1. Introducción
1.1 Motivación
Una manera en la cual la familia, amigos y conocidos pueden pasar un
buen rato reunidos de manera entretenida es mediante juegos de estrategia,
en la cual los competidores pueden mostrar sus habilidades al tomar
decisiones acertadas al realizar sus jugadas para llegar a la victoria. Los
juegos de estrategia son una buena opción para “matar el tiempo”, mientras
demuestras tus capacidades analíticas. Una decisión es el producto final del
proceso mental de un individuo o un grupo de personas, el cual se denomina
toma de decisiones. Este proceso tiene como finalidad realizar una elección
entre las alternativas o formas para resolver diferentes situaciones de la
vida. Se necesita hacer uso del razonamiento y pensamiento para elegir una
decisión a un problema. Por más simple que parezca el problema, para que
haya una decisión, tienen que haber alternativas. No importa la naturaleza
del problema, se debe de conocer, comprender y analizar para poder darle
solución.
1.2 Justificación y relevancia
En este proyecto creativo, estaré discutiendo el juego de puntitos, el
cual está clasificado como un juego de estrategia. Para este tipo de juego, el
factor de la inteligencia, habilidades técnicas, planificación y despliegue,
1
pueden hacer predominar o impulsar al jugador hacia la victoria del juego.
Se calcularán las probabilidades a partir de la tercera jugada para decidir
cual jugador tiene más probabilidad de ganar a partir de cada una de sus
jugadas. Se hará de esta manera ya que los competidores utilizan decisiones
mejores pensadas en las últimas jugadas. Para esto, se empleará el método
del árbol de juegos, en donde se mostrará un ejemplo, en el cual presentaré
todos caminos por los cuales el jugador pueda obtener la victoria a partir de
la tercera jugada.
2
2. Reseña histórica
2.1 Análisis de decisiones
El análisis de decisiones tiene poco más de cuatro décadas. Del 1970
al 1980 aparecen publicaciones directamente haciendo referencia al análisis
de decisiones y luego, en el 1990 aparecen referencias relevantes. Algunos
métodos del análisis de decisión se movieron de la búsqueda de estrategias
a las aplicaciones o se comenzaron a reorganizar más ampliamente. Se
desarrollaron programas informáticos del análisis de decisiones y, se crearon
paquetes de software que utilizan el árbol de decisiones y diagramas de
influencia. Del 1992 al 1994, Kenney discute los roles de valor en la toma de
decisiones y Kenney & Mc Danuls ilustra las aplicaciones de este tipo de
“pensamiento centrado en el valor”. En 1992 Edwards revisó ambas teorías y
las aplicaciones asociadas utilizando el valor esperado y en el 1994 se
discute el uso de 3 puntos de aproximación para simplificar el cálculo de la
distribución de la probabilidad continua cuando la actitud hacia la asunción
de riesgo es importante en una decisión. En el 1995 Corner & Corner
resumió las características de las aplicaciones del análisis de decisiones
encuestadas por Corner y Kirkwood. Luego, en el 1997- Kirkwood revisó los
3
métodos del análisis de decisiones con múltiples objetivos en conflicto,
incluyendo procedimientos con hojas de cálculo para implementar estos
métodos. En el 1998 Hazen revisó el método del árbol de decisiones y en el
1999 Perdue discutió el método usando ambas técnicas de fijaciones de
precios y las herramientas del análisis de decisiones en la búsqueda de la
planificación del desarrollo. Mc Cardle proporcionó un tutorial de
introducción con métodos de fijación de precios y su potencial de integración
con el método de análisis de decisiones, con un enfoque en las
investigaciones de evaluación del aceite y gas. Matheson & Matheson
discutieron el uso de un “outside-in” en el enfoque para tener una mejor
cuenta de compañías externas en el exterior durante la estrategia del
análisis de decisiones.
Actualmente el análisis de decisiones es una disciplina
consolidada, y a la vez dinámica, que se enseña en las principales
universidades del mundo y se aplica en situaciones de gran trascendencia.
2.2 Teoría de juegos
La primera discusión conocida de la teoría de juegos aparece en una
carta escrita por James Waldegrave en 1713. En esta carta, Waldegrave
proporciona una solución minimax de estrategia mixta a una versión para
dos personas del juego de cartas le Her. Sin embargo no se publicó un
análisis teórico de teoría de juegos en general hasta la publicación de
Recherches sur les príncipes mathématiques de la théorie des richesses, de
4
Antoine Augustin Cournot en 1838. En este trabajo, Cournot considera un
duopolio y presenta una solución que es una versión restringida del equilibrio
de Nash.
