Producto punto
E l producto punto o producto escalar de dos vectores es un
número real que resu l ta a l mult ip l icar e l producto de sus módulos
por e l coseno del ángulo que forman .
Expresión anal í t ica del producto punto
Ejemplo
Ha l la r e l producto punto de dos vectores cuyas coordenadas en
una base or tonorma l son: (1 , 1/2, 3) y (4 , −4, 1) .
(1 , 1/2, 3) · (4 , −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3
= 5
Expresión anal í t ica del módulo de un vector
Ha l la r e l va lor de l módulo de un vector de coordenadas =
(−3, 2 , 5) en una base or tonorma l .
Expresión anal í t ica del ángulo de dos vectores
Determinar e l ángulo que forman los vectores = (1, 2 , −3) y
= (−2, 4 , 1) .
Vectores ortogonales
Dos vectores son ortogonales s i su producto escalar es 0 .
Ejemplo
Ca lcu la r los va lores x e y para que e l vec tor (x , y , 1) sea
ortogona l a los vec tores (3 , 2 , 0) y (2 , 1 , −1) .
Propiedades del producto punto
1Conmutativa
2 Asociativa
3 Distributiva
4
El producto escalar de un vector no nulo por s í mismo
s iempre es posit ivo.
Interpretac ión geométr ica del producto punto
E l producto de dos vectores no nulos es igual a l módulo de
uno de e l los por la proyecc ión del otro sobre é l .
OA ' es la proyecc ión esca la r de sobre e l vec tor .
E l vec tor proyecc ión se ca lcu la mul t ip l i cando la proyecc ión esca lar
por un vector un i ta r io de , de modo que obtenemos ot ro vec tor con la
misma d i recc ión .
Ejerc ic io
Dados los vec tores y ha l la r:
1. Los módu los de y ·
2. E l producto esca la r de y ·
3. E l ángu lo que forman.
4. E l va lor de m para que los vec tores y
sean or togona les .
Aaapaarteeee
Producto escalar
De Wikipedia, la enciclopedia libre
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En matemáticas, el producto escalar, también conocido como producto interno,
interior o punto (en inglés, dot product), es una aplicación externa bilineal definida
sobre un espacio vectorial, cuyo resultado al operar entre sí dos vectores, es un escalar o
número.
Formalmente, un producto escalar es una aplicación de la forma:
donde para dos vectores cualesquiera del espacio vectorial , se obtendrá un
escalar (denotado por , o más corrientemente ), del cuerpo o campo de
escalares .
En el caso de espacios vectoriales reales (sobre ) dotados de una base ortonormal
(p.e., la base canónica de ), el producto escalar de dos vectores y con
componentes y puede calcularse
sumando los productos de las componentes de los vectores dos a dos:
= =
=
Nótese que el producto escalar de un vector por sí mismo, por componentes, corresponde a:
= =
=
Apaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaarte
Producto escalar
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En matemáticas, el producto escalar, también conocido como producto interno,
interior o punto (en inglés, dot product), es una aplicación externa bilineal definida
sobre un espacio vectorial, cuyo resultado al operar entre sí dos vectores, es un escalar o
número.
Formalmente, un producto escalar es una aplicación de la forma:
donde para dos vectores cualesquiera del espacio vectorial , se obtendrá un
escalar (denotado por , o más corrientemente ), del cuerpo o campo de
escalares .
En el caso de espacios vectoriales reales (sobre ) dotados de una base ortonormal
(p.e., la base canónica de ), el producto escalar de dos vectores y con
componentes y puede calcularse
sumando los productos de las componentes de los vectores dos a dos:
= =
=
Nótese que el producto escalar de un vector por sí mismo, por componentes, corresponde a:
= =
=
Apaaaarte
Definición
Relaciones entre los vectores.
Sean dos vectores y en el espacio vectorial ℝ3. El producto vectorial entre y da
como resultado un nuevo vector, . Para definir este nuevo vector es necesario
especificar su módulo y dirección:
El módulo de está dado por
donde θ es el ángulo determinado por los vectores a y b.
La dirección del vector c, que es ortogonal a a y ortogonal a b, está dada por la regla de la mano derecha.
El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también
producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x, es
frecuente denotar el producto vectorial mediante a ∧ b.
El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente
manera:
donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada
por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de
la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorcho.
[editar] Producto vectorial de dos vectores
Sean y dos vectores concurrentes
de , el espacio afín tridimensional según la base anterior.
Se define el producto , y se escribe , como el vector:
En el que
, es el determinante de orden 2.
O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo de un determinante de
orden 3 por la primera fila, también decimos:
Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el
primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de es el
de un sacacorchos que gire en la misma dirección.
Con la notación matricial esto se puede escribir:
[editar] Ejemplo
El producto vectorial de los vectores y se calcula del
siguiente modo:
Expandiendo el determinante:
Puede verificarse fácilmente que a × b es ortogonal al vector a y al vector b efectuando
el producto escalar y verificando que éste es nulo (condición de perpendicularidad de
vectores).
