Raz. Mate USP

Lic. Fis. Jorge Daniel Torres Alvarez Ciclo de Nivelación

RAZONAMIENTO MATEMATICO

UNIVERSIDAD SAN PEDRO

CAJAMARCA

RAZONES Y PROPORCIONES

PROPORCIÓN ARITMÉTICA

RAZÓN

ARITMÉTICA

GEOMÉTRICA

puede ser

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA

pueden ser

origina origina

Proporción Aritmética

Discretea

Proporción Aritmética

Continua

pueden ser

Proporción Geométrica Discretea

Proporción Geométrica Continua




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IDEA DE RAZÓN:

Ejemplo Ilustrativo 1: Ronaldo vive en Chosica lugar que se encuentra a 500 metros sobre el

nivel del mar y una temperatura promedio de 28°C. Víctor vive en Cerro de Pasco lugar que se

encuentra a 4500 metros sobre el nivel del mar y a una temperatura promedio de 7°C.

1500m

Cerro de Pasco 7°C

Chosica 28°C

500m

Observamos:

Cerro de Pasco se encuentra a

4500 500 4000 , 4000 metros más

sobre el nivel del mar que Chosica.

La temperatura promedio de Chosica es

284

7

4 veces la temperatura

promedio de Cerro de Pasco

Concluimos:

Al comparar las alturas sobre el nivel del mar de Cerro de Pasco y Chosica: lo comparamos por

medio de una sustracción.

4500 500 4000 A dicha comparación se le denomina Razón Aritmética.

Al comparar las temperaturas de Chosica respecto a la de Cerro de Pasco, lo comparamos por

medio de una división.

28

47 A dicha comparación se le denomina Razón Geométrica.

Al comparar dos cantidades se puede realizar de varias formas. Lo que desarrollaremos serán las

dos formas anteriores mencionadas.

Ejemplo Ilustrativo 2 : Sean las edades de Carlos y Jhon 48 y 28 años respectivamente, la razón

aritmética de sus edades es:

Donde 48 – 28 = 20

Podemos decir, que el peso de Diana (56=8 . 7) y el peso de Margoth (35=5 . 7) están en relación

o son entre sí , o son proporcionales a 8 y 5 en ese orden. La R.G. es más aplicable para una

variedad de problemas sólo indican la razón, quedará sobreentendido que es la R.G.

Valor de la Razón Aritmética

Consecuente

Antecedente




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RAZÓN

01.- Noción.- Es la comparación entre dos cantidades

02.- Clases de Razones.- están pueden ser:

A.- Razón Aritmética.- Cuando la comparación de dos cantidades se hace mediante la

diferencia:

rba

Dónde:

antecedente

consecuente

razón aritmética

a

b

r

B.- Razón Geométrica.- Cuando la comparación de dos cantidades se hace mediante la

división:

ak

b

Dónde:

antecedente

consecuente

razón geométrica

a

b

r

PROPORCIÓN

01.- Noción.- Es la igualdad de 2 razones de la misma clase

02.- Clases de Razones.- están pueden ser:

A.- Proporción Aritmética.- .- Es la igualdad de 2 razones aritméticas:

dcba

Dónde:

son extremos

son medios

a y d

b y c




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a.- Clases de Proporción Aritmética:

Proporción Aritmética Discreta.- Es aquella proporción cuyos términos medios

son diferentes:

dcba

Donde:

son extremos

son medios

es cuarta diferencial de ,

a y d

b y c

d a b y c

Proporción Aritmética Continua.- Es aquella proporción cuyos términos medios

son iguales:

cbba

Donde:

son extremos

es media diferencial

es tercera diferencial de

a y c

b a y c

c a y b

B.- Proporción Geométrica.- Es la igualdad de 2 razones geométricas

d

c

b

a

Donde:

son extremos

son medios

a y d

b y c

a.- Clases de Proporción Geométrica:

Proporción Geométrica Discreta.- Es aquella proporción cuyos términos medios

son diferentes:

d

c

b

a

Donde:




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son extremos

son medios

es cuarta proporcional de ,

a y d

b y c

d a b y c

Proporción Geométrica Continua.- Es aquella proporción cuyos términos medios

son iguales:

c

b

b

a

Donde:

son extremos

es media proporcional

es tercera proporcional de

a y c

b a y c

c a y b

b.- Propiedades:

Sea: a c

kb d

Se cumplen:

2

1.

2.

3.

4.

5.

6.

a bk

c dk

a d b c

a b c d

b d

a b c d

a b c d

a c

b d

a ck

b d




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PROBLEMAS PROPUESTOS

01.- Hallar “x” si 6

5

3

x

A) 10 B) 5/2 C) 2/5 D) 5 E) 8

02.- Calcular la tercera diferencial de 17 y 12

A) 7 B) 6 C) 8 D) 12 E) 4

03.- Hallar la cuarta diferencial de 10, 7 y 5

A) 6 B) 3 C) 4 D) 2 E) 5

04.- Calcular la media proporcional de 9 y

49.

A) 36 B) 12 C) 42 D) 25 E) 21

05.- Hallar la tercera proporcional de 24 y 36

A) 48 B) 54 C) 64 D) 90 E) 18

06.- Calcular la cuarta proporcional de 6, 11

y 12

A) 33 B) 11 C) 22 D) 44 E) 55

07.- Hallar “ a ”. Si 6

4

b

a; 40ba

A) 24 B) 16 C) 8 D) 12 E) 20

08.- Si 67

ba ; 65ba . Hallar ba 2

A) 80 B) 85 C) 90 D) 95 E) 100

09.- Hallar “y” en: 9

5

y

x;

7

9

z

y; Si

12 zx

A) 5 B) 7 C) 9 D) 45 E) 35

10.- Dos números son entre sí como 4 es a 7

si la suma de estos es 121. Hallar el

mayor número.

A) 77 B) 44 C) 70 D) 40 E) 63

11.- Dos números son entre sí como 8 es a 3.

Hallar el mayor de lo números sabiendo

que su razón aritmética es 45.

A) 63 B) 27 C) 72 D) 81 E) 54

12.- La suma del antecedente y consecuente

de una razón geométrica es 26. ¿Cuál es

su diferencia si la razón vale 0.04?

A) 3 B) 24 C) 4 D) 0.96 E) 5

13.- La Razón Aritmética de 2 números es

16, si la Razón Geométrica de los

mismos es 7/5. Entonces el mayor de

dichos números es:

A) 42 B) 56 C) 35 D) 63 E) 21

14.- Dos números son entre sí como 11 es a

3. si la suma de dichos números es 112,

entonces la razón aritmética de ellos es:

A) 60 B) 62 C) 64 D) 72 E) 81

15.- Dos números están en la relación de 1 es

a 11. Hallar el mayor de dichos números

sabiendo que la suma de sus cuadrados

es 488.

A) 2 B) 11 C) 22 D) 33 E) 4

16.- La suma de dos números es 320 y su

razón geométrica es 3/7. Hallar el

número mayor.

A) 336 B) 224 C) 188 D) 163 E) 218

17.- Dos números son entre sí como 2 esa 5;

si su razón aritmética es 72. Hallar el

número mayor

A) 60 B) 82 C) 120 D) 96 E) 86

18.- Si “x” es la cuarta proporcional de 24, 18

y 8; m es la tercia proporcional de 2 y 4.

Hallar: mx

A) 48 B) 12 C) 24 D) 36 E) 60




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19.- La edad de Juan y la Edad de Rosa están

en la relación de 2 es a 3. ¿Dentro de

cuantos años dicha relación será de 3 es

a 4; si actualmente sus edades suman 40

años?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 12 E) 10

20.- Si kbababa

1635.Hallar:

2 2a b

A) 120 B) 150 C) 180 D) 210 E) 240

21.- Dos números son como 5 es a 9 y la

suma de estos es 14 ¿Cuál es la cantidad

que se le debe aumentar a cada uno de

los números para que la relación sea de 3

es a 4?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

22.- Si la media proporcional de A y B es 14

y la tercera proporcional de A y B es

112. ¿Cuál es la diferencia entre B y A?

A) 35 B) 42 C) 14 D) 7 E) 21

23.- Si A es la media diferencial de 8 y 36; B

es la cuarta diferencial de 12,5 y 8.

Hallar A – B

A) 23 B) 21 C) 22 D) 1 E) 24

24.- Un obrero produce dos tipos de platos:

ovalados y redondos. SI el número de

redondos es al total de platos como 7 es

a 9. Hallar cuántos ovalados produce en

27 días, si produce 14 redondos

diariamente

A) 140 B) 150 C) 104

D) 108 E) 118

25.- Lo que gana y ahorra semanalmente es 5

a 2. Lo que gana y gasta mensualmente

suman S/. 640. Hallar el ahorro mensual

A) 560 B) 640 C) 480

D) 720 E) N.A.

26.- La suma, la diferencia y el producto de

dos números están en la misma relación

que los números 5; 3 y 16. Determina la

suma de los números.

