APÉNDICE BINTERPOLACIÓNUTILIZANDOFUNCIONESDEBASERADIAL
Características de las Funciones de Base Radial (Radial Basis Functions)
El problema consiste en construir una función de interpolación s(x) dado un conjuntode puntos sobre la super�cie, nsp, que tendrán valor igua a cero (s(x) = 0), y un conjuntode puntos interiores a la super�cie, nip, que tendrán valor distinto de cero (s(x) 6= 0);siendo el número total de puntos con el que se construirá la función de interpolación iguala N (N = nip + nsp), [12,13].
Luego, dado un conjunto de puntos X = fxIgNI=1 � R3 y un conjunto de valorespara la función ffIgNI=1 � R, se pretende encontrar una interpolación s : R3 ! R tal que
s(xI) = fI ; I = 1; ::; N : (1)
La función de interpolación se elige en el espacio de distribuciones de Beppo-Levi en R3con derivadas segundas cuadrado integrables (BL(2)(R3)). Sin embargo este espacio es losu�cientemente grande como para de�nir un espacio de funciones de interpolación
S = fs 2 BL(2)(R3) : s(xI) = fI ; I = 1; ::; Ng : (2)
Este espacio tiene por propiedad el hecho de ser invariante a la seminorma de rotación1, lacual puede interpretarse como una medida de la energía o de la suavidad de la función (esdecir funciones con seminorma pequeña son más suaves que funciones con seminormagrande). Se demuestra que la función de interpolación más suave
s# = arg mins2S
ksk , (3)
tiene la forma
s#(x) = �(x) = p (x) +NXI=1
�I x� xI = p (x) + NX
I=1
�I R(r) , (4)
donde p(x) es un polinomio lineal y �I son números reales.
Esta función es un caso particular de una radial basis function, cuya expresión genéricaes
�(x) = p (x) +NXI=1
�I R( x� xI ) . (5)
donde las "funciones base" son funciones reales en [0;1) y se tienen por ejemplo lassiguientes variantes [12,13]:
1La seminorma de rotación está de�nida como:
ksk2 =ZR3
"�@2s(x)
@x2
�2+
�@2s(x)
@y2
�2+
�@2s(x)
@z2
�2+2
�@2s(x)
@x@y
�2+ 2
�@2s(x)
@x@z
�2+ 2
�@2s(x)
@y@z
�2#dx .
38
� Biharmonic spline, R (r) = r .
� Thin plate spline, R (r) = r2 log(r) .
� Gaussina, R(r) = e�cr2 .
� Triharmonic spline, R(r) = r3 .
� Multiquadratic, R(r) =pr2 + c2 .
� Exponential, R(r) = er .
La elección de los coe�cientes �I debe ser tal que la función de interpolación pertenezcaal espacio BL(2)(R3), y para ésto deben cumplirse ciertas condiciones, que en el caso defunciones base biharmónicas tienen la siguiente forma
NXI=1
�I =
NXI=1
�I xI1 =
NXI=1
�I xI2 =
NXI=1
�I xI3 = 0 . (6)
El polinomio p(x) se de�ne, para el caso particular de funciones base biharmónicasen tres dimensiones (Ec. 4), como
p(x) = p(x1; x2; x3) = c0 + c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 (7)
El sistema de ecuaciones de�nido por la Ec. 1 y la Ec. 6, que tiene por soluciónel conjunto de coe�cientes �I y el conjunto de coe�cientes del polinomio p(x), puedeexpresarse de la siguiente forma matricial�
A PPT 0
���c
�=
��0
�(8)
donde
A =
264 kx1 � x1k � � � x1 � xN
... . . . ... xN � x1 � � � xN � xN
375 , (9)
P =
264 1 x11 x12 x13
1...
......
1 xN1 xN2 xN3
375 , (10)
�T =��1 � � � �N
�, (11)
cT =�c0 c1 c2 c3
�, (12)
�T =��(x1) � � � �(xN)
�. (13)
Nótese que �(xI) será igual a cero excepto en los nip puntos interiores.
39
Cuando el conjunto de puntos está de�nido enR2, es decir s : R2 ! R, las �funcionesbase� normalmente utilizadas son thin plate spline. Sin embargo, en nuestro caso, hemosutilizado como �funciones base� tri-harmonic thin plate spline
R (r) = r4 log(r) (14)
para lograr continuidad en derivadas de mayor orden, pruebas numéricas nos han demostradoventajas frente a las thin plate spline.
Ejemplo de aplicación
La �gura muestra cómo a partir de un conjunto de siete puntos sobre la super�cie (�(x) =0), y un conjunto de puntos interiores (�(x) < 0)no indicados en la �gura, queda de�nidala función de interpolación �(x) en R2, determinando para el caso del problema encuestión la posición de la isoterma de 1150�C y el dominio de cálculo a utilizar.
Como puede observarse la frontera �material / no material� es una curva suave ycontinua, características que se espera tenga el per�l real de erosión del crisol del altohorno dados los fenómenos físicos involucrados.
40
Top Related