Aunque el análisis de Cournot es más general que el de Waldegrave, la
teoría de juegos fue desarrollada inicialmente en 1937 por el gran
matemático húngaro John von Neumann. Años más tarde su propio creador
Neumann, Oskar Morgenstern, John Nash, A.W. Tucker entre otros hicieron
grandes contribuciones para ampliar dicha teoría. Experimentó un
crecimiento sustancial y se formalizó por primera vez antes y durante la
Guerra Fría, debido sobre todo a su aplicación a la estrategia militar, en
particular a causa del concepto de destrucción mutua garantizada. Desde los
setenta, la teoría de juegos se ha aplicado a la conducta animal, incluyendo
el desarrollo de las especies por la selección natural.
3. Definiciones
3.1. Alternativa de decisión- Evento o variable no controlable.
3.2. Árbol de decisiones- Es un diagrama que representan en
forma secuencial condiciones y acciones. Muestra qué
5
condiciones se consideran en primer lugar, en segundo lugar y
así sucesivamente.
3.3. Árbol de escenarios- Tiene por objetivo definir un estado
futuro de un sistema conocido actualmente e indicar los distintos
procesos que permiten pasar del estado presente a la imagen
futura.
3.4. Árbol de juegos- Es una aplicación de un árbol de decisión,
puesto que se genera el árbol de acuerdo al nivel de previsión y
cada jugador va diciendo que jugada le conviene más de acuerdo
a la evaluación de una determinada posición.
6
3.5. Combinaciones- Una combinación es una selección de
objetos en donde no importa el orden sino la pertenencia al
grupo. El número de formas en que r objetos pueden elegirse de
un conjunto de n objetos distintos es
3.6. Estado de naturaleza- Eventos que pueden ocurrir como
resultado de cada.
3.7. Método de poda- Mecanismo para mejorar precisión del
árbol sobre datos objetivos.
Ejemplo:
Árbol sin podar
Árbol obtenido de podar el anterior
7
3.8. Método de revisión rollback- Es un algoritmo de
retroceso que comienza en los nodos terminales del árbol y
trabaja hacia atrás hasta el nodo de decisión inicial.
3.9. Nodo- Es un punto de unión.
3.10. Nodo de oportunidad o chance- Se desprenden ramas
que representan posibles estados de la naturaleza.
3.11. Nodos de decisión- De ellos salen las ramas de decisión y
se representan con o .
3.12. Nodos de incertidumbre o estados de naturaleza- De
ellos salen las ramas de los eventos y se representan con ¡ .
Representa el momento en que se produce un evento incierto.
De un nodo de estado de la naturaleza salen ramas de estado de
la naturaleza.
8
3.13. Nodo inicial- Puede o no representar un evento.
3.14. Probabilidad condicional- Es la probabilidad de que
ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B.
La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la
probabilidad de A dado B. la probabilidad condicional de A dado
B está definida como:
3.15. Probabilidad marginal- Es la probabilidad de un evento
simple A, es decir un evento de una sola característica y se
puede definir como P(A)
3.16. Ramas- Es un arco conector. Se representan con líneas y
une a dos nodos.
3.17. Ramas de decisión- Son las decisiones posibles.
3.18. Ramas de estado de la naturaleza – Son los posibles
resultados provenientes de eventos inciertos sobre los cuales no
se tiene control.
3.19. Teorema de Bayes- Es el resultado que da la distribución
de probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en
términos de la distribución de probabilidad condicional del
9
evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de
sólo A.
