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Programa de certificación de Black Belts
V. Seis Sigma – Medición Parte B
P. Reyes / Abril 2010
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V. Seis Sigma - MediciónD. Estadística básica
1. Términos básicos2. Teorema del límite central3. Estadística descriptiva
Medidas de tendencia central Medidas de dispersión Funciones de densidad de probabilidad Distribuciones de frecuencia y Funciones acumulativas de distribución
4. Métodos gráficos5. Conclusiones estadísticas válidas
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V. Seis Sigma - MediciónE. Probabilidad
1. Distribuciones de probabilidad2. Distribuciones de probabilidad discretas
Hipergeométrica, Binomial, Poisson3. Distribución normal4. Distribuciones muestrales
Chi Cuadrada, t de Student, F
5. Otras Distribuciones de probabilidadBivariada, Exponencial, Lognormal, Weibull
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V. Seis Sigma - MediciónF. Capacidad de procesos
1. Índices de capacidad de procesos2. Índices de desempeño de procesos
3. Capacidad a corto y a largo plazo4. Capacidad de proceso de datos no normales
5. Capacidad de proceso para datos por atributos
6. Capacidad de procesos bajo Seis Sigma
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V.D Estadística básica
6
V.D Estadística básica1. Términos básicos
2. Teorema del límite central
3. Estadística descriptiva
4. Métodos gráficos
5. Conclusiones estadísticas válidas
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V.D.1 Términos básicos
“La estadística descriptiva nos proporciona métodos para organizar y resumir información, la estadística inferencial se usa para obtener conclusiones a partir de una muestra”
Por ejemplo, sí deseamos saber el promedio de peso de las personas en una población tenemos dos opciones:
Pesar a todas y cada una de las personas, anotar y organizar los datos, y calcular la media.
Pesar solo una porción o subconjunto de la población (muestra). Registrar y organizar los datos y calcular la media de la muestra, tomándola para pronosticar o Inferir la media de toda la población.
Estadística
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Población y muestra
Población: Es la colección de todos los elementos (piezas, personas, etc.). En nuestro caso sería un número infinito de mediciones de la característica del proceso bajo estudio.
Muestra: Es una parte o subconjunto representativo de la población, o sea un grupo de mediciones de las características.
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Estadísticos y parámetros
Estadístico: Es una medición tomada en una muestra que sirve para hacer inferencias en relación con una población (media de la muestra, desviación estándar de la muestra se indican con letras latinas X, s, p).
Normalmente es una variable aleatoria y tiene asociada una distribución.
Parámetro: Es el valor verdadero en una población (media, desviación estándar, se indican con letras griegas , , )
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Tipos de datos
Distribución continua Una distribución con un número infinito de puntos de datos (variables) que pueden mostrarse en una escala de medición continua. Por ejemplo: Distribuciones normal, uniforme, exponencial y Webull
Distribución discreta: Una distribución que resulta de datos contables (discretos) con un número finito de valores posibles. Por ejemplo: Distribuciones binomial, Poisson, hipergeométrica.
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V.D.2 Teorema del límite central
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Teorema del límite central La distribución de las medias de las muestras
tiende a la normalidad independientemente de la forma de la distribución poblacional de la que sean obtenidas. Es la base de las cartas de control X-R.
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Teorema del límite central Por lo anterior la dispersión de las medias es
menor que para los datos individuales
Para las medias muestrales, el error estándar de la media se relaciona con la desviación estándar de la población como sigue:
XXs n
Aplicación del teorema del límite central
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16
Teorema del Límite Central La distribución de las medias de las muestras tienden a
distribuirse en forma normal
Por ejemplo los 300 datos (cuyo valor se encuentra entre 1 a 9) pueden estar distribuidos como sigue:
0
10
20
30
40
50
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Frec.
Población con media y desviación estándar y cualquier distribución.
Seleccionando muestras de tamaño n y calculando la X-media o promedio en cada una
X-media 1 X-media 2 X-media 3Conforme el tamaño de muestra se incrementa las muestras se distribuyen normalmente con media de medias y desviación estándar de las medias de las muestras / n. También
se denomina Error estándar de la media.
Teorema del Límite Central
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La distribución de las medias de las muestras tienden a distribuirse en forma normal
Tomando de muestras de 10 datos, calculando su promedio y graficando estos promedios se tiene:
0
2
4
6
8
10
3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
Frec.
Teorema del Límite Central
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DEFINICIONEs una ayuda gráfica para el control de las variaciones de
los procesos administrativos y de manufactura.
CausaespecialCausas
normales ocomunes
Cartas de Control
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Variación observada en una Carta de Control
Una Carta de control es simplemente un registro de datos en el tiempo con límites de control superior e inferior, diferentes a los límites de especificación.
El patrón normal de un proceso se llama causas de variación comunes.
El patrón anormal debido a eventos especiales se llama causa especial de variación.
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Variación – Causas comunes
Límiteinf. deespecs.
Límitesup. deespecs.
Objetivo
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Variación – Causas especialesLímiteinf. deespecs.
Límitesup. deespecs.
Objetivo
“Escuche la Voz del Proceso” Región de control, captura la variaciónnatural del proceso
original
Causa Especialidentifcada
El proceso ha cambiado
TIEMPO
Tendencia del proceso
LSC
LIC
Aplicación en la carta de controlMEDIDAS
CALIDAD
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Corridas 7 puntos consecutivos de un lado de X-media.
Puntos fuera de control 1 punto fuera de los límites de control a 3 sigmas en cualquier dirección (arriba o abajo).
Tendencia ascendente o descendente 7 puntos consecutivos aumentando o disminuyendo.
Adhesión a la media15 puntos consecutivos dentro de la banda de 1 sigma del centro.
Otros2 de 3 puntos fuera de los límites a dos sigma
Patrones Fuera de Control
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Proceso en Control estadístico
Sucede cuando no se tienen situaciones anormales y aproximadamente el 68% (dos tercios) de los puntos de la carta se encuentran dentro del 1 de las medias en la carta de control.
Lo anterior equivale a tener el 68% de los puntos dentro del tercio medio de la carta de control.
Patrón de Carta en Control Estadístico
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Aplicación en Intervalos de confianza
Intervalo de confianza para la media: A) Sigma conocida y n>30 (n es tamaño de
muestra)
B) Sigma desconocida y n<30, los grados de libertad son gl = n-1.
2
2
X Zn
X tn
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Aplicación en Intervalos de confianza
Intervalo de confianza para proporciones y varianza: Para proporciones, p es la proporción y n>30
Para la varianza
2
(1 )p pp Zn
2 22
2 2
, 1 1 , 12 2
( 1) ( 1)
n n
n s n s
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V.D.3 Estadística descriptiva
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No existen en la naturalezados cosas exactamente iguales,
ni siquiera los gemelos, por tanto la variación es inevitable y es analizada por la Estadística
Estadística Descriptiva
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Estadística descriptiva La estadística descriptiva incluye:
Medidas de tendencia central
Medidas de dispersión
Funciones de densidad de probabilidad
Distribuciones de frecuencia y
Funciones acumulativas de distribución
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Estadística descriptiva Medidas de tendencia central
Representan las diferentes formas de caracterizar el valor central de un conjunto de datos
Media muestral poblacional
nxix
nxi
Ejemplo 1: En un equipo de fútbol, una muestra de estaturas de sus integrantes son las siguientes: 1.70,1.79,1.73,1.67,1.60,1.65,1.79,1.84,1.67,1.82, 1.74. Calcule la media.
73.11119
nxix
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Estadística descriptiva Medidas de tendencia central
Mediana: es el valor medio cuando los datos se arreglan en orden ascendente o descendente, en el caso de n par, la mediana es la media entre los valores intermedios
Ejemplo 2: Para el ejemplo anterior cual es la mediana? Ordenando los datos de mayor a menor se obtiene: 1.60,1.65,1.67,1.67,1.70,1.73,1.74,1.79,1.79,1.82,1.84; como tenemos 11 datos el número es non por lo que (n+1)/2 = 12/2 = 6, buscando el número que ocupa la sexta posición en los datos ordenados encontramos el valor de la mediana
73.1~ x
2
122~
nnX
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Estadística descriptiva Medidas de tendencia central
Moda: Valor que más se repite, puede haber más de una
Media acotada (Truncated Mean): Se elimina cierto porcentaje de los valores más altos y bajos de un conjunto dado de datos (tomando números enteros), para los valores restantes se calcula la media.
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Estadística descriptiva Medidas de tendencia central
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Estadística descriptiva
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Estadística descriptiva Medidas de dispersión:
Rango: Es el valor mayor menos el valor menor de un conjunto de datos
Por ejemplo para el conjunto de datos siguiente: 2.0,2.1,2.4,2.5,2.6,2.8,2.9,2.9,3.0,3.1,3.6,3.8,4.0,4.0 Su rango es R = 4.0 – 2.0 = 2.0
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Estadística descriptiva Medidas de dispersión:
Varianza: es el promedio de las desviaciones al cuadrado respecto a la media (n para población y n-1 para muestra para eliminar el sesgo)
nxxi 2
2 )(
1)( 2
2
nxxis
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Estadística descriptiva Medidas de dispersión:
Coeficiente de variación: es igual a la desviación estándar dividida por la media y se expresa en porcentaje
)100(var..
