
D) S/. 900 E) S/. 1 500
B
A
8
4
x 12 B
A
40
10
5 y
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REPARTO PROPORCIONAL
I.- Concepto.- Consiste en repartir una cierta cantidad directa y/o inversamente proporcional a
ciertos valores llamados índices de proporcionalidad.
II.- Clases de Reparto:
1.- Reparto Simple.- Es cuando el reparto se realiza proporcionalmente a un grupo de
índices y el reparto simple puede ser de dos tipos:
a.- Reparto Simple Directo:
Ejemplo 01: Repartir S/. 1 250 en forma D.P. a las edades de tres personas que son
12, 14 y 24 años. A cuánto le corresponde a cada uno de ellos
Solución:
D.P
A → 12K
B → 14K
C → 24K
12 14 24 1250
50 1250
1250
50
25
k k k
k
k
k
A = 12 (25) = S/. 300
B = 14 (25) = S/. 350
C = 24 (25) = S/. 600
b.- Reparto Simple Inverso:
Ejemplo 02: Repartir S/. 12 400 entre A, B y C I.P. al número de faltas que son 5, 3
y 2 días. A cuánto le corresponde a cada uno de ellos
Solución:
I.P. D.P. D.P.
A → 5 5
1x M.C.M(5,3,2) kkx 630
5
1
B → 3 3
1 x M.C.M(5,3,2) kkx 1030
3
1
C → 2 2
1 x M.C.M(5,3,2) kkx 1530
2
1
1 250
12 400
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6 10 15 12400
31 12400
12400
31
400
k k k
k
k
k
A = 6 (400) = S/. 2 400
B = 10 (400) = S/. 4 000
C = 15 (400) = S/. 6 000
2.- Reparto Compuesto.- Es cuando el reparto se realiza directamente proporcional a un
grupo de índices e inversamente proporcional a otro grupo de índices.
Ejemplo 03: Un empresario reparte S/. 3 340 de una gratificación para sus tres empleados
en forma D.P. a los años de servicio que son: 15, 12 y 10 e inversamente proporcional a las
tardanzas que tienen 40, 36 y 35 minutos respectivamente. A cuanto le corresponde a cada
uno de ellos
Solución:
D.P. I.P. D.P. D.P.
A → 15 40 8
3
40
15 x M.C.M. (8,3,7) kkx 63168
8
3
B → 12 36 3
1
36
12 x M.C.M. (8,3,7) kkx 56168
3
1
C → 10 35 7
2
35
10 x M.C.M. (8,3,7) kkx 48168
7
2
63 56 48 3340
167 3340
3340
167
20
k k k
k
k
k
A = 63 (20) = S/. 1 260
B = 56 (20) = S/. 1 120
C = 48 (20) = S/. 960
3 340
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PROBLEMAS PROPUESTOS
01.- Ricardo tiene 3 sobrinos de 15; 17 y 19
año; respectivamente y les deja $ 24 000
con la condición de que se dividan esta
suma D.P. a las edades que tendrán
dentro de 3 años. Una de las partes será :
A) $ 6 400 B) $ 5 600 C) $ 8 800
D) $ 9 600 E) $ 10 400
02.- Un padre de familia reparte
semanalmente una propina de S/. 148
entre sus hijos que tienen
respectivamente 12; 15 y 18 años, con la
condición de que se dividan esta suma
I.P. a la edad que tienen. Una de las
partes es :
A) S/. 80 B) S/. 36 C) S/. 64
D) S/. 44 E) S/. 48
03.- Una propina de 40 soles es repartida
entre 2 hermanos directamente
proporcional a sus edades que son 3 y 5
años. ¿Cuánto recibe el mayor?
A) S/. 15 B) S/. 20 C) S/. 25
D) S/. 30 E) S/. 35
04.- Distribuir 110 en partes D.P. a : 1/3 ; 2/3
y 5/6 indicar la menor parte:
A) 10 B) 15 C) 20 D) 24 E) 30
05.- Repartir S/. 78 en partes I.P a 2; 3 y 4
indicar la menor parte (en soles).
A) 12 B) 18 C) 24 D) 30 E) 28
06.- Se reparte una herencia en partes D.P. a
4, 7 y 9 siendo la menor de las partes S/.
28. Hallar el monto de la herencia
A) 100 B) 120 C) 130 D) 140 E) 150
07.- Cuando se reparte una cantidad D.P. a 5;
7 y 13, la diferencia entre la mayor y la
menor de las 3 partes es 480. ¿Cuál es la
cantidad repartida?
A) 1 200 B) 1 500 C) 1 800
D) 1 750 E) 2 000
08.- Divide 156 en tres parte de modo que la
primera sea a la segunda como 5 es 4 y
la primera sea a la tercera como 7 es a 3.
¿Cuál es la segunda?
A) 41 B) 30 C) 70 D) 56 E) N.A.
09.- Se reparte 738 en forma directamente
proporcional a dos cantidades de modo
que ellos están en la relación de 32 a 9.
Hallar la suma de las cifras de la
cantidad menor.
A) 18 B) 14 C) 13 D) 11 E) 9
10.- Repartir 154 en partes directamente
proporcionales a 2/3; 1/4, 1/5; 1/6
A) 80; 34; 20; 19 B) 80; 32; 24; 18
C) 80; 34; 22; 18 D) 80; 30; 24; 20
E) 80; 36; 20; 18
11.- Repartir 42 entre A, B y C de modo que
la parte de A sea doble de la parte de B,
y la de C suma de las partes de A y B.
Entonces el producto de las partes de A,
B y C es:
A) 2 058 B) 980 C) 686
D) 1 856 E) 2 158
12.- Dividir el número 27 400 en 3 partes que
sean I.P. a 102, 119 y 1020. Indicar la
parte mayor.
A) 14 400 B) 14 000 C) 12 500
D) 12 100 E) 11 000
13.- Dos personas que llevan 5 y 3 panes
respectivamente se encuentran con un
cazador hambriento y comparten con
éste los 8 panes en partes iguales. Si el
cazador pagó S/. 8.00 por su parte.
¿Cómo deben repartirse los pastores el
dinero entre sí?
A) S/. 5.00 y S/. 3.00
B) S/. 6.00 y S/. 2.00
C) S/. 4.00 y S/. 4.00
D) S/. 7.00 y S/. 1.00
E) S/. 6.50 y S/. 1.50
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RAZONAMIENTO MATEMATICO
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14.- La tía de Paco, Luís y Toto decide
repartir S/.480 directamente
proporcional a sus edades que son 6, 8 y
10 años. ¿Cuánto de propina recibió
Paco?
A) 120 B) 160 C) 200 D) 320 E) 300
15.- Repartir 54 3 proporcionalmente a
2 ; 3 y 8 . Dar como respuesta la
diferencia entre el mayor y menor de
ellos.