A) 30 B) 20 C) 45 D) 15 E) 12

27.- En un estadio completamente lleno se

observa que por cada 5 hinchas de

Universitario hay 4 de Alianza y por

cada 3 hinchas de Alianza hay 2 de

Cristal. ¿Cuál es la capacidad del estadio

si la diferencia entre el número de

hinchas de Universitario y Cristal es 7

000?

A) 30 000 B) 35 000 C) 40 000

D) 45 000 E) 50 000

28.- Si: 30 12 10

ab bc ca Donde: 52a b c

. Calcular: a c

A) 14 B) 16 C) 20 D) 12 E) N.A

29.- Si: 1175

cba y 2 2 2 780a b c .

Hallar: cba

A) 3 080 B) 2 050 C) 2 850

D) 3 280 E) 1 350

30.- Si: 974

cba

Sabiendo que: 114a b c

Hallar: 2

)(2

cba

A) 1 B) 0 C) 228 D) 2 E) 200

31.- Si: 7 13 15 19

a b c d

Además: a + b + c = 525. Hallar “d”

A) 285 B) 280 C) 225

D) 105 E) 295




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MAGNITUDES PROPORCIONALES

Introducción:

Al observar la naturaleza y los fenómenos que ocurren en ella podemos notar que se tienen

características que aparecen en diversos estados por lo que se puede cuantificar como por

ejemplo: El peso, la temperatura, el tiempo, el número de obreros, obras realizadas etc..... nuestro

estudio está basado en el análisis de todo esto.

I.- MAGNITUD: Es todo aquello que puede ser medido.

II.- CANTIDAD: Es un estado particular de la magnitud por ejemplo.

Magnitud Cantidad

Longitud 75 cm.

Volumen 30 litros

Número de días 25 días

Número de obreros 43 obreros

Cantidad de obra 700 m3

III.- RELACIONES ENTRE 2 MAGNITUDES

01.- MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL (D.P)

Por ejemplo un, vendedor ambulante vende cada una de las botellas con un litro de

gaseosa a S/. 2 analizamos las magnitudes, número de botellas vendidas y el precio.

# de botellas 1 4 2 6 5

precio 2 8 4 12 10

Se observa que: 5.010

5

12

6

4

2

8

4

2

1

Observamos que la relación entre los valores correspondientes entre las 2 magnitudes es

constante, cuando ocurre esto a las magnitudes las llamaremos D.P. Veamos

gráficamente.

1 2 4 5 6

12

10

8

4

2

de botellas#

x 4 x 32 x 5/6

Precio




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02.- MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I.P)

Por ejemplo, si 24 obreros pueden hacer una zanja en 10 días, analicemos los valores

correspondientes que pueden tomar las magnitudes número de obreros y números de días.

# de Obreros 24 8 16 12

# de días 10 30 15 20

2x 3 3/4

Podemos Observar que: 20 . 12 .15 16 8.30 10 . 24

Cuándo dos magnitudes cumplen que el producto de sus valores correspondientes es

constante les llamaremos magnitudes I.P.

(# de obreros) I.P (# de días)

Veamos gráficamente:

Luego 2 magnitudes son I.P. si el producto de sus valores correspondientes es constante,

su gráfica será una o parte de una rama de una hipérbole equilátera. Entonces, sean las

magnitudes A y B I.P.

Se cumple (valor de A) (valor de B) = etc.

x 23 x 3/4

8 12 16 24

30

10

15

20

de obreros#

de días#




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01.- Si A2 D.P. B

2 y A = 2 cuando B = 3.

Hallar “B” cuando A = 4.

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

02.- Se tiene que A3 I.P. B

3. Cuando A = 2,

B = 3; Hallar “A” cuando B = 4.

A) 3/2 B) 5/4 C) 3/5 D) 1/2 E) 1/5

03.- La magnitud A es D.P. a la magnitud B

cuando A es igual a 51 entonces B es

igual a 3. Hallar el valor que asume B

cuando A es 34.

A) 4 B) 6 C) 2 D) 8 E) 12

04.- La magnitud A es I.P. a B ; además

cuando A es igual a 6 entonces B es

igual a 16. Hallar B cuando A es igual

a 4.

A) 16 B) 36 C) 24 D) 12 E) 18

05.- Si la magnitud P es D.P. a Q .

Cuando P = 48; Q = 144. Hallar P

cuando Q = 81

A) 34 B) 36 C) 38 D) 40 E) 42

06.- La magnitud A es I.P. a B. Cuando

A = 25; B = 24. Hallar B, cuando A =

64.

A) 15 B) 20 C) 30 D) 40 E) 45

07.- Sabiendo que M es D.P. 3 N e I.P. 2P

Cuando M = 40; N = 125; P = 6. Hallar

el valor de M, cuando N = 64; P = 12.

A) 9 B) 8 C) 12 D) 13 E) 18

08.- Si A D.P. B y C y cuando A = 10;

B = 2 y C = 7. Hallar C cuando A = 20

y B = 4.

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

09.- Si A es D.P. B y además I.P. a C.

Hallar A cuando B = 48 y C = 16;

cuando A es 5 entonces B = 12 y C = 8

A) 10 B) 11 C) 12 D) 8 E) 9

10.- Si “X” varia en razón directa a “Y” e

inversa al cuadrado de “Z” cuando

X = 10 entonces Y = 4 y Z = 14. Hallar

“X” cuando Y = 16 y Z = 7

A) 180 B) 160 C) 154

D) 140 E) 120

11.- Las magnitudes 2A y B son I.P. y

cuando A = 20. A es a B como 10 es 9.

¿Qué valor toma “A” cuando “B” =

72?

A) 18 B) 16 C) 10 D) 12 E) 15

12.- Se sabe que A es D.P. a B e I.P. 3 C

. Además cuando A es 14 entonces B

es 64 y C es igual a B. Hallar A cuando

B es 4 y C sea el doble de B

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

13.- Se tienen 3 magnitudes A, B y C tales

que A es D.P. a B ; a es I.P. C2 .

Cuando A = 8; B = 16 y C = 6.

Calcular B si A = 9 y C = 4

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

14.- Si A es D.P. con B2 e I.P. a C .

Cuando A = 4; B = 8 y C = 16. Hallar

A cuando B = 12 y C = 36

A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 12

15.- La magnitud “X” disminuida en 4

unidades es I.P. a la magnitud “Y”

aumentado en 7 unidades. Si cuando

X = 14 entonces Y = 2. Hallar “X”

cuando Y = 8

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

16.- A varia D.P. con B e I.P. a C3 si A =

3 cuando B = 256 y C = 2. Hallar B

cuando A = 24 y C = ½.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5




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17.- Se tienen 2 números cuya suma es 67 si

se añade 23 al menor y se quita 23 al

mayor, la razón geométrica de los

números se invierte. Hallar el producto

de los números.

A) 976 B) 988 C) 980

D) 990 E) 1

18.- Hallar x + y2

A) 406 B) 414 C) 318

D) 418 E) 428

19.- El gasto de una persona es D.P. a su

sueldo, siendo el resto ahorrado. Un

señor cuyo sueldo mensual es de S/. 1

200 ahorra S/. 200. ¿Cuál será su

sueldo cuando su gasto sea de S/.

1 300?

A) S/. 1 400 B) S/. 1 134

C) S/. 1 500 D) S/. 1 620

E) S/. 1 560

20.- La velocidad del sonido es DP a T

absoluta, si la velocidad es 340 m/s a

una temperatura de 16 ºC, ¿Cuál será la

velocidad en m/s a una temperatura de

51 ºC?

A) 350 B) 380 C) 320 D) 360 E) 310

21.- Si A y C son D.P. con B que sucede

con A cuando C aumenta en ½ de su

valor y B disminuye en ¼ de su valor.

A) Se duplica

B) Se reduce a su mitad

C) Se reduce a su tercera parte

D) Se triplica

E) N.A.

22.- Dado el cuadro, hallar. (m + n)

A 27 75 n 192

B m 5 4 8

A) 48 B) 51 C) 50 D) 47 E) 54

23.- Se tiene que “A” es D.P. a B2 e I.P. 3 C . Si el valor de “B” se duplica y el

de “C” disminuye en sus 26/27. ¿Qué

sucede con el valor de “A”?

A) Se duplica

B) Se reduce a su mitad

C) Se reduce a su tercera parte

D) Se triplica

E) N.A.

24.- Si el precio de un diamante es D.P. al

cuadrado de su volumen. Si un

diamante de S/. 360 000 se parte en tres

pedazos iguales. ¿Cuánto se gana o se

pierde?

A) Se gana S/. 120 000

B) Se pierde S/. 120 000

C) Se gana S/. 240 000

D) Se pierde S/. 240 000

E) No se pierde

25.- El sueldo de un empleado es

proporcional al cuadrado de la edad

que tiene. Si actualmente tiene 18 años.

¿Dentro de cuantos años cuadriplicara

su sueldo?