XsCViacióndeeCoeficient
Por ejemplo si la media de tiempos de espera es de 78.7 y su desviación estándar es 12.14, el CVt:
%05.12)100(7.78
14.12tCV
Por otra parte si la media de salarios es de 10 y su desviación estándar de 2, el CVs de salarios es:
%20)100(102
sCV
Por tanto la dispersión de los salarios es mayor que la de los tiempos de espera, es posible comparar estas dispersiones con el CV aunque los dos conjuntos de datos sean completamente disímbolos.
Rango: Valor Mayor – Valor menor
Coeficiente de variación: (Desv. Estándar / Media )*100%,Se usa para comparar datos en diferentes niveles de media o
tipo. Por ejemplo:
Material No. de Media Desviación Coeficiente Observaciones Aritmética Estándar de Variación
n s Srel A 160 1100 225 0,204 B 150 800 200 0,250
El Material A tiene una menor variabilidad relativa relativa que el material B
Error estándar de la Media: Es la desviación estándar de las medias de las muestras de mediciones, se representa como la desviación estándar de la población entre la raíz de n = número de mediciones por muestra.
Medidas de Dispersión- Rango, CV
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Estadística descriptiva Función de densidad de probabilidad
El área bajo la curva de densidad de probabilidad a la izquierda de un valor dado x, es igual a la probabilidad de la variable aleatoria en el eje x para X<= x
Para distribuciones continuas
Para distribuciones discretas
1)()( xdxf
n
xf0
1)(
41
Estadística descriptiva Función de
densidad de probabilidad
42
Estadística descriptiva Función de distribución acumulada
xtdtfxF )()()(
Función de
densidad
Función dedistribución acumulada
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V.D.4 Métodos gráficos
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Métodos gráficos Se incluyen los métodos siguientes:
Diagramas de caja Diagramas de tallo y hojas Diagramas de dispersión
Análisis de patrones y tendencias
Histogramas Distribuciones de probabilidad normales Distribuciones de Weibull
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Diagrama de cajaPERCENTILES, DECILES Y QUARTILES Cada conjunto de datos ordenado tiene tres cuartiles que lo
dividen en cuatro partes iguales.
El primer cuartil es ese valor debajo del cual clasifica el 25% de las observaciones y sobre el cual se encuentra el 75% restante.
El segundo cuartil divide a los datos a la mitad similar a la mediana.
El tercer cuartil es el valor debajo del cual se encuentra el 75% de las observaciones.
Los deciles separan un conjunto de datos ordenado en 10 subconjuntos iguales y los percentiles en 100 partes
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Diagrama de cajaPERCENTILES, DECILES Y QUARTILES La ubicación de un percentil se encuentra en:
Donde:Lp es el sitio del percentil deseado en una serie ordenadan es el número de observacionesP es el percentil deseado
100
)1( PnLp
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Diagrama de caja Por ejemplo para los datos siguientes:
3 10 19 27 34 38 48 56 67 74
4 12 20 29 34 39 48 59 67 74
7 14 21 31 36 43 52 62 69 76
9 15 25 31 37 45 53 63 72 79
10 17 27 34 38 47 56 64 73 80
Diagrama de cajaLa localización del percentil 35 se halla en:
O sea que el percentil 35 está al 85% del trayecto comprendido entre la observación 17 que es 29 y la observación 18 que es 31 o sea L35 = 29 + (0.85)(31-29) = 30.7. Por tanto el 35% de las observaciones están por debajo de 30.7 y el 65% restante por encima de 30.7.
De la misma forma los percentiles 25, 50 y 75 proporcionan la localización de los cuartiles Q1, Q2 y Q3 respectivamente.
Q1: es el número que representa al percentil 25
Q2 o Mediana: es el número que representa al percentil 50
Q3: es el número que representa al percentil 75 (hay 75% de los datos por debajo de este).
Rango o Recorrido intercuartílico: es la diferencia entre Q1 y Q3.
85.17
10035)150(35 L
DEFINICION: Es una ayuda gráfica para ver la variabilidad de los datos.
• Permite identificar la distribución de los datos, muestra la mediana, bases y extremos.
• Mediana = dato intermedio entre un grupo de datos ordenados en forma ascendente
Mediana
Valormínimo
Valormáximo
Primer cuartil Tercer cuartil
Gráficas de caja
50
Métodos gráficos Diagramas de caja
Representan un resumen de los datos. La línea media es la mediana, los lados son el primer y tercer cuartil. El máximo y el mínimo se dibuja como puntos al final de las líneas (bigotes)
51
Métodos gráficos Diagramas de tallo y hojas
El diagrama consiste del agrupamiento de los datos por intervalos de clase, como tallos y los incrementos de datos más pequeños como hojas.
HojasTallos
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Métodos gráficos Diagramas de dispersión
Es una gráfica de muchos puntos coordenados X-Y que representan la relación entre dos variables. También se denomina carta de correlación. Se puede tomar la variable dependiente para el eje Y y la dependiente en el eje X.
La correlación tiene las siguientes fuentes: Una relación de causa efecto Una relación entre dos causas Una relación entre una causa y dos o más causas
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Métodos gráficos Diagramas de dispersión
Positiva débil Positiva fuerte Sin correlación
Negativa fuerte
Relaciones no lineales
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Métodos gráficos Coeficiente de correlación
El coeficiente de correlación “r” determina el grado de asociación entre dos variables X y Y
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Métodos gráficos Análisis de correlación
Busca descubrir relaciones, aplicar el sentido común
La línea de “mejor ajuste” es la línea de regresión, sin embargo un análisis visual debiera ser suficiente para identificar si hay o no hay relación
Los diagramas de dispersión deben ser analizados antes de tomar decisiones sobre correlación estadística
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Métodos gráficos Análisis de patrones y tendencias
Para visualizar el comportamiento de los datos en el tiempo
Tendencia creciente
Tendencia decrecienteCorrida de proceso
Valores anormales Ciclos Variabilidad creciente
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Métodos gráficos Análisis de patrones y tendencias
Para visualizar el comportamiento de los datos en el tiempo Tendencia
creciente
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Histogramas
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Métodos gráficos Histogramas
Son gráficas de columnas de frecuencia que muestran una imagen estática del comportamiento del proceso y requieren un mínimo de 50 a 100 puntos
La frecuencia en cada barra o intervalo es el número de puntos que caen dentro de ese intervalo
Un proceso estable muestra un histograma con forma de campana unimodal, es predecible
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Métodos gráficos Histogramas
Un proceso inestable muestra un histograma que no tiene una forma acampanada. Sin embargo los procesos que siguen una distribución exponencial, lognormal, gamma, beta, Weibull, Poisson, binomial, hipergeométrica, geométrica, etc. existen como procesos estables
Cuando la distribución es acampanada, la variación alrededor de la media es aleatoria, otras variaciones son debidas a causas especiales o asignables.
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DEFINICION Un Histograma es la organización de un número de
datos muestra que nos permite visualizar al proceso de manera objetiva.
Permite ver la distribución que tienen los procesos de manufactura y administrativos vs. especificaciones
Permiten ver la frecuencia con la que ocurren las cosas.
La variabilidad del proceso se representa por el ancho del histograma, se mide en desviaciones estándar o .Un rango de ± 3 cubre el 99.73%.
Métodos gráficos
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Histograma de Frecuencia
En un proceso estable las mediciones se distribuyen normalmente, a la derecha y a la izquierda de la media adoptando la forma de una campana.
TAMAÑO TAMAÑO
TAMAÑO TAMAÑO
TAMAÑO
MEDICIONES
Media
MEDICIONES
DEFINICION Un Histograma es la organización de un número de datos
muestra que nos permite visualizar al proceso de manera objetiva.
• Permite ver la distribución de la frecuencia con la que ocurren las cosas en los procesos de manufactura y administrativos.
• La variabilidad del proceso se representa por el ancho del histograma, se mide en desviaciones estándar o , ± 3 cubre el 99.73%.
LSELIE
Histograma de Frecuencia
Las distribuciones pueden variar en:
POSICIÓN AMPLITUD FORMA
… O TENER CUALQUIER COMBINACION
Ejemplos de histogramas:
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Histogramas con Datos agrupadosEl Histograma es una gráfica de las frecuencias que presenta los diferentes datos o valores de mediciones agrupados en celdas y su frecuencia.
Una tabla de frecuencias lista las categorías o clases de valores con sus frecuencias correspondientes, por ejemplo:
CLASE FRECUENCIA1-5 76-10 1211-15 1916-20 1621-25 826-30 4
Definiciones - datos agrupadosLímite inferior y superior de clase Son los numeros más pequeños y más grandes de las clases (del ejemplo, 1 y 5; 6 y 10; 11 y 15; 16 y 20; 21 y 25; 26 y 30)
Marcas de claseSon los puntos medios de las clases (del ejemplo 3, 8, 13, 18, 23 y 28)
Fronteras de clase Se obtienen al incrementar los límites superiores de clase y al decrementar los inferiores en una cantidad igual a la media de la diferencia entre un límite superior de clase y el siguiente límite inferior de clase (en el ejemplo, las fronteras de clase son 0.5, 5.5, 10.5, 15.5, 20.5, 25.5 y 30.5)
Ancho de claseEs la diferencia entre dos límites de clase inferiores consecutivas(en el ejemplo, es 5).
