INTEGRALES DE LINEA TRABAJO EXPOSITIVO DE CALCULO III

Integrales de lineaEn matemtica , una integral de lnea (a veces llamado un camino integral, integral de contorno o curva integral, no debe confundirse con el clculo de la longitud del arco mediante la integracin ) es una integral donde la funcin a integrar es evaluada a lo largo de una curva . The function to be integrated may be a scalar field or a vector field . La funcin a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial . The value of the line integral is the sum of values of the field at all points on the curve, weighted by some scalar function on the curve (commonly arc length or, for a vector field, the scalar product of the vector field with a differential vector in the curve). El valor de la integral de lnea es la suma de los valores del campo en todos los puntos de la curva, ponderado por una cierta funcin escalar de la curva (normalmente la longitud del arco o, para un campo de vectores, el producto escalar del campo vectorial con un diferencial vector en la curva). This weighing distinguishes the line integral from simpler integrals defined on intervals . Este peso se distingue la lnea integral de simple integrales definidas en intervalos . Many simple formulae in physics (for example , W = F s ) have natural continuous analogs in terms of line integrals ( W = C F d s ). Muchas frmulas simples de la fsica (por ejemplo , W = F s) tienen anlogos naturales continua en trminos de integrales de lnea (W = C F s d). The line integral finds the work done on an object moving through an electric or gravitational field, for example. La integral de lnea encuentra el trabajo realizado sobre un objeto en movimiento a travs de un campo gravitacional o elctrica, por ejemplo. Clculo vectorial In qualitative terms, a line integral in vector calculus can be thought of as a measure of the total effect of a given field along a given curve. En trminos cualitativos, una lnea integral en clculo vectorial se puede considerar como una medida del efecto total de un determinado campo a lo largo de una curva dada. More specifically, the line integral over a scalar field can be interpreted as the area under the field carved out by a particular curve. Ms concretamente, la integral de lnea sobre un campo escalar se puede interpretar como el rea bajo el campo labrado por una curva en particular. This can be visualised as the surface created by z = f ( x , y ) and a curve C in the x - y plane. Esto puede ser visualizado como la superficie creada por z = f (x, y) y una curva C en el x - y plano. The line integral of f would be the area of the "curtain" created when the points of the surface that are directly over C are carved out. La lnea integral de f sera el rea de la "cortina", creado cuando los puntos de la superficie que estn directamente sobre C estn esculpidas a cabo. [ edit ] DefinitionDefinicin For some scalar field f : U R n R , the line integral along a piecewise smooth curve C U is defined as Para algunas campo escalar f: U R n R, la integral de lnea a lo largo de una suave por partes curva C U se define como

where r : [a, b] C is an arbitrary bijective parametrization of the curve C such that r ( a ) and r ( b ) give the endpoints of C . donde r: [a, b] C es una arbitraria biyectiva parametrizacin de la curva C de tal manera que r (a) y r (b) dar los puntos finales de C. The function f is called the integrand, the curve C is the domain of integration, and the symbol ds may be intuitively interpreted as an elementary arc length . La funcin f se llama el integrando, la curva C es el dominio de la integracin, y la ds smbolo puede ser interpretado como una forma intuitiva primaria longitud del arco . Line integrals of scalar fields over a curve C do not depend on the chosen parametrization r of C . integrales de lnea de campos escalares sobre una curva C no dependen de la parametrizacin r elegido de C. [ edit ] Derivation Derivacin For a line integral over a scalar field, the integral can be constructed from a Riemann sum using the above definitions of f , C and a parametrization r of C . Para una lnea integral sobre un campo escalar, la integral se puede construir a partir de una suma de Riemann con las definiciones anteriores de F, C y un r parametrizacin de C. This can be done by partitioning the interval [ a , b ] into n sub-intervals [ t i -1 , t i ] of length t = ( b a )/ n , then r ( t i ) denotes some point, call it a sample point, on the curve C . Esto puede hacerse dividiendo el intervalo [a, b] en n t i] sub-intervalos [t i-1, de t = longitud (b - a) / n, entonces r (t i) denota un cierto punto, llamar a un punto de la muestra, en la curva C. We can use the set of sample points { r ( t i ): 1 i n} to approximate the curve C by a polygonal path by introducing a straight line piece between each of the sample points r ( t i -1 ) and r ( t i ). Podemos utilizar el conjunto de puntos de muestreo {r (t i): 1 i n} a la aproximacin de la curva C por un camino poligonal mediante la introduccin de una pieza lnea recta entre cada uno de los puntos R de la muestra (t i-1) y r (t i). We then label the distance between each of the sample points on the curve as s i . A continuacin, la etiqueta de la distancia entre cada uno de los puntos de muestreo en la curva como s i . The product of f ( r ( t i )) and s i can be associated with the signed area of a rectangle with a height and width of f ( r ( t i )) and s i respectively. El producto de f (r (t i)) y s i se puede asociar con el rea de firma de un rectngulo con una altura y anchura de f (r (t i)) y s i , respectivamente. Taking the limit of the sum of the terms as the length of the partitions approaches zero gives us Tomando el lmite de la suma de los trminos que la longitud de las particiones se aproxima a cero nos da

We note that the distance between subsequent points on the curve, is Tomamos nota de que la distancia entre los puntos posteriores de la curva, es

Substituting this in to our above Riemann sum yields Sustituyendo esto en nuestro rendimientos superiores a la suma de Riemann

which is the Riemann sum for the integral que es la suma de Riemann para la integral

