CARÁTULA DE TRABAJO

¿POR QUÉ MENOS POR MENOS DA MAS? UNA MIRADA EN LA HISTORIA MATEMÁTICATítulo del trabajo

PITU2Pseudónimo de integrantes

    

MATEMÁTICASÁREA

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INVESTIGACIÓN DOCUMENTALMODALIDAD

0370372Folio de Inscripción

Dudas o sugerencias sobre este sistema: feriadelasciencias@cch.unam.mx © 2018 Escuela Nacional Colegio de Ciencias y Humanidades, Hecho en México, Comité Organizador 

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Cuando los números negativos aparecieron por primera vez,

provocaron el mismo horror que las monstruosidades "no naturales"

que más tarde serían los números "imaginarios".

E. T. Bell

Resumen

Desde la secundaria, cuando nuestros profesores de matemáticas empezaron a

explicarnos las operaciones con números enteros, nos dijeron que debíamos

“aprender” ciertas reglas para operar correctamente con estos números. Para ello

introdujeron la famosa ley de los signos, la cual debíamos repetir las veces que

fueran necesarias hasta memorizarla al igual que las tablas de multiplicar en la

primaria. El profesor mientras anotaba algunos signos en el pizarrón, iba diciendo

en voz alta “más por más, más; más por menos, menos; menos por más, menos;

y menos por menos, más”. Lo más curioso es que detrás de esta ley no había

explicación alguna, porque al final de cuentas, era una ley.

Justificar las tres primeras partes de esta ley no es complicado, pero la última

parte ya no es tan simple, ya que no hay ejemplos intuitivos que se puedan

emplear para ejemplificarla; sin embargo, consideramos que es posible dar un

argumento sólido al respecto y además, que este argumento sea accesible para

alumnos de nivel bachillerato, e incluso para alumnos de secundaria. Estamos

convencidos que al indagar en la historia de la matemática, podemos encontrar

información sobre cómo surge esta ley y por supuesto, como se puede justificar

que “menos por menos da más”.

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Introducción La idea de este proyecto inició en nuestra clase de matemáticas, cuando

empezamos a estudiar las operaciones con números enteros. El profesor comenzó

la clase preguntando ¿Se acuerdan de la ley de los signos? Y todo mundo

contestó que sí, luego preguntó ¿qué dice esta ley? Y nuevamente, hasta el último

del rincón la recitaba como los católicos el Padre Nuestro en una iglesia.

Posteriormente, el profesor sonriendo preguntó ¿saben porqué menos por menos

da más? Todos nos quedamos callados, nadie sabía la respuesta, sin embargo,

alguien se armó de valor y dijo “Así nos enseñaron en la secundaria”. Por lo que el

profesor dijo: Detrás de esta “ley” hay toda una historia y por supuesto, se puede

demostrar matemáticamente. Obviamente el profesor nos había dejado intrigado

con lo que había dicho, uno de nuestros compañeros preguntó ¿Y por qué menos

por menos da más, profesor? Con esta pregunta surgió toda una explicación por

parte del profesor, desde cómo surgió la necesidad de trabajar con los números

negativos y los intentos que hubo a lo largo de la historia sobre dar una

explicación de por qué menos por menos da más. Sin embargo, por el tiempo, el

profesor dejó que investigáramos el tema para discutirlo en una sesión posterior.

Gracias a la información que encontramos nos permitió desarrollar este proyecto.

Objetivo El objetivo de nuestro proyecto es realizar una investigación documental sobre

cómo surge y cómo se ha intentado justificar o demostrar la ley de los signos a lo

largo de la historia. Para que al final, se proponga una justificación que puedan

emplear los profesores de nivel bachillerato con sus alumnos en el salón de

clases, un argumento que sea accesible y además, que tenga un rigor adecuado

para los estudiantes.

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Hipótesis

La historia siempre será una fuente valiosa de información, por lo que

consideramos que a partir de la revisión de los trabajos realizados por

matemáticos a través de los años, podemos encontrar una forma de justificar la ley

de los signos, principalmente, por qué menos por menos da más.