Construcción del histograma - datos agrupadosPaso 1. Contar los datos (N)Paso 2. Calcular el rango de los datos R = (Valor mayor- valor menor)
Paso 3. Seleccionar el número de columnas o celdas del histograma (K). Como referencia si N = 1 a 50, K = 5 a 7; si N = 51 - 100; K = 6 - 10. También se utiliza el criterio K = Raíz (N)
Paso 4. Dividir el rango por K para obtener el ancho de clase
Paso 5. Identificar el límite inferior de clase más conveniente y sumarle el ancho de clase para formar todas las celdas necesarias
Paso 6. Tabular los datos dentro de las celdas de clasePaso 7. Graficar el histograma y observar si tiene una forma normal
Ejemplo: Datos para histogramaDatos:
19 21 25 33 30 27 31 25 35
37 44 43 42 39 43 40 38 37
36 42 41 44 32 45 46 47 45
54 52 50 48 49 47 48 49 47
52 51 50 49 58 59 61 62 63
59 61 66 76 70
Ejemplo: Construcción del histograma
Paso 1. Número de datos N = 50
Paso 2. Rango R = 76 - 16 = 60
Paso 3. Número de celdas K = 6;
Paso 4. Ancho de clase = 60 / 6 = 10
Paso 5. Lím. de clase: 15-24, 25- 34, 35- 44, 45- 54, 55 - 64, 65-74, 75-94Paso 6. Número de datos: 2 7 14 17 7 2 1
Marcas de clase 19.5 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5
Paso 7. Graficar el histograma y observar si tiene una forma normal
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• Accesar el menu de análisis de datos con HERRAMIENTAS, ANALISIS DE DATOS, HISTOGRAMAS
• Marcar los datos de entrada en RANGO DE ENTRADA, marcar el rango de los límites superiores de clase en RANGO DE CLASES, indicar GRAFICA, marcar el área de resultados con RANGO DE SALIDA y obtener resultados y gráfica
NOTA: Los datos deben estar en forma no agrupada, Excel forma los grupos en forma automática o se le pueden proporcionar los límites de las celdas.
Histograma en Excel
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Construcción del histograma
02468
1012141618
15-24
25-34
35-44
45-54
55-64
65-75
Frec.
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Rango: Valor Mayor – Valor menor
Coeficiente de variación: (Desv. Estándar / Media *100%Se usa para comparar datos en diferentes niveles de media o
tipo. Por ejemplo:
Material No. de Media Desviación Coeficiente Observaciones Aritmética Estándar de Variación
n s Srel
A 160 1100 225 0,204 B 150 800 200 0,250
El Material A tiene una menor variabilidad relativa relativa que el material B
Otras medidas de Dispersión- Rango, CV
Media - Promedio numérico o centro de gravedad del histograma
Cálculo de la media - datos agrupados
- Usa todos los datos - Le afectan los extremos
Donde, Fi = Frecuencia de cada observaciónxi = Valor de cada marca de clase
Mediana - Es el valor que se encuentra en medio de los datos
Moda - Es el valor que más se repite
n
ii
n
iii
F
XFX
1
1
*
Desviación Estándar - Datos agrupados S es usada cuando los datos corresponden a una muestra de la población
Nota: Cada Xi representa la marca de clase
típicamente es usada si se está considerando a toda la población
NOTA: Para lo cálculos con Excel, se puede utilizar el mismo método que para datos no agrupados, tomando como Xi los valores de las marcas de clase.
1
/**1
2
1
2
n
nXFXFs
n
iii
n
iii
n
nXFXFn
iii
n
iii /**
1
2
1
2
76
Ejercicio de Histogramas
Datos:
6.40 6.39 6.41 6.39 6.40 6.39 6.40 6.37 6.40 6.38
6.42 6.38 6.40 6.38 6.416.40 6.41 6.41 6.43 6.39
6.41 6.35 6.39 6.41 6.436.38 6.40 6.42 6.37 6.40
6.37 6.43 6.43 6.39 6.426.40 6.42 6.39 6.42 6.38
6.42 6.40 6.38 6.45 6.416.39 6.44 6.36 6.44 6.36
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V.D.5 Conclusiones estadísticas válidas
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Estadística descriptiva e inferencial
Estudios descriptivos enumerativos : Los datos enumerativos son los que pueden
ser contados.
Para Deming: En un Estudio enumerativo la acción se toma en
el universo. En un estudio analítico la acción será tomada en
un proceso para mejorar su desempeño futuro
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Obteniendo conclusiones válidas
Obtención de conclusiones estadísticas válidas El objetivo de la estadística inferencial es
obtener conclusiones acerca de las características de la población (parámetros , , ) con base en la información obtenida de muestras (estadísticos X, s, r)
Los pasos de la estadística inferencial son: La inferencia La evaluación de su validez
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Obteniendo conclusiones válidas
Los pasos de la estadística inferencial son: Definir el objetivo del problema en forma precisa
Decidir si el problema se evaluará con una o dos colas
Formular una hipótesis nula y la alterna
Seleccionar una distribución de prueba y un valor crítico del estadístico reflejado el grado de incertidumbre que puede ser tolerado (alfa, riesgo)
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Obteniendo conclusiones válidas
Los pasos de la estadística inferencial son: Calcular el valor del estadístico de prueba con la
información de la muestra
Comparar el valor del estadístico calculado vs su valor crítico y tomar una decisión de rechazar o no rechazar la hipótesis nula
Comunicar los hallazgos a las partes interesadas
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Obteniendo conclusiones válidas
Hipótesis nula a ser probada (Ho) y alterna (Ha)
La hipótesis nula puede ser rechazada o no ser rechazada no puede ser aceptada
La hipótesis alterna incluye todas las posibilidades que no están en la nula y se designa con H1 o Ha.
Ho: Ya = Yb Ha: Ya Yb Prueba de dos colas Ho: A B Ha: A<B Prueba de cola
izquierda
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Obteniendo conclusiones válidas
Estadístico de prueba: Para probar la hipótesis nula sobre un
parámetro poblacional, se debe calcular un estadístico de prueba de la información de la muestra
El estadístico de prueba se compara con un valor crítico apropiado
Se toma una decisión de rechazar o no rechazar la hipótesis nula
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Obteniendo conclusiones válidas
Tipos de errores: Error tipo I: resulta cuando se rechaza Ho
siendo verdadera, se denomina como alfa o riesgo del productor
Error tipo II: resulta cuando no se rechaza Ho siendo que es falsa, es denominado beta o riesgo del consumidor
Incrementando el tamaño de muestra se reducen alfa y beta. Alfa es normalmente 5%. Alfa y beta son inversamente relativos
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Obteniendo conclusiones válidas
Estudios enumerativos y analíticos: Los datos enumerativos pueden ser contados.
Las pruebas de hipótesis utilizadas son la Chi cuadrada, binomial y de Poisson.
Deming: en los estudios enumerativos las acciones se toman en el universo.
Deming: en los estudios analíticos se toma acción en un proceso para mejorar su desempeño futuro
86
V.E Probabilidad
V. E Probabilidad1. Conceptos básicos
2. Distribuciones utilizadas normalmente
3. Otras distribuciones
87
88
V.E.1 Conceptos básicos
89
Conceptos básicosIntroducción:Diferencia entre experimento deterministico y aleatorio (estocastico).
Deterministico. Se obtienen el mismo resultado, con condiciones experimentales similares • La caída de un cuerpoAleatorio. Se obtienen distintos resultados , aunque se repitan en condiciones similares.• Tiempo de vida de un componente eléctrico
90
Conceptos relacionados a experimentos aleatorios:
Variable aleatoria. Es el nombre Que se le da a la característica (s) de interés observada en un experimento. Dicha variable es denotada por letras mayúsculas. Pueden ser Continuas o Discretas.
Espacio muestra. Es el conjunto de todos los posibles valores Que toma una variable aleatoria en un experimento. Puede ser finito o infinito.
Evento. Puede ser uno o una combinación de los valores Que toma una variable aleatoria
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Espacio MuestralConsiste en todos los posibles resultados de un
experimento.Para el lanzamiento de una moneda es (A,S).
92
Probabilidad histórica o frecuentista.
Una forma de conocer algo acerca del comportamiento de una variable aleatoria es conociendo como se comporto en el pasado. Note Que si un experimento se realizo un gran numero de veces, N, y la se observo Que en n veces sucedía el evento A, entonces n/N es un estimación razonable de la proporción de tiempos Que el evento A sucederá en el futuro. Para un gran numero de experimentos N, se puede interpretar dicha proporción como la probabilidad de del evento A.
