Escuela Tcnica Superior de Ingenieros Industriales y de Telecomunicacin
Ingeniaritza eta Telekomunikazio Goi Eskola Teknikoa
TRANSMISIN DE CALOR
Ejercicios Resueltos
3 Ingeniera Industrial
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 2 -
NDICE TEMAS 1,2 y 3. TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIN ..................... 3
PROBLEMAS DE CAUCHY ........................................................................................ 27
TEMA 4. CONDICIN DE CALOR EN RGIMEN TRANSITORIO ....................... 35
TEMA 5: MTODOS NUMRICOS EN LA CONDUCCIN DE CALOR ............... 59
TEMA 6: FUNDAMENTOS DE LA CONVECCIN .................................................. 61
TEMA 7,8 y 9: CONVECCIN EXTERNA-INTERNA FORZADA, CONVECCIN NATURAL ..................................................................................................................... 64
TEMA 11 y 12: TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACIN ...................... 103
Transmisin de Calor
Universidad Pblica de Navarra
TEMAS 1,2 y 3. TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIN 1.- JUNIO 2000
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Una pared plana (material A) a una temperatura de 1727 ambiente exterior (a 27lminas muy delgadas (material B) entre las cuales existe una lmina (material C) de espesor 15 mm. La distancia entre la pared y el aislante es de 50 mm. La
conveccin entre el aislante y el entorno se supone constante y de valor 12
Las propiedades del material A son las siguientes:
Las del material B son:
Las del material C son:
Se pide plantear el sistema de ecuaciones que resuelto da el valor de las temperaturas en las dos lminas del material B. SOLUCIN DEL PROBLEMA
El circuito de analoga elctrica es el siguiente RADIACINCONVECCIN
Universidad Pblica de Navarra
TEMAS 1,2 y 3. TRANSFERENCIA DE CALOR POR
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Una pared plana (material A) a una temperatura de 1727 ) mediante una pared tipo sandwich formado por dos
lminas muy delgadas (material B) entre las cuales existe una lmina (material C) de espesor 15 mm. La distancia entre la pared y el aislante es de 50 mm. La
in entre el aislante y el entorno se supone constante y de valor 12
Las propiedades del material A son las siguientes:
Las del material B son:
Las del material C son:
Se pide plantear el sistema de ecuaciones que resuelto da el valor de las os lminas del material B.
SOLUCIN DEL PROBLEMA
El circuito de analoga elctrica es el siguiente
RADIACIN CONDUCCIN
Ejercicios resueltos
- 3 -
TEMAS 1,2 y 3. TRANSFERENCIA DE CALOR POR
Una pared plana (material A) a una temperatura de 1727 se aisla del ) mediante una pared tipo sandwich formado por dos
lminas muy delgadas (material B) entre las cuales existe una lmina (material C) de espesor 15 mm. La distancia entre la pared y el aislante es de 50 mm. La
in entre el aislante y el entorno se supone constante y de valor 12
Se pide plantear el sistema de ecuaciones que resuelto da el valor de las
CONDUCCIN
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 4 -
Teniendo en cuenta que tomamos 1 de superficie como referencia, el balance de calor quedara de la siguiente manera: Calor radiante 1 2 = Calor conductivo 2 3= Calor radiante + convectivo 3 4 Calor radiante 1 2: 1 1 1
1 1 1 10,8 10,1 1 5,67 1010,25 2000
Calor conductivo 2 3: "#$#
0,0150,3 20 Calor radiante + convectivo 3 4 1 1
1% % 5,67 10 0,1 300 12 300 Igualando las 3 expresiones nos queda un sistema no lineal con dos incgnitas & 5,67 1010,25 2000 20 5,67 10 0,1 300 12 300 Resolviendo el sistema se llega a la siguiente solucin: '( )*(+, , - ),.,, , / '0 1.*, ( - )2*., ( /
Calor que fluye al ambiente: alrededor de 16,6 3456
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 5 -
2.- JUNIO 2000. CUESTIN 1 ENUNCIADO DEL PROBLEMA Obtngase una expresin para la distribucin de temperatura en un cilindro hueco con fuentes de calor que varan de acuerdo con una relacin lineal:
brag +=&
Las temperaturas interna y externa son iT en ir y eT en er respectivamente. El campo de temperaturas puede considerarse funcin exclusiva del radio:
01
2
2
=++k
g
dr
dT
rdr
Td &
SOLUCIN DEL PROBLEMA La expresin en derivadas totales que se nos facilita, ha sido simplificada debido a que: nos dicen que el campo de temperaturas se puede considerar funcin exclusiva del radio
(as nos evitamos las derivadas parciales respecto de la coordenada z y del ngulo ); se supone rgimen permanente (no vara la temperatura con el tiempo, la temperatura depende solo del radio r ); y se supone que la conductividad del material es constante
(por eso se puede sacar la k del parntesis). Con todo esto tenemos que la expresin que nos dan se puede escribir de las siguientes formas equivalentes:
01
2
2
=++k
g
dr
dT
rdr
Td &
y 0
1=+
g
dr
dTkr
dr
d
r&
Vamos a trabajar con la segunda forma ya que es ms fcil de operar:
k
g
dr
dTr
dr
d
r
&=
1
A la hora de empezar a integrar, tendremos en cuenta que las fuentes de generacin de
calor son funcin del radio ( brag +=& ): ( )
k
brar
dr
dTr
dr
d
k
bra
dr
dTr
dr
d
r
21 +=
+=
Lo siguiente va a ser realizar la primera integracin de esta forma:
r
Cr
br
a
kdr
dTCr
br
a
kdr
dTr 121
32
32
1
32
1+
+=+
+=
Y de la misma manera se realiza la segunda integracin con la que se obtiene la expresin de la distribucin de la temperatura (o campo de temperaturas) para un
cilindro hueco, con ctek = y brarfg +== )(& vlida para: ei rrr :
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 6 -
2132 ln
94
1)( CrCr
br
a
krT ++
+=
Una vez obtenida la expresin anterior, hay que fijarse que tenemos dos incgnitas que
son las constantes de integracin: 1C y 2C . Deberemos conseguir dos ecuaciones para solucionar el sistema de ecuaciones con dos incgnitas. Analizando el enunciado del problema, se puede apreciar que nos aportan dos condiciones de Dirichlet, es decir
conocemos dos temperaturas: iT y eT en 2 radios diferentes: ir y er , respectivamente. Por lo que calculamos la temperatura en el radio interior y en el radio exterior segn la expresin del campo de temperaturas, y las igualamos a los datos ya conocidos.
2132 ln
94
1)( CrCr
br
a
kTrrT iiiii ++
+===
2132 ln
94
1)( CrCr
br
a
kTrrT eeeee ++
+===
Restamos las dos expresiones, y as eliminamos una de las incgnitas ( 2C ):
+
+=
i
eieieie r
rCrr
brr
a
kTT ln)(
9)(
4
11
3322
Y de esta expresin despejamos y obtenemos una incgnita:
+
+
=
i
e
ieie
i
e
ie
r
r
rrb
rra
k
r
r
TTC
ln
)(9
)(41
ln
3322
1
Ahora que disponemos de una de las incgnitas, solo nos queda sustituir sta en una de las expresiones anteriores con el objetivo de calcular el valor de la otra incgnita (en
este caso se ha sustituido 1C en la expresin de iT despejando el valor de 2C ):
Una vez que tenemos las dos expresiones de las constantes de integracin, las sustituimos en la expresin del campo de temperaturas en funcin del radio, y trabajando un poco esa expresin, y sacando factores comunes, obtendremos la solucin
a la cuestin planteada en el problema siendo vlida para ei rrr :
( )i
i
e
ieie
i
i
e
ieiii r
r
r
rrb
rra
kr
r
r
TTr
br
a
kTC ln
ln
)(9
)(41
ln
ln94
13322
322
+
++=
( )
++
++
= )(9
)(4
1)(
9)(
4
1
ln
ln
)( 33223322 iiiieieie
i
e
i rrb
rra
kTrr
brr
a
kTT
r
r
r
r
rT
Transmisin de Calor
Universidad Pblica de Navarra
4.- PARCIAL 9/06/2001. CUESTIN 2 ENUNCIADO DEL PROBLEMA Determinar el radio crtico rc de aislamiento. La esfera maciza a aislar tiene una temperatura Ti en su superficie, un radio ri, una conductividad trmica ki, el aislante es una esfera hueca de radio interior ri y exterior re, la temperatura en su superficie externa es Te y su conductividad trmica es ke, la temperatura del medio es T y el coeficiente de conveccin es h. Discutir el efecto del aislante en funcin de los valores relativos de los radios. SOLUCIN DEL PROBLEMA Esfera maciza: Temperatura Aislante: Temperatura superficial (Te), espesor (re
Se trata de un problema de conduccin en geometra esfrica, por lo que hallamos en primer lugar la ecuacin del flujo de calor en coordenadas esfricas para una geometra de este tipo:
A partir del flujo de calor, dun mximo Q) hallamos el valor del radio crtico:
ri
re
ki
ke
Universidad Pblica de Navarra
PARCIAL 9/06/2001. CUESTIN 2
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Determinar el radio crtico rc de aislamiento. La esfera maciza a aislar tiene una temperatura Ti en su superficie, un radio ri, una conductividad trmica ki, el aislante es una esfera hueca de radio interior ri y exterior re, la temperatura en su
ie externa es Te y su conductividad trmica es ke, la temperatura del y el coeficiente de conveccin es h. Discutir el efecto del aislante en
funcin de los valores relativos de los radios.
SOLUCIN DEL PROBLEMA
Esfera maciza: Temperatura superficial (Ti), radio (ri), ki Aislante: Temperatura superficial (Te), espesor (re-ri), ke
Se trata de un problema de conduccin en geometra esfrica, por lo que hallamos en primer lugar la ecuacin del flujo de calor en coordenadas esfricas para una geometra
A partir del flujo de calor, derivando la expresin respecto re e igualando a cero (para un mximo Q) hallamos el valor del radio crtico:
Ti
Te
h (coeficiente de conveccin) T (Temperatura del medio)
Ejercicios resueltos
- 7 -
Determinar el radio crtico rc de aislamiento. La esfera maciza a aislar tiene una temperatura Ti en su superficie, un radio ri, una conductividad trmica ki, el aislante es una esfera hueca de radio interior ri y exterior re, la temperatura en su
ie externa es Te y su conductividad trmica es ke, la temperatura del y el coeficiente de conveccin es h. Discutir el efecto del aislante en
Se trata de un problema de conduccin en geometra esfrica, por lo que hallamos en primer lugar la ecuacin del flujo de calor en coordenadas esfricas para una geometra
erivando la expresin respecto re e igualando a cero (para
h (coeficiente de conveccin)
(Temperatura del medio)
Transmisin de Calor
Universidad Pblica de Navarra
En el grfico que viene a continuacin se observa el efecto del aislante en funcin de los valores relativos de los radios: Mediante esta ecuacin hallamos el que habra en un principio sin el aislante:
Una vez conocido el flujo de calor sin aislamiento, del cual el efecto del aislante es efectivo.