A) 30 B) 24 C) 20 D) 15 E) 18

26.- Suponiendo que el costo de los terrenos

es D.P. a su área e I.P. a la distancia

que los separa de Trujillo. Se conoce

que un terreno de forma cuadrada

ubicada a 14 km. Al sur de Trujillo esta

valorizado en 600 dólares. ¿Qué precio

tendrá un terreno de forma cuadrada

cuyo perímetro sea los 3/4 del anterior

y está ubicado a 3 ½ km. Al sur de

Trujillo?

A) S/. 2 700 B) S/. 1 350 C) S/. 675

D) S/. 900 E) S/. 1 500

B

A

8

4

x 12 B

A

40

10

5 y




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REPARTO PROPORCIONAL

I.- Concepto.- Consiste en repartir una cierta cantidad directa y/o inversamente proporcional a

ciertos valores llamados índices de proporcionalidad.

II.- Clases de Reparto:

1.- Reparto Simple.- Es cuando el reparto se realiza proporcionalmente a un grupo de

índices y el reparto simple puede ser de dos tipos:

a.- Reparto Simple Directo:

Ejemplo 01: Repartir S/. 1 250 en forma D.P. a las edades de tres personas que son

12, 14 y 24 años. A cuánto le corresponde a cada uno de ellos

Solución:

D.P

A → 12K

B → 14K

C → 24K

12 14 24 1250

50 1250

1250

50

25

k k k

k

k

k

A = 12 (25) = S/. 300

B = 14 (25) = S/. 350

C = 24 (25) = S/. 600

b.- Reparto Simple Inverso:

Ejemplo 02: Repartir S/. 12 400 entre A, B y C I.P. al número de faltas que son 5, 3

y 2 días. A cuánto le corresponde a cada uno de ellos

Solución:

I.P. D.P. D.P.

A → 5 5

1x M.C.M(5,3,2) kkx 630

5

1

B → 3 3

1 x M.C.M(5,3,2) kkx 1030

3

1

C → 2 2

1 x M.C.M(5,3,2) kkx 1530

2

1

1 250

12 400




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6 10 15 12400

31 12400

12400

31

400

k k k

k

k

k

A = 6 (400) = S/. 2 400

B = 10 (400) = S/. 4 000

C = 15 (400) = S/. 6 000

2.- Reparto Compuesto.- Es cuando el reparto se realiza directamente proporcional a un

grupo de índices e inversamente proporcional a otro grupo de índices.

Ejemplo 03: Un empresario reparte S/. 3 340 de una gratificación para sus tres empleados

en forma D.P. a los años de servicio que son: 15, 12 y 10 e inversamente proporcional a las

tardanzas que tienen 40, 36 y 35 minutos respectivamente. A cuanto le corresponde a cada

uno de ellos

Solución:

D.P. I.P. D.P. D.P.

A → 15 40 8

3

40

15 x M.C.M. (8,3,7) kkx 63168

8

3

B → 12 36 3

1

36

12 x M.C.M. (8,3,7) kkx 56168

3

1

C → 10 35 7

2

35

10 x M.C.M. (8,3,7) kkx 48168

7

2

63 56 48 3340

167 3340

3340

167

20

k k k

k

k

k

A = 63 (20) = S/. 1 260

B = 56 (20) = S/. 1 120

C = 48 (20) = S/. 960

3 340




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01.- Ricardo tiene 3 sobrinos de 15; 17 y 19

año; respectivamente y les deja $ 24 000

con la condición de que se dividan esta

suma D.P. a las edades que tendrán

dentro de 3 años. Una de las partes será :

A) $ 6 400 B) $ 5 600 C) $ 8 800

D) $ 9 600 E) $ 10 400

02.- Un padre de familia reparte

semanalmente una propina de S/. 148

entre sus hijos que tienen

respectivamente 12; 15 y 18 años, con la

condición de que se dividan esta suma

I.P. a la edad que tienen. Una de las

partes es :

A) S/. 80 B) S/. 36 C) S/. 64

D) S/. 44 E) S/. 48

03.- Una propina de 40 soles es repartida

entre 2 hermanos directamente

proporcional a sus edades que son 3 y 5

años. ¿Cuánto recibe el mayor?

A) S/. 15 B) S/. 20 C) S/. 25

D) S/. 30 E) S/. 35

04.- Distribuir 110 en partes D.P. a : 1/3 ; 2/3

y 5/6 indicar la menor parte:

A) 10 B) 15 C) 20 D) 24 E) 30

05.- Repartir S/. 78 en partes I.P a 2; 3 y 4

indicar la menor parte (en soles).

A) 12 B) 18 C) 24 D) 30 E) 28

06.- Se reparte una herencia en partes D.P. a

4, 7 y 9 siendo la menor de las partes S/.

28. Hallar el monto de la herencia

A) 100 B) 120 C) 130 D) 140 E) 150

07.- Cuando se reparte una cantidad D.P. a 5;

7 y 13, la diferencia entre la mayor y la

menor de las 3 partes es 480. ¿Cuál es la

cantidad repartida?

A) 1 200 B) 1 500 C) 1 800

D) 1 750 E) 2 000

08.- Divide 156 en tres parte de modo que la

primera sea a la segunda como 5 es 4 y

la primera sea a la tercera como 7 es a 3.

¿Cuál es la segunda?

A) 41 B) 30 C) 70 D) 56 E) N.A.

09.- Se reparte 738 en forma directamente

proporcional a dos cantidades de modo

que ellos están en la relación de 32 a 9.

Hallar la suma de las cifras de la

cantidad menor.

A) 18 B) 14 C) 13 D) 11 E) 9

10.- Repartir 154 en partes directamente

proporcionales a 2/3; 1/4, 1/5; 1/6

A) 80; 34; 20; 19 B) 80; 32; 24; 18

C) 80; 34; 22; 18 D) 80; 30; 24; 20

E) 80; 36; 20; 18

11.- Repartir 42 entre A, B y C de modo que

la parte de A sea doble de la parte de B,

y la de C suma de las partes de A y B.

Entonces el producto de las partes de A,

B y C es:

A) 2 058 B) 980 C) 686

D) 1 856 E) 2 158

12.- Dividir el número 27 400 en 3 partes que

sean I.P. a 102, 119 y 1020. Indicar la

parte mayor.

A) 14 400 B) 14 000 C) 12 500

D) 12 100 E) 11 000

13.- Dos personas que llevan 5 y 3 panes

respectivamente se encuentran con un

cazador hambriento y comparten con

éste los 8 panes en partes iguales. Si el

cazador pagó S/. 8.00 por su parte.

¿Cómo deben repartirse los pastores el

dinero entre sí?

A) S/. 5.00 y S/. 3.00

B) S/. 6.00 y S/. 2.00

C) S/. 4.00 y S/. 4.00

D) S/. 7.00 y S/. 1.00

E) S/. 6.50 y S/. 1.50




CAJAMARCA

14.- La tía de Paco, Luís y Toto decide

repartir S/.480 directamente

proporcional a sus edades que son 6, 8 y

10 años. ¿Cuánto de propina recibió

Paco?

A) 120 B) 160 C) 200 D) 320 E) 300

15.- Repartir 54 3 proporcionalmente a

2 ; 3 y 8 . Dar como respuesta la

diferencia entre el mayor y menor de

ellos.

A) 6 B) 5 C) 10 D) 7 E) 2 3

16.- Si al distribuir 3 600 soles que sean

inversamente proporcional a 2, 3, 5 y 6.

¿Cuál es la diferencia entre la mayor y

menor de las partes?

A) S/. 1 000 B) S/. 1 500 C) S/. 2 000

D) S/. 3 000 E) S/. 3 500

17.- Un empresario decide repartir una

gratificación inversamente proporcional

a los años que le faltan a sus tres

empleados para jubilarse los cuales son

5, 3 y 2 años. ¿Cuánto le corresponde al

más antiguo, si la gratificación total

asciende a S/. 12 400?

A) S/. 1 500 B) S/. 6 000 C) S/. 2 400

D) S/. 4 000 E) S/. 4 500

18.- Se divide un cierto número D.P. a los

números 3, 4 y 7 e inversamente

proporcionales a 3/2, 9/4 y 3. Indicar la

diferencia de la mayor respecto a la

menor si la parte intermedia es S/. 3 700

menos que el total.

A) S/. 750 B) S/. 800 C) S/. 1 200

D) S/. 600 E) S/. 500

19.- Repartir 2 225 soles en tres partes que

sean D.P. a los números 3, 5 y 8 e I.P. a

los números 4,6 y 9. dar como respuesta

la parte intermedia.

A) S/. 500 B) S/. 800 C) S/. 750

D) S/. 675 E) S/. 625

20.- Reparten 144 caramelos en forma D.P a

m2, 2m y 1; siendo “m” un número

natural. Si la mayor cantidad al hacer el

reparto es 100. Hallar “m”

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

21.- Dividir 8970 en partes proporcionales a:

1/2; 2/3; 3/4; 5/6; 7/9; y 5/8. la parte

menor es:

A) 1080 B) 1350 C) 1140

D) 1800 E) N.A

22.- Repartir 6 660 en partes inversamente

proporcional a los números 3; 4/3; 2/5;

8/7 y 6. la parte menor es:

A) 320 B) 240 C) 180 D) 300 E) N.A.