Problema Cuando empezamos a trabajar con los números enteros en la secundaria o en el

bachillerato, vienen consigo muchas dificultades, la primera es al trabajar la suma,

ya que implica trabajar con números positivos y negativos. Por ejemplo, cuando

sumamos un número positivo y un negativo o cuando sumamos dos negativos. El

profesor hace la analogía con “lo que debes o pides prestado” a los números

negativos y “lo que tienes o abonas” a los números positivos. Así por ejemplo,

−10+ 3 = −7 porque si al principio tienes una deuda de 10 y luego abonas 3, al

final sigues debiendo 7, así que el resultado es −7. De igual manera, −15+−5 = −20, porque al principio debes 15 y luego pides prestados otros 5, así que

al final debes 20, por lo que el resultado es −20. De aquí surge la ley de que

“signos diferentes, se restan; y signos iguales, se suman…”. En algunos casos

también los profesores llegan a utilizar la recta numérica, si el número es positivo

se adelanta sobre la recta y si el número es negativo se retrocede, lo que permite

explicar adecuadamente la suma.

Ahora bien, cuando se aborda el tema de la multiplicación con números enteros, la

historia cambia, se parte con memorizar la ley de los signos sin ningún argumento

de por medio. Esto lleva como consecuencia que los alumnos tengan dificultades

para justificar estos resultados. De hecho, algunos profesores proporcionan reglas

nemotécnicas o analogías para que sus alumnos se aprendan la ley de los signos,

sin embargo, para muchos estudiantes estas analogías son consideradas como

argumentos o justificaciones, como por ejemplo:

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Los amigos de mis amigos son mis amigos

Los amigos de mis enemigos son mis enemigos

Los enemigos de mis amigos son mis enemigos

Y los enemigos de mis enemigos son mis amigos

De aquí surge la necesidad de investigar en la historia, cómo surgió la ley de los

signos, cómo se podría justificar y cuál sería una buena justificación que podrían

emplear los profesores de nivel bachillerato con sus estudiantes.

Actualmente, justificar los primeros casos de la ley de los signos no es complicado

(cuando los dos números son positivos o bien, que uno de ellos es positivo y otro

negativo), solamente hay que considerar a la multiplicación como la suma

simplificada, es decir, que 3 7 significa que hay que sumar tres veces 7, lo que

da como resultado 21, el cual es positivo. Así que más por más da más. De igual

forma, 3(−7) significa que hay que sumar tres veces −7, lo que da como resultado

−21. Así que más por menos da menos. Esto se aplica igual para cuando se tiene

(−3)(7). Incluso para estos ejemplos se puede usar la representación en la recta

numérica. En cambio, cuando tenemos por ejemplo (−3)(−7), ya no es tan simple

la explicación. David Mumford (2010) menciona que “una dificultad para

argumentar a favor de esta regla es que no hay muchos casos simples de

cantidades en el mundo donde las unidades de dos multiplicandos nos permitan

deducir la regla de multiplicación usando nuestra intuición física sobre el mundo”.

Esta última parte de la ley de los signos, explicarla representa un gran reto para la

mayoría de los estudiantes de bachillerato.

Desarrollo A continuación presentaremos una síntesis de la información que pudimos recabar

acerca de la llamada ley de los signos.

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Los antiguos griegos en realidad no abordaron el problema de los números

negativos, porque sus matemáticas se basaban en ideas geométricas (Rogers,

2008). Las longitudes, áreas y volúmenes resultantes de las construcciones

geométricas necesariamente tenían que ser todos positivos. Para ellos, el número

era un múltiplo de unidades (entero positivo) o una razón entre enteros positivos

(fracción) interpretada como una entidad geométrica. De acuerdo con Díaz

(2015), la imposibilidad de representar un número negativo mediante segmentos o

como razón entre dos cantidades, posiblemente, hizo que éstos, no fuesen

considerados como números.

De acuerdo con Gómez (2001), hay rastros de los negativos que se remontan al

período greco romano. No obstante, los números negativos no eran considerados

números al no tener sus raíces en las experiencias de contar y medir, es decir, al

no tener una referencia material o real. Según, Collete (1973), Diofanto (ca. 300

d.C.), en sus ecuaciones, a pesar de que aparece el símbolo de sustracción, una

solución negativa era impensable para él; por ejemplo, la ecuación 4 = 4! + 20

no tenía solución. Sin embargo, en su Libro I de Aritmética, presentó una idea

intuitiva, de lo que hoy se podría catalogar como la ley de los signos, ante la

necesidad de efectuar cálculos con diferencias:

Lo que es lo que falta multiplicado por lo que es lo que falta da lo

que es positivo; mientras que lo que es lo que falta multiplicado por

lo que es positivo, da lo que es lo que falta.