Por lo tanto si ri
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 9 -
PARCIAL 25/04/2005. CUESTIN 2 ENUNCIADO DEL PROBLEMA Dos placas de materiales A y B y espesores a y b respectivamente estn en contacto. Consideramos que el origen de coordenadas est a la izquierda de la placa A, la superficie de contacto en x = a y la superficie derecha de B, en x = a+b, en contacto con el aire. La superficie izquierda de A est perfectamente aislada y la derecha de B tiene un coeficiente de conveccin h con aire a una temperatura T.
La placa A genera calor de manera uniforme
q y su conductividad trmica es constante de valor kA; B no genera calor y su conductividad trmica vara con la temperatura segn la ley kB = + T. Se pide plantear las ecuaciones del campo de temperaturas. SOLUCIN DEL PROBLEMA Campo de temperaturas de los materiales:
A: 21
2
2CxC
k
qxT
AA ++=
B: 0=
dx
dTk
dx
dB
( ) 0=
+
dx
dTT
dx
d
( ) 3CdxdT
T =+
( ) dxCdTT =+ 3 432
2CxCTT +=+
0)(
2 432
=++ CxCTT
Resolviendo la ecuacin anterior se obtiene:
22
)(2
4 432
++=
CxCT
Dado que T no puede ser slo negativa, se escoge la raz positiva. Escribiendo la expresin anterior de la siguiente manera:
( )
++
= 43
22
CxCT
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 10 -
Esta expresin del campo de temperaturas puede parecer extraa; como sencilla comprobacin para 0, debemos obtener la expresin del campo de temperaturas para k constante:
6543
43
2
00)(
2limlim CxC
CxCCxCTB +=
+=
++
=
Por lo tanto, se tiene TA y TB en funcin de las constantes C1, C2, C3 y C4, que se determinan por las condiciones de contorno siguientes:
1. Aislamiento en x = 0 0
0
=
=x
A
dx
dT
2. Misma temperatura en x = a ( ) ( ) axBaxA TT == =
3. Mismo flujo de calor en x = a ( )[ ]
ax
BaxB
ax
AA dx
dTT
dx
dTk
=
=
=
+=
Tambin puede ponerse la expresin anterior de la siguiente manera:
( )[ ]ax
BaxA
ax
AA dx
dTT
dx
dTk
=
=
=
+=
4. El calor generado sale por conveccin: ( )[ ]+=
= TThaq baxB
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 11 -
Sustituyendo las expresiones correspondientes:
1. 122
Cxk
q
dx
dTA +=
01 =C
2. ( )
++
=+
43
2
2
2
2CaCC
k
q
A
3. ( )43
2
3
2
22
2
2CaC
C
Ck
qa
k
qk
AA
++
++=
4.
( )( )
+++
=
TCbaChaq
43
22
De este sistema de 4 ecuaciones con 4 incgnitas, se obtienen los valores de las constantes C1, C2, C3 y C4 que sustituidas en TA y TB, dan las expresiones de los campos de temperatura en ambos materiales.
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 12 -
PARCIAL 09/07. PROBLEMA 2 ENUNCIADO DEL PROBLEMA Un tubo macizo, de material A y radio r1, disipa una potencia calorfica g (Wm-3). El tubo est aislado por un cilindro hueco constituido por material B, siendo r1 su radio interior y r2 su radio exterior. La disipacin de potencia al ambiente se realiza exclusivamente por conveccin. Se pide determinar el mximo valor de g, teniendo en cuenta las siguientes limitaciones en cuanto a las condiciones de operacin: La mxima temperatura alcanzable en el material A ser 250C La mxima temperatura alcanzable en el material B ser 180C La mxima temperatura alcanzable en la superficie exterior ser 110C Datos: r1 = 0.02 m r2 = 0.06 m kA = 0.1 Wm-1C-1 kB = 0.3 Wm-1C-1 h = 5 Wm-2C-1 Tamb = 10C SOLUCIN DEL PROBLEMA Se sabe que los campos de temperaturas en los materiales A y B son, respectivamente:
1
.2
4C
k
grT
a
a += 32 ln CrCT
b += Por condicin de superficie de frontera en r = r1, se debe cumplir lo siguiente:
)()( 11 rTrTba
= 3ln
4 121
.2
CrCCk
gr
a
+=+
11 r
b
b
r
a
a dr
dTk
dr
dTk
=
1
21
.
4
2
r
Ck
k
rgk b
aa =
1
2
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 13 -
La tercera condicin la obtenemos de la condicin de rgimen estacionario:
( )
+= amb
rT
TCrCrhrgb
44 344 21)(
32222
1
.
2
ln2pipi
A cada valor de g, le corresponde unos valores de C1, C2 y C3 que nos suministrarn el valor de los campos de campos de temperaturas en A y B, valores que deben contrastarse con los mximos valores de operacin permitidos.
de :
.3
.221
2 103
2
3.02
02.0
2gg
k
rC
b
=
==
de :
10102089.106.0ln103
210
06.052
02.0ln
2
.3
.3
.2
222
.2
13 +=
+
=+= ggg
rCThr
grC amb
de :
10103991.24
10102089.102.0ln103
2 .32
1
..
3.
31
3
2
+=++= gk
rgggC
aCC
444 3444 2143421
La mxima temperatura en A se obtiene en el centro del cilindro (r=0):
Tmax = C1 5
..3
1 1010103991.2250 +== ggC
La mxima temperatura en B se obtiene en r1:
5.
.3
.3
.3
312max
102.1
10103991.110102089.1)02.0ln(103
2180)ln(
+=+=+=
g
gggCrCT b
La mxima temperatura en la superficie se obtiene para Tb en T2.
5..
3.
3.
3322max, 105.110106667.010102089.1)06.0ln(103
2)ln( +=+=+= ggggCrCTs
Luego el condicionamiento ms estricto es el debido a la temperatura de operacin mxima del material A. La mxima produccin de calor por unidad de volumen es:
35.
10 = mWg
3
2
3
1
Transmisin de Calor
Universidad Pblica de Navarra
18.- 2.36 HOLMAN ENUNCIADO DEL PROBLEMA
En una pared slida de 8cm de espesor y calefaccin elctrica. La cara derecha est expuesta a un entorno convectivo con
y T()=30C; mientras que la cara izquierda est expuesta a
y T()= 50C. Cul es la generacin de calor por unmxima que puede permitirse para que la temperatura mxima en el slido no exceda de 300C?
h= 75 Cm
W
2
T()=50C q? T( SOLUCIN DEL PROBLEMA Como vemos es un problema que bsicamente consta de una pared slida con generacin interna de calor, en la que adems se dar una transferencia de calor a travs de ella por conduccin, estando expuesta a dos convecciones diferente. (El origen de coordenadas se tomar en el medio de la pared). El problema se abordar considerando que se refiere a un tipo de problema unidimensional con coordenadas cartesianas, con generacin interna de calor constante y conductividad trmica tambin constante. Astemperaturas, as como su derivada que luego nos ser muy til, corresponde a lo siguiente:
212
2cxcx
k
qT + +=
1cxk
q
dx
dT+=
Lo siguiente ser aplicar las condiciones impuestas en el problema que como ahora veremos nos formarn un sistema de ecuaciones de 5 ecuaciones con 5 incgnitas. La primera corresponde a la transferencia de calor en el lado izquierdo de la pared, donde sabemos que lo que saldr por conveccin, y que es igual a la conduccin en ese punto:
Universidad Pblica de Navarra
2.36 HOLMAN
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
En una pared slida de 8cm de espesor y , se instalan hilos de calefaccin elctrica. La cara derecha est expuesta a un entorno convectivo con
C; mientras que la cara izquierda est expuesta a
C. Cul es la generacin de calor por unidad de volumen mxima que puede permitirse para que la temperatura mxima en el slido no
C h=50 Cm
W
2
k=2.5 Cm
W
C q? T()=30C
X 8cm
OBLEMA
Como vemos es un problema que bsicamente consta de una pared slida con generacin interna de calor, en la que adems se dar una transferencia de calor a travs de ella por conduccin, estando expuesta a dos convecciones diferente. (El origen de coordenadas se tomar en el medio de la pared).
El problema se abordar considerando que se refiere a un tipo de problema unidimensional con coordenadas cartesianas, con generacin interna de calor constante y conductividad trmica tambin constante. As, sabemos que la ecuacin del campo de temperaturas, as como su derivada que luego nos ser muy til, corresponde a lo
Lo siguiente ser aplicar las condiciones impuestas en el problema que como ahora veremos nos formarn un sistema de ecuaciones de 5 ecuaciones con 5 incgnitas. La primera corresponde a la transferencia de calor en el lado izquierdo de la pared, donde
bemos que lo que saldr por conveccin, y que es igual a la conduccin en ese punto:
Ejercicios resueltos
- 14 -
, se instalan hilos de calefaccin elctrica. La cara derecha est expuesta a un entorno convectivo con
C; mientras que la cara izquierda est expuesta a
idad de volumen mxima que puede permitirse para que la temperatura mxima en el slido no
Como vemos es un problema que bsicamente consta de una pared slida con generacin interna de calor, en la que adems se dar una transferencia de calor a travs de ella por conduccin, estando expuesta a dos convecciones diferente. (El origen de
El problema se abordar considerando que se refiere a un tipo de problema unidimensional con coordenadas cartesianas, con generacin interna de calor constante
, sabemos que la ecuacin del campo de temperaturas, as como su derivada que luego nos ser muy til, corresponde a lo
Lo siguiente ser aplicar las condiciones impuestas en el problema que como ahora veremos nos formarn un sistema de ecuaciones de 5 ecuaciones con 5 incgnitas. La primera corresponde a la transferencia de calor en el lado izquierdo de la pared, donde
bemos que lo que saldr por conveccin, y que es igual a la conduccin en ese punto:
Transmisin de Calor
Universidad Pblica de Navarra
De la misma forma, se hace lo mismo en el lado derecho de la pared, donde los fenmenos que se dan son los mismos que antes:
Las dos siguientes ecuaciones corresponden al campo de temperaturas en los puntos extremos de la pared, una para la parte izquierda y otra para la derecha respectivamente:
La ltima ecuacin se corresponde con el clculo de la temperatura mxima para lo cual haremos la derivada del campo de temperaturas respecto a x e igualaremos a cero. Al hacer la derivada e igualar a cero obtenemos la coordenada x donde se produce el mximo del campoarriba para el campo de temperaturas ya conseguimos la quinta ecuacin del sistema de ecuaciones.