P EventoAnNN
( ) lim
93
Ejemplo
prob
abilid
ad d
e ca
ras
n0 500 1000
0
.5
1
» en los 1900-s , Karl Pearson lanzo una moneda 24,000 veces y obtuvo 12,012 caras, dando una proporción de 0.5005.
Definición Clásica de Probabilidad. La probabilidad de un evento A, puede ser calculada mediante la relación de el numero de respuestas en favor de A, y el numero total de resultados posibles en un experimento.
P EventoAFavorable A
Total resultados( )
##
Note Que para las dos definiciones dadas de probabilidad esta será un numero entre 0 y 1.Ejemplo 1. Se observa si 3 artículos tienen defecto o no , con defecto (m) o sin defecto (v).S={vvv,mvv,vmv,vvm,vmm,mvm,mmv,mmm} es el espacio muestral . Asociada a este espacio muestral se puede definir la variable aleatoria X=# de defectos, la cual toma los valores {0,1,2,3}
95
Conceptos básicos Principios básicos:
La probabilidad de un evento varia entre 0 y 1 (éxito)
Un evento simple no puede descomponerse El conjunto de resultados posibles del experimento
se denomina espacio muestral La suma de las probabilidades en el espacio
muestra es 1 Si se repite un experimento un gran número de
veces N y el evento E es observado nE veces, la probabilidad de E es aproximadamente:
( ) EnP EN
96
Conceptos básicos Eventos compuestos (conjunto de dos o más
eventos): La unión de A o B contiene elementos de A o
de B
La intersección de A y B contiene elementos comunes que se localizan al mismo tiempo en A y en B
Leyes de probabilidades1. En un experimento, si P(A) e la probabilidad de un evento A, entonces la probabilidad de Que no suceda A es: P A P A( ) ( ) 1
2. En un experimento, si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes entonces la probabilidad de Que ocurra A o el evento B es
P A o B P A P B( ) ( ) ( )
Para el caso de dos eventos A y B Que no son mutuamente excluyentes.P A o B P A P B P AyB( ) ( ) ( ) ( )
A las dos ecuaciones se les conoce como Leyes de adición de probabilidad
98
Reglas de la probabilidad• Ley de la Adición
Si 2 eventos A y B no son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad que el evento A o el evento B ocurra es:
• Ley de la Multiplicación probabilidad que ambos A y B ocurran es (A y B dependientes)
Cuando los eventos A y B son independientes, entonces P(A|B) = P(A) y
P(AB)P(B)P(A)B)orP(A
A)P(A)|P(BB)P(B)|P(AP(AB)
P(A)P(B)P(AB)
99
Probabilidades de Eventos 1. P(E) 0 2. P(S) = 1 3. Si E1,En son mutuamente disjuntos
entonces
n
ii
n
ii EPEP
11
)(
Resultados 1. Si A B entonces P(A) P(B) 2. Si P(Ec)=1-P(E) 3. P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) 4. Si B1B2…Bn = S entonces
n
iiBEPEP
1
)()(
Permutaciones Definición.
Un arreglo ordenado de r objetos diferentes es llamado una permutación .
El numero resultante de ordenar n objetos diferentes tomando r a la vez será representado por el símbolo n
rP
Antes revisemos el concepto de factorial !!!!!!
Considere el siguiente caso: Hay 3 libros: Uno de Historia (H), Uno de Física (F), Otro de Matemáticas (M). Note Que existen 6 formas de acomodar dichos libros.
{ HFM, HMF, FHM, FMH, MHF, MFH } Aquí importa el orden
3*2*1=6
101
Diagramas de árbolEn casos simples resultan útiles los diagramas de árbol para enumerar objetos en forma sistemática.Ejemplo: Se desea conocer todas las formas posibles de hacer un experimento que consiste en 4 componentes de auto a {L1, L2, L3, L4}, entonces cada componente es sometido a tres diferentes temperaturas de {A1, A2, A3} hasta que se obtiene una falla.
L2
L3
L4
L1A1
A1
A1
A2
A2
A2
A3
A3
A3
A2A1
A3
12 tratamientos
102
El numero de formas de ordenar n objetos distintos en n lugares diferentes es :
n n n n! ( )( )...( )( ) 1 2 2 1
n! se lee como n factorial¿ Que pasa cuando tenemos solo r lugares para acomodar n objetos, tal Que n es mayor o igual que r?En este caso el numero de arreglos resulta ser:
n n n n r n r P
Pn
n r
rn
rn
( )( )...( [ ])( [ ])!
( )!
1 2 2 1
103
Ejemplo: Suponga que a un grupo de motores se les aplicara un tratamiento que consiste en dos aplicaciones de diferentes intensidades de presión. Hay 10 diferentes intensidades y el orden de administrar las intensidades es importante, ¿ cuantos motores se ocupan si cada tratamiento se tiene que llevar a cabo?.10 intensidades (i1,i2,…,i10 ) y 2 aplicaciones.Nos interesa contar los pares (i1,12),(i1,i3),…..
P2
10 10!8!
90 .
104
CombinacionesUna combinación es un arreglo de distintos elementos , en donde una combinación difiere de otra solamente si el contenido del arreglo es distinto.
!! En este caso no es importante el orden de los objetos !!
Definición. (Combinaciones). El numero de combinaciones de n objetos tomando r a la vez es el numero de maneras de formar un subconjunto de tamaño r de los n objetos. Esto se denota como:
nr
nC
r
105
Cnr
Pr
nr n rr
n rn
!!
!( )!
Teorema 2.
Ejemplo: En un lote de producción 100 chips de computadora, un comprador desea adquirir 10 chips, ¿ de cuantas formas se pueden seleccionar 10 chips de ese lote?.
Cnr
nr n rr
n
!
!( )! )!100!
10!(100 10
106
V.E.2 Distribuciones de probabilidad
107
Distribuciones usadas por los Black Belts
1. Distribuciones de probabilidad2. Distribuciones de probabilidad discretas
Hipergeométrica, Binomial, Poisson3. Distribución normal4. Distribuciones muestrales
Chi Cuadrada, t de Student, F
5. Otras Distribuciones de probabilidadExponencial, Lognormal, Weibull
108
1. Distribuciones de probabilidad
109
Tipos de variables aleatorias
Tipos de variables aleatorias Discretas Continuas
Variable aleatoria: Es aquella función que a cada resultado posible de un experimento le asocia un numero real.Se denotan con letras Mayúsculas: X,Y,Z,etc....
110
Variables aleatorias discretasEs aquella variable que únicamente toma valores susceptibles de contarse.Ejemplo 1: Considere el experimento de tomar al azar una ficha de asistencia de un numero de empleados. Sea X la variable numero de ausencias al año de un empleado. Note que X toma valores 0,1,2,...,250.
Ejemplo 2: Considere un experimento que consiste en medir el numero de artículos defectos de un lote de producto. Si Y es la variable numero de defectos , toma valores 0,1,2,...
111
Distribuciones y funciones de probabilidad
Toda variable aleatoria tiene asociada una función de probabilidades
Ejemplo : Se lanzan dos monedas y observamos el numero Y de caras.
Espacio muestral:{a, as, sa, ss}Y toma valores 0,1,2.
112
Función de probabilidades para Y.
y P(Y=y)
0 1/4
1 1/2
2 1/4
-0.2 0.3 0.8 1.3 1.8y
0.26
0.31
0.36
0.41
0.46
0.51
pGráfica
Y
P(Y=y)
113
La distribución de probabilidades puede ser una Tabla, una Gráfica o una formula.
Formula para la distribución de probabilidades de la tabla
anterioryy
yyYPyP )5(.)5(.
3)()( 3
114
Requisitos para una distribuciónde probabilidad discreta
)()(
).(.21)(0.1
xXPxf
yP
yP
X
ytoda
En algunas ocasiones la notación usada es:
115
Funciones de distribución acumulativa
La función de distribución de probabilidades acumulativa es calcula sumando las probabilidades obtenidas hasta un determinado valor de la variable aleatoria.
)()( xXPxFX Esta función tiene propiedades.
0)(1)(
1)(0
xFLimxFLim
xF
x
x
116
Función de distribución acumulativa para Y=#de caras
-0.2 0.3 0.8 1.3 1.8y
0.3
0.5
0.7
0.9
F(x)
0 1 2
117
Valor Esperado o Media de una variable aleatoria
discreta
La media o valor esperado de una variable aleatoria discreta X , denotada como o E(X), es X
xx
XX xXxPxxfXE )()()(
La media es el centro de la masa del rango de los valores de X.