A) 6 B) 5 C) 10 D) 7 E) 2 3
16.- Si al distribuir 3 600 soles que sean
inversamente proporcional a 2, 3, 5 y 6.
¿Cuál es la diferencia entre la mayor y
menor de las partes?
A) S/. 1 000 B) S/. 1 500 C) S/. 2 000
D) S/. 3 000 E) S/. 3 500
17.- Un empresario decide repartir una
gratificación inversamente proporcional
a los años que le faltan a sus tres
empleados para jubilarse los cuales son
5, 3 y 2 años. ¿Cuánto le corresponde al
más antiguo, si la gratificación total
asciende a S/. 12 400?
A) S/. 1 500 B) S/. 6 000 C) S/. 2 400
D) S/. 4 000 E) S/. 4 500
18.- Se divide un cierto número D.P. a los
números 3, 4 y 7 e inversamente
proporcionales a 3/2, 9/4 y 3. Indicar la
diferencia de la mayor respecto a la
menor si la parte intermedia es S/. 3 700
menos que el total.
A) S/. 750 B) S/. 800 C) S/. 1 200
D) S/. 600 E) S/. 500
19.- Repartir 2 225 soles en tres partes que
sean D.P. a los números 3, 5 y 8 e I.P. a
los números 4,6 y 9. dar como respuesta
la parte intermedia.
A) S/. 500 B) S/. 800 C) S/. 750
D) S/. 675 E) S/. 625
20.- Reparten 144 caramelos en forma D.P a
m2, 2m y 1; siendo “m” un número
natural. Si la mayor cantidad al hacer el
reparto es 100. Hallar “m”
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8
21.- Dividir 8970 en partes proporcionales a:
1/2; 2/3; 3/4; 5/6; 7/9; y 5/8. la parte
menor es:
A) 1080 B) 1350 C) 1140
D) 1800 E) N.A
22.- Repartir 6 660 en partes inversamente
proporcional a los números 3; 4/3; 2/5;
8/7 y 6. la parte menor es:
A) 320 B) 240 C) 180 D) 300 E) N.A.
23.- Repartir 8900 en 3 partes que sean D.P a
los números: 3; 5 y 8 e I.P, a los
números 4; 6 y 9. La parte mayor es:
A) 3200 B) 3000 C) 2700
D) 2400 E) N.A
24.- Descomponer 7124 en 3 partes
proporcionales a 422; 28
3 y 56
2. dar
como respuesta la parte mayor que la
menor y menor que la mayor.
A) 832 B) 6 292 C) 5 824
D) 468 E) N.A.
25.- Repartir 6900 en 3 partes tal que la
primera sea a la segunda como 2 es a 3 y
que esta sea a la tercera como 5 es a 7.
Hallar la cantidad menor.
A) 1500 B) 1800 C) 2100
D) 2400 E) 3150
26.- Una cantidad es repartida en forma D.P a
tres números y se obtiene 960; 320 y
240. ¿Cuál será la mayor de las partes si
el reparto se hubiera hecho en forma
inversamente proporcional a los mismos
números?
A) 760 B) 570 C) 630
D) 720 E) 810
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RAZONAMIENTO MATEMATICO
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REGLA DE TRES
Es una operación por medio de la cual se
busca el cuarto término de una proporción, de
la cual se conocen los otros tres. Las reglas
de tres pueden resolver por medio de las
propiedades de las proporciones, o por el
método de reducción a la unidad. Las reglas
de tres son de dos clases simples y
compuestas.
REGLA DE TRES SIMPLE
La regla de tres es simple cuando se
consideran solo dos magnitudes.
La regla de tres simple puede ser directa o
inversa.
I.- Regla de Tres Simple Directa.- La regla
de tres simple directa cuando las
magnitudes son directamente
proporcionales.
Ejemplo 01.- Si 3 metros de polystel
cuesta S/. 120. ¿Cuánto se pagara por 5.5
metros del mismo polystel?
Solución:
Supuesto: 3 m. → S/. 120
Pregunta: 5.5 m. → X
más a más
Razonando: Si por 3 metros se paga S/.
120 por mas metros se pagara más (+
a +); la regla es directa.
3
5.5120 X 220./SX
Respuesta.- Por los 5.5 metros del mismo
polystel se pagara S/. 220
Ejemplo 02.- Por dos docenas de botellas
de miel de abeja se pagó S/. 264. ¿Cuánto
se pagara por 9 botellas menos?
Solución:
Supuesto: 24 botellas → S/. 264
Pregunta: 15 botellas. → X
menos a menos
Razonando: Si por 24 (2 docenas)
botellas se paga S/. 264 por 9 botellas
menos se pagara menos ( – a – ); la regla
es directa.
24
15264 X 165./SX
Respuesta.- Por 9 botellas menos se
pagara S/. 165.
II.- Regla de Tres Simple Inversa.- La regla
de tres es simple inversa cuando las
magnitudes son inversamente
proporcionales.
Ejemplo 03.- Si 21 obreros tardan 10
días para hacer una obra. ¿Cuántos
obreros se necesitaran para hacer la
misma obra en 15 días?
Solución:
Supuesto: 10 días → 21
Pregunta: 15 días. → X
más a menos
Razonando: Si en 10 días hacen la obra
21 obreros; para hacerlo en más días se
necesitaran menos obreros ( + a – ); la
regla es inversa
21 10
15
obreros díasX
días
14 X obreros
Respuesta.- Para hacer la misma obra en
15 días se necesitarían 14 obreros.
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PROBLEMAS PROPUESTOS
01.- Un reloj da 3 campanadas en 3
segundos. ¿En cuántos segundos dará 9
campanadas?
A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 8
02.- Un jardinero siembra un terreno
cuadrado de 8 metros de lado en 5 días.
¿Cuántos días le tomara en sembrar otro
terreno de 16 metros de lado?
A) 10 B) 16 C) 20 D) 18 E) 15
03.- Nueve hombres pueden hacer una obra
en 5 días. ¿Cuántos hombres más harían
falta para hacer la obra en 1 día?
A) 20 B) 27 C) 32 D) 36 E) 45
04.- A es el doble de rápido que B pero la
tercera parte de C. Si B y C hacen una
obra en 27 días. ¿En cuántos días harán
la obra los tres juntos?
A) 15 B) 21 C) 24 D) 32 E) 45
05.- Para pintar un cubo de 10 centímetros de
lado se gasta 360 soles. ¿Cuánto se
gastara para pintar un cubo de 15
centímetros de lado?
A) 340 B) 430 C) 650
D) 720 E) 810
06.- Un caballo atado a una cuerda de 1.5
metro de longitud puede comer todo el
pasto que está a su alcance en 2 días.
Que tiempo demoraría para comer todo
el pasto que está a su alcance si la
longitud de la cuerda fuese 3 veces más
grande.
A) 30 días B) 31 días C) 32 días
D) 35 días E) 38 días
07.- Un cubo de madera cuesta 1920 soles.