0=dx
dT
, 0. 1 =+ cxK
q
121 .)(
2K
q-max
cc
q
KcT +=
21
21
2max c
q
Kc
q
KcT ++=
Como podemos ver es un sistema de ecuaciones bastante complicado para poder resolverlo a mano, por eso ahora se ofrece una alternativa, para lo cual ante la imposibilidad de decirle a ANSYS que calcule la genertemperatura mxima, lo que se ha hecho es siguiendo el problema que ha dejado el profesor de la asignatura, meter el valor de la generacin de calor interno como sabido o calculado previamente (fundamentalmente se hara probageneracin hasta que la temperatura mxima se ajustar a los 300C del problema). Esto sera lo que hay que introducir en cdigo para ANSYS:
Universidad Pblica de Navarra
(1) De la misma forma, se hace lo mismo en el lado derecho de la pared, donde los
fenmenos que se dan son los mismos que antes:
(2)
Las dos siguientes ecuaciones corresponden al campo de temperaturas en los puntos extremos de la pared, una para la parte izquierda y otra para la derecha
(3)
(4)
n se corresponde con el clculo de la temperatura mxima para lo cual haremos la derivada del campo de temperaturas respecto a x e igualaremos a cero. Al hacer la derivada e igualar a cero obtenemos la coordenada x donde se produce el mximo del campo de temperaturas, que al sustituirla en la ecuacin de arriba para el campo de temperaturas ya conseguimos la quinta ecuacin del sistema de
, q
Kx
.c1=
21 cq
Kc+
2c
2
21
2
5,2.max c
q
cT +=
Como podemos ver es un sistema de ecuaciones bastante complicado para poder resolverlo a mano, por eso ahora se ofrece una alternativa, para lo cual ante la imposibilidad de decirle a ANSYS que calcule la generacin de calor para una cierta temperatura mxima, lo que se ha hecho es siguiendo el problema que ha dejado el profesor de la asignatura, meter el valor de la generacin de calor interno como sabido o calculado previamente (fundamentalmente se hara probando con diferentes valores de generacin hasta que la temperatura mxima se ajustar a los 300C del problema). Esto sera lo que hay que introducir en cdigo para ANSYS:
Ejercicios resueltos
- 15 -
De la misma forma, se hace lo mismo en el lado derecho de la pared, donde los
Las dos siguientes ecuaciones corresponden al campo de temperaturas en los puntos extremos de la pared, una para la parte izquierda y otra para la derecha
n se corresponde con el clculo de la temperatura mxima para lo cual haremos la derivada del campo de temperaturas respecto a x e igualaremos a cero. Al hacer la derivada e igualar a cero obtenemos la coordenada x donde se
de temperaturas, que al sustituirla en la ecuacin de arriba para el campo de temperaturas ya conseguimos la quinta ecuacin del sistema de
(5) Como podemos ver es un sistema de ecuaciones bastante complicado para poder resolverlo a mano, por eso ahora se ofrece una alternativa, para lo cual ante la
acin de calor para una cierta temperatura mxima, lo que se ha hecho es siguiendo el problema que ha dejado el profesor de la asignatura, meter el valor de la generacin de calor interno como sabido o
ndo con diferentes valores de generacin hasta que la temperatura mxima se ajustar a los 300C del problema). Esto
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 16 -
/PREP7 C*** conduccin !(aqu creamos la parte de conduccin con 9 nudos) ET,1,32 R,1,1 MP,Kxx,1,2.5 N,1,0,0,0 N,9,0.08,0,0 FILL,1,9,7 TYPE,1 MAT,1 REAL,1 E,1,2 *REPEAT,8,1,1 C*** conveccion izquierda !creamos el nudo 10 ET,2,34 N,10,-0.01,0,0 MP,HF,2,75 TYPE,2 MAT,2 E,1,10 C*** conveccion derecha !creamos el nudo 11 ET,3,34 N,11,0.09,0,0 MP,HF,3,50 TYPE,3 MAT,3 E,9,11 FINISH /SOLU D,10,TEMP,50 D,11,TEMP,30l ESEL,S,TYPE,,1 BFE,ALL,HGEN,1,2.65e5 !este es el valor de generacin interna calculado ALLS NSUB,2 SOLVE FINISH C*** Mapa de temperaturas y calor !para mostrar los datos resueltos /POST1 /TRIAD,OFF /SHOW,WIN32C /CONT,1,128,AUTO SETLAST PLNSOL,TEMP PRNSOL,TEMP PRRSOL,HEAT FINISH La resolucin que nos da es la siguiente: PRINT TEMP NODAL SOLUTION PER NODE ***** POST1 NODAL DEGREE OF FREEDOM LISTING *****
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 17 -
LOAD STEP= 1 SUBSTEP= 2 TIME= 1.0000 LOAD CASE= 0 NODE TEMP 1 201.67 2 241.88 3 271.48 4 290.48 5 298.88 6 296.68 7 283.89 8 260.49 9 226.49 10 50.000 11 30.000 MAXIMUM ABSOLUTE VALUES NODE 5 VALUE 298.88 PRINT HEAT REACTION SOLUTIONS PER NODE ***** POST1 TOTAL REACTION SOLUTION LISTING ***** LOAD STEP= 1 SUBSTEP= 2 TIME= 1.0000 LOAD CASE= 0 NODE HEAT 10 -11376. 11 -9824.5 TOTAL VALUES VALUE -21200. Por ltimo, mencionar que como vemos la temperatura mxima se nos ajusta muy bien a los 300C (en el nudo 5) del problema con esa generacin interna de calor. En el problema propuesto en internet por el profesor de la asignatura queda con mayor precisin, debido a que coge ms puntos en el interior de la pared, pudiendo aproximar mejor.
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 18 -
SEPTIEMBRE 2008 ENUNCIADO DEL PROBLEMA Un cono truncado de 30cm de alto est hecho de Aluminio. El dimetro de la superficie superior es de 7,5cm y el de la inferior es de 12,5 cm. La superficie inferior se mantiene a 93C y la superior a 540C. La superficie lateral est aislada. Suponiendo flujo de calor unidimensional, cul es el flujo de calor en W? En primer lugar, se supone la conductividad trmica del Al constante e igual a su valor a 300C. Despus, plantear el problema suponiendo conductividad trmica variable con la temperatura, tal y como es realmente. SOLUCIN DEL PROBLEMA La conductividad trmica del Aluminio en unidades del sistema internacional es 202 W/mC.
dx
dTkAQ =&
En este caso el rea es funcin de la equis, por tanto tenemos que encontrar una relacin entre ambas:
baxr += Siendo:
==
=
== 76'40833'03'0
0375'00625'0supinf altura
rrtga
0375'0inf == rb Sustituimos el rea e integramos:
dx
dTbaxkQ 2)( += pi&
=+
93
540
3'0
02)(
dTkbax
dxQ pi&
[ ]935403'0
0
1Tk
baxa
Qpi=
+
&
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 19 -
[ ]540930375,0
1
062,0
1=
pik
a
Q&
WQ 38'224254'10
2020833'0447=
=
pi&
Si ahora suponemos que la conductividad trmica no es constante sino que vara segn
( )Tkk oo += 1 . dx
dTkAQ =&
( )( )dx
dTbaxTkQ oo
21 ++= pi&
( ) ( ) +=+L
o
T
T
oo
L
dTTkbax
dxQ pi 1
02
&
+=
+
2
0 2
1TTk
baxa
Q oo
L pi
&
( ) ( )
+=
+
22
2
11oL
ooLo TTTTkbbaLa
Q pi
&
( ) ( )
baLb
TTTTka
QoLoLo
+
+
=
112
220pi&
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 20 -
SEPTIEMBRE 2008-2 ENUNCIADO DEL PROBLEMA Una pared plana de espesor 2L tiene una generacin de calor interna que vara de
acuerdo con la expresin axgg o cos&& = donde og& es el calor generado por unidad de volumen en el centro de la pared (x = 0) y a es una constante. Si ambas caras de la pared se mantienen a una temperatura constante de Tp, obtngase una expresin para la prdida total de calor de la pared por unidad de rea superficial. SOLUCIN DEL PROBLEMA
0cos
2
2
=+k
axg
dx
Td o&
1Ca
senax
k
g
dx
dT o +=&
212cos CxCax
ka
gT o ++=
&
El campo de temperaturas ha de ser una funcin par, debido a que ambas paredes se
encuentran a la misma temperatura. Para que esto se cumpla, necesariamente .01 =C Por otra parte, nos dan la temperatura de las paredes, as pues:
22cos CaL
ak
gT op +
=
&
y despejando:
aLak
gTC op cos22
=
&
Por lo tanto, la ecuacin del campo de temperaturas queda:
( )aLaxak
gTT op coscos2
+=&
El calor que se fuga por ambas caras por unidad de rea es:
Lxdx
dTk
A
=
== 2&
&
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 21 -
Derivamos la ecuacin del campo de temperaturas y particularizando para x = L:
senaLak
g
dx
dT o
=
&
Finalmente, sustituimos en la ecuacin anterior:
senaLa
gq o =
&& 2
Transmisin de Calor
Universidad Pblica de Navarra
AGOSTO 2009-CUESTIN 1 ENUNCIADO DEL PROBLEMA En el interior de un anillo cilndrico largo de acero inoxidable AISI 302 cuyo radio interior es Ri=5cm y radio exterior Re=30cm se quema un combustible produciendo un calor de Q=50W por cada cm de longitud de eje. Este calor se disipa por conveccin al refrigerante que est a Tconveccin h=40Wm-2Cacero. Para mayor sencillez en el clculcon la temperatura, siendo sus valores los correspondientes a la temperatura de 600K. SOLUCIN DEL PROBLEMA Tenemos una geometra cilndrica y sin generacin de calor por lo que la ecuacin del campo de temperaturas tendr la forma:
Condiciones de contorno: En RL:
En RE:
As que:
La mxima temperatura tendr lugar en la cara interior del anillo si lo introducimos en la ecuacin anterior
Universidad Pblica de Navarra
CUESTIN 1
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
En el interior de un anillo cilndrico largo de acero inoxidable AISI 302 cuyo radio interior es Ri=5cm y radio exterior Re=30cm se quema un combustible
calor de Q=50W por cada cm de longitud de eje. Este calor se disipa por conveccin al refrigerante que est a T=20C, con un coeficiente de
2C-1. Calcular la mxima temperatura que soporta el
Para mayor sencillez en el clculo, suponer invariables las propiedades del acero con la temperatura, siendo sus valores los correspondientes a la temperatura de
SOLUCIN DEL PROBLEMA
Tenemos una geometra cilndrica y sin generacin de calor por lo que la ecuacin del mperaturas tendr la forma:
La mxima temperatura tendr lugar en la cara interior del anillo si lo introducimos en la ecuacin anterior obtenemos:
Ejercicios resueltos
- 22 -
En el interior de un anillo cilndrico largo de acero inoxidable AISI 302 cuyo radio interior es Ri=5cm y radio exterior Re=30cm se quema un combustible
calor de Q=50W por cada cm de longitud de eje. Este calor se =20C, con un coeficiente de
1. Calcular la mxima temperatura que soporta el
o, suponer invariables las propiedades del acero con la temperatura, siendo sus valores los correspondientes a la temperatura de
Tenemos una geometra cilndrica y sin generacin de calor por lo que la ecuacin del
, por lo que
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 23 -
JUNIO 2010 ENUNCIADO DEL PROBLEMA Obtngase una expresin para la distribucin de temperatura en una pared plana en la que las fuentes de calor distribuidas varan de acuerdo con la relacin lineal ( )[ ]pp TTqq += 1&&
donde pq&
es una constante e igual al calor generado por unidad de volumen, a la
temperatura de la pared pT
. Ambas caras de la placa se mantienen a pT
y el espesor de la placa es L2 . Plantear ecuaciones sin resolver. SOLUCIN DEL PROBLEMA Las consideraciones que debemos hacer son: Suponemos estado estacionario Flujo de calor unidimensional El campo de temperaturas va a ser unidimensional en direccin x. Por lo que la ecuacin diferencial que utilizamos es:
02
2
=+k
g
dx
Td &
Sustituimos g& por su expresin ( )[ ]
k
TTg
dx
Td pp +=
12
2
0
2
2
=++k
Tg
k
Tg
k
g
dx
Td pppp
( ) 01
2
2
=++ ppp T
k
g
k
Tg
dx
Td
Nos queda una ecuacin diferencial de segundo grado.