118
Calculo de la media para la variable de No. De defectos
X
215.004003.03014.02178.01805.00
)(4
0
x
X XXxP
En este caso note que esta media no toma un valor entero como X
119
0 1 2 3 4x
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
prob
Media X
120
Ejercicio: La demanda de un producto es -1,0,1,2 por dia (-1 significa devolución). Con probabilidades dadas por 1/5,1/10,2/5,3/10. Calcular la demanda esperada. X
121
Varianza de una variable aleatoria
Sea Y una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidades P(X=x). Entonces , la varianza de Y es:
x
XXX xXPxXE )()(])[( 222
Medida de dispersión
122
2147.00)215.04(003.0)215.03(
014.0)215.02(
178.0)215.01(805.0)215.00(
)()(
22
2
22
22
x
XX xXPx
123
La desviación estándar de una variable aleatoria es simplemente la raíz cuadrada de la varianza
2XX
124
2. Distribuciones de probabilidad discretas
125
Distribuciones Discretas Uniforme discreta. La variable aleatoria toma un numero finito de n valores , cada uno con igual probabilidad.
nxXPxf 1)()(
1260 2 4 6 8 1e+001
x
0.05
0.07
0.09
0.11
0.13
0.15
prob
Uniforme discreta con n=10
127
121
2)1(
22
n
n
X
X
La media y varianza de la distribución Uniforme discreta son:
Aplicaciones
128
Distribución hipergeométrica Se aplica cuando la muestra (n) es una
porporción relativamente grande en relación con la población (n > 0.1N).
El muestreo se hace sin reemplazo P(x,N,n,D) es la probabilidad de exactamente x
éxitos en una muestra de n elementos tomados de una población de tamaño N que contiene D éxitos. La función de densidad de distribución hipergeométrica:
Nn
DNxn
Dx
CCC
xP)(
)!(!!xnx
nC nx
129
Distribución hipergeométrica La media y la varianza de la distribución
hipergeométrica son:
NnD
112
NnN
ND
NnD
130
Distribución hipergeométricaEjemplo: De un grupo de 20 productos, 10 se
seleccionan al azar para prueba. ¿Cuál es la probabilidad de que 10 productos seleccionados contengan 5 productos buenos? Los productos defectivos son 5 en el lote.
N = 20, n = 10, D = 5, (N-D) = 15, x = 5
P(x=5) = 0.0183 = 1.83% 0183.0
!10!10!20
!10!5!15
!0!5!5
)5(
P
131
Distribución BinomialEnsayo Bernoulli. Es un experimento aleatorio que solo tiene dos resultados. Éxito o fracaso. Donde la probabilidad de éxito se denota por p
• Suponga se realizan n experimentos Bernoulli independientes.
• Suponga que la variable X de interés es el numero de éxitos.
• X toma valores 0,1,2,...,n
132
Distribución binomial Se utiliza para modelar datos discretos y se
aplica para poblaciones grandes (N>50) y muestras pequeñas (n<0.1N).
El muestreo binomial es con reemplazamiento. Es apropiada cuando la proporción defectiva
es mayor o igual a 0.1. La binomial es una aproximación de la
hipergeométrica La distribución normal se paroxima a la
binomial cuando np > 5
133
nxppxn
xXPxf xnx ,...,1,0)1()()(
La variable aleatoria X tiene una distribución binomial
)1()(
)(2 pnpXV
npXE
X
X
Tiene media y varianza.
134
Distribución de Poisson Se utiliza para modelar datos discretos Se aproxima a la binomial cuando p es igual o
menor a 0.1, y el tamaño de muestra es grande (n > 16) por tanto np < 5
135
Distribución de Poisson Una Variable aleatoria X tiene distribución Poisson si toma probabilidades con.
,...1,0!
)(
xx
exfx
pn
pn
136
3. La Distribución Normal
Los primeros industriales frecuentemente se basaban en el conocimiento de limites normales para clasificar artículos o procesos como correctos o de otro modo.
Por ejemplo, el colesterol arriba de 250 mg/dl es ampliamente conocido que incrementa el riesgo de un paro cardiaco. Una determinación precisa - pudiera ser asunto de vida o muerte.
Sin embargo , no todas las variables son normales. Por ejemplo: urea y ph
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Abraham Simon de Carl Francisde Moivre Laplace Gauss Galton
CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL
La distribución normal es simétrica alrededor de su media.
Es asintotica - la curva se acerca a eje x pero nunca lo toca.
La curva normal es acampanada y tiene un solo pico en toda la distribución.
La media, mediana, y moda de la distribución son las mismas y están localizadas en el pico.
La mitad del área de la curva esta arriba del punto central (pico), y la otra mitad esta abajo.
CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCION NORMAL
Teóricamente, la curva se extiende a - infinito
Teóricamente, la curva se extiende a + infinito
Media, mediana, y moda son iguales
Cola Cola
La Normal is simétrica - -
140
141
f t t( ) exp
12
12
2
Distribución de la Función Normal
Función de Densidad de Probabilidad Normal
Distribución Normal
= 500 = 30 = 50 = 70
0.0000
0.0020
0.0040
0.0060
0.0080
0.0100
0.0120
0.0140
200 400 600 800 1000Tiempo
f(t)
Curvas Normales con Medias iguales pero Desviaciones estándar diferentes
20
3.1 3.9 = 5.0
Normales con Medias y Desviaciones estándar diferentes
= 5, = 3 = 9, = 6 = 14, = 10
144
La distribución Normal estándar
La distribución normal estándar es una distribución de probabilidad que tiene media 0 y desviación estándar de 1.
El área bajo la curva o la probabilidad desde menos infinito a más infinito vale 1.
La distribución normal es simétrica, es decir cada mitad de curva tiene un área de 0.5.
La escala horizontal de la curva se mide en desviaciones estándar, su número se describe con Z.
Para cada valor Z se asigna una probabilidad o área bajo la curva mostrada en la Tabla de distribución normal
145
Las distribuciones pueden variar en:POSICIÓN AMPLITUD FORMA
… O TENER CUALQUIER COMBINACION
146
x x+s x+2s x+3sx-sx-2sx-3s
X3 2 2 3
Para la población - se incluyen TODOS los datos
Para la muestra
La Distribución Normal
147
z0 1 2 3-1-2-3
x x+ x+2 x+3x-x-2x-3X
La desviación estándarsigma representa la distancia de la media alpunto de inflexión de la curva normal
La Distribución Normal Estándar
Alrededor de 68 % del area bajo la curva normal está entre más una y menos una desviación estándar de la media. Esto puede ser escrito como: m ± 1s.
Cerca del 95 % del área bajo la normal está entre más y menos 2 desviaciones estándar de la media, m ± 2s.
Prácticamente toda (99.74 %) el área bajo la normal esta entre 3 desviaciones de la media m ± 3s.
AREA BAJO LA CURVA NORMAL
149
Distribución normal estándar con media = 0 y desviación estándar = 1: Para Z = (X - Xmedia )/ s1. Área desde menos infinito a un valor de Z se obtiene como sigue:- Colocarse en una celda vacía- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS,
DISTR.NORM.ESTAND, dar valor de Z y obtener el área requerida
Z Area
2. Un valor de Z específico para una cierta área (por ejemplo 0.05) se obtiene como sigue:
- Colocarse en una celda vacía- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS, o
DISTR.NORM.ESTAND.INV, dar valor del área y se obtiene la Z
Cálculos con Excel – Dist. Normal Estándar
1 2 3123
Entre:
1. 68.26%
2. 95.44%
3. 99.97%
151
68%34% 34%
95%
99.73%
+1s
+2s
+3s
Características de la Distribución Normal
El valor de ZDetermina el número de desviaciones estándar entre algún valor x y la media de la población, mu Donde sigma es la desviación estándar de la población.
En Excel usar Fx, ESTADISTICAS, NORMALIZACIÓN, para calcular el valor de Z
z = x -
68%34% 34%
95%68%
99.73%68% 2.356%2.356%
Proceso con media =100y desviación estándar = 10
70 80 90 100 110 120 130
90 110
80 120
70 130
154
Áreas bajo la curva normal
Distribución normal estándar con media = 0 y desviación estándar = 1: Para Z = (X - Xmedia )/ s1. Área desde menos infinito a un valor de Z se obtiene como sigue:- Colocarse en una celda vacía- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS,
DISTR.NORM.ESTAND, dar valor de Z y obtener el área requerida
Z Area
2. Un valor de Z específico para una cierta área (por ejemplo 0.05) se obtiene como sigue:
- Colocarse en una celda vacía- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS, o
DISTR.NORM.ESTAND.INV, dar valor del área y se obtiene la Z
Cálculos con Excel – Dist. Normal Estándar
Distribución normal, dadas una media y desviación estándar: 1. Área desde menos infinito a X se obtiene como sigue:- Colocarse en una celda vacía- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS,
DISTR.NORM, dar el valor de X, Media, Desviación Estándar s, VERDADERO y se obtendrá el área requerida
X Area
2. Un valor de X específico para una cierta área (por ejemplo 0.05) se obtiene como sigue:
- Colocarse en una celda vacía- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS,
DISTR.NORM.INV, dar el valor del área, Media y Desviación Estándar y se obtendrá el valor de la X
Cálculos con Excel – Distr. Normal
1. Identificar la variable de interés.2. Identificar los parámetros de la variable (su
media y desv. estándar).3. ¿Cual es la pregunta área bajo la curva de
probabilidad normal?4. Convertir los valores a la distribución normal
estándar (estandarización Z = (X-Media)/S) .5. Encuentre la probabilidad en tabla de la normal
estándar o por Excel.
Calculo de Probabilidades normales
El agua usada diariamente por persona en México está distribuida normalmente con media 20 litros y una desviación de 5 lts..
