APÉNDICE BINTERPOLACIÓNUTILIZANDOFUNCIONESDEBASERADIAL

Características de las Funciones de Base Radial (Radial Basis Functions)

El problema consiste en construir una función de interpolación s(x) dado un conjuntode puntos sobre la super�cie, nsp, que tendrán valor igua a cero (s(x) = 0), y un conjuntode puntos interiores a la super�cie, nip, que tendrán valor distinto de cero (s(x) 6= 0);siendo el número total de puntos con el que se construirá la función de interpolación iguala N (N = nip + nsp), [12,13].

Luego, dado un conjunto de puntos X = fxIgNI=1 � R3 y un conjunto de valorespara la función ffIgNI=1 � R, se pretende encontrar una interpolación s : R3 ! R tal que

s(xI) = fI ; I = 1; ::; N : (1)

La función de interpolación se elige en el espacio de distribuciones de Beppo-Levi en R3con derivadas segundas cuadrado integrables (BL(2)(R3)). Sin embargo este espacio es losu�cientemente grande como para de�nir un espacio de funciones de interpolación

S = fs 2 BL(2)(R3) : s(xI) = fI ; I = 1; ::; Ng : (2)

Este espacio tiene por propiedad el hecho de ser invariante a la seminorma de rotación1, lacual puede interpretarse como una medida de la energía o de la suavidad de la función (esdecir funciones con seminorma pequeña son más suaves que funciones con seminormagrande). Se demuestra que la función de interpolación más suave

s# = arg mins2S

ksk , (3)

tiene la forma

s#(x) = �(x) = p (x) +NXI=1

�I x� xI = p (x) + NX

I=1

�I R(r) , (4)

donde p(x) es un polinomio lineal y �I son números reales.

Esta función es un caso particular de una radial basis function, cuya expresión genéricaes

�(x) = p (x) +NXI=1

�I R( x� xI ) . (5)

donde las "funciones base" son funciones reales en [0;1) y se tienen por ejemplo lassiguientes variantes [12,13]:

1La seminorma de rotación está de�nida como:

ksk2 =ZR3

"�@2s(x)

@x2

�2+

�@2s(x)

@y2

�2+

�@2s(x)

@z2

�2+2

�@2s(x)

@x@y

�2+ 2

�@2s(x)

@x@z

�2+ 2

�@2s(x)

@y@z

�2#dx .

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� Biharmonic spline, R (r) = r .

� Thin plate spline, R (r) = r2 log(r) .

� Gaussina, R(r) = e�cr2 .

� Triharmonic spline, R(r) = r3 .

� Multiquadratic, R(r) =pr2 + c2 .

� Exponential, R(r) = er .

La elección de los coe�cientes �I debe ser tal que la función de interpolación pertenezcaal espacio BL(2)(R3), y para ésto deben cumplirse ciertas condiciones, que en el caso defunciones base biharmónicas tienen la siguiente forma

NXI=1

�I =

NXI=1

�I xI1 =

NXI=1

�I xI2 =

NXI=1

�I xI3 = 0 . (6)

El polinomio p(x) se de�ne, para el caso particular de funciones base biharmónicasen tres dimensiones (Ec. 4), como

p(x) = p(x1; x2; x3) = c0 + c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 (7)

El sistema de ecuaciones de�nido por la Ec. 1 y la Ec. 6, que tiene por soluciónel conjunto de coe�cientes �I y el conjunto de coe�cientes del polinomio p(x), puedeexpresarse de la siguiente forma matricial�

A PPT 0

���c

�=

��0

�(8)

donde

A =

264 kx1 � x1k � � � x1 � xN

... . . . ... xN � x1 � � � xN � xN

375 , (9)

P =

264 1 x11 x12 x13

1...

......

1 xN1 xN2 xN3

375 , (10)

�T =��1 � � � �N

�, (11)

cT =�c0 c1 c2 c3

�, (12)

�T =��(x1) � � � �(xN)

�. (13)

Nótese que �(xI) será igual a cero excepto en los nip puntos interiores.

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Cuando el conjunto de puntos está de�nido enR2, es decir s : R2 ! R, las �funcionesbase� normalmente utilizadas son thin plate spline. Sin embargo, en nuestro caso, hemosutilizado como �funciones base� tri-harmonic thin plate spline

R (r) = r4 log(r) (14)

para lograr continuidad en derivadas de mayor orden, pruebas numéricas nos han demostradoventajas frente a las thin plate spline.

Ejemplo de aplicación

La �gura muestra cómo a partir de un conjunto de siete puntos sobre la super�cie (�(x) =0), y un conjunto de puntos interiores (�(x) < 0)no indicados en la �gura, queda de�nidala función de interpolación �(x) en R2, determinando para el caso del problema encuestión la posición de la isoterma de 1150�C y el dominio de cálculo a utilizar.

Como puede observarse la frontera �material / no material� es una curva suave ycontinua, características que se espera tenga el per�l real de erosión del crisol del altohorno dados los fenómenos físicos involucrados.

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