¿Cuánto costara un cubo de madera cuya
arista sea los 5/4 de la arista anterior?
A) 3750 B) 3850 C) 4530
D) 3560 E) 2890
08.- Un reloj marca la hora a las 0 horas de
un cierto día, si se sabe que se adelanta 4
minutos cada 12 horas. ¿Cuánto tiempo
transcurrirá para que nuevamente
marque la hora exacta?
A) 90 días B) 9 días C) 36 días
D) 8 días E) 32 días
09.- Seis caballos tiene ración para 15 días, si
se aumentan 3 caballos más. ¿Para
cuantos días alcanzará la ración anterior?
A) 8 días B) 10 días C) 11 días
D) 12 días E) 13 días
10.- Un automóvil tarda 8 horas en recorrer
un trayecto yendo a 90 Km./ h. ¿Cuánto
tardara en recorrer el mismo trayecto
yendo a 60 Km./h?
A) 12 horas B) 14 horas C) 20 horas
D) 10 horas E) 15 horas
11.- En 10 litros de agua de mar hay 92
gramos de sal. ¿Cuántos gramos de sal
habrá en 25 litros?
A) 320 B) 200 C) 240 D) 230 E) 220
12.- Una obra puede ser hecha por 20 obreros
en 14 días. ¿Cuántos obreros hay que
añadir para que la obra se termine en 8
días?
A) 15 B) 13 C) 12 D) 10 E) 20
13.- Un ganadero tiene 640 corderos que
puede alimentar durante 65 días.
¿Cuántos corderos debe vender si quiere
alimentar su rebaño por 15 días más?
A) 100 B) 120 C) 130 D) 140 E) 150
14.- Un barco tiene víveres para 78
tripulantes durante 22 días, pero solo
viajan 66 personas. ¿Qué tiempo duraran
los víveres?
A) 18 días B) 19 días C) 24 días
D) 26 dais E) 28 días
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RAZONAMIENTO MATEMATICO
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REGLA DE TRES COMPUESTA
Método de Rayas:
a.- Causa o Acción.- Es todo aquello que
realiza o ejercita una obra pudiendo ser
efectuada por el hombre, animal o una
máquina. Ejemplo 6 obreros hacen una
obra.
b.- Circunstancia.- Es el tiempo, el modo, la
forma, como se produce o como se
fabrica algo. Ejemplos, En tantos días, en
tantas horas.
c.- Efecto.- Es todo hecho, lo producido, lo consumido, lo gastado lo debido, lo realizado, lo
fabricado, etc.
En la regla de Tres Simple Compuesta participan por lo general las siguientes magnitudes:
Obra
Días
Obreros
H/D (Horas diarias)
Rendimiento (Eficiencia)
Dificultad (Dureza)
Observación:
La eficiencia y la habilidad o rendimiento del hombre y obrero va junto al mismo (en la
causa).
La oposición o dificultad de la obra va junto a ella misma (en el efecto).
PROBLEMA GENERAL
CAUSA CIRCUNSTANCIA EFECTO
HOMBRES EFICIENCIA DIAS H/D LARGO ANCHO ALTO DIFICULTAD DUREZA
A1 B1 C1 D1 E1 F1 G1 H1 I1
A2 B2 x D2 E2 F2 G2 H2 I2
Se cumple que: I H GF E Dx B A IH G F E D C B 11111222222221111 A
Ejemplo: 3 obreros hacen una obra en 10 días trabajando 8 H/D. ¿Cuántos días necesitaran 5
obreros trabajando 6 H/D para hacer la misma obra?
Solución:
16518103 x x65
8103
x 8
CAUSA CIRCUNSTANCIA EFECTO
OBREROS DIAS H/D OBRA
3 10 8 1
5 x 6 1
I H GF E D B A
IH G F E D C B
11111222
222221111
Ax
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PROBLEMAS PROPUESTOS
01.- 12 obreros en 5 días han hecho 40 m2
de una obra. ¿En Cuantos días 60
obreros harán 80 m2 de obra?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8
02.- 48 señoras en 12 días tejen 150
chompas. ¿Cuántas chompas tejerán 36
señoras en 8 días?
A) 60 B) 65 C) 70 D) 75 E) 80
03.- 15 tigres en el mes de Abril comen
240 Kg. de carne. ¿Cuántos Kg. De
carne comerán 90 tigres en 25 días?
A) 1000 B) 1100 C) 1200
D) 1400 E) 1600
04.- 2 secretarias copian 350 problemas en
una semana. ¿Cuántas secretarias serán
necesarias para copiar 600 problemas
en 4 días?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
05.- 12 obreros hacen 72 mesas en 6 días.
¿Cuántas mesas harán 3 en 2 días?
A) 5 B) 6 C) 12 D) 20 E) 54
06.- Un zapatero hace 30 zapatos en 5 días.
¿Cuántos hará en 10 días si trabaja el
doble de horas diarias?
A) 110 B) 120 C) 130 D) 140 E) 150
07.- Una cuadrilla cosecha un campo
cuadrado de 20 metros de lado en 16
días. ¿En cuántos días cosechara un
campo cuadrado de 30 metros de lado?
A) 9 B) 12 C) 36 D) 18 E) 24
08.- 36 hombres pueden realizar 20 sillas en
20 días. Si trabajan 60 hombres para
hacer 20 sillas cuya dificultad sea el
triple de las anteriores. ¿En cuántos días
las terminara?
A) 36 B) 30 C) 32 D) 45 E) N.A.
09.- 10 peones se demoran 15 días
trabajando 7 H/D para sembrar 50 m2
de un terreno. ¿Cuántos días de 8 H/D
se demoran en sembrar 80 m2 de un
terreno 15 peones doblemente hábiles?
A) 7 B) 8 C) 10 D) 14 E) 15
10.- 60 obreros pueden cavar una zanja de
800 metros en 50 días. ¿Cuántos días
necesitaran 100 obreros para cavar una
zanja de 1 200 cuya dureza es 3 veces la
del terreno anterior?
A) 130 B) 145 C) 160 D) 135 E) 48
11.- 80 obreros trabajando 8 H/D construyen
480 m2 de una obra en 15 días.
¿Cuántos días se requieren para que 120
obreros trabajando 10 H/D hagan 960
m2 de la misma obra?
A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 30
12.- 12 obreros hacen una obra en 28 días, si
8 de los obreros aumentan su
rendimiento en un 60 %. ¿Qué tiempo
se demorarían?
A) 25 días B) 20 días C) 22 días
D) 15 días E) 24 días
13.- Una compañía posee 3 máquinas de
70 % de rendimiento para producir 1
600 envases en 6 días de 8 H/D de
trabajo. Si se desea producir 3 600
envases en 4 días de 7 H/D. ¿Cuántas
máquinas de 90 % de rendimiento se
requieren?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 11
14.- Si 20 peones se demoran 21 días de 5
horas diarias en sembrar en un terreno
cuadrado de 20 metro de lado. ¿Cuántos
días de 8 horas diarias de trabajo se
demorarán en sembrar un terreno de
40 metros de lado y de una dureza
cuádruple del anterior, 30 peones
doblemente hábiles?