En las matemáticas chinas e hindúes también hay vestigios de los números

negativos, los primeros utilizaban varillas de cálculo negras y rojas para distinguir

entre negativo y positivo, y los segundos manejaban números negativos para

representar deudas, y el cero para la nada. Según Martzloff (1997), el libro Los

nueve capítulos de matemáticas de Jiuzhang Suanshu (edición china de Qian

Baocong) se menciona que “Varillas del mismo nombre multiplicadas por el otro da

positivo. Varillas de diferentes nombres multiplicadas entre sí da negativo”.

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De acuerdo con Collete (1973), uno de los matemáticos hindúes más grandes del

siglo VII fue Brahmagupta, quien a diferencia de Diofanto, contempló soluciones

generales de las ecuaciones cuadráticas, incluyendo raíces negativas y positivas;

además la aritmética de los números negativos y el cero. Sin embargo, Según

Collete (1973), Brahmagupta, en su aritmética, encuentra dificultades que no logra

dilucidar claramente cuando afirma:

Positivo dividido por positivo, o negativo dividido por negativo, es

positivo. Cero dividido por cero no es nada. Positivo dividido por

negativo es negativo. Negativo dividido por positivo es negativo…

(Collette, 1973, p. 188).

Según Bell (1985), la ley de los signos se generalizó en la India después de que

Mahavira la volvió a enunciar en el siglo IX. De acuerdo con Collete (1973), los

símbolos + y – para la adicción y la sustracción, respectivamente aparecieron por

primera vez en 1489, en el libro del alemán Johann Widman llamado Rechenung

auff allen Kauffmnaschafft. En este libro se utilizaban para indicar el exceso y la

deficiencia en las medidas de almacén.

Figura 1. Página del libro Rechenung auff allen Kauffmnaschafft,

donde aparecen por primera vez los símbolos de + y -.

Según Hofmann (1960), Michael Stifel en su libro Arithmetica integra de 1544,

sostiene que los números negativos son menores de cero, comprendiendo, por lo

tanto, perfectamente el sentido de estos números. Admite también coeficientes

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negativos para las ecuaciones, pero no como soluciones. Conocía bien las

propiedades de los números negativos, pero los llamó numeri absurdi.

El desarrollo del álgebra propició que los números negativos se les considerase

como raíces falsas de ecuaciones, por que según González y col. (1989), quizá el

término negativo provenga de esta época, ya que eran los valores negados

cuando se obtenían como raíces de una ecuación. Más tarde, en el siglo XVII

aparecieron las primeras interpretaciones geométricas: lo negativo como un

retroceso y lo positivo como un avance (González y col., 1989).

Regla de los signos sin justificar

Como podemos observar en la historia, cuando aparecen los números negativos

tanto Diofanto como Brahmagupta, tuvieron que establecer ciertas reglas que no

fueron explicadas con claridad, sino que simplemente se llegaron a enunciar, para

su aplicación. De manera equivalente esto sucede en la enseñanza a nivel

secundaria y a nivel bachillerato. Esto es algo bastante interesante, ya que

pareciera ser que la enseñanza no está del todo distanciada del desarrollo

histórico de las operaciones con los números negativos. Sin embargo, más tarde

se llegaron a realizar algunos intentos de justificación.

Intentos por justificar la ley de los signos

La justificación de Stevin (1625)

Ésta consiste en enunciar la regla y aplicarla a un ejemplo. Después se hace ver

que por otro camino se llega al mismo resultado.

Teorema:

Más multiplicado por más, da producto más; menos multiplicado

por menos, da producto más; más multiplicado por menos, o

menos multiplicado por más, da producto menos.

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Explicación.

Sea 8-5 multiplicado por 9-7, de esta manera: -7 veces -5 hacen

(+35), porque como dice el teorema - por - hace +. Después -7

veces 8 hace -56 (-56, porque como se dice en el teorema - por +

hace -). Y análogamente sea 8-5 multiplicado por el 9, dará como

productos 72-45. Después juntad +71+35, que son 107. Después

juntad los -56-45, que son 101. Y sustrayendo el 101 del 107, que

restan 6, se tiene el producto de la multiplicación dada. La

disposición de caracteres de la operación es esta:

Explicación de la regla

Hay que demostrar por lo enunciado que + multiplicado por + hace

+, que - por - hace +, que + por -, o - por +, hace -.

Demostración

El número a multiplicar, 8-5 vale 3, el multiplicador 9-7 vale 2. Pero

multiplicando 2 por 3 el producto es 6. Luego el producto de aquí

arriba también es 6, es el producto verdadero. Pero el mismo se ha

obtenido por multiplicación, aquella donde hemos dicho que +

multiplicado por + da producto +, - por - da producto +, + por -, o -

por + da producto -, luego el teorema es verdadero.