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 24 -
JUNIO 2010 CUESTIN 3 ENUNCIADO DEL PROBLEMA
En una pared slida de 8cm de espesor y CmWk /5,2 = , se instalan hilos de calefaccin elctrica. La cara derecha est expuesta a un entorno con
CmWh /50 2 = y CT 30= , mientras que la cara izquierda est expuesta a
CmWh /75 2 = y CT 50= . Cul es la generacin de calor por unidad de volumen mxima que puede permitirse para que la temperatura mxima en el slido no exceda de 300C? Plantear ecuaciones sin resolver. SOLUCIN DEL PROBLEMA El campo de temperaturas es unidimensional en direccin x
21
2
2)( CxC
k
xgxT ++=
&
Aplicamos a continuacin las condiciones de frontera:
Pared izquierda Igualdad de flujos de calor ) )ii convQcondQ && =
( )iix
TThAdx
dTAk
=
=
0 ( )ii
x
TThdx
dTk
=
=
0
Pared derecha Igualdad de flujos de calor ) )dd convQcondQ && =
( )ddx
TThAdx
dTAk
=
=
08.0 ( )dd
x
TThdx
dTk
=
=
08.0 Necesitamos otra ecuacin ya que tenemos tres incgnitas y dos ecuaciones. El enunciado nos dice que la temperatura mxima en el slido no exceda de 300C, por lo que de ah podemos sacar la tercera ecuacin que hace falta. Se saca primero la x donde la temperatura es mxima y a continuacin lo introducimos en la expresin de temperatura.
0=dx
dT
01 =+= Cxk
g
dx
dT &
g
kCxT
&
1max =
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 25 -
21
1
2
1
2300max C
g
kCC
g
kC
k
gT ++
==
&&
&
Ya tenemos tres ecuaciones con tres incgnitas.
Transmisin de Calor
Universidad Pblica de Navarra
JUNIO 2010 ENUNCIADO DEL PROBLEMA Un tubo macizo, de material A y radio r1, disipa una potencia calorftubo est aislado por un cilindro hueco constituido por material B, siendo r1 su radio interior y r2 su radio exterior. La disipacin de potencia al ambiente se realiza exclusivamente por conveccin. Se pide determinar el mximo valolimitaciones en cuanto a condiciones de operacin: La mxima temperatura alcanzable en el material A ser de 250CLa mxima temperatura alcanzable en el material B ser de 180CLa mxima temperatura alcanzable en la superficie exterior ser de 110C Datos: r1=0,02m r2=0,06m kA=0,1 Wm-1C-1 kB=0,3 Wm-1C-1 h=5 Wm-2C-1 T=10C
SOLUCIN DEL PROBLEMA Mirar Parcial 09/07 problema 2.
Universidad Pblica de Navarra
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Un tubo macizo, de material A y radio r1, disipa una potencia calorftubo est aislado por un cilindro hueco constituido por material B, siendo r1 su radio interior y r2 su radio exterior. La disipacin de potencia al ambiente se realiza exclusivamente por conveccin.
Se pide determinar el mximo valor de , teniendo en cuenta las siguientes limitaciones en cuanto a condiciones de operacin:
La mxima temperatura alcanzable en el material A ser de 250C La mxima temperatura alcanzable en el material B ser de 180C La mxima temperatura alcanzable en la superficie exterior ser de 110C
SOLUCIN DEL PROBLEMA
Mirar Parcial 09/07 problema 2.
Ejercicios resueltos
- 26 -
Un tubo macizo, de material A y radio r1, disipa una potencia calorfica . El tubo est aislado por un cilindro hueco constituido por material B, siendo r1 su radio interior y r2 su radio exterior. La disipacin de potencia al ambiente se
, teniendo en cuenta las siguientes
La mxima temperatura alcanzable en la superficie exterior ser de 110C
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 27 -
PROBLEMAS DE CAUCHY PROBLEMA DE CAUCHY- CUESTIN 1 ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Considere una placa rectangular de longitud a en la
direccin x y longitud b en la direccin y. Suponga que todos los lados se encuentran a una temperatura de 0 C excepto el superior que se encuentra a f(x). Determine la ecuacin del campo de temperaturas.
SOLUCIN DEL PROBLEMA
Consideramos la ecuacin bidimensional de la conduccin del calor:
77" 77& 0 Las condiciones de contorno son las siguientes:
(0, ) 0
( , ) 0
( ,0) 0
( , ) ( )
0
0
T y
T a y
T x
T x b f x
x a
y b
=
=
=
=
Nos encontramos con un problema de Cauchy que se resolver a partir del mtodo de separacin de variables. Suponiendo que la temperatura es el producto de dos funciones, cada una de las cuales depende nicamente de una de las variables x e y.
Al derivar se obtiene:
' 0
''x
xx
T X Y X
T X Y
= +
=
'
''
y
yy
T XY
T XY
=
=
Sustituyendo en la ecuacin de la conduccin del calor:
( , ) ( ) ( )T x y X x Y y=
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 28 -
2 2
2 20
T T
x y
+ =
'' '' 0X Y XY+ =
'' ''X YC Cte
X Y= = =
Ecuacin 1: ''X
CX
= '' 0X CX =
Ecuacin 2: ''Y
CY
= '' 0Y CY+ =
Aplicando las condiciones de contorno:
(0, ) (0) ( ) 0 (0) 0
( , ) ( ) ( ) 0 ( ) 0
T y X Y y X
T a y X a Y y X a
= = =
= = =
( ,0) ( ) (0) 0 (0) 0
( , ) ( ) ( ) ( )
T x X x Y Y
T x b X x Y b f x
= = =
= =
De la condicin de contorno ( , )T x b no se obtiene informacin. En resumen:
Concretando las condiciones de contorno con las pautas que se dan en el
enunciado del problema:
2 2
2 2
1
1
1
1
0
(0, )
( , )
( ,0)
( , ) ( )m
T T
x y
T y T
T a y T
T x T
xT x b T T sen
a
pi
+ =
=
=
=
= +
Haciendo el cambio de variable: 1( , ) ( , )u x y T x y T=
x x
xx xx
u T
u T
=
=
y y
yy yy
u T
u T
=
=
2 2
2 2
( , ) ( , )0
u x y u x y
x y
+ =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
(0, ) (0, ) 0
( , ) ( , ) 0
( ,0) ( ,0) 0
( , ) ( , ) ( ) ( )m m
u y T y T T T
u a y T a y T T T
u x T x T T T
x xu x b T x b T T T sen T T sen
a a
pi pi
= = =
= = =
= = =
= = + =
'' 0
(0) 0
( ) 0
X CX
X
X a
=
=
=
'' 0
(0) 0
Y CY
Y
+ =
=
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 29 -
Los pasos a seguir para resolver el problema van a ser los mismos que se han
utilizado al principio, cuando se ha planteado el caso genrico. Suponiendo que ( , )u x y es el producto de dos funciones, cada una de las cuales
depende nicamente de una de las variables x e y.