A) 20 B) 84 C) 80 D) 70 E) 60
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PROBLEMAS APLICANDO EL MÉTODO DE ÁREAS 01.- 10 obreros pueden hacer una obra en 24
días. Si después del cuarto día, se retiran
2 obreros. ¿Con cuántos días de retraso
se entregara la obra?
A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) N.A.
02.- 4 obreros pueden terminar una obra en
20 días. Si después de trabajar 5 días
llegan 2 obreros más. ¿Cuántos días
antes del plazo terminaron?
A) 7 B) 6 C) 5 D) 10 E) N.A.
03.- 15 obreros se comprometen hacer una
obra en 10 días trabajando 8 h/d; al cabo
de 2 días de trabajo, se le pidió que
entreguen la obra 2 días antes de lo
pactado; razón por la cual deciden
trabajar 10 h/d y contratar más obreros.
¿Cuántos obreros se contrataron?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 15
04.- En 15 días se hará una obra con 18
obreros; luego de cierto tiempo se
contratan 6 obreros más y 9 días después
se termina la obra. ¿A los cuántos días se
aumentó el personal?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
05.- 15 obreros se comprometen a realizar
una obra en 25 días trabajando 8 H/D; al
cabo del quinto día se les pidió que
entreguen la obra 5 días antes de lo
pactado, razón por la cual se decide
trabajar 10 H/D y contratar más obreros.
¿Cuántos obreros se contrataron?
A) 1 B) 2 C) 7 D) 16 E) N.A.
06.- 20 obreros hacen una obra en 15 días de
10 horas diarias. Después del cuarto día
deciden terminar la obra 3 días antes de
lo establecido por lo que aumentaron en
1 hora el trabajo diario y el número de
obreros en “x”, hallar “x”.
A) 2 B) 5 C) 6 D) 4 E) N.A.
07.- Un grupo de 20 obreros deben terminar
una obra en 30 días de 8 horas diarias.
Luego de 12 días de trabajo se pidió que
la obra quedase terminados 6 días antes
del plazo y así se hizo, para ello se
contrataron 4 obreros más y se aumenta
en “n” horas el trabajo diario. Hallar “n”.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
08.- 15 obreros se comprometen realizar una
obra en “d” días de 6 H/D. después de
10 días, 10 obreros se enferman y
disminuyen su rendimiento al 75% y 10
días más tarde ellos se retiran, motivo
por el cual los obreros restantes
aumentan en 4h el trabajo diario. Si la
obra se entrega con 27 días de retraso.
Hallar “d”
A) 40 B) 50 C) 45 D) 55 E) 35
09.- 12 obreros pueden terminar un trabajo
en 15 días. Después de trabajar 7 días, 5
obreros se dan de baja y recién después
de 3 días se contratan “n” obreros para
acabar el trabajo en el tiempo previsto.
Hallar “n”
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
10.- 30 obreros trabajando 8 horas diarias
pueden terminar un trabajo en 10 días.
Después de 5 días de trabajo se retiran 5
obreros. ¿Cuántas horas diarias deben
trabajar ahora para que terminen la obra
en el plazo estipulado?
A) 9.6 B) 12 C) 9.8 D) 10 E) 8
11.- Se contrataron 50 obreros para una obra
de 60 días de duración. Estos
comenzaron la obra laborando 6 H/D.
Luego de trabajar 20 días se decidió
acabar la obra 15 días antes, por lo que
se requirió más obreros y trabajar 2 H/D
más. ¿Cuántos obreros se tuvieron que
contratar para acabar la obra en el plazo
pedido?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 14 E) 15
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RAZONAMIENTO MATEMATICO
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PROBLEMAS PROPUESTOS
01.- Sabiendo que un caballo atado a una
cuerda de 3 metros de largo tarda 5 días
en comerse toda la hierba que se
encuentra a su alcance. Cuanto tardaría
si la cuerda fuera de 6 metros
A) 20 días B) 23 días C) 25 días
D) 30 días E) 35 días
02.- Se tiene 200 bolas de las cuales 60 son
negras y las restantes blancas. ¿Cuántas
bolas blancas se deben añadir para que
por cada 20 bolas blancas haya 3 bolas
negras?
A) 140 B) 200 C) 240 D) 260 E) 220
03.- Se tiene 50 cuadernos de los cuales 15
son rayados y los restantes
cuadriculados. ¿Cuántos cuadernos
rayados se deben añadir para que por
cada 40 cuadernos rayados hayan 5
cuadernos cuadriculados?
A) 280 B) 265 C) 256 D) 275 E) 295
04.- Se pone en funcionamiento un reloj que
se adelanta 2/5 de minuto por hora.
¿Qué tiempo como mínimo debe
transcurrir para que marque nuevamente
la hora exacta?
A) 80 días B) 78 días C) 75 días
D) 76 días E) 81 días
05.- 60 litros de agua de mar contienen 3
libras de sal. ¿Cuánto de agua dulce
habrá que agregarle para que en cada 7
litros de la nueva mezcla se encuentre
1/5 de libra de sal?
A) 45 B) 30 C) 38 D) 42 E) N.A.
06.- Un albañil ha construido un muro en 16
días. Si hubiera trabajado 4 horas
menos habría empleado 8 días más para
hacer el muro. ¿Cuántas horas hubiera
trabajado por día?
A) 6 B) 12 C) 10 D) 8 E) 16
07.- Un súper panetón en forma de
paralelepípedo pesa 1 620 gramos. El
peso en gramos de un minipanetón de
igual forma pero con dimensiones
reducidas a la tercera parte es:
A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70
08.- Una compañía posee 7 máquinas de 30
% de rendimiento para producir 3 200
conserva cada 8 días de 6 horas diarias.
Si se desea producir 7 200 conservas en
4 días de 7 horas diarias. ¿Cuántas
máquinas de 90 % de rendimiento se
requieren?
A) 8 B) 9 C) 3 D) 4 E) 6
09.- 9 técnicos pueden ensamblar 6 radios en
12 días trabajando 8 horas diarias.
¿Cuántos radios ensamblaron 10
ayudantes en 18 días trabajando 6 horas
diarias si la eficiencia de los ayudantes
es 60 % menos de los técnicos?
A) 1 B) 9 C) 3 D) 4 E) 6
10.- 2 250 hombres tienen alimentos para 70
días, pero al finalizar el 29 se retiran
200 hombres. ¿Cuántos días más
durarán las provisiones?
A) 45 B) 40 C) 38 D) 36 E) 30
11.- 8 obreros pueden terminar una obra en
20 días. Si la obra fuera 2 veces más
difícil pero se añadieron 10 nuevos
obreros al cuádruple de eficientes que
los anteriores. ¿Qué tiempo duraría la
obra?