23.- Repartir 8900 en 3 partes que sean D.P a

los números: 3; 5 y 8 e I.P, a los

números 4; 6 y 9. La parte mayor es:

A) 3200 B) 3000 C) 2700

D) 2400 E) N.A

24.- Descomponer 7124 en 3 partes

proporcionales a 422; 28

3 y 56

2. dar

como respuesta la parte mayor que la

menor y menor que la mayor.

A) 832 B) 6 292 C) 5 824

D) 468 E) N.A.

25.- Repartir 6900 en 3 partes tal que la

primera sea a la segunda como 2 es a 3 y

que esta sea a la tercera como 5 es a 7.

Hallar la cantidad menor.

A) 1500 B) 1800 C) 2100

D) 2400 E) 3150

26.- Una cantidad es repartida en forma D.P a

tres números y se obtiene 960; 320 y

240. ¿Cuál será la mayor de las partes si

el reparto se hubiera hecho en forma

inversamente proporcional a los mismos

números?

A) 760 B) 570 C) 630

D) 720 E) 810




CAJAMARCA

REGLA DE TRES

Es una operación por medio de la cual se

busca el cuarto término de una proporción, de

la cual se conocen los otros tres. Las reglas

de tres pueden resolver por medio de las

propiedades de las proporciones, o por el

método de reducción a la unidad. Las reglas

de tres son de dos clases simples y

compuestas.

REGLA DE TRES SIMPLE

La regla de tres es simple cuando se

consideran solo dos magnitudes.

La regla de tres simple puede ser directa o

inversa.

I.- Regla de Tres Simple Directa.- La regla

de tres simple directa cuando las

magnitudes son directamente

proporcionales.

Ejemplo 01.- Si 3 metros de polystel

cuesta S/. 120. ¿Cuánto se pagara por 5.5

metros del mismo polystel?

Solución:

Supuesto: 3 m. → S/. 120

Pregunta: 5.5 m. → X

más a más

Razonando: Si por 3 metros se paga S/.

120 por mas metros se pagara más (+

a +); la regla es directa.

3

5.5120 X 220./SX

Respuesta.- Por los 5.5 metros del mismo

polystel se pagara S/. 220

Ejemplo 02.- Por dos docenas de botellas

de miel de abeja se pagó S/. 264. ¿Cuánto

se pagara por 9 botellas menos?

Solución:

Supuesto: 24 botellas → S/. 264

Pregunta: 15 botellas. → X

menos a menos

Razonando: Si por 24 (2 docenas)

botellas se paga S/. 264 por 9 botellas

menos se pagara menos ( – a – ); la regla

es directa.

24

15264 X 165./SX

Respuesta.- Por 9 botellas menos se

pagara S/. 165.

II.- Regla de Tres Simple Inversa.- La regla

de tres es simple inversa cuando las

magnitudes son inversamente

proporcionales.

Ejemplo 03.- Si 21 obreros tardan 10

días para hacer una obra. ¿Cuántos

obreros se necesitaran para hacer la

misma obra en 15 días?

Solución:

Supuesto: 10 días → 21

Pregunta: 15 días. → X

más a menos

Razonando: Si en 10 días hacen la obra

21 obreros; para hacerlo en más días se

necesitaran menos obreros ( + a – ); la

regla es inversa

21 10

15

obreros díasX

días

14 X obreros

Respuesta.- Para hacer la misma obra en

15 días se necesitarían 14 obreros.




CAJAMARCA


01.- Un reloj da 3 campanadas en 3

segundos. ¿En cuántos segundos dará 9

campanadas?

A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 8

02.- Un jardinero siembra un terreno

cuadrado de 8 metros de lado en 5 días.

¿Cuántos días le tomara en sembrar otro

terreno de 16 metros de lado?

A) 10 B) 16 C) 20 D) 18 E) 15

03.- Nueve hombres pueden hacer una obra

en 5 días. ¿Cuántos hombres más harían

falta para hacer la obra en 1 día?

A) 20 B) 27 C) 32 D) 36 E) 45

04.- A es el doble de rápido que B pero la

tercera parte de C. Si B y C hacen una

obra en 27 días. ¿En cuántos días harán

la obra los tres juntos?

A) 15 B) 21 C) 24 D) 32 E) 45

05.- Para pintar un cubo de 10 centímetros de

lado se gasta 360 soles. ¿Cuánto se

gastara para pintar un cubo de 15

centímetros de lado?

A) 340 B) 430 C) 650

D) 720 E) 810

06.- Un caballo atado a una cuerda de 1.5

metro de longitud puede comer todo el

pasto que está a su alcance en 2 días.

Que tiempo demoraría para comer todo

el pasto que está a su alcance si la

longitud de la cuerda fuese 3 veces más

grande.

A) 30 días B) 31 días C) 32 días

D) 35 días E) 38 días

07.- Un cubo de madera cuesta 1920 soles.

¿Cuánto costara un cubo de madera cuya

arista sea los 5/4 de la arista anterior?

A) 3750 B) 3850 C) 4530

D) 3560 E) 2890

08.- Un reloj marca la hora a las 0 horas de

un cierto día, si se sabe que se adelanta 4

minutos cada 12 horas. ¿Cuánto tiempo

transcurrirá para que nuevamente

marque la hora exacta?



09.- Seis caballos tiene ración para 15 días, si

se aumentan 3 caballos más. ¿Para

cuantos días alcanzará la ración anterior?



10.- Un automóvil tarda 8 horas en recorrer

un trayecto yendo a 90 Km./ h. ¿Cuánto

tardara en recorrer el mismo trayecto

yendo a 60 Km./h?

A) 12 horas B) 14 horas C) 20 horas

D) 10 horas E) 15 horas

11.- En 10 litros de agua de mar hay 92

gramos de sal. ¿Cuántos gramos de sal

habrá en 25 litros?

A) 320 B) 200 C) 240 D) 230 E) 220

12.- Una obra puede ser hecha por 20 obreros

en 14 días. ¿Cuántos obreros hay que

añadir para que la obra se termine en 8

días?

A) 15 B) 13 C) 12 D) 10 E) 20

13.- Un ganadero tiene 640 corderos que

puede alimentar durante 65 días.

¿Cuántos corderos debe vender si quiere

alimentar su rebaño por 15 días más?

A) 100 B) 120 C) 130 D) 140 E) 150

14.- Un barco tiene víveres para 78

tripulantes durante 22 días, pero solo

viajan 66 personas. ¿Qué tiempo duraran

los víveres?


D) 26 dais E) 28 días




CAJAMARCA

REGLA DE TRES COMPUESTA

Método de Rayas:

a.- Causa o Acción.- Es todo aquello que

realiza o ejercita una obra pudiendo ser

efectuada por el hombre, animal o una

máquina. Ejemplo 6 obreros hacen una

obra.

b.- Circunstancia.- Es el tiempo, el modo, la

forma, como se produce o como se

fabrica algo. Ejemplos, En tantos días, en

tantas horas.

c.- Efecto.- Es todo hecho, lo producido, lo consumido, lo gastado lo debido, lo realizado, lo

fabricado, etc.

En la regla de Tres Simple Compuesta participan por lo general las siguientes magnitudes:

Obra

Días

Obreros

H/D (Horas diarias)

Rendimiento (Eficiencia)

Dificultad (Dureza)

Observación:

La eficiencia y la habilidad o rendimiento del hombre y obrero va junto al mismo (en la

causa).

La oposición o dificultad de la obra va junto a ella misma (en el efecto).

PROBLEMA GENERAL

CAUSA CIRCUNSTANCIA EFECTO

HOMBRES EFICIENCIA DIAS H/D LARGO ANCHO ALTO DIFICULTAD DUREZA

A1 B1 C1 D1 E1 F1 G1 H1 I1

A2 B2 x D2 E2 F2 G2 H2 I2

Se cumple que: I H GF E Dx B A IH G F E D C B 11111222222221111 A

Ejemplo: 3 obreros hacen una obra en 10 días trabajando 8 H/D. ¿Cuántos días necesitaran 5

obreros trabajando 6 H/D para hacer la misma obra?

Solución:

16518103 x x65

8103

x 8

CAUSA CIRCUNSTANCIA EFECTO

OBREROS DIAS H/D OBRA

3 10 8 1

5 x 6 1

I H GF E D B A

IH G F E D C B

11111222

222221111

Ax




CAJAMARCA


01.- 12 obreros en 5 días han hecho 40 m2

de una obra. ¿En Cuantos días 60

obreros harán 80 m2 de obra?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

02.- 48 señoras en 12 días tejen 150

chompas. ¿Cuántas chompas tejerán 36

señoras en 8 días?

