1LABORATORIO PROCESOS ALEATORIOSNancy Janeth Castillo, Carlos Andrs Rodrguez

Universidad Tecnologica de Pereira

AbstractEn este informe se encuentra registrado la experi-mentacin con procesos aleatorios, la creacin de realizaciones,el paseo aleatorio y los procesos de Wiener.

I. INTRODUCCIN

En este documento se encuenta el desarrollo de practicasasociadas a procesos aleatorios con la ayuda del software decomputacin Matlab, y la simulacin de algunos procesos quepermite una mejor comprensin de lo que son los procesosaleatorios.

Se puede decir que un proceso aleatorio es el conjunto demultiples seales resultado de un proceso de adquisicin dedatos de un determinado evento o fenomeno natural evaluadasen tiempos especificos.

II. PROCESO ALEATORIO DEFINIDO

La primer parte de este laboratorio inicia con la suposicinde un proceso aleatorio definido como X(t) = Y cos(t), donde es constante y Y es una variable aleatoria uniforme convalores entre (0,1).

Se comienza dibujando cinco realizaciones del procesoaleatorio mencionado con la ayuda del cdigo que se muestraen la figura 1.

Figure 1. Creacin de proceso aleatorio

En la figura 2. se muestra el resultado de las 5 primerasrealizaciones del proceso aleatorio. En ellas se puede observarque la frecuencia es constante y que la amplitud es la diferenteen cada una de las realizaciones.

Figure 2. Realizaciones

El siguiente paso es realizar el calculo de la media esti-mada como funcin del nmero de realizaciones utilizando lasiguiente ecuacin.

X =1

N

Nn=1

xn

Con la ayuda de siguiente cdigo se realiza el clculo (verfigura 3.). En el se puede observar tambin el clculo de lamedia real, al igual que la determinacin del error de la mediay el valor medio del error de la media.

Figure 3. Clculo de la media estimada

los valores obtenidos pueden ser observados en la siguientefigura 4.

2Figure 4. Mdia estimada

Despues se procede a calcular la funcin de autocovarianzaCXX(t1, t2), como funcin del nmero de realizaciones. Te-niendo en cuenta que la covarianza se puede estimar con lasiguiente ecuancin.

cov(X,Y ) =1

N

Nn=1

(xn X)(yn Y )

El proceso se desarrolla con el siguiente cdigo (ver figura5.) tambien se observa que se evalua la covarianza real

Figure 5. Clculo de la covarianza

como resultado se grfican correspondientemente la covari-anza y la covarianza real como se muestra en la siguente figura6.

Figure 6. Grficas de covarianza

III. REPRESENTACIN EN SERIETRIGONOMETRICA

Se pide la generacin de realizaciones de la siguiente serietrigonomtrica de Fourier:

x(t) = a0 +

Nn=1

ancos(n0t) +

Nn=1

bnsen(n0t)

donde a0, an y bnson variables aleatorias de algn tipo.Para la creacin de las realizaciones se desarrolla el sigu-

iente cdigo, ver figura 7.

Figure 7. Representacin en series de fourier

del cual se grafican cinco realizaciones y la grfica corre-sponde a el total de las realizaciones creadas. (ver figura 8.)

Figure 8. Realizaciones de series de Fourier

IV. PASEO ALEATORIO

Para esta parte del laboratorio se pide realizar un paseoaleatorio a partir de d=1 y T=1.

Para el desarrollo de esta parte se crea el siguiente cdigo.(ver figura 9.)

3Figure 9. Cdigo paseo aleatorio

El resultado del paseo aleatorio puede ser observado en lasiguiente figura 10.

Figure 10. Paseo aleatorio

V. PROCESO DE WIENEREn esta parte del laboratorio se solicita realizar un cdigo

que permita la generacin de un proceso de Wiener. Elcdigo desarrollado para esta actividad se puede observar enla siguiente figura 11.

Figure 11. Cdigo para el proceso de Wiener

La grfica obtenida de este proceso puede ser observada enla siguiente figura 12.

Figure 12. Proceso de Wiener

VI. CONCLUSIONES

Del desarrollo de este laboratorio se pudo observar queen el proceso aleatorio definido los calculos de la mediaestimada y la media real son coincidentes, pudiendose decirque el resultado es satisfactorio, al igual que los calculos delas varianzas y la covarianzas, donde la media de los erroresera muy cercana a cero.

De la serie de Fourier como a0, an y bn afectan elcomportamiento de la serie.

Se pudo observar el comportamiento de un paseo aleatorioy como d y T afecta su comportamiento.

Del proceso de Wiener se logro observar resultados con-secuentes con la teora, de modo que se puede decir que elproceso ha sido satisfactorio.