A) 5 días B) 8 días C) 10 días
D) 11 días E) 16 días
12.- En una fábrica 15 señoritas producen 12
chompas en 15 días. ¿Cuántas
empleadas más doblemente hábiles
deberá contratar el dueño para producir
60 chompas en 10 días más?
A) 10 B) 15 C) 20 D) 22 E) 25
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RAZONAMIENTO MATEMATICO
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PORCENTAJES
TANTO POR CUANTO
Es una expresión que representa a una
cantidad (tanto) que se toma de cuantas
unidades iguales o de cuantas partes iguales se
hayan dividido el todo o la unidad.
Ejemplo:
Sea el todo o unidad dividida en 15 partes
iguales de la cual tomaremos 6 partes.
Ejemplos:
Hallar el 8 por 20 de 60.
860 24
20x
EJERCICIOS PROPUESTOS
01.- Halla el 5 por 4 de 200
A) 25 B) 24 C) 23 D) 22 E) N.A.
02.- Hallar el 3 por 4 de 800
A) 600 B) 500 C) 400 D) 300 E) 200
03.- Hallar el 3 por 4 del 5 por 7 de 280
A) 50 B) 100 C) 150 D) 200 E) N.A.
04.- Halla el 5 por 8 de 200
A) 100 B) 150 C) 160 D) 180 E) 125
05.- Halla el 3 por 20 del 7 por 12 de 320
A) 82 B) 41 C) 14 D) 28 E) 56
06.- Halla el 5
6 por 4 de 240
A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50
07.- El 16 por 80 de 30 son limeños.
¿Cuántos son provincianos?
A) 20 B) 21 C) 22 D) 24 E) N.A.
08.- Juan tiene 45 años y Pedro tiene el 2 / 3
por 3 más que la edad de Juan. Halla la
edad de Pedro.
A) 10 B) 35 C) 55 D) 65 E) 85
09.- Agnes tiene S/. 180 y Tety tiene el 1/5
por 6 menos de lo Agnes. ¿Cuánto tiene
Tety?
A) 160 B) 164 C) 174 D) 184 E) 154
10.- Tengo S/. 180 y gasto el 1/ 5 por 1/ 4 .
De lo que tengo ¿Cuánto me queda?
A) 10 B) 36 C) 55 D) 65 E) 85
11.- Un libro cuesta el 1/ 2 por 6 de S/. 84.
¿Cuánto cuesta el libro?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
La parte sombreada representa a:
6 partes de 15
6 por cada 15
6 por15
Recuerda, el por de
una cantidad , se calcula así:
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TANTO POR CIENTO O PORCENTAJE
La palabra “Por Ciento” viene de la
palabra latina “Per Centum” y de ella
deriva la palabra porcentaje.
Se denomina porcentaje o tanto por ciento,
al número de unidades que se toma de cada
100.
La frase “Por Ciento” se usa cuando una
razón esta expresada con un denominador
100.
El símbolo (%) es usado para indicar “Por
Ciento.”. Este símbolo es una abreviatura
de 1
100.
Es una caso especial del tanto por cuanto y
se refiere a una cantidad que se toma de
cada 100 unidades o cada 100 partes
iguales del todo o la unidad.
Ejemplo:
Sea el todo o unidad dividida en 100 partes
iguales de la cual tomaremos 20 partes.
Notas:
Se puede sumar o restar porcentajes de una
misma cantidad.
20% a + 50% a = 70% a
80% b - 60% b = 20% b
a + 20% a = 120% a
b - 35% b = 65% b
Todo número puede ser expresado como un
porcentaje, multiplicado dicho número por
100
2 2
100% 40%5 5
x
0,06 = 0,06 x 100% = 6%
3 = 3 x 100% = 300 %
2.5 = 2.5 x 100% = 250 %
1.5 = 1.5 x 100% = 150 %
1 = 1 x 100% = 100 %
Las palabras “de”, “del” o “de los”
matemáticamente significan multiplicación
y la palabra “es” significa igualdad.
Halla el 30 % del 20% de 10.
30 20 310
100 100 5
Halla 80% de los 3
5 de 100.
80 3100 48
100 5
Halla 80% de (30% de 10) más el 30
% de (30% de 10)
80% 30% de 10 30% 30% de 10
110% 30% de 10
110 30 10
100 100
33
10
La parte sombreada representa
a:
20 partes de 100
20 por cada 100
20 por ciento
20% Recuerda, que para hallar de
una cantidad , se calcula así:
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FRACCIONES Y PORCENTAJES
La expresión %a representa una función, cuyo
numerador es a y el denominador es 100, esto
significa que se pueden expresar los
porcentajes como números fraccionarios.
% 100
aa
Ejemplos:
Hallar el 25 % de 32:
25 132 32 8
100 4
Hallar el1
33 %3
de 60:
1 133 60 60 20
3 3
Hallar el 25% de 1
33 %3
de 180 es:
1 1 125% 33 180 180 15
3 4 3de de
DECIMALES Y PORCENTAJES
Sabemos que los decimales son números que se
pueden expresar como fracciones, luego si
hemos visto que los porcentajes son fracciones,
entonces los decimales se pueden usar para
representar porcentajes
Ejemplos:
25 % 25
0,25100
132 % 132
1,32100
2 % 2
0,02100
En el siguiente cuadro se resumen las
equivalencias entre porcentajes, fracciones
y decimales que más se usan.
(%) Fracción Decimal
1 1
100 0,01
2 1
50 0,02
5 1
20 0,05
10 1
10 0,10
20 1
5 0,02
25 1
4 0,25
30 3
10 0,30
40 2
5 0,40
50 1
2 0,50
60 3
5 0,60
70 7
10 0,70
75 3
4 0,75
80 4
5 0,80
90 9
10 0,90
120 6
5 1,20
150 3
2 1,50
133
3
1
3 0,333......
216
3
1
6 0,166.....
Vemos, que para hallar algunos
porcentajes es preferible usar los
equivalentes fraccionarios.
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PROBLEMAS FUNDAMENTALES SOBRE PORCENTAJE
Los problemas fundamentales de tanto por
ciento o porcentaje pueden reducirse a la
siguiente expresión:
% P N R
Donde:
% Nos indica el número de centecimas a tomar
La cantidad de la cual hay que tomarlas
Es el resultado de la operacion
P
N
R
Se tienen los siguientes casos:
Primer Caso:
Cuando en P % de N R
Se conocen : P % y N
Se desconocen : R
Ejemplo:
Hallar el 20% de 400
20 400
100
20400
100
20 4
de R
R
R
80R
EJERCICIOS PROPUESTOS
01.- Hallar el 5% de 180
A) 27 B) 18 C) 20 D) 15 E) 9
02.- Hallar el 40% de 900
A) 360 B) 320 C) 340 D) 350 E) 330
03.- Hallar el 37% de 1500
A) 560 B) 558 C) 557 D) 556 E) 555
04.- Hallar el 0.05 % de 4 200
A) 0.12 B) 0.021 C) 2.1 D) 2.01 E) N.A.
