PRODUCTOS NOTABLES
MIGUEL REGALADO DAZ 5 C
I.E. P.N.P.
Jos Hctor
Rodrguez Trigoso
PRODUCTOS NOTABLES
CURSO : Matemtica.
ALUMNO : Miguel Regalado Daz GRADO : 5
SECCIN : C
2015
PRODUCTOS NOTABLES
MIGUEL REGALADO DAZ 5 C
PRODUCTOS NOTABLES Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que
cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspeccin, sin
verificar la multiplicacin.
Cada producto notable corresponde a una frmula de factorizacin. Por ejemplo, la
factorizacin de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomio
conjugados, y recprocamente.
Factor comn
El resultado de multiplicar un binomio por un trmino se obtiene aplicando
la propiedad distributiva:
En la figura adjunta se observa que rea del rectngulo es , es decir, el producto
de la base por la altura , y tambin puede obtenerse como la suma de las dos
reas coloreadas: y
Cuadrado de un binomio
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por s mismo), se suman los
cuadrados de cada trmino con el doble del producto de ellos. As:
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Producto de dos binomios conjugados Dos binomios conjugados se diferencian slo en el signo de la operacin. Para su multiplicacin
basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un trmino conserva el signo
negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.
Ejemplo:
Agrupando trminos:
A este producto notable tambin se le conoce como suma por la
diferencia.
En el
caso
, aparecen polinomios.
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Cuadrado de un polinomio Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de trminos se suman los cuadrados de cada
trmino individual y luego se aade el doble de la suma de los productos de cada posible par de
trminos.
Ejemplo:
Multiplicando los monomios:
Agrupando trminos:
Luego:
Romper moldes
.
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Cubo de un binomio
Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente:
El cubo del primer trmino con el triple producto del cuadrado del primero por el
segundo.
El triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
El cubo del segundo trmino.
Identidades de Cauchy:
Ejemplo:
Agrupando trminos:
Si la operacin del binomio implica resta, el resultado es:
El cubo del primer trmino.
Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
Ms el triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
Menos el cubo del segundo trmino.
Identidades de Cauchy:
Ejemplo:
Agrupando trminos:
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BINOMIO AL CUADRADO
Binomio de suma al cuadrado
Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al
cuadrado del primer trmino, ms el doble producto del
primero por el segundo ms el cuadrado segundo.
(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(x + 3)2 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9
Binomio de resta al cuadrado
Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al
cuadrado del primer trmino, menos el doble producto del
primero por el segundo, ms el cuadrado segundo.
(a b)2 = a2 2 a b + b2
(2x 3)2 = (2x)2 2 2x 3 + 3 2 = 4x2 12 x + 9
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Suma por diferencia
Una suma por diferencia es igual a diferencia de
cuadrados .
(a + b) (a b) = a2 b2
(2x + 5) (2x - 5) = (2 x)2 52 = 4x2 25
BINOMIO AL CUBO
Binomio de suma al cubo
Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del
primero, ms el triple del cuadrado del primero por el
segundo, ms el triple del primero por el cuadrado del
segundo, ms el cubo del segundo.
(a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3
(x + 3)3 = x 3 + 3 x2 3 + 3 x 32 + 33 =
= x 3 + 9x2 + 27x + 27
Binomio de resta al cubo
Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del
primero, menos el triple del cuadrado del primero por el
segundo, ms el triple del primero por el cuadrado del
segundo, menos el cubo del segundo.
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(a b)3 = a3 3 a2 b + 3 a b2 b3
(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 (2x)2 3 + 3 2x 32 - 33 =
= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27
Trinomio al cuadrado
Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del
primero, ms el cuadrado del seguno, ms el cuadrado del
tercero, ms el doble del primero por el segundo, ms el
doble del primero por el tercero, ms el doble del segundo
por el tercero.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c
(x2 x + 1)2 =
= (x2)2 + (x)2 + 12 +2 x2 (x) + 2 x2 1 + 2 (x) 1 =
= x4 + x2 + 1 2x3 + 2x2 2x =
= x4 2x3 + 3x2 2x + 1
Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) (a2 ab + b2)
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x 2 - 6x + 9)
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Diferencia de cubos
a3 b3 = (a b) (a2 + ab + b2)
8x3 27 = (2x 3) (4x 2 + 6x + 9)
Producto de dos binomios que tienen un trmino comn
(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2 + (2 + 3)x + 2 3 =
= x2 + 5x + 6
Cocientes notables
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EJERCICIOS
DESARROLLAR LOS BINOMIOS AL CUADRADO.
1(x + 5)2 =
= x2 + 2 x 5 + 5 2 =
= x 2 + 10 x + 25
2(2x - 5)2 =
= (2x)2 - 2 2x 5 + 52 =
= 4x2 - 20 x + 25
3(2x - 5)2 =
= (2x)2 - 2 2x 5 + 52 =
= 4x2 - 20 x + 25
4
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DESARROLLA LOS BINOMIOS AL CUBO.
1 (2x - 3)3 = (2x)3 - 3 (2x)2 3 + 3 2x 32 - 33=
= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27
2(x + 2)3 = x 3 + 3 x2 2 + 3 x 2 2 + 23 =
= x3 + 6 x2 + 12 x + 8
3(3x - 2)3 = (3 x)3 3 (3x)2 2 + 3 3x 2 2 23 =
=27x 3 54 x2 + 36 x 8
4(2x + 5)3 = (2 x)3 + 3 (2x)2 5 + 3 2x 52 + 5 3 =
= 8x3 + 60 x2 + 150 x + 125
DESARROLLA LAS SUMAS POR DIFERENCIAS
1(3x - 2) (3x + 2) =
= (3x)2 22 =
= 9x2 4
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2(x + 5) (x 5) =
= x2 25
3(3x - 2) (3x + 2) =
= (3x)2 22 =
= 9x4 4
4(3x - 5) (3x - 5) =
= (3x) 2 52 =
= 9x 2 25
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