A) 60 B) 65 C) 70 D) 75 E) 80

03.- 15 tigres en el mes de Abril comen

240 Kg. de carne. ¿Cuántos Kg. De

carne comerán 90 tigres en 25 días?

A) 1000 B) 1100 C) 1200

D) 1400 E) 1600

04.- 2 secretarias copian 350 problemas en

una semana. ¿Cuántas secretarias serán

necesarias para copiar 600 problemas

en 4 días?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

05.- 12 obreros hacen 72 mesas en 6 días.

¿Cuántas mesas harán 3 en 2 días?

A) 5 B) 6 C) 12 D) 20 E) 54

06.- Un zapatero hace 30 zapatos en 5 días.

¿Cuántos hará en 10 días si trabaja el

doble de horas diarias?

A) 110 B) 120 C) 130 D) 140 E) 150

07.- Una cuadrilla cosecha un campo

cuadrado de 20 metros de lado en 16

días. ¿En cuántos días cosechara un

campo cuadrado de 30 metros de lado?

A) 9 B) 12 C) 36 D) 18 E) 24

08.- 36 hombres pueden realizar 20 sillas en

20 días. Si trabajan 60 hombres para

hacer 20 sillas cuya dificultad sea el

triple de las anteriores. ¿En cuántos días

las terminara?

A) 36 B) 30 C) 32 D) 45 E) N.A.

09.- 10 peones se demoran 15 días

trabajando 7 H/D para sembrar 50 m2

de un terreno. ¿Cuántos días de 8 H/D

se demoran en sembrar 80 m2 de un

terreno 15 peones doblemente hábiles?

A) 7 B) 8 C) 10 D) 14 E) 15

10.- 60 obreros pueden cavar una zanja de

800 metros en 50 días. ¿Cuántos días

necesitaran 100 obreros para cavar una

zanja de 1 200 cuya dureza es 3 veces la

del terreno anterior?

A) 130 B) 145 C) 160 D) 135 E) 48

11.- 80 obreros trabajando 8 H/D construyen

480 m2 de una obra en 15 días.

¿Cuántos días se requieren para que 120

obreros trabajando 10 H/D hagan 960

m2 de la misma obra?

A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 30

12.- 12 obreros hacen una obra en 28 días, si

8 de los obreros aumentan su

rendimiento en un 60 %. ¿Qué tiempo

se demorarían?



13.- Una compañía posee 3 máquinas de

70 % de rendimiento para producir 1

600 envases en 6 días de 8 H/D de

trabajo. Si se desea producir 3 600

envases en 4 días de 7 H/D. ¿Cuántas

máquinas de 90 % de rendimiento se

requieren?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 11

14.- Si 20 peones se demoran 21 días de 5

horas diarias en sembrar en un terreno

cuadrado de 20 metro de lado. ¿Cuántos

días de 8 horas diarias de trabajo se

demorarán en sembrar un terreno de

40 metros de lado y de una dureza

cuádruple del anterior, 30 peones

doblemente hábiles?

A) 20 B) 84 C) 80 D) 70 E) 60




CAJAMARCA

PROBLEMAS APLICANDO EL MÉTODO DE ÁREAS 01.- 10 obreros pueden hacer una obra en 24

días. Si después del cuarto día, se retiran

2 obreros. ¿Con cuántos días de retraso

se entregara la obra?

A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) N.A.

02.- 4 obreros pueden terminar una obra en

20 días. Si después de trabajar 5 días

llegan 2 obreros más. ¿Cuántos días

antes del plazo terminaron?

A) 7 B) 6 C) 5 D) 10 E) N.A.

03.- 15 obreros se comprometen hacer una

obra en 10 días trabajando 8 h/d; al cabo

de 2 días de trabajo, se le pidió que

entreguen la obra 2 días antes de lo

pactado; razón por la cual deciden

trabajar 10 h/d y contratar más obreros.

¿Cuántos obreros se contrataron?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 15

04.- En 15 días se hará una obra con 18

obreros; luego de cierto tiempo se

contratan 6 obreros más y 9 días después

se termina la obra. ¿A los cuántos días se

aumentó el personal?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

05.- 15 obreros se comprometen a realizar

una obra en 25 días trabajando 8 H/D; al

cabo del quinto día se les pidió que

entreguen la obra 5 días antes de lo

pactado, razón por la cual se decide

trabajar 10 H/D y contratar más obreros.

¿Cuántos obreros se contrataron?

A) 1 B) 2 C) 7 D) 16 E) N.A.

06.- 20 obreros hacen una obra en 15 días de

10 horas diarias. Después del cuarto día

deciden terminar la obra 3 días antes de

lo establecido por lo que aumentaron en

1 hora el trabajo diario y el número de

obreros en “x”, hallar “x”.

A) 2 B) 5 C) 6 D) 4 E) N.A.

07.- Un grupo de 20 obreros deben terminar

una obra en 30 días de 8 horas diarias.

Luego de 12 días de trabajo se pidió que

la obra quedase terminados 6 días antes

del plazo y así se hizo, para ello se

contrataron 4 obreros más y se aumenta

en “n” horas el trabajo diario. Hallar “n”.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

08.- 15 obreros se comprometen realizar una

obra en “d” días de 6 H/D. después de

10 días, 10 obreros se enferman y

disminuyen su rendimiento al 75% y 10

días más tarde ellos se retiran, motivo

por el cual los obreros restantes

aumentan en 4h el trabajo diario. Si la

obra se entrega con 27 días de retraso.

Hallar “d”

A) 40 B) 50 C) 45 D) 55 E) 35

09.- 12 obreros pueden terminar un trabajo

en 15 días. Después de trabajar 7 días, 5

obreros se dan de baja y recién después

de 3 días se contratan “n” obreros para

acabar el trabajo en el tiempo previsto.

Hallar “n”

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

10.- 30 obreros trabajando 8 horas diarias

pueden terminar un trabajo en 10 días.

Después de 5 días de trabajo se retiran 5

obreros. ¿Cuántas horas diarias deben

trabajar ahora para que terminen la obra

en el plazo estipulado?

A) 9.6 B) 12 C) 9.8 D) 10 E) 8

11.- Se contrataron 50 obreros para una obra

de 60 días de duración. Estos

comenzaron la obra laborando 6 H/D.

Luego de trabajar 20 días se decidió

acabar la obra 15 días antes, por lo que

se requirió más obreros y trabajar 2 H/D

más. ¿Cuántos obreros se tuvieron que

contratar para acabar la obra en el plazo

pedido?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 14 E) 15




CAJAMARCA


01.- Sabiendo que un caballo atado a una

cuerda de 3 metros de largo tarda 5 días

en comerse toda la hierba que se

encuentra a su alcance. Cuanto tardaría

si la cuerda fuera de 6 metros



02.- Se tiene 200 bolas de las cuales 60 son

negras y las restantes blancas. ¿Cuántas

bolas blancas se deben añadir para que

por cada 20 bolas blancas haya 3 bolas

negras?

A) 140 B) 200 C) 240 D) 260 E) 220

03.- Se tiene 50 cuadernos de los cuales 15

son rayados y los restantes

cuadriculados. ¿Cuántos cuadernos

rayados se deben añadir para que por

cada 40 cuadernos rayados hayan 5

cuadernos cuadriculados?

A) 280 B) 265 C) 256 D) 275 E) 295

04.- Se pone en funcionamiento un reloj que

se adelanta 2/5 de minuto por hora.

¿Qué tiempo como mínimo debe

transcurrir para que marque nuevamente

la hora exacta?



05.- 60 litros de agua de mar contienen 3

libras de sal. ¿Cuánto de agua dulce

habrá que agregarle para que en cada 7

litros de la nueva mezcla se encuentre

1/5 de libra de sal?

A) 45 B) 30 C) 38 D) 42 E) N.A.

06.- Un albañil ha construido un muro en 16

días. Si hubiera trabajado 4 horas

menos habría empleado 8 días más para

hacer el muro. ¿Cuántas horas hubiera

trabajado por día?

A) 6 B) 12 C) 10 D) 8 E) 16

07.- Un súper panetón en forma de

paralelepípedo pesa 1 620 gramos. El

peso en gramos de un minipanetón de

igual forma pero con dimensiones

reducidas a la tercera parte es:

A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70

08.- Una compañía posee 7 máquinas de 30

% de rendimiento para producir 3 200

conserva cada 8 días de 6 horas diarias.

Si se desea producir 7 200 conservas en

4 días de 7 horas diarias. ¿Cuántas

máquinas de 90 % de rendimiento se

requieren?

A) 8 B) 9 C) 3 D) 4 E) 6

09.- 9 técnicos pueden ensamblar 6 radios en

12 días trabajando 8 horas diarias.

¿Cuántos radios ensamblaron 10

ayudantes en 18 días trabajando 6 horas

diarias si la eficiencia de los ayudantes

es 60 % menos de los técnicos?

A) 1 B) 9 C) 3 D) 4 E) 6

10.- 2 250 hombres tienen alimentos para 70

días, pero al finalizar el 29 se retiran

200 hombres. ¿Cuántos días más

durarán las provisiones?