05.- Hallar el 0.002% de 36 000
A) 0.60 B) 0.72 C) 0.74 D) 0.75 E) 0.80
06.- Hallar el 27 % de 6 000
A) 1640 B) 1620 C) 162 D) 16,2 E) N.A.
07.- Hallar el 3/5% de los 3 de 10
A) 1,8 B) 1800 C) 180 D) 0.18 E) N.A.
08.- Hallar el 3/2 % de (la mitad de 100,
aumentado en 50).
A) 1,5 B) 15 C) 150 D) 75 E) 25
09.- Hallar el 0.03% del 0.2% de 24 de los 106
A) 144 B) 14,4 C) 1440 D) 104 E) N.A.
10.- El 20% del 30% del 0.001 de 60 de los
104 es:
A) 0,36 B) 3600 C) 3,6 D) 36 E) N.A.
11.- Si Nataly recibe de propina el 28 % de 60
soles; y Vanesa recibe de propina el 32%
de 50 soles. ¿Quién recibe más dinero?
A) Nataly B) Vanesa C) Iguales
D) No se Sabe E) N.A.
12.- Entre tú y Yo tenemos 600 manzanas, si
tú me dieras el 15% de las tuyas Yo
tendría 430 manzanas. ¿Cuántas
manzanas tengo?
A) 200 B) 400 C) 450 D) 350 E) N.A.
13.- Si:
A = 20% del 5% de 36 de los 103
B = 0,03% del 0,2% de 107
Hallar el 50% del 32% del A % de B
A) 34,56 B) 345,6 C) 3 456x10 – 3
D) 4 356x10 – 2 E) N.A.
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14.- Si:
A = 5/8 del 0.04% de 120 000
B = 0.06% de los 4/5% de 2x 107
Hallar el 0.025% del 40% de (A + B)
A) 126x10 – 3 B) 12,3 C) 1260 x10 – 5
D) 126 E) N.A.
Segundo Caso:
Cuando en P % de N R
Se conocen : P % y R
Se desconocen : N
Ejemplo:
Hallar el 20% de que numero es 80
80 100
20
20 N 80
100de
N
400N
EJERCICIOS PROPUESTOS
01.- El número 18 es el 25% de:
A) 62 B) 80 C) 70 D) 72 E) 62
02.- El número 480 es el 32% de:
A) 1040 B) 1100 C) 1500
D) 1600 E) 950
03.- Hallar el 10% del 25% de 400 000
A) 10 000 B) 1 000 C) 1 100
D) 11 000 E) N.A.
04.- ¿25% de que numero es 60?
A) 240 B) 162 C) 260 D) 24 E) N.A.
05.- ¿0.06% de qué número es 24?
A) 20 000 B) 30 000 C) 40 000
D) 50 000 E) N.A.
06.- ¿36% de qué número es 144?
A) 40 B) 400 C) 360
D) 1 400 E) N.A.
07.- ¿0.45% de qué número es 9?
A) 200 B) 2 000 C) 20
D) 20x10 4 E) N.A.
08.- ¿El 30% de 2/3 % de qué número es 16?
A) 0,08 B) 0,001 8 C) 8x103
D) 800 E) N.A.
09.- ¿4/9 % del 9/12 % de qué número
es 5x10 –5
?
A) 15 B) 1 500 C) 1.5 D) 15 000 E) 0.15
10.- ¿El 20% de qué número es el 40% del
5% de 600?
A) 600 B) 6 C) 60 D) 6 000 E) N.A.
11.- El 15% del 40% de los 5/8 de un número
es equivalente al 25% del 0.02% de 2
250. El número es:
A) 3 B) 30 C) 300 D) 3 000 E) N.A.
12.- ¿Cuál es el mayor?
a.- Un número cuyo 60% es 240
b.- Un número cuyo 80% es 64
c.- Un número cuyo 5% del 40% es 80
d.- Un número cuyo 0.03% es 15
e.- Un número cuyo 0.05% del 6% es
0.003
A) a B) b C) c D) d E) e
13.- Si tuviera 20% más de la edad que tengo
tendría 48 años. ¿Qué edad tengo en la
actualidad?
A) 30 años B) 40 años C) 50 años
D) 20 años E) 45 años
14.- Si vendiera mi libro de Razonamiento
matemático en un 30 % menos, costaría
17,5 soles. ¿Cuál es el precio real del
libro?
A) 30 soles B) 25 soles C) 20 soles
D) 35 soles E) 45 soles
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15.- Si Olga tuviera el 35 % menos de la edad
que tiene, tendría 13 años. ¿Cuántos años
tendrá dentro de 8 años?
A) 20 años B) 25 años C) 28 años
D) 26 años E) 40 años
Tercer Caso:
Cuando en P % de N R
Se conocen : N y R
Se desconocen : P %
Ejemplo:
¿Qué porcentaje de 250 es 200?
%
20 100
250
250 20
250 20100
P de
P
P
8 %P
EJERCICIOS PROPUESTOS
01.- ¿Qué porcentaje de 120 es 48?
A) 30% B) 35% C) 40%
D) 45% E) 50%
02.- ¿Qué porcentaje de 0,025 es 0,005?
A) 10% B) 15% C) 20%
D) 25% E) 30%
03.- ¿Qué % de 40 es 8?
A) 35% B) 25% C) 45%
D) 20% E) 30%
04.- ¿Qué porcentaje de 460 es 23?
A) 0.5% B) 50% C) 5%
D) 20% E) N.A.
05.- ¿Qué porcentaje de 0.04 es 24 x10 – 3
?
A) 6% B) 60% C) 0.6%
D) 36% E) N.A.
06.- ¿Qué porcentaje de 80 es 20?
A) 20% B) 30% C) 25%
D) 50% E) 40%
07.- ¿Qué porcentaje de 340 es 44,20?
A) 13% B) 12% C) 11%
D) 10% E) 9%
08.- ¿Qué % de 600 es 6?
A) 5% B) 4% C) 3%
D) 2% E) 1%
09.- ¿Qué porcentaje de 95 es 30,40?
A) 32% B) 31% C) 29,5%
D) 28% E) N.A.
10.- ¿Qué tanto por ciento de 50 es 120?
A) 24% B) 200% C) 240%
D) 220% E) 210%.
11.- ¿Qué tanto por ciento de 125 es 0,25?
A) 0,1% B) 0,2% C) 0,3%
D) 0,25% E) 0,5%
12.- ¿Qué tanto por ciento de 0,5 es1
4?
A) 200% B) 300% C) 50%
D) 100% E) 150%
13.- ¿Qué % de 40 es 32?
A) 70% B) 80% C) 90%
D) 75% E) 85%
14.- ¿Qué porcentaje de 3
5 es
3
20?
