Programación Lineal
Matemáticas CCSS II
Ana PolaIES Avempace
Inecuaciones lineales Toda recta ax + by + c = 0 divide al plano en tres regiones
El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c = 0 El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c > 0 El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c < 0
A la parte del plano que es solución de una inecuación se le llama región factible de la inecuación
Inecuaciones lineales. Interpretación geométrica Cuando deben satisfacerse simultáneamente más de una
inecuación estamos ante un sistema de inecuaciones lineales. El conjunto de soluciones del sistema se puede obtener por
la intersección de las diferentes regiones factibles de las inecuaciones.
A dicha región se le llama región factible del sistema.
Un problema de máximos Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 kg de
chocolate, 100 kg de almendras y 85 kg de frutas. Produce dos tipos de cajas: la de tipo A contiene 3 kg de chocolate, 1 kg de almendras y 1kg de frutas; la de tipo B contiene 2 kg de chocolate, 1,5 kg de almendras y 1 kg de frutas. Los precios de las cajas de tipo A y B son 13 € y 13,50 €, respectivamente. Cuántas cajas debe fabricar de cada tipo para obtener la mayor cantidad de dinero por su venta?
Caja tipo A
Caja tipo B
Disponible
Chocolate
3 2 500
Almendras
1 1,5 100
Frutas 1 1 85
Precio en € 13 13,50
Un problema de máximos. Planteamiento.
Caja tipo A
Caja tipo B
Disponible
Chocolate
3 2 500
Almendras
1 1,5 100
Frutas 1 1 85
Precio en € 13 13,50
x = nº de cajas de tipo Ay = nº de cajas de tipo B
Tenemos maximizar los ingresos obtenidos por las ventasI(x, y) = 13 x + 13,50 yEsta función se llama función objetivo
Y las restricciones vienen dadas por las inecuaciones
Los puntos que cumplen todaslas restricciones se llamansoluciones factibles
Un problema de mínimos Un grupo local posee dos emisoras de radio, una de FM y otra de AM. La
emisora de FM emite diariamente 12 horas de música rock, 6 horas de música clásica y 5 horas de información general. La emisora de AM emite diariamente5 horas de música rock, 8 horas de música clásica y 10 horas de información general. Cada día que emite la emisora de FM le cuesta al grupo 5000 €, y cada día que emite la emisora de AM le cuesta 4000 €. Sabiendo que tiene enlatado para emitir 120 horas de música rock, 180 horas de música clásica y 100 horas de información general, cuántos días debería emitir con ese material cada una de las dos emisoras para que el coste sea mínimo, teniendo en cuenta que entre las dos emisoras han de emitir al menos una semana?
FM AMDisponible
Música rock 12 5 120
Música clásica 6 8 180
Información general
5 10 100
Costes en € 5000 4000
Un problema de mínimos. Planteamiento.
x = nº de días en FMy = nº de días en AM
Tenemos minimizar los costes por los días de emisiónC(x, y) = 5000 x + 4000 yEsta función se llama función objetivo
Y las restricciones vienen dadas por las inecuaciones
Los puntos que cumplen todaslas restricciones se llamansoluciones factibles
FM AMDisponible
Música rock 12 5 120
Música clásica 6 8 180
Información general
5 10 100
Costes en € 5000 4000
Obtención de soluciones
Dada una función lineal
y una región R convexa y acotada: La función f tiene un valor máximo y mínimo en R.
Esos valores extremos se alcanzan en un vértice o en un lado de dicha región.
Método gráfico. Representamos la
región factible
Se dibujan las rectas de nivel
todas ellas paralelas a la función objetivo
Se observa el valor de k que proporciona la solución.
Región factible Solución gráfica
Método analítico Representamos la región factible Calculamos los vértices de la región factible Evaluamos la función objetivo en cada uno de sus vértices
Obviamente, I(D) = 0
El ingreso máximo se produce en el punto B, es decir, se deberán producir 55 cajas del tipo A y 30 del tipo B.
Problema de mínimos Solución gráfica Solución analítica
Evaluamos la función objetivo en cada uno de sus vértices
• C(A) = 5000·0 + 4000·7 = 28000 €• C(B) = 5000·0 + 4000·10 = 40000 €• C(C) = 5000·7,37 + 4000·6,32 = 62130 €• C(D) = 5000·10 + 4000·0 = 50000 €• C(E) = 5000·7 + 4000·0 = 35000 €
El coste mínimo se produce en el punto A. Se deberá emitir 7 días en AM y ningún día en FM.
¿Todos los problemas de programación lineal tienen solución?
Problema de maximización
Solución única Solución de arista:infinitas soluciones
No hay máximo
Problema de minimización
Solución única Solución de arista:infinitas soluciones
No hay mínimo
Planteamiento general con dos variables Un problema de PL consiste en optimizar
una función lineal de la forma f(x, y) = ax + by + c
que llamaremos función objetivo, sujeta a unas restricciones
Solución posible: es cualquier par de valores (x1, y1) que cumpla todas las restricciones. Al conjunto de todas las soluciones posibles de un problema lineal se le llama región factible.
Óptimo: es un par de valores (x1, y1), si existe, que hace máxima o mínima la función objetivo.
Un problema de PL puede: Tener solución única Tener infinitas soluciones No tener solución.
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