A) 45 B) 40 C) 38 D) 36 E) 30

11.- 8 obreros pueden terminar una obra en

20 días. Si la obra fuera 2 veces más

difícil pero se añadieron 10 nuevos

obreros al cuádruple de eficientes que

los anteriores. ¿Qué tiempo duraría la

obra?



12.- En una fábrica 15 señoritas producen 12

chompas en 15 días. ¿Cuántas

empleadas más doblemente hábiles

deberá contratar el dueño para producir

60 chompas en 10 días más?

A) 10 B) 15 C) 20 D) 22 E) 25




CAJAMARCA

PORCENTAJES

TANTO POR CUANTO

Es una expresión que representa a una

cantidad (tanto) que se toma de cuantas

unidades iguales o de cuantas partes iguales se

hayan dividido el todo o la unidad.

Ejemplo:

Sea el todo o unidad dividida en 15 partes

iguales de la cual tomaremos 6 partes.

Ejemplos:

Hallar el 8 por 20 de 60.

860 24

20x

EJERCICIOS PROPUESTOS

01.- Halla el 5 por 4 de 200

A) 25 B) 24 C) 23 D) 22 E) N.A.

02.- Hallar el 3 por 4 de 800

A) 600 B) 500 C) 400 D) 300 E) 200

03.- Hallar el 3 por 4 del 5 por 7 de 280

A) 50 B) 100 C) 150 D) 200 E) N.A.

04.- Halla el 5 por 8 de 200

A) 100 B) 150 C) 160 D) 180 E) 125

05.- Halla el 3 por 20 del 7 por 12 de 320

A) 82 B) 41 C) 14 D) 28 E) 56

06.- Halla el 5

6 por 4 de 240

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

07.- El 16 por 80 de 30 son limeños.

¿Cuántos son provincianos?

A) 20 B) 21 C) 22 D) 24 E) N.A.

08.- Juan tiene 45 años y Pedro tiene el 2 / 3

por 3 más que la edad de Juan. Halla la

edad de Pedro.

A) 10 B) 35 C) 55 D) 65 E) 85

09.- Agnes tiene S/. 180 y Tety tiene el 1/5

por 6 menos de lo Agnes. ¿Cuánto tiene

Tety?

A) 160 B) 164 C) 174 D) 184 E) 154

10.- Tengo S/. 180 y gasto el 1/ 5 por 1/ 4 .

De lo que tengo ¿Cuánto me queda?

A) 10 B) 36 C) 55 D) 65 E) 85

11.- Un libro cuesta el 1/ 2 por 6 de S/. 84.

¿Cuánto cuesta el libro?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

La parte sombreada representa a:

6 partes de 15

6 por cada 15

6 por15

Recuerda, el por de

una cantidad , se calcula así:




CAJAMARCA

TANTO POR CIENTO O PORCENTAJE

La palabra “Por Ciento” viene de la

palabra latina “Per Centum” y de ella

deriva la palabra porcentaje.

Se denomina porcentaje o tanto por ciento,

al número de unidades que se toma de cada

100.

La frase “Por Ciento” se usa cuando una

razón esta expresada con un denominador

100.

El símbolo (%) es usado para indicar “Por

Ciento.”. Este símbolo es una abreviatura

de 1

100.

Es una caso especial del tanto por cuanto y

se refiere a una cantidad que se toma de

cada 100 unidades o cada 100 partes

iguales del todo o la unidad.

Ejemplo:

Sea el todo o unidad dividida en 100 partes

iguales de la cual tomaremos 20 partes.

Notas:

Se puede sumar o restar porcentajes de una

misma cantidad.

20% a + 50% a = 70% a

80% b - 60% b = 20% b

a + 20% a = 120% a

b - 35% b = 65% b

Todo número puede ser expresado como un

porcentaje, multiplicado dicho número por

100

2 2

100% 40%5 5

x

0,06 = 0,06 x 100% = 6%

3 = 3 x 100% = 300 %

2.5 = 2.5 x 100% = 250 %

1.5 = 1.5 x 100% = 150 %

1 = 1 x 100% = 100 %

Las palabras “de”, “del” o “de los”

matemáticamente significan multiplicación

y la palabra “es” significa igualdad.

Halla el 30 % del 20% de 10.

30 20 310

100 100 5

Halla 80% de los 3

5 de 100.

80 3100 48

100 5

Halla 80% de (30% de 10) más el 30

% de (30% de 10)

80% 30% de 10 30% 30% de 10

110% 30% de 10

110 30 10

100 100

33

10

La parte sombreada representa

a:

20 partes de 100

20 por cada 100

20 por ciento

20% Recuerda, que para hallar de

una cantidad , se calcula así:




CAJAMARCA

FRACCIONES Y PORCENTAJES

La expresión %a representa una función, cuyo

numerador es a y el denominador es 100, esto

significa que se pueden expresar los

porcentajes como números fraccionarios.

% 100

aa

Ejemplos:

Hallar el 25 % de 32:

25 132 32 8

100 4

Hallar el1

33 %3

de 60:

1 133 60 60 20

3 3

Hallar el 25% de 1

33 %3

de 180 es:

1 1 125% 33 180 180 15

3 4 3de de

DECIMALES Y PORCENTAJES

Sabemos que los decimales son números que se

pueden expresar como fracciones, luego si

hemos visto que los porcentajes son fracciones,

entonces los decimales se pueden usar para

representar porcentajes

Ejemplos:

25 % 25

0,25100

132 % 132

1,32100

2 % 2

0,02100

En el siguiente cuadro se resumen las

equivalencias entre porcentajes, fracciones

y decimales que más se usan.

(%) Fracción Decimal

1 1

100 0,01

2 1

50 0,02

5 1

20 0,05

10 1

10 0,10

20 1

5 0,02

25 1

4 0,25

30 3

10 0,30

40 2

5 0,40

50 1

2 0,50

60 3

5 0,60

70 7

10 0,70

75 3

4 0,75

80 4

5 0,80

90 9

10 0,90

120 6

5 1,20

150 3

2 1,50

133

3

1

3 0,333......

216

3

1

6 0,166.....

Vemos, que para hallar algunos

porcentajes es preferible usar los

equivalentes fraccionarios.




CAJAMARCA

PROBLEMAS FUNDAMENTALES SOBRE PORCENTAJE

Los problemas fundamentales de tanto por

ciento o porcentaje pueden reducirse a la

siguiente expresión:

% P N R

Donde:

% Nos indica el número de centecimas a tomar

La cantidad de la cual hay que tomarlas

Es el resultado de la operacion

P

N

R

Se tienen los siguientes casos:

Primer Caso:

Cuando en P % de N R

Se conocen : P % y N

Se desconocen : R

Ejemplo:

Hallar el 20% de 400

20 400

100

20400

100

20 4

de R

R

R

80R


01.- Hallar el 5% de 180

A) 27 B) 18 C) 20 D) 15 E) 9

02.- Hallar el 40% de 900

A) 360 B) 320 C) 340 D) 350 E) 330

03.- Hallar el 37% de 1500

A) 560 B) 558 C) 557 D) 556 E) 555

04.- Hallar el 0.05 % de 4 200

A) 0.12 B) 0.021 C) 2.1 D) 2.01 E) N.A.

05.- Hallar el 0.002% de 36 000

A) 0.60 B) 0.72 C) 0.74 D) 0.75 E) 0.80

06.- Hallar el 27 % de 6 000

A) 1640 B) 1620 C) 162 D) 16,2 E) N.A.

07.- Hallar el 3/5% de los 3 de 10

A) 1,8 B) 1800 C) 180 D) 0.18 E) N.A.

08.- Hallar el 3/2 % de (la mitad de 100,

aumentado en 50).

A) 1,5 B) 15 C) 150 D) 75 E) 25

09.- Hallar el 0.03% del 0.2% de 24 de los 106

A) 144 B) 14,4 C) 1440 D) 104 E) N.A.

10.- El 20% del 30% del 0.001 de 60 de los

104 es:

A) 0,36 B) 3600 C) 3,6 D) 36 E) N.A.

11.- Si Nataly recibe de propina el 28 % de 60

soles; y Vanesa recibe de propina el 32%

de 50 soles. ¿Quién recibe más dinero?

A) Nataly B) Vanesa C) Iguales

D) No se Sabe E) N.A.

12.- Entre tú y Yo tenemos 600 manzanas, si

tú me dieras el 15% de las tuyas Yo

tendría 430 manzanas. ¿Cuántas

manzanas tengo?

A) 200 B) 400 C) 450 D) 350 E) N.A.

13.- Si:

A = 20% del 5% de 36 de los 103

B = 0,03% del 0,2% de 107

Hallar el 50% del 32% del A % de B

A) 34,56 B) 345,6 C) 3 456x10 – 3

D) 4 356x10 – 2 E) N.A.