[editar] Propiedades
Cualesquiera que sean los vectores , y :
1. , (anticonmutatividad)
2. Si y , entonces implica que ; esto es, la anulación del producto vectorial proporciona la condición de paralelismo entre dos direcciones.
3. .
4. , conocida como regla de la expulsión.
5. , conocida como identidad de Jacobi.
6. , siendo θ el ángulo menor entre los vectores y ; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.
7. El vector unitario es normal al plano que contiene a los vectores y .
[editar] Bases ortonormales y producto vectorial
Sea un sistema de referencia en el espacio vectorial ℝ3. Se dice que
S es una base ortonormal derecha si cumple con las siguientes tres condiciones:
1. ; es decir, los tres vectores son ortogonales entre sí.
2. ; es decir, los vectores son vectores unitarios (y por lo tanto, dada la propiedad anterior, son ortonormales).
3. , , ; es decir, cumplen la regla de la mano derecha.
[editar] Vectores axiales
Cuando consideramos dos magnitudes físicas vectoriales, su producto vectorial es otra
mangitud física aparentemente vectorial que tiene un extraño comportamiento respecto
a los cambios de sistema de referencia. Los vectores que presentan esas anomalías se
llaman pseudovectores o vectores axiales. Esas anomalías se deben a que no todo ente
formado de tres componentes es un vector físico.
[editar] Dual de Hodge
Artículo principal: Dual de Hodge
En el formalismo de la geometría diferencial de las variedades riemannianas la noción
de producto vectorial se puede reducir a una operación de dual de Hodge del producto
de dos formas diferenciales naturalmente asociadas a dos vectores. Así el producto
vectorial es simplemente:
Donde denotan las 1-formas naturalmente asociadas a los dos vectores.
[editar] Generalización
Aunque el producto vectorial está definido solamente en tres dimensiones, éste puede
generalizarse a n dimensiones, con y sólo tendrá sentido si se usan n − 1
vectores, dependiendo de la dimensión en la que se esté. Así, por ejemplo, en dos
dimensiones el producto vectorial generalizado sólo tiene sentido si se usa un vector, y
el resultado es un vector ortogonal.
Desde un punto de vista tensorial el producto generalizado de n vectores vendrá dado
por:
Producto cruz
E l producto cruz o producto vector ial de dos vectores es o t ro
vector cuya direcc ión es perpendicular a los dos vectores y su
sentido ser ía igua l a l avance de un sacacorchos a l g i ra r de u a v . Su
módulo es igua l a :
E l producto cruz se puede expresar med ian te un determinante :
Ejemplos
Ca lcu la r e l producto cruz de los vec tores = (1 , 2 , 3) y =
(−1, 1 , 2) .
Dados los vec tores y , ha l la r e l
producto cruz de d ichos vectores . Comprobar que e l vec tor ha l l ado es
ortogonal a y .
E l producto vector ia l de es or togona l a los vec tores y .
Área del parale logramo
Geométr icamente, e l módulo del producto cruz de dos vectores
co inc ide con e l área del parale logramo que t iene por lados a esos
vectores .
Ejemplo
Dados los vec tores y , ha l la r e l á rea
de l para le log ramo que t iene por lados los vec tores y ·
Área de un tr iángulo
Ejemplo
Determinar e l área del tr iángulo cuyos vér t i ces son los puntos
A(1, 1 , 3) , B(2, −1, 5) y C(−3, 3 , 1) .
Propiedades del producto cruz
1. Ant iconmutat iva
x = − x
2. Homogénea
λ ( x ) = (λ ) x = x (λ )
3. Dis t r ibut iva
x ( + ) = x + x ·
4. E l producto vector ia l de dos vectores para le los es igua l a l
vec tor nu lo .
x =
5. E l producto vector i a l x es perpend icu la r a y a .
Apaaaaaatre
Vectores. Producto escalar. Ejercicios
1Hal lar e l s imétr i co de l punto A(4, - 2) respecto de M(3, - 11) .
2Dados dos vért i ces de un t r iángulo A(2, 1) , B(1, 0) y e l bar i cent ro
G(2/3, 0) , ca lcu lar e l tercer vért i ce .
3Dados los puntos A (3, 2) y B(5, 4) ha l la un punto C, a l ineado con A y
B, de manera que se obtenga
4Calcu la las coordenadas de D para que e l cuadr i lá tero de vért i ces: A( -1,
-2) , B(4, -1) , C(5, 2) y D; sea un para le logramo.
5 S i { , } fo rma una base or tonormal , ca lcu lar:
1 ·
2 ·
3 ·
4 ·
6 Dados los vectores =(2, k) y = (3, - 2) , ca lcu la k para que los
vectores y sean:
1 Perpend icu lares.
2 Para le los.
3 Formen un ángulo de 60°.
7 Ca lcu lar e l va lor de k sab iendo que
8 Suponiendo que respecto de la base or tonormal { , } de l p lano los
vectores t ienen como expres iones:
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