( , ) ( ) ( )u x y X x Y y= ''
''xx
yy
u X Y
u X Y
=
=
'' '' 0X Y XY+ =
'' ''X Y
C CteX Y
= = =
Llegamos a las mismas expresiones:
Se estudian las diferentes soluciones que tiene el problema en funcin del signo
que adquiera la constante C: CASO I: 20C C > = :
Resolvemos la ecuacin diferencial para este valor de la constante:
2 2 21 2'' 0 0
x xX X m m X C e C e = = = = +
1 2
1 2
(0) 0 0
( ) 0 0a aX C C
X a C e C e = + =
= + = 1 2 0C C= =
Si 1 2
1 2 0
x xX C e C e
C C
= +
= =
( ) 0X x = ( , ) 0u x y =
La funcin ( , )u x y que obtenemos al considerar C positiva no satisface la cuarta
condicin de contorno ( , ) ( )m
xu x b T sen
a
pi=
'' 0
(0) 0
( ) 0
X CX
X
X a
=
=
=
'' 0
(0) 0
Y CY
Y
+ =
=
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 30 -
CASO II: 0C = :
Resolvemos la ecuacin diferencial cuando la constante es igual a cero:
1 2
2
1 2 1 1
'' 0
(0) 0 0
( ) 0 0 0 0 0
X X C x C
X C
X a C a C C a C
= = +
= =
= + = + = =
Si 1 2 0C C= = ( ) 0X x = ( , ) 0u x y =
Ocurre lo mismo que en el caso anterior, la funcin obtenida no satisface la condicin
de contorno ( , ) ( )mx
u x b T sena
pi=
CASO III: 20C C < = :
2
1 2'' 0 cos( ) ( )X X X C x C sen x + = = +
1 2 1
1 2 2
(0) 0 1 0 0 0
( ) 0 cos( ) ( ) 0 0 cos( ) ( ) 0
X C C C
X a C a C sen a a C sen a = + = =
= + = + =
2 ( ) 0C sen a =
Tenemos dos posibles soluciones a la ecuacin 2 ( ) 0C sen a = que darn diferentes valores a la funcin ( , )u x y :
1) Si 2 0C =
1
2
0
0
C
C
=
=
( ) 0 ( , ) 0X x u x y = =
La funcin ( , )u x y obtenida no cumple la condicin de contorno ( , ) ( )mx
u x b T sena
pi= .
2) Si ( ) 0sen a = :
( ) 0sen a = a n pi = ( ) nn Na
pi = 2( ) ( )n x
X x C sena
pi =
2 2 23 4 3 4'' 0 0 ( ) ( )
n ny y
y y a aY Y m m Y y C e C e Y y C e C epi pi
= = = = + = +
3 4 3 4 3(0) 0 1 1 0 ( ) ( )n n
y ya aY C C C C Y y C e epi pi
= + = = =
3 5( ) ( ) ( )n n
y ya a
n yY y C e e C Sh
a
pi pi pi= =
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 31 -
Recordando que ( , ) ( ) ( )u x y X x Y y=
2
5
( ) ( )
( ) ( )
n xX x C sen
an y
Y y C Sha
pi
pi
=
=
6( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )n nn x n y n x n y
u x y C sen Sh u x y C sen Sha a a a
pi pi pi pi = =
Se averigua para que valor de nC se cumple la condicin de contorno que anteriormente
no se cumpla, ( , ) ( )mx
u x b T sena
pi=
( ) ( ) ( )n mn x n b n x
C sen Sh T sena a a
pi pi pi =
1
1
( )
m
n
TC
bSh
a
pi
=
=
1( , ) ( , )u x y T x y T=
( , ) ( ) ( )( )
mT x yu x y sen Shb a aSh
a
pi pipi
=
Ecuacin del campo de temperaturas
1( , ) ( ) ( )( )
mT x yT x y T sen Shb a aSh
a
pi pipi
= +
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 32 -
MAYO 2010-PROBLEMAS CAUCHY-Problema 2
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Dada una placa rectangular de longitud a en la direccin x y longitud b en
la direccin y. Suponga que tres de sus lados (el inferior y los dos laterales) se encuentran a una temperatura Tl excepto el superior que se encuentra a Tl+Tmsen(x/a). Determine la ecuacin del campo de temperaturas.
SOLUCIN DEL PROBLEMA
Estaramos ante el modelo de conduccin estacionaria bidimensional, el cual responde al siguiente modelo matemtico:
8698:6 + 8698;6 = 0 (Txx + Tyy = 0) T(x,0) = Tl T(0,y) = Tl T(a,y) = Tl T(x,b) = Tl+Tmsen(x/a)
Para resolverlo introducimos una nueva funcin que llamaremos U(x,y) = T(x,y) - Tl. Como Ux = Tx, Uy = Ty, Uxx = Txx, Uyy = Tyy el problema anterior se transforma en el siguiente:
Uxx + Uyy = 0 U(x,0) = 0 U(0,y) = 0 U(a,y) = 0 U(x,b) = Tmsen(x/a)
Para resolver el problema aplicamos el mtodo de separacin de variables, descomponiendo la funcin U(x,y) en el producto de dos funciones, U(x,y) = X(x)Y(y). Con esto las condiciones iniciales quedan de la siguiente forma:
U(x,0) = X(x)Y(0) = 0 Y(0) = 0 U(0,y) = X(0)Y(y) = 0 X(0) = 0 U(a,y) = X(a)Y(y) = 0 X(a) = 0
Teniendo en cuenta que Txx = XY y que Tyy = XY
la ecuacin diferencial del problema se nos transforma en:
XY + XY = 0
Dividiendo por el producto XY y reordenando obtenemos:
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 33 -
> = k Siendo k una constante arbitraria. De eta forma podemos considerar las ecuaciones diferenciales ordinarias X- kX = 0 e Y + kY = 0, que junto con las condiciones iniciales nos permitirn resolver el problema.
Empezaremos por resolver:
X- kX = 0
X(0) = 0 X(a) = 0
La ecuacin asociada es r2 k = 0, cuya solucin depender del valor de k (positivo, negativo o nulo). Evaluaremos los tres casos:
1. k > 0. k = 2, entonces la solucin de la ecuacin diferencial es:
X = C1?@:+C2?@: Evaluando en las condiciones iniciales obtenemos:
X (0) = C1?@A+C2?@A = C1 C2 = 0 X (a) = C1?@+C2?@= 0
La nica solucin es C1 C2 = 0, y por lo tanto X (x) = 0, U(x,y) = 0 y T(x,y)=Tl. Esta solucin no es factible, ya que no es solucin del problema inicial, ya que no cumplira la cuarta condicin inicial T(x,b) = Tl+Tmsen(x/a).
2. k = 0, en este caso la solucin a la ecuacin sera:
X = C1+C2x
Evaluando en las condiciones iniciales obtenemos:
X (0) = C1+C20 = C1 = 0 X (a) = C1 C2B = C2B 0
Nos encontramos ante el mismo caso anterior, la solucin X (x) = 0, la cual ya hemos visto no puede ser solucin del problema inicial.
3. k < 0. k = -2, la solucin a la ecuacin sera:
X = C1cos F"+ C2sen(x)
Con las condiciones iniciales:
X (0) = C1cos F0+ C2sen(0) = C1 = 0 X (a) = C1cos FB+ C2sen(a) = C2sen(a) = 0
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 34 -
Si suponemos C2 = 0 obtendramos la solucin nula, la cual ya hemos visto no es solucin del problema inicial, por tanto la nica solucin posible es: F GH siendo n = 1, 2, 3, 4 y por tanto $ G6H66
Luego todas las posibles soluciones se pueden escribir, renombrando las constantes, como:
Xn = Cnsen(
GH x) n = 1, 2, 3, 4 Pasamos ahora a resolver el sistema para la Y:
Y- G6H66 Y = 0
Y(0) = 0 La solucin general de la ecuacin ser:
Y (y) = A1?IJK L+A2?IJK L Aplicando la condicin inicial obtenemos A1+A2 0, reordenado y renombrando las constantes obtenemos:
Y n = A1?IJK L-?IJK L = Ansinh PGH yR Obteniendo por tanto la siguiente solucin del sistema inicial:
U = XY = Bnsinh PGH yR sen(GH x) T = U + Tl = Bnsinh PGH yR sen(GH x) + Tl
Si evaluamos la ltima condicin inicial:
T(x,b) = Bnsinh PGH bR sen(GH x) + Tl = Tl+Tmsen(x/a)
Para que se cumpla la igualdad n = 1, y adems Bn = TUVWXYPJKZR
Con lo cual la solucin al problema queda:
T(x,y) = Tl + TUVWXYPJKZR sinh PH yR sen( H x)
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 35 -
TEMA 4. CONDICIN DE CALOR EN RGIMEN TRANSITORIO
JUNIO 2000. CUESTIN 2 ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Dedzcase una ecuacin diferencial (no
se resuelva) para la distribucin de temperatura de una aleta recta triangular.
Tmese, por conveniencia, el eje de
coordenadas tal como se muestra, y supngase flujo de calor unidimensional. Supondremos adems que la aleta tiene un metro de profundidad.
SOLUCIN DEL PROBLEMA
Al ser un flujo estacionario el calor que entra deber ser igual al que sale, ya que
si no fuera as aumentara o disminuira la temperatura de un punto de la aleta con el tiempo. El problema se trata efectuando un balance de energa en un elemento de espesor dx. Energa que entra por la cara izquierda = Energa que sale por la cara derecha + Energa perdida por conveccin
Energa que entra por la cara izquierda:
Energa que sale por la cara derecha. Y haciendo un desarrollo en serie de Taylor:
Energa perdida por conveccin, P (permetro):
Introducimos estas expresiones en el balance y operando obtenemos:
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 36 -
Analizando un poco la geometra se saca que A= 2y, y con una regla de tres se obtiene que:
Entonces el rea que depende de x ser:
Si realizamos el cambio de variable = T - T obtenemos lo siguiente:
Observando la ecuacin se ve que el primer trmino se anula, quedando:
Operando:
NOTA: para obtener el permetro podemos utilizar geometra bsica, por
ejemplo: 8:8[ cos\ ]^_X`6a6 donde: tan\ d6e y por tanto:
7f 1 P:ge Ra6 7" Todo esto si quisiramos expresar el h#iGj as: h#iGj 2 % 7f k
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 37 -
PARCIAL 20/04/2002
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
La expresin diferencial del campo de temperaturas de una aleta circular, con simetra radial en temperaturas, es del tipo:
02
2
=+++ DCTdr
dTB
rd
TdA
Determinar el valor de A, B, C y D. Se suponen conocidos todos los parmetros trmicos y geomtricos del problema: coeficiente de conveccin h, conductividad trmica del material de la aleta k, radio exterior de la aleta R, radio interior R0, espesor de la aleta w muy pequeo frente a R y R0, temperatura ambiente T, etc.