3.20 Teorema del binomio- Es un resultado que proporciona el
desarrollo de la potencia de una suma.Este teorema establece
que el coeficiente de xkyn − k en el desarrollo de (x + y)n es ,
donde recibe el nombre de coeficiente binomial y representa
el número de formas de escoger k elementos a partir de un
conjunto con n elementos. Se expresa de la siguiente manera:
3.21 Valor esperado- Es la media de la distribución de
probabilidad. Se calcula como:
10
E( x )=∑i=1
m
X i p(X i)
4. Marco teórico:
Un árbol de decisión es un modelo de predicción construidos a partir
de la descripción de la narrativa de un problema. Ellos proveen una visión
gráfica de la toma de decisión necesaria, especifican las variables que son
evaluadas, qué acciones deben ser tomadas y el orden en la cual la toma de
decisión será efectuada. Dada una base de datos se construyen diagramas
de construcciones lógicas, muy similares a los sistemas de predicción
basados en reglas, que sirven para representar y categorizar una serie de
condiciones que ocurren de forma sucesiva, para la resolución de un
problema. Tiene unas entradas las cuales pueden ser un objeto o una
situación descrita por medio de un conjunto de atributos y a partir de esto
devuelve una respuesta la cual en últimas es una decisión que es tomada a
11
partir de las entradas. Los valores que pueden tomar las entradas y las
salidas pueden ser valores discretos o continuos. Se utilizan más los valores
discretos por simplicidad, cuando se utilizan valores discretos en las
funciones de una aplicación se denomina clasificación y cuando se utilizan
los continuos se denomina regresión. Un árbol de decisión lleva a cabo un
test a medida que este se recorre hacia las hojas para alcanzar así una
decisión. El árbol de decisión suele contener nodos internos, nodos de
probabilidad, nodos hojas y arcos. Un nodo interno contiene un test sobre
algún valor de una de las propiedades. Un nodo de probabilidad indica que
debe ocurrir un evento aleatorio de acuerdo a la naturaleza del problema,
este tipo de nodos es redondo, los demás son cuadrados. Un nodo hoja
representa el valor que devolverá el árbol de decisión y finalmente las ramas
brindan los posibles caminos que se tienen de acuerdo a la decisión tomada.
Refiriéndonos al ámbito empresarial, podemos decir que los árboles de
decisión son diagramas de decisiones secuenciales nos muestran sus
posibles resultados. Éstos ayudan a las empresas a determinar cuáles son
sus opciones al mostrarles las distintas decisiones y sus resultados. La
opción que evita una pérdida o produce un beneficio extra tiene un valor. La
habilidad de crear una opción, por lo tanto, tiene un valor que puede ser
comprado o vendido.
Véase el siguiente ejemplo para comprender como se construye un
árbol de decisiones. Supóngase el caso en el que un cliente lleva una
12
microcomputadora a reparar con el menor gasto de dinero. Una de las cuatro
partes es la que probablemente falló. Estas son A, B, C, y D, con un costo de
reemplazo de 100, 200, 30, y 80, respectivamente. Se utilizarán desde la
letra A hasta la D para representar los eventos que pudieron haber causado
la falla de cada una de las cuatro partes. La letra E se utilizará para el caso
en el que el evento de la falla de la computadora sea distinto al de las cuatro
partes. Están disponibles tres pruebas, X, Y, y Z, para ayudar a localizar la
pieza dañada, con un gasto de $50, $70 y $80, respectivamente. De ser el
caso E, o si se decide no realizarse la prueba, el “motherboard” se puede
reemplazar con un costo de $500. El objetivo del análisis es de llevar a cabo
la estrategia óptima de mantenimiento con un costo mínimo.
A continuación, se construirá un árbol de decisiones que describa en
detalle el proceso de decisión. El árbol de decisiones es un modelo de una
decisión. Se construirá el árbol en pasos comenzando por la primera decisión
del reparador.
El reparador puede primero reparar la maquina reemplazando el
“motherboard” con un costo de $500 o usar la prueba X para obtener una
mejor idea que esta dañado. Esto representa la primera decisión del proceso,
a ver si se puede comenzar con el proceso. En la siguiente figura se
comienza a construir el árbol de decisiones. La primera decisión es indicada
por un nodo rectangular etiquetado con un 1. El símbolo interior D1 del nodo
identifica la decisión. Los dos arcos que salen del nodo indican las 2 posibles
13
decisiones disponibles. En este punto la primera decisión tiene 2 resultados:
reemplazar el “motherboard” o realizar la prueba X. Las etiquetas en el arco
1 y 2 corresponden a esas 2 posibilidades. El costo asociado con la prueba
(50) es presentada adyacentemente para el arco entrando el nodo 3. Para
esto y para los siguientes nodos de decisión se permite solo la decisión
específica de la prueba.
Nodo terminal
En la figura de la decisión de reemplazar el “motherboard” conduce
hacia el nodo terminal presentado con un círculo negro etiquetado nodo 2.