¿Entre que valores cae cerca del 68% el agua usada por una persona en Mexico?
m ± 1s = 20 ± 1(5). Esto es, cerca del 68% de la cantidad usada por persona cae entre 15 lts. y 25 lts..
De manera similar para 95% y 99%, el intervalo será de 10 lts a 30 lts y 5 lts a 35 lts.
Ejemplo
El agua usada diariamente por persona en México es distribuida normalmente con media 20 litros y una desviación de 5 lts. Sea X el uso diario de agua.
Cual es la probabilidad que una persona seleccionada al azar use menos de 20 lts./dia?
El valor z asociado es z = (20 - 20)/5 = 0. entonces,
P(X < 20) = P(z < 0) = 0.5.
Ejemplo
Que porciento usa entre 20 y 24 lts? El value z asociado con X = 20 es z = 0 y con
X = 24, z = (24 - 20)/5 = 0.8. Entonces, P(20 < X < 24) = P(0 < z < 0.8) =
P(0.8) - P(0) = 0.7881- 0.5 = 0.2881 o 28.81%.
¿Que porciento usa entre 16 y 20 lts?
El valor z1 para X = 16 es z1 = (16 - 20)/5 = -0.8,
y para X = 20, z2 = 0. Entonces, P(16 < X < 20) = P(-0.8 < z < 0) = P(0) - P(-0.8) = 0.5 - 0.2119 = 0.2881 = 28.81%.
Ejemplo
0.8
P(0 < z < 0.8) = 0.2881.
Cual es la probabilidad que una persona seleccionada al azar use mas de 28 lts?
El valor z asociado a X = 28 es
z = (28 - 20)/5 = 1.6. Ahora, P(X > 28) = P(z > 1.6) = 1 - P(z < 1.6) = 1 - 0.9452 = 0.0548.
Ejemplo
P(z > 1.6) =1 - 0.9452=0.0548
Area = 0.9452
1.6 z
• ¿Que porcentaje usa entre 18 y 26 lts?
El valor z asociado con X = 18 es z = (18 - 20)/5 = -0.4, y para X = 26, z = (26 - 20)/5 = 1.2. entonces, P(18 < X < 26)= P(-0.4 < z < 1.2) = F(1.2) - F(-0.4)= 0.8849 - 0.3446 = 0.5403.
Ejemplo
165
El tiempo de vida de las baterías del conejito tiene una distribución aproximada a la normal con una media de 85.36 horas y una desviación estándar de 3.77 horas.
¿Qué porcentaje de las baterías se espera que duren 80 horas o menos?
¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure entre 86.0 y 87.0 horas?
¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure más de 87 horas?
Ejemplos
¿Que porcentaje de las baterías se espera que duren 80 horas o menos?
Z = (x-mu) / sZ = (80-85.36)/(3.77)= - 5.36/ 3.77 = -1.42
85.3680
-1.42 0
Área bajo la curva normal
0 1
86 8785.36
¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure entre 86.0 y 87.0 horas?
Área bajo la curva normal
85.36 87
¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure más de 87 horas?
1.67 = .33 ó 33% de las veces una batería durará más de 87 horas
Área bajo la curva normal
169
Considere una media de peso de estudiantes de 75 Kgs. con una desviación estándar de 10Kgs. Contestar lo siguiente:
¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese más de 85Kgs.?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese menos de 50Kgs.?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 60 y 80 Kgs.?.
4. ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 55 y 70 Kgs.?
5. ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 85 y 100Kgs.?
Ejercicios
170
4. Distribuciones muestrales
Distribuciones muestrales1. Introducción a las distribuciones muestrales
2. Distribución Chi cuadrada
3. Distribución t de student
4. Distribución F
171
172
A las distribuciones de los estadísticas muestrales se les llama distribuciones muestrales.
POBLACION
173
Distribuciones Derivadas del muestreo de Poblaciones Normales
Población
Muestra
Aparecen distribuciones muestrales:Normal, Chi-cuadrada, t-student, F
174
Distribución de la Media:
Si es una muestra aleatoria de una Poblacion (X) con distribución normal .Entonces se
distribuye normal con media y varianza
nXXX ,...,, 21
),( 2n X
, n/2
)/,( 2 nnX
175
Distribución Chi Cuadrada
Esta distribución se forma al sumar los cuadrados de las variables aleatorias normales estándar.
Si Z es una variable aleatoria normal, entonces el estadístico Y siguiente es una variable aleatoria Chi cuadrada con n grados de libertad.
223
22
21 .... nzzzzy
176
Distribución de la varianza.
Repaso de la distribución ji-cuadrada.
La función de densidad de probabilidad con k grados de libertad y la función gama Γ es:
.0,
22
1)( 21
2
2
xex
kxf
xk
k
k=grados de libertad. (1,2,...)
177
K=1 K=5
K=25K=50
Gráficas de la distribución ji-cuadrada
Con k grande ji-cuadrada se hace normal
178
Media y varianza de una ji-cuadrada.E(X)=kV(X)=2k
Calculo de puntos críticos usando las tablas de ji-cuadrada
)( 2,kXP
179
Ejemplo: Calcule el valor critico que satisface
05.)( 220,05.0 XP
41.31220,05.0
De tablas de ji-cuadrada con alfa=.05 y k=20
180
Resultado:
Si es una muestra aleatoria de una Poblacion (X) con distribución normal .Entonces se
distribuye ji-cuadrada con k= n-1 grados de libertad.
Donde S cuadrada es la varianza muestral.
nXXX ,...,, 21
),( 2n 22
)1( Sn
21
22
)1(
nSn
181
Distribución t-student
Si es una muestra aleatoria de una Población (X) con distribución normal . Entonces se distribuye t-student con n-1 grados de libertad. Se utiliza en vez de la distribución normal cuando sigma es desconocida (que la aproxima con n > 100)
nXXX ,...,, 21
),( 2n
)/()( nsX
1)/()( ntnsX
182
),(]12/][2/[
]2/)1[()(2/)1(2
xxkk
kxfk
Función de Distribución t-student
K=1 K=10
K=100
183
Función de Distribución t-student
184
Distribución t de Student La media y la varianza de la distribución t son:
De una muestra aleatoria de n artículos, la probabilidad de que
Caiga entre dos valores especificados es igual al área bajo la distribución de probabilidad t de Student con los valores correspondientes en el eje X, con n-1 grados de libertad
0
3;2
kkk
3;2
kkk
nsxt/
185
Distribución t de StudentEjemplo:
La resistencia de 15 sellos seleccionados aleatoriamente son: 480, 489, 491, 508, 501, 500, 486, 499, 479, 496, 499, 504, 501, 496, 498
¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia promedio de los sellos sea mayor a 500?. La media es 495.13 y la desviación estándar es de 8.467.
t = -2.227 y el área es 0.0214
3;2
kkk
227.215/467.850013.495
t
186
Distribución F
Surge de dividir dos ji-cuadradas independientes
F=(W/u)/(Y/v)
W se distribuye ji-cuadrada con u g.l.Y se distribuye ji-cuadrada con v g.l.
El uso de esta distribución es para comparar varianzas (Recuerde el análisis de varianza)
187
Distribución F.
),0(
]1][2/[)2/(
/]2/)[()(2/)(
1)2/(2
x
xvuvu
xvuvuxfvk
uu
u=10
v=5
u=20
v=20
Función de densidad de la Distribución F
188
Distribución F.Función de densidad de la Distribución F
189
Distribución F Para determinar la otra cola de la distribución
F se determina con la expresión.
Falfa, k1, k2 = 1 / F(1-alfa), k2, k1
Dado K1 = 8 y K2 = 10, F0.05 = 3.07, encontrar el valor de F0.05 con K1 = 10 y K2 = 8
F0.05,10,8 = 1/ F0.95,8,10 = 1/ 3.07 = 0.326
190
Distribución F.Función de densidad de la Distribución F
191
V.E.3 Otras distribuciones de probabilidad
Otras distribuciones de probabilidad
1. Distribución bivariada
2. Distribución exponencial
3. Distribución Lognormal
4. Distribución de Weibull
192
193
Distribución Bivariada La distribución conjunta de dos variables es
llamada una distribución bivariada. El coeficiente de correlación es :
194
Distribución Exponencial Se usa para modelar artículos con una tasa de
falla constante y está relacionada con la distribución de Poisson.
Si una variable aleatoria x se distribuye exponencialmente, entonces el recíproco de x, y = 1/x sigue una distribución de Poisson y viceversa.
La función de densidad de probabilidad exponencial es: Para x >= 0 x
x
eexf
1)(
195
Distribución Exponencial Donde Lambda es la tasa de falla y theta es la
media La función de densidad de la distribución
exponencial
196
Distribución Exponencial Es usada como el modelo, para la parte de
vida útil de la curva de la bañera, i.e., la tasa de falla es constante
Los sistemas complejos con muchos componentes y múltiples modos de falla tendrán tiempos de falla que tiendan a la distribución exponencial
Desde una perspectiva de confiabilidad, es la distribución más conservadora para predicción.