CAJAMARCA

14.- Si:

A = 5/8 del 0.04% de 120 000

B = 0.06% de los 4/5% de 2x 107

Hallar el 0.025% del 40% de (A + B)

A) 126x10 – 3 B) 12,3 C) 1260 x10 – 5

D) 126 E) N.A.

Segundo Caso:


Se conocen : P % y R

Se desconocen : N

Ejemplo:

Hallar el 20% de que numero es 80

80 100

20

20 N 80

100de

N

400N


01.- El número 18 es el 25% de:

A) 62 B) 80 C) 70 D) 72 E) 62

02.- El número 480 es el 32% de:

A) 1040 B) 1100 C) 1500

D) 1600 E) 950

03.- Hallar el 10% del 25% de 400 000

A) 10 000 B) 1 000 C) 1 100

D) 11 000 E) N.A.

04.- ¿25% de que numero es 60?

A) 240 B) 162 C) 260 D) 24 E) N.A.

05.- ¿0.06% de qué número es 24?

A) 20 000 B) 30 000 C) 40 000

D) 50 000 E) N.A.

06.- ¿36% de qué número es 144?

A) 40 B) 400 C) 360

D) 1 400 E) N.A.

07.- ¿0.45% de qué número es 9?

A) 200 B) 2 000 C) 20

D) 20x10 4 E) N.A.

08.- ¿El 30% de 2/3 % de qué número es 16?

A) 0,08 B) 0,001 8 C) 8x103

D) 800 E) N.A.

09.- ¿4/9 % del 9/12 % de qué número

es 5x10 –5

?

A) 15 B) 1 500 C) 1.5 D) 15 000 E) 0.15

10.- ¿El 20% de qué número es el 40% del

5% de 600?

A) 600 B) 6 C) 60 D) 6 000 E) N.A.

11.- El 15% del 40% de los 5/8 de un número

es equivalente al 25% del 0.02% de 2

250. El número es:

A) 3 B) 30 C) 300 D) 3 000 E) N.A.

12.- ¿Cuál es el mayor?

a.- Un número cuyo 60% es 240

b.- Un número cuyo 80% es 64

c.- Un número cuyo 5% del 40% es 80

d.- Un número cuyo 0.03% es 15

e.- Un número cuyo 0.05% del 6% es

0.003

A) a B) b C) c D) d E) e

13.- Si tuviera 20% más de la edad que tengo

tendría 48 años. ¿Qué edad tengo en la

actualidad?

A) 30 años B) 40 años C) 50 años

D) 20 años E) 45 años

14.- Si vendiera mi libro de Razonamiento

matemático en un 30 % menos, costaría

17,5 soles. ¿Cuál es el precio real del

libro?

A) 30 soles B) 25 soles C) 20 soles

D) 35 soles E) 45 soles




CAJAMARCA

15.- Si Olga tuviera el 35 % menos de la edad

que tiene, tendría 13 años. ¿Cuántos años

tendrá dentro de 8 años?

A) 20 años B) 25 años C) 28 años

D) 26 años E) 40 años

Tercer Caso:


Se conocen : N y R

Se desconocen : P %

Ejemplo:

¿Qué porcentaje de 250 es 200?

%

20 100

250

250 20

250 20100

P de

P

P

8 %P


01.- ¿Qué porcentaje de 120 es 48?

A) 30% B) 35% C) 40%

D) 45% E) 50%

02.- ¿Qué porcentaje de 0,025 es 0,005?

A) 10% B) 15% C) 20%

D) 25% E) 30%

03.- ¿Qué % de 40 es 8?

A) 35% B) 25% C) 45%

D) 20% E) 30%


A) 0.5% B) 50% C) 5%

D) 20% E) N.A.

05.- ¿Qué porcentaje de 0.04 es 24 x10 – 3

?

A) 6% B) 60% C) 0.6%

D) 36% E) N.A.


A) 20% B) 30% C) 25%

D) 50% E) 40%

07.- ¿Qué porcentaje de 340 es 44,20?

A) 13% B) 12% C) 11%

D) 10% E) 9%

08.- ¿Qué % de 600 es 6?

A) 5% B) 4% C) 3%

D) 2% E) 1%

09.- ¿Qué porcentaje de 95 es 30,40?

A) 32% B) 31% C) 29,5%

D) 28% E) N.A.

10.- ¿Qué tanto por ciento de 50 es 120?

A) 24% B) 200% C) 240%

D) 220% E) 210%.

11.- ¿Qué tanto por ciento de 125 es 0,25?

A) 0,1% B) 0,2% C) 0,3%

D) 0,25% E) 0,5%

12.- ¿Qué tanto por ciento de 0,5 es1

4?

A) 200% B) 300% C) 50%

D) 100% E) 150%

13.- ¿Qué % de 40 es 32?

A) 70% B) 80% C) 90%

D) 75% E) 85%

14.- ¿Qué porcentaje de 3

5 es

3

20?

A) 30% B) 25% C) 20%

D) 15% E) 10%


A) 82% B) 84% C) 85%

D) 78% E) 87%

16.- ¿Qué % de 0,25 es 0,1?

A) 30% B) 40% C) 45%

D) 50% E) 60%


A) 25% B) 50% C) 75%

D) 30% E) 45%




CAJAMARCA

DESCUENTOS SUCESIVOS Este tipo de problemas aparece cuando a una cantidad se le aplica más de un descuento. Por lo

cual se puede utilizar la siguiente fórmula:

1 2 3

1

100 100 100 ...... 100100 %

100

N

U N

D D D DD

Donde:

1 2 3, , ,....., Indican los descuentos sucesivos

Indica el numero total de descuentos

Indica el descuento único, equivale a todos los descuent

N

U

D D D D

N

D

os realizados.

Cuando se trata tan solo de dos descuentos se puede aplicar la siguiente fórmula:

1 21 2 %

100U

DD D

DD

Dónde:

1

2

= Primer descuento

= Segundo descuento

D

D

AUMENTOS O RECARGAS SUCESIVAS

Este tipo de problemas aparece cuando a una cantidad se le aplica más de un aumento. Por lo

cual se puede utilizar la siguiente fórmula:

1 2 3

1100

100 100 100 ...... 100%

100

N

U NA

A A A A

Donde:

1 2 3, , ,....., Indican los descuentos sucesivos

Indica el numero total de descuentos

A Indica el descuento único, equivale a todos los descuent

N

U

A A A A

N

os realizados.

Cuando se trata tan solo de dos descuentos se puede aplicar la siguiente fórmula:

1 21 2 %

100U

AA A A

A

Dónde: 1

2

= Primer aumento

= Segundo aumento

A

A




CAJAMARCA

VARIACIONES PORCENTUALES

Se denomina así, al cambio que experimenta una cantidad con relación a su valor original, y que

es expresado en forma de tanto por ciento; en otras palabras si cierta magnitud cambia de valor,

el cambio puede expresarse en % de la siguiente manera.

100% F I

I

V V

V

Donde:


01.- El 40% más de que número es 980

A) 500 B) 600 C) 700 D) 750 E) 800

02.- El 30% más de que número es 650

A) 320 B) 420 C) 500 D) 520 E) 560

03.- El 80 % menos de que número es 450

A) 1800 B) 2100 C) 2250

D) 2300 E) 2400

04.- El 70 % menos de que número es 120

A) 400 B) 500 C) 600 D) 700 E) 800

05.- De qué número 1836 es el 53 % más

A) 1500 B) 1400 C) 1300

D) 1200 E) 1100

06.- De qué número es 360 el 20 % más

A) 300 B) 310 C) 312 D) 315 E) 320

07.- De qué número es 90 el 25% menos

A) 100 B) 105 C) 108 D) 110 E) 120

08.- El precio de un artículo aumento de 24 a

30. ¿Cuál fue el porcentaje de aumento?

A) 10 % B) 60 % C) 6 % D) 25 % E) 9 %

09.- ¿Determine el 10 % del 20 % del 0.5 % de

los 2/5 de 1 000

A) 2 % B) 3 % C) 4 % D) 9 % E) 16 %

10.- La población de una ciudad en 1980 era

60 mil habitantes y en 1990 era de 72 mil

habitantes. ¿Cuál fue el porcentaje de

aumento en la población?

A) 18 % B) 20 % C) 6 % D) 15 % E) 8 %

11.- El 40 % de los 3/4 del 6 % de 48 es 0.012

de los 2/3 de una cantidad. Hallar dicha

cantidad.

A) 36 B) 72 C) 108 D) 144 E) 160

12.- Qué porcentaje del 20 % del 60 % de 8

000 es el 0.2 % de los ¾ de 16 000.

A) 20 % B) 18 % C) 15 % D) 10 % E) 2.5 %

13.- ¿A qué aumento único equivalen 3

aumentos sucesivos del 5 %, 20 % y 50

%?

A) 69 % B) 79 % C) 89 %

D) 99 % E) 100 %

14.- ¿A qué descuento único equivalen 3 tres

descuentos sucesivos 20 %, 30 % y 50 %?