En el nodo terminal el proceso se detiene y el costo asociado con el estado
terminal puede ser evaluado. El número adyacente del nodo (500) es el
costo asociado en alcanzar el nodo, esto es, el costo de reemplazar el
“motherboard”.
Nodo de oportunidad
En la decisión para presentar la prueba Z le sigue al próximo paso para el
nodo 3. Esto es un nodo de oportunidad porque el resultado de la prueba es
incierto. Este tipo de nodo es presentado con un círculo blanco. La prueba
14
puede reunir con tres indicaciones: un fallo probable dado que A o B (arco 3),
un fallo probable dado que C o D (arco 4) o una indicación para reemplazar
el “motherboard” (arco 5).
La figura muestra los tres posibles eventos asociados con el
experimento como arcos dejando el nodo de oportunidad. El número en los
arcos dejando el nodo son las probabilidades de los resultados de las tres
pruebas. Los arcos terminales en el nodo representan una decisión adicional
de los eventos terminales.
Segunda ronda de decisiones
Si la prueba x presenta el primer resultado, el reparador puede utilizar la
prueba Y o reemplazar el “motherboard”. Si la prueba presenta el segundo
resultado, se puede usar la prueba Z o reemplazar en “motherboard”.
15
La figura muestra el detalle asociado con una segunda ronda de
decisión. Co el primer resultado de la prueba X, el reemplazo puede
continuar con la falla aislada del proceso con la prueba, o puede reemplazar
el “motherboard”. Esto está presentado como decisión D2. El costo de la
prueba es de $70. Note que solo esas dos acciones son permitidas. Ella no
puede reemplazar los componentes individualmente.
Si la prueba X resulta en n segundo resultado, ella puede continuar con
la prueba Z o reemplazar el “motherboard”. Esta es la decisión d3. El costo
de la prueba Z es $80. En ambos casos, el costo del reemplazo del
“motherboard” es $500.
Resultado de las pruebas Y y Z
16
Se asume para el ejemplo en el que la prueba Y puede correctamente
identificar la causa de la falla si esto es dado para el componente A o B. Si
alguno de esos indicadores se observa, la falla del componente es reparada.
Todas las otras causas (C , D o E) son agrupadas en la tercera categoría. Si la
prueba no indica A o B el “motherboard” es reemplazado.
Similarmente, la prueba Z correctamente identifica las fallas, esto si es
dado para C o D. Si en la prueba no se indica C o D, la falla puede ser en A, B
o E. Mientras continúan las pruebas, el “motherboard” es reemplazado. Los
resultados de la prueba con las probabilidades apropiadas y el costo están
presentados en la figura:
17
El árbol completo se muestra en la siguiente figura. El árbol es el
modelo de proceso de decisión. Esto consiste en nodos y arcos enumerados.
Para la estructura del árbol, el número de nodos es siempre uno más que el
número de arcos.
El árbol de decisiones es ampliamente utilizado como base para el
control de calidad del mercado de decisiones. Ha sido criticado porque
requiere muchos cálculos, lo cual puede resultar ineficiente. Existen
modificaciones del árbol de decisiones que reducen sustancialmente el
número de cálculos requeridos para resolver problemas de decisión. Estas
modificaciones pueden reducir los cálculos en un 75% que los que se
requieren en el árbol tradicional de decisiones.
18
El bayesiano árbol de decisiones fue fundado en 1944 in la teoría de
decisión de van Neumann y Morgenstern. Se describen todas las posibles
combinaciones de decisiones y el estado de naturaleza. Las variables de
decisión son representadas por rectángulos llamados nodos de decisión, y
las variables aleatorias son representadas por círculos llamados nodos de
oportunidad. Las flechas que apuntan hacia la variable de decisión, llamadas
nodos de decisión, muestran la información disponible en el momento en
que decisión es hecha, y las flechas apuntan a la variable aleatoria (nodo de
oportunidad) muestran la existencia de la distribución de la probabilidad
condicional de la variable aleatoria.