Lnea integral de un campo vectorial [ edit ] DefinitionDefinicin For a vector field F : U R n R n , the line integral along a piecewise smooth curve C U , in the direction of r , is defined as Para un campo vectorial F: U R n R n, la integral de lnea a lo largo de una suave por partes curva C U, en la direccin de r, se define como

where is the dot product and r : [a, b] C is a bijective parametrization of the curve C such that r ( a ) and r ( b ) give the endpoints of C . donde es el producto escalar y r: [a, b] C es una biyectiva parametrizacin de la curva C de tal manera que r (a) y r (b) dar los puntos finales de C. A line integral of a scalar field is thus a line integral of a vector field where the vectors are always tangential to the line. Una lnea integral de un campo escalar es, pues, una lnea integral de un campo de vectores en los vectores son siempre tangenciales a la lnea. Line integrals of vector fields are independent of the parametrization r in absolute value , but they do depend on its orientation . integrales de lnea de campos vectoriales son independientes de la parametrizacin r en valor absoluto , pero s depende de su orientacin . Specifically, a reversal in the orientation of the parametrization changes the sign of the line integral. En concreto, un cambio en la orientacin de la parametrizacin cambia el signo de la integral de lnea.

The trajectory of a particle along a curve inside a vector field.La trayectoria de una partcula a lo largo de una curva dentro de un campo vectorial. At the bottom are the vectors of the field seen by the particle as it travels along the curve. En la parte inferior son los vectores del campo de vista por la partcula a medida que viaja a lo largo de la curva. The sum of the dot products of these vectors with the tangent vector of the curve at each point of the trajectory results in the line integral. La suma de los puntos productos de estos vectores con el vector tangente de la curva en cada punto de la trayectoria de resultados en la integral de lnea. The line integral of a vector field can be derived in a very similar manner as in the case of a scalar field. La integral de lnea de un campo vectorial se puede derivar de una manera muy similar como en el caso de un campo escalar. Again using the above definitions of F , C and its parametrization r ( t ), we construct the integral from a Riemann sum . Una vez ms usando las definiciones anteriores de F, C y su parametrizacin r (t), se construye la integral de una suma de Riemann . Partition the interval [ a , b ] into n intervals of length t = ( b a )/ n . Particin del intervalo [a, b] en n intervalos de t = longitud (b - a) / n. Letting t i be the i th point on [ a , b ], then r ( t i ) gives us the position of the i th point on the curve. Dejar que t voy a ser el da el punto i en [a, b], entonces r (t i) nos da la posicin de los siglos el punto i en la curva. However, instead of calculating up the distances between subsequent points, we need to calculate their displacement vectors, s i . Sin embargo, en lugar de calcular la distancia entre los puntos siguientes, tenemos que calcular su desplazamiento vectores, s i . As before, evaluating F at all the points on the radiation curve and taking the dot product with each displacement vector which gives us the infinitesimal contribution of each partition of F on C . Como antes, la evaluacin de F en todos los puntos de la curva de radiacin y tomar el producto escalar con cada vector de desplazamiento que nos da la nfima contribucin de cada particin de F en C. Letting the size of the partitions go to zero gives us a sum Dejar que el tamao de las particiones a cero nos da una suma

We see that the displacement vector between adjacent points on the curve is Vemos que el vector de desplazamiento entre los puntos adyacentes de la curva es

Substituting this in to our above Riemann sum yields Sustituyendo esto en nuestro rendimientos superiores a la suma de Riemann

which is the Riemann sum for the integral defined above. que es la suma de Riemann para la integral definida anteriormente. [ edit ] Path independence [ editar ] Ruta de la independencia Main article: Gradient theorem Artculo principal: teorema de degradado If a vector field F is the gradient of a scalar field G (ie if F is conservative), that is, Si un campo vectorial F es el gradiente de un campo escalar G (es decir, si F es conservador), es decir,

then the derivative of the composition of G and r ( t ) is entonces la derivada de la composicin de G y r (t) es

which happens to be the integrand for the line integral of F on r ( t ). que pasa a ser el integrando de la integral de lnea de F sobre R (t). It follows that, given a path C , then De ello se deduce que, dada una va de acceso C, a continuacin,

In other words, the integral of F over C depends solely on the values of G in the points r ( b ) and r ( a ) and is thus independent of the path between them. En otras palabras, la integral de F sobre C depende solamente de los valores de G en el r puntos (b) y R (A) y por lo tanto independiente de la ruta de acceso entre ellos. For this reason, a line integral of a conservative vector field is called path independent . Por esta razn, una lnea integral de un campo vectorial conservadores se llama camino independiente. [ edit ] Applications Aplicaciones The line integral has many uses in physics. La integral de lnea tiene muchas aplicaciones en la fsica. For example, the work done on a particle traveling on a curve C inside a force field represented as a vector field F is the line integral of F on C . Por ejemplo, el trabajo realizado sobre una partcula que viaja en una curva C dentro de un campo de fuerza representado como un campo vectorial F es la integral de lnea de F sobre C.

Problemas resueltos1)Calcular la imtegral curvilnea , donde c es la cuarta parte del astroide y desde el punto (R,0) hasta el punto (R,0).Solucin La curva parametrizada es dado por:

2)Calcular la integral curvilnea a lo largo del circulo en sentido antihorario

Parametrizando la circunferencia se tiene:

Luego la curva C en forma parametrizada es dada por :

3)Calcular la integral curvilnea donde c es la lnea de interseccin de la esfera y del cilindro siendo recorrida en el proceso de integracin , en sentido contrario al de las agujas del reloj si se mira desde el origen de coordenadas.SolucinSea:

PROFESOR LEVA APAZA ANTENOR