A) 32 % B) 52 % C) 62 %

D) 72 % E) 82 %

15.- Tres descuentos sucesivos del 20 %, 30

% y 40 % equivalen a un descuento

único de

A) 66.4 % B) 65.4 % C) 67.4 %

D) 68.4 % E) 78.4 %

% Porcentaje de Variacion

= Valor final

= Valor inicial

F

I

V

V




CAJAMARCA

APLICACIÓN COMERCIAL DEL TANTO POR CIENTO

V CP P G O V CP P P

Sea:

Precio de venta = PV

Precio de costo = PC

Ganancia = G

Perdida = P

APLICACIÓN:

01.- Un comerciante compra 40 m de tela por 6400. ¿A qué precio debe vender el metro para

ganar:

a) El 10% sobre el precio de compra? b) El 10% sobre el precio de venta?

Solución:

Precio de compra por metro: PC = 16040

6400

a. PV = PC + G

PV = PC + (10%) PC

PV = PC + 10

P C10

PV = PC + (0.10) PC

PV = 1.10 PC

PV = (1.10) (160) PV = 176

b) PV = PC + G

PV = PC + (10%) PV

PV = PC + (0.10) PV

PV - 0.10 PV = PC

PV = 9.0

P C

PV = 9.0

160 PV = 177.77

GRÁFICA 1: De la gráfica:

Sea:

Pf : Precio fijado

PL : Precio de Lista

D : Descuento

G : Ganancia o Ganancia Bruta

* La ganancia o pérdida, mientras no se diga nada, será referida al precio de costo.

* El descuento, mientras no se diga nada, será referida al precio de lista.

Pv Pc Pf

Pl

Aumento

Ganancia Descuento

Rebaja

PV = P. Fijado – Descuento P. Lista = Pc + Aumento

Recuerda




CAJAMARCA


01.- ¿Cuál fue el precio de lista de una

muñeca que se vendió en 160 soles,

habiéndose efectuado un descuento del

20 %?

A) S/. 400 B) S/. 300 C) S/. 200

D) S/. 150 E) S/. 100

02.- Se vende un artículo en S/. 600 ganado

el 25 % ¿Cuál fue el precio de costo?

A) S/. 400 B) S/. 480 C) S/. 840

D) S/. 460 E) S/. 450

03.- ¿Cuál será el precio a que se debe

vender un artículo que ha costado 340

soles para ganar el 15 % del precio de

venta?

A) S/. 250 B) S/. 300 C) S/. 350

D) S/. 400 E) S/. 450

04.- ¿A cómo se debe vender lo que costó 60


Venta?

A) S/. 150 B) S/. 80 C) S/. 90

D) S/. 95 E) S/. 100

05.- ¿A cómo se debe vender lo que costó 60


costo?

A) S/. 150 B) S/. 80 C) S/. 90

D) S/. 96 E) S/. 120

06.- Se vendió una radio en 640 soles,

ganado el 28 % del precio de compra

más el 10 % del precio de venta.

¿Cuál es el costo del radio?

A) S/. 380 B) S/. 450 C) S/. 480

D) S/. 490 E) S/. 540

07.- Un artefacto ha sido vendido por un

comerciante en 470 soles perdiendo una

cantidad equivalente al 11 % del precio

de venta más el 6 % del precio de costo.

¿Cuánto le habría costado dicho

artefacto?

A) S/. 485 B) S/. 525 C) S/. 555

D) S/. 495 E) S/. 545

08.- Se compra un artículo en 160 soles.

¿Qué precio debe fijarse para su venta al

público para que haciendo un descuento

del 20 % todavía se está ganando el 25

% del costo?

A) S/. 450 B) S/. 400 C) S/. 350

D) S/. 300 E) S/. 250

09.- Un artículo se ha vendido en S/. 1 200

ganando el 20 % del precio de costo más

el 15 % del precio de venta. Hallar el

precio de costo de dicho artículo (en

soles).

A) 780 B) 850 C) 860 D) 380 E) 910

10.- Si un artículo se ha vendido en S/. 12

000 ganando el 20 % del precio de costo

más el 15 % del precio de venta,

entonces el precio de costo de dicho

artículo, es:

A) S/. 8 000 B) S/. 8 500 C) S/. 8 600

D) S/. 8 800 E) N.A.

11.- Un objeto es vendido en 2 340 soles

dejando una utilidad del 30 % ¿En

cuánto debería venderse para ganar

solamente el 20 % sobre el costo?

A) S/. 2 120 B) S/. 2 160 C) S/. 2 000

D) S/. 1 980 E) S/. 1 990

12.- Un artículo se vende perdiendo el 8% de

su costo; si el precio de venta fue

S/. 575. Hallar su costo (en soles).

A) 625 B) 630 C) 644 D) 640 E) 620

13.- Cuál fue el precio fijado (en dólares) de

una computadora que se vendió en $ 180

Habiéndose hecho un descuento del

20 %?

A) 200 B) 225 C) 250 D) 300 E) 400

14.- ¿Qué precio se fijó a un artículo, si

haciéndole un descuento del 15 % de su

precio fijado, se vendió en S/. 544.

A) S/. 650 B) S/. 648 C) S/. 644

D) S/. 640 E) S/. 620




CAJAMARCA

15.- Un comerciante que vendió un artículo

en S/. 2800 lo hizo ganando el 12% del

costo más el 8% de su precio de venta.

Hallar el precio de costo.

A) S/. 2 500 B) S/. 2 450 C) S/. 2 400

D) S/. 2 350 E) S/. 2 300

16.- Un artículo que costo S/. 600 se vendió

haciendo un descuento del 20 % y aun

así se ganó el 20 % del precio de costo.

Hallar el precio fijado.

A) S/. 900 B) S/. 920 C) S/. 940

D) S/. 960 E) S/. 1000

17.- Se oferta un artículo que costó 360 soles,

si se desea ganar el 5 % del precio de

costo más el 10 % del precio de venta.

¿A cómo debe venderse?

A) S/. 420 B) S/. 480 C) S/. 510

D) S/. 600 E) S/. 280

18.- ¿Qué precio se debe fijar a un artículo

cuyo costo es de 75 soles, sabiendo que

se va hacer una rebaja del 20 % y aun así

se ganara el 60 % del costo?

A) S/. 150 B) S/. 120 C) S/. 130

D) S/. 110 E) S/. 100

19.- Un artículo cuyo precio de costo es

S/. 28 000 se vende ganando el 20% del

precio de venta más el 20% del precio de

costo. ¿Cuál es el precio de venta?

A) S/.38 000 B) S/.36 000 C) S/.42 000

D) S/. 2 000 E) N.A.

20.- Se vende un lapicero en 680 soles

perdiendo el 15 % del costo. ¿A cómo

debe venderse para ganar el 9 %?

A) S/. 827 B) S/. 782 C) S/. 872

D) S/. 724 E) S/. 836

21.- Catherine vende 2 autos a S/. 6 000 cada

uno, ganando el primero el 20 % y el

segundo pierde el 20 % del precio de

compra. ¿gana o pierde y cuánto?

A) Gana S/. 10 000 B) Pierde S/. 1000

C) Gana S/. 5 000 D) Pierde S/. 500

E) No gana ni pierde

22.- Se vende un televisor por S/. 6 000

ganando el 20 % del precio de venta más

20 % del precio de costo. Hallar el

precio del costo del televisor.

A) S/. 1 500 B) S/. 2 000 C) S/. 3 000

D) S/. 4 000 E) S/. 4 500

23.- Al vender una refrigeradora ganando el

32 % del costo, se ganó 240 soles más

que si se hubiera vendido ganando solo

el 12 % del costo. ¿Cuál es el 30 % del

costo?

A) S/. 240 B) S/. 360 C) S/. 420

D) S/. 120 E) S/. 560

24.- Un comerciante vendió un lote de

terreno por 96 000, ganando el 20 %. Si

por cada metro gano 200 soles. ¿Cuántos

metros negocio?

A) 100 B) 80 C) 120 D) 90 E) 110

25.- Un comerciante compra, harina a un

costo de 150 soles el saco; ganándose al

vender %3331 del costo. ¿A cuánto se

vendió el kilo de harina si cada saco

contiene 100 kilos?

A) S/. 2.00 B) S/. 4.00 C) S/. 3.50

D) S/. 3.00 E) S/. 2.50

26.- Un comerciante vende la quinta parte de

su mercadería con una ganancia del 8 %,

luego vende otro con un 13 % de

utilidad y el resto con un porcentaje de

pérdida tal que en todo el negocio no

gano ni perdió. ¿Cuál fue dicho

porcentaje?

A) 9 % B) 8 % C) 7 %

D) 6 % E) N.A

27.- Se vendieron dos televisores a 300 cada

uno. En uno se ganó el 25 % en el otro

se perdió el 25 %. ¿Cuánto se ganó o se

perdió en la venta de los dos televisores?

A) Se gano S/. 40

B) Se perdió S/. 30

C) Se perdió S/. 40

D) Se gano S/. 30

E) No se perdió ni se gano

Raz. Mate USP

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