A) 30% B) 25% C) 20%
D) 15% E) 10%
15.- ¿Qué porcentaje de 575 es 483?
A) 82% B) 84% C) 85%
D) 78% E) 87%
16.- ¿Qué % de 0,25 es 0,1?
A) 30% B) 40% C) 45%
D) 50% E) 60%
17.- ¿Qué porcentaje de 48 es 36?
A) 25% B) 50% C) 75%
D) 30% E) 45%
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DESCUENTOS SUCESIVOS Este tipo de problemas aparece cuando a una cantidad se le aplica más de un descuento. Por lo
cual se puede utilizar la siguiente fórmula:
1 2 3
1
100 100 100 ...... 100100 %
100
N
U N
D D D DD
Donde:
1 2 3, , ,....., Indican los descuentos sucesivos
Indica el numero total de descuentos
Indica el descuento único, equivale a todos los descuent
N
U
D D D D
N
D
os realizados.
Cuando se trata tan solo de dos descuentos se puede aplicar la siguiente fórmula:
1 21 2 %
100U
DD D
DD
Dónde:
1
2
= Primer descuento
= Segundo descuento
D
D
AUMENTOS O RECARGAS SUCESIVAS
Este tipo de problemas aparece cuando a una cantidad se le aplica más de un aumento. Por lo
cual se puede utilizar la siguiente fórmula:
1 2 3
1100
100 100 100 ...... 100%
100
N
U NA
A A A A
Donde:
1 2 3, , ,....., Indican los descuentos sucesivos
Indica el numero total de descuentos
A Indica el descuento único, equivale a todos los descuent
N
U
A A A A
N
os realizados.
Cuando se trata tan solo de dos descuentos se puede aplicar la siguiente fórmula:
1 21 2 %
100U
AA A A
A
Dónde: 1
2
= Primer aumento
= Segundo aumento
A
A
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VARIACIONES PORCENTUALES
Se denomina así, al cambio que experimenta una cantidad con relación a su valor original, y que
es expresado en forma de tanto por ciento; en otras palabras si cierta magnitud cambia de valor,
el cambio puede expresarse en % de la siguiente manera.
100% F I
I
V V
V
Donde:
PROBLEMAS PROPUESTOS
01.- El 40% más de que número es 980
A) 500 B) 600 C) 700 D) 750 E) 800
02.- El 30% más de que número es 650
A) 320 B) 420 C) 500 D) 520 E) 560
03.- El 80 % menos de que número es 450
A) 1800 B) 2100 C) 2250
D) 2300 E) 2400
04.- El 70 % menos de que número es 120
A) 400 B) 500 C) 600 D) 700 E) 800
05.- De qué número 1836 es el 53 % más
A) 1500 B) 1400 C) 1300
D) 1200 E) 1100
06.- De qué número es 360 el 20 % más
A) 300 B) 310 C) 312 D) 315 E) 320
07.- De qué número es 90 el 25% menos
A) 100 B) 105 C) 108 D) 110 E) 120
08.- El precio de un artículo aumento de 24 a
30. ¿Cuál fue el porcentaje de aumento?
A) 10 % B) 60 % C) 6 % D) 25 % E) 9 %
09.- ¿Determine el 10 % del 20 % del 0.5 % de
los 2/5 de 1 000
A) 2 % B) 3 % C) 4 % D) 9 % E) 16 %
10.- La población de una ciudad en 1980 era
60 mil habitantes y en 1990 era de 72 mil
habitantes. ¿Cuál fue el porcentaje de
aumento en la población?
A) 18 % B) 20 % C) 6 % D) 15 % E) 8 %
11.- El 40 % de los 3/4 del 6 % de 48 es 0.012
de los 2/3 de una cantidad. Hallar dicha
cantidad.
A) 36 B) 72 C) 108 D) 144 E) 160
12.- Qué porcentaje del 20 % del 60 % de 8
000 es el 0.2 % de los ¾ de 16 000.
A) 20 % B) 18 % C) 15 % D) 10 % E) 2.5 %
13.- ¿A qué aumento único equivalen 3
aumentos sucesivos del 5 %, 20 % y 50
%?
A) 69 % B) 79 % C) 89 %
D) 99 % E) 100 %
14.- ¿A qué descuento único equivalen 3 tres
descuentos sucesivos 20 %, 30 % y 50 %?
A) 32 % B) 52 % C) 62 %
D) 72 % E) 82 %
15.- Tres descuentos sucesivos del 20 %, 30
% y 40 % equivalen a un descuento
único de
A) 66.4 % B) 65.4 % C) 67.4 %
D) 68.4 % E) 78.4 %
% Porcentaje de Variacion
= Valor final
= Valor inicial
F
I
V
V
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APLICACIÓN COMERCIAL DEL TANTO POR CIENTO
V CP P G O V CP P P
Sea:
Precio de venta = PV
Precio de costo = PC
Ganancia = G
Perdida = P
APLICACIÓN:
01.- Un comerciante compra 40 m de tela por 6400. ¿A qué precio debe vender el metro para
ganar:
a) El 10% sobre el precio de compra? b) El 10% sobre el precio de venta?
Solución:
Precio de compra por metro: PC = 16040
6400
a. PV = PC + G
PV = PC + (10%) PC
PV = PC + 10
P C10
PV = PC + (0.10) PC
PV = 1.10 PC
PV = (1.10) (160) PV = 176
b) PV = PC + G
PV = PC + (10%) PV
PV = PC + (0.10) PV
PV - 0.10 PV = PC
PV = 9.0
P C
PV = 9.0
160 PV = 177.77
GRÁFICA 1: De la gráfica:
Sea:
Pf : Precio fijado
PL : Precio de Lista
D : Descuento
G : Ganancia o Ganancia Bruta
* La ganancia o pérdida, mientras no se diga nada, será referida al precio de costo.
* El descuento, mientras no se diga nada, será referida al precio de lista.
Pv Pc Pf
Pl
Aumento
Ganancia Descuento
Rebaja
PV = P. Fijado – Descuento P. Lista = Pc + Aumento
Recuerda
Lic. Fis. Jorge Daniel Torres Alvarez Ciclo de Nivelación
RAZONAMIENTO MATEMATICO
UNIVERSIDAD SAN PEDRO
CAJAMARCA
PROBLEMAS PROPUESTOS
01.- ¿Cuál fue el precio de lista de una
muñeca que se vendió en 160 soles,
habiéndose efectuado un descuento del
20 %?
A) S/. 400 B) S/. 300 C) S/. 200
D) S/. 150 E) S/. 100
02.- Se vende un artículo en S/. 600 ganado
el 25 % ¿Cuál fue el precio de costo?
A) S/. 400 B) S/. 480 C) S/. 840
D) S/. 460 E) S/. 450
03.- ¿Cuál será el precio a que se debe
vender un artículo que ha costado 340
soles para ganar el 15 % del precio de
venta?