SOLUCIN DEL PROBLEMA
Se considera un anillo de espesor dr ubicado a una distancia r del centro geomtrico de la aleta. Dado que se considera un rgimen estacionario, el calor que entra por conduccin en el anillo en r es igual al calor que sale del anillo por conduccin en (r+dr) ms el calor evacuado por conveccin por las caras superior e inferior del anillo.
Calor que entra por conduccin: dr
dTkrw
dr
dTkAq r pi2==
Calor que sale por conduccin:
+++
=
++=+=
++
22
2
2
2
2
2
)(2
)(2)(
drdr
TddTdr
dr
Tdr
dr
dTrkw
drdr
Td
dr
dTwdrrk
dr
dTdAAkq
drrdrr
pi
pi
Calor que sale por conveccin:
))(2(2)(
infsup == TTrdrhTThAq conv pi
Haciendo el balance de flujos de calor en el anillo: convdrrr qqq += +
Eliminando los trminos en dr
dTr , despreciando el trmino 2
2
2
)(drdr
Tdpor ser
diferenciales de orden superior y operando, queda:
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 38 -
0)(21
2
2
=+
TTkw
h
dr
dT
rdr
Td
Resolviendo la ecuacin del enunciado a partir de la anterior se obtienen los resultados:
1=A , r
B1
= , kw
hC
2= ,
kw
hTD =
2
Por lo tanto la solucin de la ecuacin diferencial es la funcin:
+
+=
r
kw
hKCr
kw
hICTT
220201
Donde I0 y K0 son, respectivamente, las funciones de Bessel modificadas de primera y segunda especie. Las constantes C1 y C2 se determinarn en funcin de las condiciones de contorno.
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 39 -
PARCIAL 20/04/2002. CUESTIN 1 ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Una aleta rectangular horizontal tiene
dimensiones L (longitud), z (anchura) y t (espesor) y arranca de una pared a T0. Sobre la cara superior de la aleta incide una radiacin solar I (W.m-2) que es absorbida completamente por el material. Se pide determinar el campo de temperaturas de la aleta.
Discutir los valores del campo de temperaturas en funcin de los distintos valores de la radiacin solar I. Para los valores numricos (en S.I.) siguientes T=20, h=10, k=40, z=0,25, t=0,005, I=800, T0=200, determinar el flujo de calor que la aleta extrae de la pared. Supuestos: flujo de calor unidireccional, aleta larga, conocidos todos los parmetros trmicos y geotrmicos.
SOLUCIN DEL PROBLEMA
Realizando un balance de energa en el elemento de espesor dx:
Energa entra por izquierda + energa absorbida radiacin solar = energa sale por derecha + energa cedida por conveccin al ambiente
$l mm" no lm" $l pmm" mm" m"q %rm"
Donde no es el trmino de absorcin de calor solar, que acta como fuente de calor para la placa, en
456, es decir no sg. Simplificando: mm" %r$l k t$u 0
Realizamos el cambio v k w xy3z { |6}|:6 w s3g 0 e integrando: Obtenemos una ecuacin homognea: w ~?5: ~?5:
Solucin particular: w ~A 0 ~A s3g 0 ~A s563g por tanto queda: w ~?5: ~?5: t$u
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 40 -
Aplicando las condiciones de contorno tal que: Para x, w valor infinito, lo cual implica que C2=0
Para x=0, w A k A k ~ s563g ~ A k s563g De lo que se obtiene el campo de temperaturas: k t$u A k t$u ?5:
Discusin de los valores
- si el valor del parntesis es cero, es decir, A k s563g 0, lo que implica un valor de radiacin solar de t $uA k, el campo de temperaturas es constante e igual a A
- si el valor del parntesis es positivo, es decir, A k s563g, implica que la racin solar t $uA k en caso de baja radiacin, el campo de temperaturas disminuye exponencialmente desde A hasta un valor constante e igual a k s563g
- si el valor del parntesis es negativo, es decir, A k s563g 0 se obtiene una intensidad de radiacin solar tal que: t $uA k, lo que significa que la radiacin absorbida es tan alta que la temperatura en un punto alejado es superior a A, es decir, fluye calor de la aleta a la pared, la aleta calienta la pared, no la refrigera.
El flujo de calor que fluye de la pared a la aleta es: n $l P|9|:R:A mm" A k t$u ?5: n $l A k t$u
Puesto que: xy3z AA,]A,AAAA,A,AA 102 10,0995 n 40 0,25 0,005 10,0995 200 20 800102 40 0,005 71,09 Puede decirse que: n 71
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 41 -
JUNIO 2010-Cuestin 8
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Una barra caliente sobresale de una nave espacial. La barra pierde calor
por radiacin al espacio exterior. Suponiendo que la emisividad de la barra es y que la radiacin que sale de la barra no se refleja, establzcase la ecuacin diferencial de la distribucin de temperaturas en la barra. Establzcanse tambin las condiciones de contorno que debe satisfacer la ecuacin diferencial. La longitud de la barra es L , su seccin transversal es A , su permetro es P y la temperatura de su base es 0T . Supngase que el espacio exterior es un cuerpo negro a 0K.
SOLUCIN DEL PROBLEMA
Suposiciones iniciales:
Al estar la barra en el espacio solo pierde calor por radiacin La radiacin no se refleja El espacio exterior es un cuerpo negro a 0K por lo que todo el calor que emite la
barra lo absorbe el espacio Balance de energa:
O lo que es lo mismo: raddxxx qqq += +
Donde
dx
dTkAq x =
+=+ dx
dx
Td
dx
dTkAq dxx 2
2
( )44 0= TAsqrad Sustituyendo
4
2
2
TdxPdxdx
Td
dx
dTkA
dx
dTkA +
+= 4
2
2
0 TPdx
TdkA +=
Quedando la siguiente ecuacin diferencial
042
2
=
TkA
P
dx
Td
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 42 -
Con las siguientes condiciones de contorno:
1. En 0=x 0TT =
2. En Lx = 4TAdx
dTkA = 4T
dx
dTk =
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 43 -
JULIO 2010-Cuestin 1
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Consideremos una aleta rectangular y todos sus parmetros geomtricos y
trmicos conocidos: w (anchura), t (espesor), L (longitud), h (coeficiente de conveccin),
T (temperatura ambiente), etc. Tras mediciones experimentales de la
temperatura de su superficie, se observa que el campo de temperaturas puede considerarse unidimensional en la direccin del eje de la aleta y que, tras ajustar dichos valores experimentales a una funcin coseno hiperblico, el campo de temperaturas responde aproximadamente a la expresin )( 321 CxCChCT =
donde x est medido desde el arranque de la aleta hacia su extremo y 1C , 2C y 3C
son suministrados por el programa informtico de ajuste y, por lo tanto, conocidos. Se pide determinar el flujo de calor evacuado por la aleta, su eficiencia y su
efectividad.
SOLUCIN DEL PROBLEMA
Nos dan el campo de temperaturas de aleta, que viene dado por )( 321 CxCChCT =
Primeramente nos piden calcular el flujo de calor evacuado por la aleta. Para ello aplicamos la ecuacin de Fourier para la conduccin de la aleta.
0=
=
xc dx
dTkAQ&
Para ello realizamos los siguientes clculos:
wtAc =
)())((
3221321 CxCShCC
dx
CxCChCd
dx
dT=
=
)()()0( 32132132210
CShCCCShCCCCShCCdx
dT
x
===
=
Sustituyendo en la ecuacin de Fourier anterior podemos calcular el flujo de calor evacuado.
)())(( 3213210
CShCkwtCCShCCkwtdx
dTkAQ
xc ==
=
=
&
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 44 -
Nos faltan por calcular la eficiencia y la efectividad de dicha aleta. Eficiencia: Sabemos que la eficiencia viene definida por la siguiente expresin:
aletaQ
aletaQ
max&
&=
)(max
= TThLpaletaQ b&
Sabemos que:
)(2 twp +=
)()()0()0( 3131321 CChCCChCCCChCxTTb =====
Por lo tanto
))()((2max 31 += TCChCtwhLaletaQ&
Sustituyendo cada flujo de calor por su expresin tenemos:
))()((2
)(
31
321
+
=
TCChCtwhL
CShCkwtC
Efectividad: La efectividad viene definida por la siguiente expresin:
aletaQ
aletaQ
sin&
&=
)(sin
= TThAaletaQ bb&
Sabemos que:
twAb =
)()()0()0( 3131321 CChCCChCCCChCxTTb =====
Por lo tanto
))((sin 31 = TCChChwtaletaQ&
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 45 -
Sustituyendo cada flujo de calor por su expresin tenemos:
))((
)(
31
321
=
TCChChwt
CShCkwtC
))((
)(
31
321
=
TCChCh
CShCkC
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 46 -
PARCIAL 2/05/2006. PROBLEMA 2. ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Consideremos un dispositivo electrnico de potencia nominal PN del que
todas sus propiedades fsicas son conocidas (m, v, , cp, k). Inicialmente el dispositivo se encuentra a la temperatura ambiente T, y en un instante determinado el dispositivo se conecta.