Distribución Exponencial
La forma de la exponencial siempre es la misma
El modelo exponencial, con un solo parámetro, es el más simple de todo los modelos de distribución del tiempo de vida. Las ecuaciones clave para la exponencial se muestran:
Distribución Exponencial
h
@
)(:FALLA DETASA
1:VARIANZA
693.02ln:MEDIANA
1:MEDIA
)(:PDF)(:DADCONFIABILI
1)(:CDF
2
t
m
etfetR
etF
t
t
t
Función de Densidad de Probabilidad Exponencial
0.0000
0.0005
0.0010
0.0015
0.0020
0.0025
0.0030
0.0035
0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo
f(t)
= 0.003, MEDIA = 333
= 0.002, MEDIA = 500
= 0.001, MEDIA = 1,000
198
R(t) = e(-t) (Confiabilidad)
Función de Confiabilidad Exponencial
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo
R(t)
= 0.003, MTBF = 333
= 0.002, MTBF = 500
= 0.001, MTBF = 1,000
Distribución Exponencial
199
h(t) = 1 MEDIA (Velocidad de Falla)
Función de la Tasa de Falla Exponencial
0.000
0.001
0.002
0.003
0.004
0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo
h(t)
= 0.001, MTBF = 1,000
= 0.002, MTBF = 500
= 0.003, MTBF = 333
Distribución Exponencial
Note que la tasa de falla tiende a ser una constante para cualquier tiempo. La distribución exponencial es la única que tiene una velocidad de falla constante
200
Distribución Lognormal La transformación más común se hace
tomando el logaritmo natural, pero también se puede hacer con los logaritmos base 2 y base 10.
Y = x1 x2 x3Ln y = ln x1 + ln x2 + ln x3
La función de densidad de probabilidad lognormal es con Y = ln(t): 2
21
21)(
y
yy
y
et
tf
201
Distribución Lognormal La media y la varianza de la distribución
lognormal son las siguientes:
)2/( 2eMedia
)1)((22 )2( eeVar
202
Un tiempo de falla se distribuye según una Lognormal si el logaritmo del tiempo de falla está normalmente distribuido.
La Distribución Lognormal es una distribución sesgada hacia la derecha.
La PDF comienza en cero, aumenta hasta su moda y diminuye después.
Distribución Lognormal
203
Si un tiempo t está distribuido Lognormal, t~LN(t, t) y si Y = ln(t) entonces Y~N(y, y)
Distribución Lognormal
2
21
21)(
y
yy
y
et
tf
2
21
21)(
y
yy
y
eyf
y
TttF
)ln(
)( 50
y
yyyF
)(
2exp
2
50y
yt T
)ln( 50Ty
2
250
1
)exp(
t
t
tyT
y
CDF
MEDIA
MEDIANA
t y = ln(t)
2
2
1lnt
t
1)exp()exp( 222
50 yyT VARIANZA
(z) es la CDF de la Normal estándar
204
La Distribución de vida Lognormal, como la Weibull, es un modelo muy flexible que puede empíricamente ajustar a muchos tipos de datos de falla.
En su forma de dos parámetros tiene los parámetros sln(t) = sy parámetro de forma, y T50 = la mediana (un parámetro de escala)
Si el tiempo para la falla t, tiene una distribución Lognormal, entonces el logaritmo natural del tiempo de falla (y =ln(t)) tiene una distribución normal con media my = ln T50 y desviación estándar sy.
Distribución Lognormal
205
Esto hace a los datos lognormales convenientes para trabajarlos así:
Determine los logaritmos naturales de todos los tiempos de falla y de los tiempos censurados (y = ln(t)) y analice los datos normales resultantes.
Posteriormente, haga la conversión a tiempo real y a los parámetros lognormales usando y como la forma lognormal y T50 = exp(y como (mediana) el parámetro de escala.
Distribución Lognormal
206
Distribución Lognormal
Ejemplo: Dado t~LN(25,4), encuentre P(t<18)
Calculemos los valores que nos permiten usar la tabla normal estándar
Para poder usar las Tablas de la Normal Estándar:P(t<18) = P{Z<[ln(t/ T50)]/ y] =
P{Z<[ln(18/24.7)]/0.159} = P(Z<-1.99) = 0.023
68.242541251
2
2
2
50
t
ttT
02527.02541ln1ln
2
2
22
t
ty
1589.002527.0 y
207
Función de Distribución Lognormal
f tt
t( ) exp
ln( )
12
12
2
donde y son funciones de ln’sFunción de Densidad de Probabilidad Lognormal
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0 1 2 3 4 5 6 7Tiempo
f(t)
= 0 = 0.5
= 0 = 1
= 1 = 0.5
= 1 = 1
Distribución Lognormal
208
R t f t dt f t d t z dzt t z t
( ) ( ) [ln( )] [ln( )] ( )ln( ) [ln( )]
Función de Distribución Lognormal donde z[ln(t)] = [ln(t)-/]
(z) = normal estandarizada normal pdfFunción de Confiabilidad Lognormal
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
0 1 2 3 4 5 6 7Tiempo
R(t)
= 0 = 0.5
= 0 = 1
= 1 = 0.5
= 1 = 1
Distribución Lognormal
209
h ( ) ( )( )
t f tR t
Función de Distribución Lognormal
Función Tasa de Falla Lognormal
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0.7000
0 1 2 3 4 5 6 7Tiempo
h(t)
= 0 = 0.5
= 0 = 1
= 1 = 0.5
= 1 = 1
Distribución Lognormal
210
Número de ciclos de falla en la fatiga de los metales y partes metálicas, en niveles de tensión mucho menores que sus límites
Representa bien el tiempo de falla de los dispositivos mecánicos, especialmente en el caso de uso
La resistencia de materiales frecuentemente sigue una distribución Lognormal
Las variables de peso son frecuentemente bien representadas con una distribución Lognormal
Es una buena distribución para cualquier variable La medida de cualquier resultado el cual es el resultado de
una proporción o efecto multiplicativo es Lognormal
Distribución Lognormal
211
Distribución de Weibull La distribución de Weibull es una de las más
utilizadas en confiabilidad y estadística.
La versión de dos parámetros forma y escala (que representa la vida característica) no incluye el parámetro de localización es cero.
La versión de tres parámetros tiene una parámetro de localización cuando hay un tiempo de falla diferente de cero para la primera falla
212
Distribución de Weibull La función de densidad de probabilidad de
Weibull de 3 parámetros es:
Para x es el parámetro de forma es el parámetro de escala es el parámetro de localización
xxxf exp)(
1
213
Distribución de Weibull La función de densidad de probabilidad de
Weibull de 3 parámetros también se puede expresar como:
Para t 0 es el parámetro de forma es el parámetro de escala es el parámetro de localización diferente de cero
También es la vida característica si el parámetro
de localización es cero, de otra forma será +
tytf exp)(
1
214
Distribución de Weibull La media y la varianza de la distribución de
Weibull es:
11
1121 222
215
Distribución de Weibull Efecto del parámetro de forma Beta con Theta
= 100 y Delta = 0
216
Distribución de Weibull Efecto del parámetro de escala Theta
217
Distribución de Weibull Efecto del parámetro de escala Delta
218
El Modelo Weibull En muchas aplicaciones de confiabilidad, el
supuesto de tasa de riesgo constante no es apropiado.
Los artículos mecánicos tienen Failure Rate Creciente.
Otros artículos pueden ser Failure Rate Decreciente.
0
1
2
3
4
5
6
0 0.5 1 1.5 2
Time (t)
h(t)
Failure Rate Constante
Failure RateCrecienteFailure
Rate Decreciente
219
Un modelo que puede representar un amplio espectro de comportamientos es el modelo Weibull.
La densidad del modelo Weibull puede tomar muchas y diferentes formas.
Note que si = 1 entonces se tiene el modelo exponencial como caso particular del modelo Weibull.
1
1
)(
)(
exp)(
)(
tth
tttf
etS t
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.5 1 1.5 2
Time (t)
f(t)
= 0.5
= 2
= 3
= 1
Modelo Weibull
220
Modelo Weibull El modelo Weibull es
FRC si = 1 FRI si > 1 FRD si < 1
Entonces el parámetro muestra la forma de la función de riesgo.
0
1
2
3
4
5
6
0 0.5 1 1.5 2
Time (t)
h(t)
= 0.5 = 3
= 1FRC
FRIFRD
221
Modelo Weibull Que es ?
Entonces presenta la escala de h(t).
0
1
2
3
4
5
6
0 0.5 1 1.5 2
Time (t)
h(t) = 3 = 2 = 1
222
Modelo Weibull Los momentos de la distribución Weibull son:
11211][][)(
)(][
111)(][
22
22
0
22
0
TETETVar
dttftTE
dtttfTE
0
1 exp dxxxk k
223
El tiempo de vida (sobre horas) de cierto tipo de resorte usado continuamente bajo condiciones de funcionamiento, es sabido que tiene una distribución de Weibull con parámetro de forma 0.00022 y de escala 1.28.
Cuál es el tiempo medio de falla?
Cuál es la probabilidad de que un resorte funcionará por 500 horas?
Cuál es la probabilidad que un resorte que ha funcionado por 200 horas funcione por otras 500 horas?