A) S/. 250 B) S/. 300 C) S/. 350
D) S/. 400 E) S/. 450
04.- ¿A cómo se debe vender lo que costó 60
soles para ganar el 60 % del precio de
Venta?
A) S/. 150 B) S/. 80 C) S/. 90
D) S/. 95 E) S/. 100
05.- ¿A cómo se debe vender lo que costó 60
soles para ganar el 60 % del precio de
costo?
A) S/. 150 B) S/. 80 C) S/. 90
D) S/. 96 E) S/. 120
06.- Se vendió una radio en 640 soles,
ganado el 28 % del precio de compra
más el 10 % del precio de venta.
¿Cuál es el costo del radio?
A) S/. 380 B) S/. 450 C) S/. 480
D) S/. 490 E) S/. 540
07.- Un artefacto ha sido vendido por un
comerciante en 470 soles perdiendo una
cantidad equivalente al 11 % del precio
de venta más el 6 % del precio de costo.
¿Cuánto le habría costado dicho
artefacto?
A) S/. 485 B) S/. 525 C) S/. 555
D) S/. 495 E) S/. 545
08.- Se compra un artículo en 160 soles.
¿Qué precio debe fijarse para su venta al
público para que haciendo un descuento
del 20 % todavía se está ganando el 25
% del costo?
A) S/. 450 B) S/. 400 C) S/. 350
D) S/. 300 E) S/. 250
09.- Un artículo se ha vendido en S/. 1 200
ganando el 20 % del precio de costo más
el 15 % del precio de venta. Hallar el
precio de costo de dicho artículo (en
soles).
A) 780 B) 850 C) 860 D) 380 E) 910
10.- Si un artículo se ha vendido en S/. 12
000 ganando el 20 % del precio de costo
más el 15 % del precio de venta,
entonces el precio de costo de dicho
artículo, es:
A) S/. 8 000 B) S/. 8 500 C) S/. 8 600
D) S/. 8 800 E) N.A.
11.- Un objeto es vendido en 2 340 soles
dejando una utilidad del 30 % ¿En
cuánto debería venderse para ganar
solamente el 20 % sobre el costo?
A) S/. 2 120 B) S/. 2 160 C) S/. 2 000
D) S/. 1 980 E) S/. 1 990
12.- Un artículo se vende perdiendo el 8% de
su costo; si el precio de venta fue
S/. 575. Hallar su costo (en soles).
A) 625 B) 630 C) 644 D) 640 E) 620
13.- Cuál fue el precio fijado (en dólares) de
una computadora que se vendió en $ 180
Habiéndose hecho un descuento del
20 %?
A) 200 B) 225 C) 250 D) 300 E) 400
14.- ¿Qué precio se fijó a un artículo, si
haciéndole un descuento del 15 % de su
precio fijado, se vendió en S/. 544.
A) S/. 650 B) S/. 648 C) S/. 644
D) S/. 640 E) S/. 620
Lic. Fis. Jorge Daniel Torres Alvarez Ciclo de Nivelación
RAZONAMIENTO MATEMATICO
UNIVERSIDAD SAN PEDRO
CAJAMARCA
15.- Un comerciante que vendió un artículo
en S/. 2800 lo hizo ganando el 12% del
costo más el 8% de su precio de venta.
Hallar el precio de costo.
A) S/. 2 500 B) S/. 2 450 C) S/. 2 400
D) S/. 2 350 E) S/. 2 300
16.- Un artículo que costo S/. 600 se vendió
haciendo un descuento del 20 % y aun
así se ganó el 20 % del precio de costo.
Hallar el precio fijado.
A) S/. 900 B) S/. 920 C) S/. 940
D) S/. 960 E) S/. 1000
17.- Se oferta un artículo que costó 360 soles,
si se desea ganar el 5 % del precio de
costo más el 10 % del precio de venta.
¿A cómo debe venderse?
A) S/. 420 B) S/. 480 C) S/. 510
D) S/. 600 E) S/. 280
18.- ¿Qué precio se debe fijar a un artículo
cuyo costo es de 75 soles, sabiendo que
se va hacer una rebaja del 20 % y aun así
se ganara el 60 % del costo?
A) S/. 150 B) S/. 120 C) S/. 130
D) S/. 110 E) S/. 100
19.- Un artículo cuyo precio de costo es
S/. 28 000 se vende ganando el 20% del
precio de venta más el 20% del precio de
costo. ¿Cuál es el precio de venta?
A) S/.38 000 B) S/.36 000 C) S/.42 000
D) S/. 2 000 E) N.A.
20.- Se vende un lapicero en 680 soles
perdiendo el 15 % del costo. ¿A cómo
debe venderse para ganar el 9 %?
A) S/. 827 B) S/. 782 C) S/. 872
D) S/. 724 E) S/. 836
21.- Catherine vende 2 autos a S/. 6 000 cada
uno, ganando el primero el 20 % y el
segundo pierde el 20 % del precio de
compra. ¿gana o pierde y cuánto?
A) Gana S/. 10 000 B) Pierde S/. 1000
C) Gana S/. 5 000 D) Pierde S/. 500
E) No gana ni pierde
22.- Se vende un televisor por S/. 6 000
ganando el 20 % del precio de venta más
20 % del precio de costo. Hallar el
precio del costo del televisor.
A) S/. 1 500 B) S/. 2 000 C) S/. 3 000
D) S/. 4 000 E) S/. 4 500
23.- Al vender una refrigeradora ganando el
32 % del costo, se ganó 240 soles más
que si se hubiera vendido ganando solo
el 12 % del costo. ¿Cuál es el 30 % del
costo?
A) S/. 240 B) S/. 360 C) S/. 420
D) S/. 120 E) S/. 560
24.- Un comerciante vendió un lote de
terreno por 96 000, ganando el 20 %. Si
por cada metro gano 200 soles. ¿Cuántos
metros negocio?
A) 100 B) 80 C) 120 D) 90 E) 110
25.- Un comerciante compra, harina a un
costo de 150 soles el saco; ganándose al
vender %3331 del costo. ¿A cuánto se
vendió el kilo de harina si cada saco
contiene 100 kilos?
A) S/. 2.00 B) S/. 4.00 C) S/. 3.50
D) S/. 3.00 E) S/. 2.50
26.- Un comerciante vende la quinta parte de
su mercadería con una ganancia del 8 %,
luego vende otro con un 13 % de
utilidad y el resto con un porcentaje de
pérdida tal que en todo el negocio no
gano ni perdió. ¿Cuál fue dicho
porcentaje?
A) 9 % B) 8 % C) 7 %
D) 6 % E) N.A
27.- Se vendieron dos televisores a 300 cada
uno. En uno se ganó el 25 % en el otro
se perdió el 25 %. ¿Cuánto se ganó o se
perdió en la venta de los dos televisores?
A) Se gano S/. 40
B) Se perdió S/. 30
C) Se perdió S/. 40
D) Se gano S/. 30
E) No se perdió ni se gano