Si el coeficiente de conveccin es conocido y se desprecian los gradientes espaciales, se pide determinar la evolucin temporal de temperaturas en el dispositivo, bajo dos supuestos:
1. la potencia se aplica en forma de escaln (instantneamente pasa a
consumir la potencia nominal). 2. la potencia se aplica en forma de rampa (transcurren segundos hasta
alcanzar la potencia nominal). SOLUCIN DEL PROBLEMA
Caso 1: potencia en escaln Por el primer principio de la termodinmica: Qi = U , donde: Q = calor aportado en forma de potencia calor disipado por conveccin U = incremento de temperatura del dispositivo Qi = U PN dt hA(T- T)dt = mcdT Reordenando la ecuacin separando variables:
)(hP
mcdTdt
=
TTAN
Haciendo el cambio de variable =T - T , de esta forma si t =0 T=T t=0, = 0. dT = d
=
0 N
t
0 hAP
mcddt
[ ] ( )[ ]0Nt0 hAPlnhA
1mct
=
=
=
NN
N
P
hA1ln
hA
mc
hA0P
hAPln
hA
mct
Despejando
=
tmc
hAN
e1hA
P
Sustituyendo = T - T
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 47 -
+=
tmc
hAN
e1hA
PTT
Analizando la expresin y el grfico se puede conocer cmo ser la evolucin temporal de la temperatura. En un principio se incrementar la temperatura del dispositivo de forma rpida, para luego hacerlo de una forma ms suave. Llegar un momento (cuando t, es decir, para un tiempo lo suficientemente grande), en el que el calor que se aporta al dispositivo mediante la potencia sea disipado totalmente por conveccin, y la temperatura del dispositivo permanecer por tanto constante. Caso 2: potencia en escaln
Se divide el problema en dos tramos: 0
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 48 -
Buscamos C2 y C3 de forma que satisfagan la ecuacin:
0Cmc
hAC 32 =+
mc
PC
mc
hA N2 =
De estas dos ecuaciones obtenemos los valores de C2 y C3
22 N
3h
mcPC
A=
De esta forma: w yxz y5#x6z6
Con lo cual la solucin de la ecuacin quedar de la forma: w ~? g yxz u y5#x6z6 Para hallar el valor de C1 tomaremos la condicin inicial 0(0) = 0 ~?xz5# A r%l 0 r%l ~ r%l Sustituimos el valor de C1 w r%l ?xz5# g r%l u r%l Para hallar la evolucin de la temperatura sustituimos = T - T k r%l ?xz5# g r%l u r%l k r%l u r%l 1 ?xz5# g Tramo t>
Nos encontramos ante una situacin igual a la del caso 1, ya que a partir de la potencia permanece constante a un valor PN. La nica diferencia es la temperatura inicial. En este caso la temperatura inicial no ser T sino la temperatura en el instante . Dicha temperatura la podemos hallar con la ecuacin del tramo 0
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 49 -
SEPTIEMBRE 2007 ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Un bloque de aluminio pulido de 1 m de ancho, 1 m de largo y 40 cm de espesor est apoyado en el suelo sobre una de sus caras cuadradas, estando perfectamente aisladas esta cara y las laterales. Sobre la cara cuadrada restante incide una radiacin solar concentrada mediante espejos , de manera que la radiacin incidente es cien veces la radiacin solar del ambiente que ha sido
estimada, esta ltima, en 950 456 (energa solar total).
El bloque est ubicado en una montaa donde la presin del ambiente es de
800 mbar, la temperatura ambiente es de 0 C y el viento de 72 35x ,
correspondiendo a un da fro y claro. El paraleleppedo de Al se encuentra inicialmente a la temperatura ambiente.
Se pide determinar la expresin matemtica del campo de temperaturas, el
valor de la mxima temperatura alcanzada y el tiempo aproximado necesario para alcanzarla. Por simplicidad suponer las propiedades del aire independientes de la temperatura, siendo sus valores los correspondientes a la temperatura ambiente. SOLUCIN DEL PROBLEMA
Dado que en cada de superficie de placa los aportes de calor y las fugas son idnticos, es posible considerar el campo de temperaturas independiente de x e y, es decir, T= T(z) .
El nmero de Biot tiene como expresin: a De la tabla A-3, obtenemos los siguientes valores para el aluminio:
$ 237 45 , 2702 35, 903 3 (El valor de k entre 200 y 400 K apenas vara)
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 50 -
Las propiedades del aire a 0 C se obtienen a partir de la tabla A-15: $ 0,02364 45- , 1,729 10 35[, 1006 3-, r 0,7362 Para obtener la densidad, al no estar a 1 atm, podemos hacerlo de dos maneras:
- Gases ideales: y9 A,A,a6,a 1,02 35 - Segn tabla A-15: A,,A,A A 1,02 35
Aplicando el nmero de Reynolds (para 72 35x 20 5[ )
? je A,A,A ? 1,18 10 La expresin de Nusselt correspondiente a este valor de Re es:
xe3 0,037 ?eA. 871 ra 1619,95 % 38,29 456- El nmero de Biot queda, por tanto: (tomando longitud con ms diferencia de temperatura)
,6a,6 0,06 0,1 Puede aplicarse el modelo de sistema concentrado, es decir, temperatura prcticamente constante en todo el volumen del aluminio, slo depende del tiempo, T= T(t) . El balance de calor en el paraleleppedo es: hzs hz |9|g 100 l % l k l ?4 Donde:
950 456 ?B m?u? 0,09 lfumBm fB m? B m uBB 11.3 k 0- 273 ??BuB ?"u? 0,03 fmBm fB m? B m uBB 11.3 1 Bu m? B m? u l ~? #i 230 ~?fm?u? B mB & B 0,4 2702 903 mmu 100 950 0,09 38,29 273 0,03 230
975962,4 mmu 19007,76 38,29 1,701 10
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 51 -
Esta es la ecuacin diferencial del campo de temperaturas. Las perdidas por conveccin y radiacin sern mximas cuanto mayor sea la temperatura T. La mxima temperatura se alcanzar en el rgimen estacionario, cuando |9|g 0, luego: 19007,76 38,29 1,701 10 0 493,5 220,5- En esta situacin las prdidas son:
- Conveccin: 38,29 493,5 273 8443 - Radiacin: 0,03 493,5 230 96
Por lo que la suma de las perdidas es ms o menos igual a la radiacin solar
absorbida (8550 W). Se observa adems, que las perdidas por radiacin son totalmente despreciables frente a las de conveccin. De manera aproximada, pues, podemos suponer que no hay prdidas radiantes y obtener as el tiempo aproximado que tardar en alcanzarse dicha temperatura:
975962,4 mmu 19007,76 38,29 mmu 0,019476 3,923 10 mB mu mB 99I mu
gA
1 B B G u u 13,923 10 0,019476 3,923 10 220,5 2730,019476 3,923 10 0 273 110250f u 30 %Bf
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 52 -
JUNIO 2008-Problema 3 ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Una placa delgada (2mm de espesor) de cobre puro deslustrado est inicialmente a la temperatura ambiente de 20C. Esta placa se expone a la irradiacin solar ambiental (900W/m2), un da fro y claro, durante media hora. El coeficiente de conveccin placa-aire se estima de 4Wm-2C-1 para la parte superior de la placa. La parte inferior de la placa intercambia calor por radiacin con el suelo a 10C y con el aire mediante un coeficiente de conveccin igual a 2Wm-2C-1. La placa est perfectamente aislada a conduccin. Se pide determinar la evolucin de la temperatura de la placa y la temperatura final en grados Celsius.
SOLUCIN DEL PROBLEMA
La temperatura de la placa se supone uniforme en todo momento y por lo tanto es aplicable el mtodo de sistema concentrado. El balance de calor es el siguiente: |9|g %sup(T-Tamb) - %inf(T-Tamb) (T4-T4cielo) - (T4-T4suelo) Conocemos los siguientes datos: s = 0.65; = 0.75 Datos de la tabla 11-3 del libro (pag 153) Cu = 8933, Cp(300K) = 385 Datos de las tablas y diagramas de propiedades
m = V = 1m2210-3 m893335
Tcielo = 230K Obtenido de la teora del libro(pag 151) Tamb = 273+20 = 293 Tsuelo = 273+10 = 283 Sustituyendo en la ecuacin del balance de calor inicial; |9|g %sup(T-Tamb) - %inf(T-Tamb) (T4-T4cielo) - (T4-T4suelo)
210-3 8933 385 |9|g = 0.65900 4(T-293) 2(T-293) 0.755.67108(T4-2304) 0.755.67108(T4-2834) Agrupando trminos: Podemos resolverlo tanto en grados Kelvin como en Centgrados: Si T est en Kelvin; con Tinicial = 293
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 53 -
210-3 8933 385 |9|g = 0.65900 6(T-293) - 0.755.67108(2T4-2304-2834) Si T est en C; con Tinicial = 20
210-3 8933 385 |9|g = 0.65900 6(T-293) - 0.755.67108[(2(T+273)4-2304-2834)] La ecuacin diferencial se resuelve mediante el comando ODE23 de Matlab. Siendo la temperatura al cabo de media hora de T=46.5C
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 54 -
JUNIO 2009-Problema 1 ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Un depsito para el almacenamiento de hidrgeno lquido se caracteriza por la existencia de vaco en su interior (para evitar mezclas explosivas con el oxgeno del aire) y por tener las paredes a una temperatura prxima al cero absoluto.
Se introduce un sensor que puede considerarse una esfera de cobre
comercial de 1cm de dimetro en su interior. En el momento de introduccin, el sensor est a 30C. Las paredes del depsito son de aluminio anodizado.
Se pide determinar la variacin de la temperatura (C) del sensor en
funcin del tiempo (s) de permanencia en el interior del depsito. Sabiendo que el sensor no funciona bien cuando su temperatura es inferior a 0C, cundo comenzar el sensor a darnos medidas errneas? SOLUCIN DEL PROBLEMA
Consideraciones:
Debido al pequeo tamao de la esfera (sensor) y a su alta conductividad, es posible el empleo del modelo de sistema concentrado.
El interior del depsito funciona como una superficie negra, con indiferencia de la emisividad de sus paredes de aluminio o de cualquier otro material.
No hay conveccin, dado que hay vaco. El sensor no genera calor
Anlisis: La expresin de la evolucin de temperaturas en el tiempo ser: l y|[ ~ |9|g z5 mu 9 m Si integramos la expresin anterior: z mugA m99 z u 9 99 P 9 9R
9 z u 9 ~ z u 9/ 273 Donde el tiempo t est en segundos y la temperatura en C. Si establecemos que T=0C y despejamos el tiempo obtenemos t=2965.62 seg., as que:
El sensor se enfra hasta los 0C en aproximadamente 50 minutos
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 55 -
AGOSTO 2009-Cuestin 3 ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Consideremos un dispositivo electrnico del que todas sus propiedades fsicas (m, v, c, k, ...) son conocidas y constantes, excepto su resistencia elctrica, que sigue una ley del tipo R() = T. Inicialmente el dispositivo se encuentra a la temperatura ambiente T. En el instante inicial el dispositivo se conecta y la intensidad de corriente I(A) se establece de manera prcticamente intantnea.
El coeficiente de conveccin es conocido y se desperdician los gradientes
espaciales de temperatura. Determinar la evolucin temporal de la temperatura.
SOLUCIN DEL PROBLEMA
Hacemos un balance: hG|ios6 h||ioxz99 ~
mmu t %l k ~ mmu mmu pt %l~ q t %lk~
La expresin anterior es del tipo $ $ por lo que tendremos que resolver primero la ecuacin homognea y despus calcular la solucin particular. La solucin es del tipo k $$ ?3ag $$
que si la particularizamos para nuestro problema obtenemos:
pk t %lkt %l q ?s6]xz5 g t %lkt %l
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 56 -
JULIO 2010-Cuestin 2
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Una esfera inicialmente a una temperatura 0T , est sumergida en un fluido.