Conclusión

Luego más multiplicado por más, da producto más; menos

multiplicado por menos, da producto más; más multiplicado por

menos, o menos multiplicado por más, da producto menos, que era

lo que había que demostrar

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Lo que hace Stevin en esta explicación es que primero propone la ley de los

signos, luego toma un ejemplo, lo aplica y posteriormente por otro método, realiza

la misma operación. Al llegar al mismo resultado por los dos métodos, justifica que

la ley de los signos es correcta.

La justificación de Euler (1707-1783)

Euler en sus Elementos de Algebra de 1770 desarrolla una demostración de la ley

de los signos, en donde argumenta a partir de la interpretación de los negativos

como deudas, considera que la multiplicación de cantidades con signo es

conmutativa y razona por eliminación diciendo que −! por −! será !" ya que no

puede ser −!" que es lo que vale −! por !.

Comencemos por multiplicar −! por 3 o +3. Ahora puesto que −!

debe ser considerado como una deuda, es evidente que si

tomamos esa deuda tres veces, debe volverse tres veces más

grande, y consecuentemente el producto requerido es −3!. Por

eso si multiplicamos −! por +!, obtenemos −!", o, lo que es lo

mismo, −!". Luego concluimos, que si una cantidad positiva se

multiplica por una cantidad negativa, el producto debe ser negativo;

y la regla es que + por + hace +, y al contrario + por −, o − por +

da −. Queda por resolver el caso en que − se multiplica por −; o,

por ejemplo, −! por −!. Es evidente, a primera vista, mirando las

letras, que el producto será !"; pero es dudoso si debe ponerse

delante del producto el signo +, o el signo −; todo lo que sabemos

es que debe ser uno u otro de esos signos. Ahora digo que no

puede ser el signo − porque −! por +! da −!", y −! por −! no

puede producir el mismo resultado que −! por +!; sino que debe

producir el contrario, esto es, +!"; consecuentemente tenemos la

siguiente regla: multiplicar por − produce +, en la misma manera

que + multiplicado por +.

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El argumento que emplea Euler es muy similar al que nosotros

proporcionamos en la introducción, considerando la definición de

multiplicación como una suma simplificada.

La justificación de Laplace (1749-1827)

Laplace consideró la ley simplificada de los signos, pues consideró que: En

cuanto al signo del producto, debe ser positivo si los signos del

multiplicando y del multiplicador son los mismos, si son diferentes, el signo

del producto debe ser negativo.

Esta regla presenta algunas dificultades: cuesta concebir que el

producto de −! por −! sea el mismo que el de ! por !. Para hacer

sensible esta identidad, observaremos que el producto de −! por

+!, es −!", ya que este producto no es mas que −! repetido

tantas veces como unidades hay en !. En seguida observaremos

que el producto de −! por +! − ! es nulo, al ser nulo el

multiplicador; así siendo −!" el producto de −! por +!, el producto

de −! por −!, debe ser de un signo contrario, o igual a +!", para

destruirlo.

Este argumento nos pareció bastante interesante, aunque aquí Laplace

está usando la propiedad distributiva de los números reales. Este

argumento podría emplearse en el salón de clases, ya que no es

complicada.

La justificación de Cauchy (1789-1857)

Cauchy en su libro Curso de Análisis de 1821, establece:

Si se representa por ! ya sea un número, ya sea una cantidad

cualquiera y se hace ! = +! ; ! = −! , se tendrá: +! = +! ,

+! = −!, −! = −!, −! = +!. Si en las cuatro últimas ecuaciones

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se sustituye ! y ! por sus valores entre paréntesis, se tendrán las

fórmulas: +(+!) = +!, +(−!) = −!, −(+!) = −!, −(−!) = +!.

En cada una de estas fórmulas el signo del segundo miembro es lo

que llamamos producto de los dos signos del primero. Multiplicar

uno por otro dos signos, es formar su producto. La inspección de

las ecuaciones anteriores es suficiente para establecer la regla de

los signos, comprendida en el teorema que voy a enunciar.

Teorema.

El producto de dos signos semejantes es siempre +, y el producto

de dos signos opuestos es siempre −.

Lo que observamos en el argumento de Cauchy es que al igual que Laplace,

escribe una versión simplificada de la ley de los signos. Esta forma de enunciar la

ley de los signos también es común escucharla de profesores de matemáticas.

La justificación de Klein (1908)

Félix Klein, en Matemática elemental desde un punto de vista superior de 1908,

presenta dos forma de justificar porqué menos por menos da más. Para presentar

su argumento, recurre a la geometría:

Prueba 1.