El proceso de solución del árbol de decisiones permite para el proceso
computacional de una decisión óptima usar el método tradicional de revisión
“rollback” o los procesos del promediar y repliegue de Raiffa (1968). Las
probabilidades conjuntas y marginales son obtenidas y usadas con el
Teorema de Bayes para obtener las probabilidades condicionadas. El proceso
óptimo de decisión y el valor esperado son obtenidos por el método de
revisión “rollback”. Para esto, se comienza por las hojas (los extremos del
árbol) al azar y las decisiones de las variables (nodos) se suprimen
recursivamente. Los nodos al azar son suprimidos por el cálculo promedio
del procedimiento, tomando el promedio de las ganancias al final de sus
bordes con la probabilidad de los nodos usados como sus bordes.
19
Matemáticamente, la probabilidad del estado de naturaleza (si) es
denotada por P(si) y la probabilidad de la señal yk dado si es denotada por
P( yk /si). Las probabilidades conjuntas, marginales y condicionales están
dadas respectivamente por:
P (si , yk )=P ( si ,)∗P( yksi ), (1)
P ( yk )=∑i
❑
P ( s i ,)∗P( yk / si),(2)
P (si / yk )=P ( y k ,si )/P ( yk ) (3)
El valor esperado del proceso óptimo es calculado por:
EV=∑k
¿¿
donde w (si , d j) son las ganancias asociadas con el estado si y acción d j y la
probabilidad condicional P(si / yk ) es obtenido por la ecuación 3.
El árbol de decisiones puede clasificarse en simétrico, si cada camino
desde el nodo raíz a un nodo hoja incluye la misma variable aleatoria y
variable de decisión, o no simétrica. Los árboles de decisiones también
pueden clasificarse en como nivel 1 ó multiniveles. Es considerado de un
nivel cuando un solo nivel de señales es asumido. Los árboles de decisiones
multi-niveles envuelven múltiples niveles de señal y son muy comunes en
muchas decisiones de la vida real. Los árboles simétricos tradicionales
permiten la utilización del procedimiento de fusión que reduce el número de
20
operaciones necesarias para encontrar la solución, sin afectar el número de
operaciones necesarias para procesar de nuevo las posibilidades. El árbol
tradicional de decisiones es caracterizado por requerir muchos cálculos, lo
cual puede ser ineficiente. El análisis del árbol tradicional de decisiones
puede ser simplificado y el número de cálculos puede ser sustancialmente
reducido. Algunas fuentes han propuesto la modificación del árbol de
decisiones, incluyendo los arboles de juegos “Game trees” [Shenoy, 1993b],
y los arboles de escenarios “Scenario tree” [Shenoy, 1994b], los cuales
preservan las ventajas del árbol tradicional de decisiones, mientras mejora la
eficiencia de la solución. El análisis simplificado puede ser derivado como
sigue. Sustituyendo (3) en (4) resulta en:
EV=∑k
¿¿
La ecuación (5) pude simplificarse como:
EV=∑k
¿¿
Usando (2) en (6) resulta en la siguiente ecuación simplificada del cálculo del
valor esperado:
EV=∑k
¿¿
en donde w (si , d i), P (si ), y P( yksi ) ya fueron definidas anteriormente.
21
De las ecuaciones sugeridas anteriormente, el modelo propuesto
requiere el cálculo de solamente las probabilidades conjuntas, y elimina la
necesidad de calcular las probabilidades conjuntas y combinadas. El modelo
propuesto reduce la necesidad de procesar las probabilidades requeridas por
el árbol tradicional de decisiones. Este análisis puede ser utilizado en el caso
de árboles de nivel 1 y multi- niveles. También, puede ser aplicado para
problemas de decisión simétrico y no simétrico. En el caso de problemas
simétricos, como el análisis tradicional, el modelo propuesto anteriormente
puede ser utilizado para el proceso de coalescencia.
Matemáticamente, el número de cálculos necesario para el método
tradicional puede ser calculado como sigue. Toma a n = número de estado, j
= número de señal, y m = número de decisión. El número de operaciones
necesarias para obtener la probabilidad condicional (denotada A) y el
número de operaciones necesarias para obtener la solución óptima
(denotada B), está dada por:
A (Old )= jn+ j (n−1 )+ jn(8)
¿3 jn−i
B (Old )= jm (2n−1 )+ j (m−1 )+ (2 j−1 )(9)
=2 jmn+i−1
22
donde, jn = operaciones para obtener las probabilidades conjuntas, j(n−1) =
operaciones para obtener las probabilidades marginales, jn = operaciones
para obtener las probabilidades revisadas, jm (2n−1) = operaciones para
calcular el valor esperado de todas las decisiones y señales, j(m−1) =
operaciones para obtener el valor máximo de todas las señales, y (2 j−1)=
operaciones para obtener el valor esperado del proceso de decisión óptimo.