En el fluido se colocan calentadores elctricos de manera que la temperatura del fluido experimenta una variacin peridica dada por: )( tsenTTT Am += ,
donde mT , AT y son conocidos.
Dedzcase la expresin para la temperatura en la esfera en funcin del
tiempo.
Supngase que las temperaturas de la esfera y del fluido son uniformes en cualquier instante, de modo que pueda usarse el mtodo de la capacidad global y conocidos todos los parmetros geomtricos y trmicos del sistema.
SOLUCIN DEL PROBLEMA
Consideramos que las temperaturas de la esfera y del fluido son uniformes en cualquier instante, de modo que puede usarse el mtodo de la capacidad global. Haciendo uso del mtodo de la capacidad trmica global tenemos que:
dt
dTVCTTAhq ==
)(
La temperatura del fluido experimenta una variacin segn:
)( tsenTTT Am +=
Sustituyndolo en la ecuacin inicial:
dt
dTVCtsenTTTAhq Am =+= ))](([
Dividiendo los dos miembros de la ecuacin por VC nos queda:
dt
dTtsenTTT
VC
AhAm =+
))](([
Llamamos k a la siguiente relacin VC
Ahk
= , y sustituimos.
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 57 -
dt
dTtsenkTkTkT Am = )( 0)( =+ tsenkTkTkTdt
dTAm
La ecuacin diferencial resultante es:
)( tsenkTkTkTdt
dTAm +=+
Para dar la solucin a esta ecuacin necesitamos calcular separadamente la solucin homognea y la solucin particular.
Solucin de la homognea
Ecuacin homognea: 0=+ kTdt
dT
Solucin de la homognea: kth ecT
= 1
Lo podemos comprobar de la siguiente manera.
0=+ kTdt
dT kT
dt
dT= kdt
T
dT= ktcT =+ln ktecT = 1
Solucin particular
Ensayamos una solucin particular del tipo: 321 )cos()( kwtkwtsenkTp ++=
Sustituimos dicha solucin en la ecuacin diferencial de la temperatura:
)( tsenkTkTkTdt
dTAm +=+
)()cos()()()cos( 32121 wtsenkTkTkkwtkkwtsenkkwtwsenkwtwk Am +=+++
Igualando nos quedan los siguientes valores para las constantes de la solucin particular.
mTk =3
222 kw
kwTk A
+
=
22
2
3 kw
Tkk A
+=
Por lo que nos ya tenemos una ecuacin para la solucin particular.
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 58 -
mAA
p Ttsenk
Tkt
k
kTT +
++
+= )()cos(
22
2
22
Por lo tanto la ecuacin de la temperatura ser la suma de las dos soluciones.
mAAkt
ph Ttsenk
Tkt
k
kTecTTT +
++
+=+= )()cos(
22
2
221
Necesitamos la condicin inicial que nos da el enunciado para poder saber el valor de la constante que nos aparece en la expresin de la solucin homognea. Cuando 0=t 0TT =
mAA Tsenk
Tk
k
kTecT +
++
+= )0()0cos(
22
2
22
010
mA T
k
kTcT +
+=
2210
2201 k
kTTTc Am
++=
Sustituimos la expresin de la constante en la ecuacin de la temperatura y se obtiene la expresin final para la temperatura en la esfera.
)()cos(22
2
22220tsen
k
Tkt
k
kTe
k
kTTTTT AAktAmm
++
+
+++=
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 59 -
TEMA 5: MTODOS NUMRICOS EN LA CONDUCCIN DE CALOR
AGOSTO 2009-Cuestin 4
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Consideremos una aleta de aleacin (k=25Wm-1C-1) de seccin transversal
triangular, cuya longitud es L=10cm, el espesor de la base es b=4cm y el ancho es mucho mayor que ambas dimensiones. La base de la aleta se mantiene a una temperatura T0=100C. La aleta pierde calor por conveccin al aire ambiente T=20C con un coeficiente de conveccin h=30Wm
-2C-1. Mediante el mtodo de diferencias finitas, con tres nodos igualmente
espaciados (arranque de la aleta nodo 0, centro de la aleta nodo 1, extremo de la aleta nodo 2), determinar las temperaturas en los nodos central (1) y extremo (2) de la aleta.
Se supone estado estacionario y transferencia de calor unidimensional.
SOLUCIN DEL PROBLEMA
Longitudes y arcos: tan w A a. 6. B 1.5B 0.5 A 2.5 0.5
lA 0.025495 l 0.050990 l 0.025495
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 60 -
0.030 0.010 Balances de calor:
$ A " $ " %lk 0$ " %lk 0
Tenemos un sistema que podemos escribir en forma matricial de la siguiente manera: P23.0594 55 6.5297R 1561.230.6 De aqu podemos obtener:
T1=84.4C y T2=67.8C
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 61 -
TEMA 6: FUNDAMENTOS DE LA CONVECCIN
JULIO 2010-Cuestin 5
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Definir el problema de la disipacin de calor del lubricante que engrasa un
eje girando en una chumacera (asiento). Determinar el campo de temperaturas. Plantear las condiciones de contorno ms habituales. ((
' ' p('( ('(q ( ( ( (
SOLUCIN DEL PROBLEMA
En primer lugar definiremos los ejes. Podramos tomar un sistema de coordenadas cilndrico, que parecera lo lgico debido a la geometra, pero tomando un sistema de ejes cartesianos simplificaremos mucho los clculos.
Tal y como hemos definido el problema tenemos: u: velocidad del aceite en la direccin x v: velocidad del aceite en la direccin y L: espesor de la capa de aceite
Aplicamos al problema las ecuaciones diferenciales de la conveccin: 77" 77& 0
y y
x x
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 62 -
77" 77& 77& 7r7" ~ 77" 77& $ p77" 77&q 2 ux vy uy vx
A la hora de aplicar las ecuaciones al problema hay que tener en cuenta algunas consideraciones:
La velocidad del aceite en la direccin y es nula; debido a la geometra del problema y las coordenadas tomadas todas las velocidades son paralelas al eje x,
por tanto v=0, as como 8j8; 0, 0. La velocidad del aceite no vara con la direccin x, solo con la direccin y,
debido a la geometra y a las coordenadas tomadas, es decir, 0. Las propiedades del fluido no varan con la direccin x, debido a la geometra
del problema, por tanto presin no vara en la direccin x, 8y8: 0, y la temperatura tampoco vara con la direccin x, 898: 0 y 8698:6 0.
Teniendo en cuenta estas consideraciones las ecuaciones de la conveccin aplicadas al problema nos quedan: 0 77&
0 $ p77&q uy
En primer lugar calcularemos el campo de velocidades. Para ello supondremos que conocemos el radio del eje y la chumacera, as como la velocidad de giro del eje.
0 77& 0 77& ~& ~
Conocemos como condiciones de contorno: u(y=0) = 0 u(y=L) = R
Sustituyendo y despejando las dos constantes obtenemos el siguiente campo de velocidades:
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 63 -
& Ahora calcularemos el campo de temperaturas:
0 $ p77&q uy
Sustituyendo la u por el valor calculado anteriormente: 0 $ p77&q
Podemos ver que esta ecuacin es semejante a la que define el campo de temperaturas de conduccin en estado estacionario con generacin de calor en una geometra cartesiana. Resolviendo la ecuacin diferencial obtenemos:
P R y2$ ~& ~
Las condiciones de contorno ms habituales suelen ser las temperaturas de eje y la chumacera; con ello nos dan las temperaturas en y=0 y en y=L:
0 A P R 02$ ~0 ~ ~
e P R L2$ ~ ~
Con estos dos valores podramos calcular las constantes C1 y C2, y as determinar el campo de temperaturas.
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 64 -
TEMA 7,8 y 9: CONVECCIN EXTERNA-INTERNA FORZADA, CONVECCIN NATURAL PARCIAL 25/04/2005. CUESTIN 1 ENUNCIADO DEL PROBLEMA
(Basado en el problema 5.71 del libro). Muchas de las relaciones sobre
transferencia de calor para la corriente sobre una placa plana son de la forma: %: "$ ~ ?:G Pr
Obtngase una expresin para x
x en funcin de las constantes C y n. Se pide determinar para el caso de temperatura de placa constante y para el caso de flujo de calor constante; en el primer caso ha de cumplirse que n % k y en el segundo que n %
k. SOLUCIN DEL PROBLEMA
a) Caso de n % k y u?
% 1 %: m" 1 $ :" m" e
Ae
A1 $ 1" ~ k " G Prm"
eA e $ ~ Pj RG Pr "Gm" eA e $ ~ Pej RG Pr G 3e G % G,
Es decir, % xG x
x G
Recordatorio: "Gm" eIGeA , ~ Pej RG Pr e b) Caso de n %
k y n u?
n %: k n "$ %: "$ k k n "$ ~ Pk " RG Pr k
k 1 km"
eA
1 n$ ~ Pk RG Pr ""G m"
eA
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 65 -
1 12 n $ ~ Pk RG G Pr n $ ~ Pk RG Pr
12 n$ e
12 n% 12
k n% 12 n 2 % .
k % 2 %
Es decir: % 2 % x
x 2 Recordatorio:
x:3 :, ~ P:j RG ?: , ::I m" eA :6IG Ae e6IG G e6eI
Transmisin de Calor Ejercicios resueltos
Universidad Pblica de Navarra - 66 -
SEPTIEMBRE 2005 ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Un sistema de calefaccin impulsa
aire caliente por un conducto a 60C y con una velocidad de 4 m/s. El conducto mide 12 metros de largo, su seccin es de 20x20 cm y est formado por una chapa metlica de resistencia trmica despreciable. La superficie exterior del conducto tiene una emisividad de 0.3 y est expuesto al aire del stano a una temperatura de 10C, siendo el coeficiente de conveccin exterior de 10 456-. Determinar la temperatura de salida del aire caliente y la potencia trmica perdida. SOLUCIN DEL PROBLEMA
Hiptesis de partida 1.- Condiciones de flujo estable. 2.- El interior del conducto de las superficies son lisas. 3.- La resistencia trmica del conducto es insignifi
Top Related