1) Sean ! > ! y ! > !, donde !, !, ! son positivos. Entonces !‑!

es un número positivo y es más pequeño que !; es decir, el número

!‑(! − !) debe ser positivo. Si representemos los números sobre el

eje de abscisas veremos que el segmento entre ! y !, tiene la

longitud !‑!. Un vistazo a la figura adjunta muestra que si restamos

a ! el segmento !‑! se obtiene lo mismo que si primero hubiéramos

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quitado completo el segmento ! y luego agregásemos la parte !; es

decir:

!‑(!‑!) = !‑! + ! (1) Prueba 2.

Sea ! > ! y ! > ! ; en cuyo caso también ! − ! y ! − ! son

números enteros positivos. Veamos qué ocurre con el producto

(! − !)(! − !). Para ello tracemos un rectángulo de lados ! − ! y

! − ! , cuya área es el número (! − !)(! − !) buscado; este

rectángulo es una parte del de lados ! y !.

Para obtener aquél partiendo de éste, quitaremos el rectángulo

superior que aparece rayado horizontalmente y vale !"; después el

rectángulo de la derecha de rayado vertical !"; estos dos tienen

uno en común; el rectángulo !", que, por consiguiente, aparece

quitado dos veces, de modo que habrá de ser agregado una para

obtener el (!")(! − !), con lo cual queda demostrada la fórmula

! − ! ! − ! = !" − !" − !" + !" (2)

Si, por ejemplo, en la fórmula (2), hacemos ! = ! = 0, caso en que

la fórmula no está demostrada, se obtiene (−!)(−!) = +!" , es

decir, la regla de los signos de la multiplicación de números

negativos.

Esta última justificación es la que se nos hace una buena alternativa para explicar

a los estudiantes de nivel bachillerato, ya que además de sencilla es muy visual.

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Justificación de Crowley y Dunn (1985)

Crowley y Dunn en su libro Mathematics Teacher de 1985 recogen varias

justificaciones de porqué menos por menos da más. Una de ellas es una

alternativa a la demostración de Laplace con un carácter más formal.

−1 −1 = −1 −1 + 0 1 = −1 −1 + −1+ 1 1

= −1 −1 + −1 1 + 1 1

= −1 −1+ 1 + 1 1 = −1 0 + 1 1 = 1 1

En esta demostración los autores hacen uso del elemento neutro (aditivo y

multiplicativo) y la propiedad distributiva de los números reales.

Conclusiones

Como hemos observado en la historia, la ley de los signos surgió con la aparición

de los números negativos. Los cuales al igual que los números imaginarios, no

surgieron de casos prácticos ni de ejemplos reales sino como soluciones de

ecuaciones. Por lo tanto, al no representar una magnitud se consideraron como

absurdos o raíces falsas (negados).

La historia nos enseña que como los números negativos surgieron al resolver

ecuaciones, no lo veían como algo intuitivo. Tanto Diofanto como Brahmagupta

tuvieron que establecer algunas reglas que permitieran darle un significado o por

lo menos, trabajar con ellos. Sin embargo, a pesar de la dificultad que implicaba la

concepción de los números negativos, fueron cada vez más reconocidos en los

siglos XVI y XVII y llegaron a obtener una aceptación cada vez más general

porque se justificaban por su utilidad.

Esto fue un gran logro en las matemáticas, sin embargo, en la educación básica

sigue persistiendo el obstáculo, la mayoría de los estudiantes de nivel secundaria

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o bachillerato, incluso, podríamos afirmar que algunos estudiantes de nivel

superior pueden tener dificultades para justificar la ley de los signos, en especial la

de por qué menos por menos da más. Esto se debe principalmente a que los

profesores no proporcionan un argumento a sus estudiantes sino que solamente

se enfocan a que los alumnos lo “aprendan” de memoria y que lo sepan aplicar.

En nuestra opinión, pensamos que la justificación de Laplace o la de Klein pueden

ser una excelente forma de explicar a los estudiantes de bachillerato el porqué

menos por menos da más. Los otros casos se pueden justificar fácilmente

considerando la multiplicación como una suma simplificada. Por lo tanto,

existiendo una forma tan simple que nos permite explicar porqué menos por

menos da más, es sorprendente que una gran cantidad de alumnos no puedan

explicarla. Tal vez es comprensible que la demostración formal no esté al alcance

de muchos alumnos, sin embargo, no así la demostración geométrica

proporcionada por Félix Klein o la de Laplace.

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