Total (Old )=3 jn+2 jmn−1(10)
El número de operaciones necesarias para la modificación del análisis puede
ser calculado de manera similar. El número de operaciones necesarias para
el proceso de probabilidades (A) y las operaciones necesarias para obtener la
solución óptima (B) están dadas, respectivamente, por:
A (New )= jn(11)
B (New )= jm (2n−1 )+ j (m−1 )+( j−1 )(12)
¿2 jmn−1
“donde, jn = operaciones para obtener las probabilidades conjuntas,
jm (2n−1) y j(m−1)son los definidos anteriormente, y ( j−1) = operaciones
para calcular el valor esperado del procedimiento óptimo de decisión. Así, el
número total de operaciones necesarias para en nuevo modelo están dadas
por:
Total (New )= jn+2 jmn−1(13)
23
El enfoque propuesto requiere el cálculo de solo probabilidades conjuntas jn,
y elimina la necesidad de calcular j(n−1) y jn probabilidades marginales y
conjuntas. Esto resulta en:
Savings= j (n−1 )+ jn (14 )
¿2 jn− j
El modelo también ahorra las operaciones j en el cálculo del valor esperado
del procedimiento de decisión óptimo. El total de operaciones ahorradas
están dadas por:
Total Saving (New−Old )=(2 jn− j )+ j(15)
¿2 jn .
El árbol de escenario es diferente al tradicional árbol de decisiones.
Mientras que el árbol de decisiones calcula las probabilidades para cada
borde del nodo de oportunidad, el árbol de escenarios calcula
probabilidades, llamadas ruta de probabilidades, para cada ruta de un nodo
raíz a un nodo hoja. Una vez que las probabilidades de ruta son calculadas,
se multiplican por los pagos para obtener ganancias ponderadas para cada
ruta. Las ganancias ponderadas son entonces utilizadas para podar los nodos
de oportunidad y de decisión, y obtener el proceso de decisión óptimo. Las
ganancias ponderadas obtenidas después de todos los nodos de decisión son
podadas en el valor esperado del proceso de decisión óptimo.
24
El árbol de juego es un grafo dirigido de tipo árbol en que cada nodo
representa una posible elección para uno de los jugadores. Cualquier
sucesión de jugadas puede representarse por un camino conexo dentro del
árbol de juego. Si el juego acaba siempre después de un número finito de
pasos, entonces el árbol tiene un número finito de nodos. Los arboles de
juegos son similares al tradicional árbol de decisiones. Sin embargo, difieren
en su secuencia de nodos de oprtunidad y decisión sobre las rutas de los
nodos de raíz a los nodos de hoja. La solución del árbol de juego es una
modificación de la versión del tradicional método “rollback” usado en el
árbol tradicional de decisiones. El nuevo método de poda, sugerido para
árboles de escenario fue usado con el análisis del árbol de juegos y resultó
en una solución más efectiva que la solución obtenida usando la
modificación del proceso “rollback”. Para demostrar la eficiencia del abol de
juegos y del árbol de escenarios con el árbol tradicional de decisiones, se
comparó el análisis del árbol tradicional de decisiones (sin fusión), el análisis
del árbol tradicional (con fusión), el árbol de juegos (con el método del
“rollback”), el árbol de juegos (con el nuevo método de poda), y árbol de
escenarios. Se comparó el número de cálculos requeridos por las cinco
técnicas para obtener el proceso óptimo de decisión para un ejemplo que
envuelve un problema de diagnóstico médico. El número de cálculos
requeridos por el tradicional árbol de decisiones (sin fusión) y en tradicional
árbol (con fusión) fue de 71 y 59, respectivamente. El número de cálculos
requerido por el árbol de juegos (con el método tradicional “roolback”), árbol
25
de juegos (con el nuevo método de fusión) y el árbol de escenarios fueron:
63, 49, y 43, respectivamente. Así, el ahorro de reemplazar el tradicional
árbol (con fusión) por el árbol de juegos (con el nuevo método de fusión) y
el árbol de escenarios fueron 10 y 16. Sin embargo, árbol de juegos (con el
método tradicional rollback) es menos eficiente que el tradicional árbol (con
fusión). Aplicando la modificación del análisis del árbol de decisión al
problema del diagnóstico médico, el número total de operaciones necesarias
para el proceso de probabilidades y para obtener la política óptima de
decisión fueron 43 operaciones sin fusión y solo 31 operaciones cuando el
proceso de fusión es usado porque el árbol es simétrico.
Por otro lado, la teoría de juegos es una herramienta que permite
examinar el comportamiento estratégico de los participantes los cuales
actúan motivados por la maximización de sus utilidades, y suponen que los
otros participantes son racionales. En la teoría de juegos se toma en cuenta
el comportamiento esperado de otros y se considera el reconocimiento
mutuo de la interdependencia. Como se ha dicho anteriormente, el árbol de
juegos es una representación gráfica que describe la estructura total de un
juego. Está compuesto por nodos, los cuales representan los posibles
movimientos en el juego y son asignados cada uno a un sólo jugador y las
acciones (ramas) disponibles para los jugadores en cada uno de sus nodos.
El primer movimiento del juego se identifica con un nodo distintivo que se
llama la raíz del juego. Una jugada consiste en una cadena de ramas
conectadas que comienza en la raíz del árbol y termina, si el juego es finito,
26
en el nodo terminal. Las ramas que parten de los nodos representan las
elecciones o acciones disponibles en cada movimiento. A cada nodo distinto
del nodo terminal se le asigna el nombre de un jugador con el fin de
distinguir quién hace la elección en cada movimiento. Los nodos terminal
informa sobre las consecuencias para cada jugador si el juego termina en
ese nodo.
27
5. Parte creativa aplicada
5.1 Descripción general del estudio
Imagínese que va a jugar el siguiente juego de los Puntitos con un
oponente. El juego consiste en que cada jugador tendrá entre cada turno la
oportunidad de seleccionar hasta un máximo de tres puntitos. El jugador que
realice la última jugada será el perdedor. El método consiste en que cada
jugador debe pensar la manera en la cual el oponente se vea obligado a
seleccionar el último puntito. Al comenzar el juego, las jugadas se hacen al
azar, ya que es más difícil realizar una jugada pensando en las
probabilidades, dado a que faltarían muchas jugadas por ejecutar. Ya
avanzadas algunas jugadas, los jugadores tendrán que pensar con más
precisión sus jugadas para poder ganar. Exactamente, las probabilidades
para que un jugador gane, dada la primera jugada, se puede calcular
utilizándose el “Game tree decisión”.
5.2 Metodología
El tamaño de la pirámide de puntitos se puede realizar del tamaño que
se desee. Regularmente, el tamaño clásico de la pirámide para este juego es
el siguiente:
28
A continuación se muestra un ejemplo de una jugada.
El número representa el orden de las jugadas. Se utilizó el óvalo para
representar las jugadas del primer competidor y el rectangulo representa las
del segundo. Para una pirámide de puntitos de ese tamaño, el número de
jugadas que se pueden realizar en un principio son 61. En la medida que se
van realizando las jugadas se eliminan los eventos que contienen la posision
de las jugadas realizadas. En el caso anterior, la probabilidad de realizar
diferentes jugadas disminuye en la medida en que se van eliminando
puntitos.
Este árbol de juegos para este juego de dicho tamaño se realizó
manualmente, pero su tamaño quedó muy enorme, por lo que se analizará
29
este en proyecto este juego, pero utilizando un número menor de puntitos
como se muestra a continuación:
Para esto, nombremos a cada uno de los puntitos para poder referirnos
a su posicion:
Las probabilidades de realizar una primera jugada de 1 a 3 puntitos
que contenga a an son:
P(a1)=5/30
P(a2)=5/30
P(a3)=5/30
P(a4)=5/30
P(a5)=5/30
P(a6)=5/30
De los 30 eventos anteriores, 24 de ellos son permutaciones y los otros
6 representan jugadas con un solo puntito. Por lo tanto, tendremos en
consideración las combinaciones de los eventos. Los eventos para el juego
30
de puntitos, de seleccionar 1 a 3 puntitos, el donde cada numero representa
la posición de ellos son:
{1}, {1,2}, {1,3}, {1,2,4}, {1,3,6} {2}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3}, {3,5},
{3,6}, {4}, {4,5}, {4,5,6} {5}, {5,6}, {6}
Las probabilidades de seleccionar 1, 2 o 3 puntitos es la siguiente:
P(1 puntito)=6/18
P(2 puntitos)=9/18
P(3 puntitos)=3/18
Los eventos y la probabilidad de realizar una jugada que contenga la
posición anes la siguiente:
P(realizar una jugada seleccionando la posición 1)=5/18 [{1}, {1,2}, {1,3},
{1,2,4}, {1,3,6}]
P(realizar una jugada seleccionando la posición 2)=6/18 {2}, {2,3}, {2,4},
{2,5}, {1,2}, {1,2,4}
P(realizar una jugada seleccionando la posición 3)=5/18 {3}, {3,5}, {3,6},
{1,3}, {1,3,6}
P(realizar una jugada seleccionando la posición 4)=5/18 {4}, {4,5},
{4,5,6},{2,4}, {1,2,4}
31
P(realizar una jugada seleccionando la posición 5)=6/18 {5}, {5,6}, {2,5},
{3,5},{4,5},{4,5,6}
P(realizar una jugada seleccionando la posición 6)= 5/18 {6},{3,6},
{1,3,6},{4,5,6},{5,6}
Para calcular las probabilidades de las jugadas, se debe de restar la
probabilidad de los eventos de las jugadas de seleccionar puntitos en la
posición an que se vayan realizando, pero a medida que se vayan eliminando
puntitos se debe de tener en consideración los que ya se eliminaron en la
posición an de las jugadas anteriores.
5.3 Descripción, análisis y presentación de los datos
A continuación se muestra el árbol de decisiones que se obtiene al
realizar una jugada en donde el primer jugador selecciona el puntito de la
posición 1 y luego, el segundo jugador selecciona el puntito de la posición 3.
A partir de la tercera jugada se comienzan a formar el árbol de juegos. El
primer jugador que se representa con un círculo y el segundo jugador se
representa con un cuadro.
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Para representar las jugadas que muestran los caminos incorrectos, es
decir, los que muestren la derrota para cierto jugador, vamos a trazar una
línea. Por ejemplo, a continuación se muestran las decisiones correctas para
ganar que debe de seguir el segundo jugador.
Si utilizamos el método de poda para analizar una jugada en particular
a partir de tercer turno, obtenemos lo siguiente:
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En esta jugada, el segundo competidor tiene más probabilidad de
ganar, ya que puede realizar más jugadas que su oponente. Las
probabilidades para cada nodo de decisión se muestran a continuación:
De igual manera, los demás nodos de decisión para este juego se
pueden analizar mostrando las probabilidades para cada jugada. La idea es
que el jugador cree este tipo de conexiones internamente para que pueda
analizar la jugada que más le conviene. Este método sugiere el análisis
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práctico del juego de puntitos, pero de igual manera se puede emplear en
otros juegos más elaborados para realizar jugadas que conlleven a la
victoria.
35
6 Conclusiones
Los árboles de decisión proveen un método efectivo para la toma de
decisiones debido a que claramente cuando se plantea el problema resulta
útil para que todas las opciones sean analizadas. Además, permiten analizar
totalmente las posibles consecuencias de tomar una decisión. Proveen un
esquema para cuantificar el costo de un resultado y la probabilidad de que
suceda y nos ayuda a realizar las mejores decisiones sobre la base de la
información existente y de las mejores suposiciones.
Por otro lado, se puede concluir que los árboles de decisión no siempre
son la mejor herramienta para el análisis de decisiones, ya que como se vio
en el ejemplo de la pirámide de 15 puntitos la construcción de la misma no
se pudo llevar a cabo por su inmenso tamaño. El árbol de decisiones de un
sistema complejo con muchas secuencias de pasos y combinaciones de
condiciones puede tener un tamaño considerable. El gran número de ramas
que pertenecen a varias trayectorias constituye más un problema que una
ayuda para el análisis en algunos casos, pero en general, podemos decir que
es de gran ayuda para otros casos. Este problema se pudo corregir
empleando el método de poda, en donde se hizo posible un análisis más
exhaustivo de la jugada. Un jugador profesional puede utilizar este método
para analizar sus jugadas, al igual que un empresario puede hacer uso del
árbol de decisiones para garantizar el éxito de su compañía. Sin lugar a
36
dudas, el árbol de decisiones es una buena opción para cuando se requiera
formular decisiones o tomar acciones.
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