Modelo Weibull
224
Se tiene un sistema de n componentes. Los componentes son independientes e
idénticamente distribuidos de acuerdo a una distribución Weibull.
Cual es la distribución del tiempo de vida del sistema?
Se sabe que
Entonces
},,min{ 1 nTTT
)},,(min{ 1 tTTPtTP n
Modelo Weibull
225
Distribución Weibull
La distribución de Weibull es un modelo de distribución de vida útil muy flexible, para el caso de 2 parámetros:
1
2
2
1
1
:FALLA DETASA
1121:VARIANZA
2ln:MEDIANA
11:MEDIA
)(:DADCONFIABILI
1)(:CDF
t
ettf
etR
etF
t
t
t
Donde h (etha) es un parámetro de escala (la vida característica) y beta se conoce como el parámetro de forma (pendiente) y G es la función Gamma con G(N)=(N-1)! para N entero
226
Distribución Weibull
1
2
2
1
1
:FALLA DETASA
1121:VARIANZA
2ln:MEDIANA
11:MEDIA
)(:DADCONFIABILI
1)(:CDF
t
ettf
etR
etF
t
t
t
Una forma más general de 3 parámetros de la Weibull incluye un parámetro de tiempo de espera localización ó desplazamiento). Las fórmulas se obtienen reemplazando t por (t-g). No puede ocurrir una falla antes de g horas, el tiempo comienza en g no en 0.
227
Función de Distribución Weibullf t t t( ) exp
1
Función de Densidad de Probabilidad Weibull
0.0000
0.0010
0.0020
0.0030
0 500 1000 1500 2000 2500 3000Tiempo
f(t)
= 0.5 = 1000
= 1.0 = 1000
= 3.4 = 1000
Distribución Weibull
228
Funciones de Distribución Weibull R t t( ) exp
Función de Confiabilidad Weibull
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
0 500 1000 1500 2000 2500 3000Tiempo
R(t)
= 0.5 = 1000
= 1.0 = 1000
= 3.4 = 1000
Distribución Weibull
229
Funciones de Distribución Weibull h
( )tt
1
Función Tasa de Falla Weibull
0.0000
0.0020
0.0040
0.0060
0 500 1000 1500 2000 2500 3000Tiempo
h(t)
= 3.4 = 1000
= 1.0 = 1000
= 0.5 = 1000
Distribución Weibull
230
Distribución Weibull La función pdf de la distribución exponencial
modela la característica de vida de los sistemas, la Weibull modela la característica de vida de los componentes y partes
Modela fatiga y ciclos de falla de los sólidos Es el traje correcto para datos de vida
La función de distribución Weibull pdf es una distribución de la confiabilidad de los elementos de una muestra
Muy flexible y puede tomar diferentes formas
Distribución Weibull
231
Distribución Weibull Tiene usted una Distribución Weibull con =2 y
=2, ¿Cuál es la media y la varianza?
2
2 1121varianza
11
m
12 3
Archivo Weibull.xls
232
tiempo
Índi
ce d
e fa
lla
Tiempo de vida útilFallastempranas
Desgaste
decreciente
< 1
constante
= 1
creciente
> 1
< 1 disminuye la tasa de riesgo, implica mortalidad infantil = 1 tasa de riesgo constante, fallas aleatorias1< < 4 aumenta la tasa de riesgo, fallas por corrosión, erosión > 4 aumenta rápidamente la tasa de riesgo, implica fallas por desgaste y envejecimiento
Las tres porciones de la curva de tina de la bañera tienen diferentes índices de falla. Las fallas tempranas se caracterizan por un índice de falla decreciente, la vida útil por un índice de falla constante y el desgaste se caracteriza por un índice de falla creciente. La distribución de Weibull puede modelar matemáticamente estas tres situaciones.
Distribución Weibull
< 1 (Tasa de riesgo decreciente)
• Implica mortalidad infantil
• Si esto ocurre, puede existir: Carga, inspección o prueba inadecuada Problemas de Manufactura Problemas de reparación
• Si un componente sobrevive la mortalidad infantil , la resistencia a fallar mejora con la edad.
= 1 (Tasa de riesgo constante)
• Implica fallas aleatorias(Distribución Exponencial)
• Una parte vieja es tan buena como una nueva
• Si esto ocurre: Mezcla de modos de falla Las fallas pueden deberse a eventos
externos, como:luminosidad o errores humanos
Fundido y removido antes de su desgaste 1 < 4 (Tasa de Riesgo creciente)
• Si esto ocurre La mayoría de los baleros y engranes
fallan Corrosión o Erosión El reemplazo programado puede ser
efectivo en costo- =3.44aprox. Normal, =2Rayleigh
4 (La tasa de riesgo crece rápidamente)
• Implica edad avanzada y rápido desgaste
• Si esto ocurre, sospeche de: Propiedades del material Materiales frágiles como la cerámica Variabilidad pequeña en manufactura o
material
La Distribución Weibull - Interpretación
234
• Cuando = 2.5 la Weibull se aproxima a la distribución Lognormal(estas distribuciones son tan cercanas que se requieren tamaños de muestra mayores a 50 para distinguirlas).
• Cuando se modela el tiempo que se necesita para que ocurran reacciones químicas, se ha mostrado que la distribución Lognormal usualmente proporciona un mejor ajuste que la Weibull.
• Cuando = 5 la Weibull se aproxima a una Normal puntiaguda.
Distribución Weibull
235
Debido a su flexibilidad,hay pocas tasas de falla observadas que no pueden modelarse adecuadamente mediante la Weibull. Algunos ejemplos son.
1.La resistencia a la ruptura de componentes o el esfuerzo requerido para la fatiga de metales.
2.El tiempo de falla de componentes electrónicos.
3.El tiempo de falla para artículos que se desgastan, tales como las llantas de un automóvil.
4.Sistemas que fallan cuando falla el componente más débil del sistema(la distribución Weibull representa una distribución de valor extremo).
Distribución Weibull
236
• ¿Qué pasa en una distribución Weibull si el tiempo tiene el valor de la vida característica, t = ?
Distribución Weibull
6321.0)(1)(
3678.0exp)(
t si
exp)(
1
tRtF
etR
ttR
Al llegar al tiempo de vida igual a la vida característica el 63.2% de los elementos habrá fallado. Este hecho se usa en las gráficas para identificar el valor de h (eta)
Este mismo resultado se obtiene para el caso exponencial, recordando que la Weibull se puede reducir a una exponencial cuando b = 1.
237
V.F Capacidad de procesos
238
V.F Capacidad de procesos1. Índices de capacidad de procesos2. Índices de desempeño de procesos
3. Capacidad a corto y a largo plazo4. Capacidad de proceso de datos no normales
5. Capacidad de proceso para datos por atributos
6. Capacidad de procesos bajo Seis Sigma
239
V.F.1 Índices de capacidad del proceso
Nigel´s Trucking Co.
Teoría del camión y el túnel• El túnel tiene 9' de ancho (especificación). El camión tiene 10’ y el chofer es perfecto(variación del proceso). ¿Pasaría el camión? NO, la variabilidad del proceso es mayor que la especificación.• Centrar es hacer que el promedio del proceso sea igual al centro de laespecificación. Si el camión tiene 8 pies de ancho ¿pasará el camión?, Si. Siel chofer puede mantener el centro del camión en el centro del túnel. De otra forma chocará con las paredes del túnel y no pasará a pesar de ser más angosto.
Ancho 9´
El proceso debe estar en control, tener capacidad y estar centrado
241
Objetivos de la capacidad del proceso
1. Predecir que tanto el proceso cumple especificaciones
2. Apoyar a diseñadores de producto o proceso en sus modificaciones
3. Especificar requerimientos de desempeño para el equipo nuevo
4. Seleccionar proveedores
5. Reducir la variabilidad en el proceso de manufactura
6. Planear la secuencia de producción cuando hay un efecto interactivo de los procesos en las tolerancias
242
Análisis de la capacidad de proceso – Estudios de capacidad La capacidad del proceso es un patrón
predecible de comportamiento estadístico estable donde las causas de variación se comparan con las especificaciones.
243
_Xxi
s
Z
LIEEspecificación inferior
LSEEspecificación superior
p = porcentaje de partes fuera de Especificaciones
Análisis de la capacidad de proceso – Estudios de capacidad
244
¿Cómo vamos a mejorar esto?
Podemos reducir la desviación estándar...
Podemos cambiar la media...
O (lo ideal sería, por supuesto) que podríamos cambiar ambas
Cualquiera que sea la mejora que lleve a cabo,asegúrarse que se mantenga
245
Procedimiento1. Seleccionar una máquina donde realizar el estudio
2. Seleccionar las condiciones de operación del proceso
3. Seleccionar un operador entrenado
4. El sistema de medición debe tener habilidad (error R&R < 10%)
5. Cuidadosamente colectar la información
6. Construir un histograma de frecuencia con los datos
7. Calcular la media y desviación estándar del proceso
246
Objetivos: Establecer un estado de control sobre el
proceso de manufactura mantenerlo en el tiempo.
Al comparar el proceso vs los límites de especificación pueden ocurrir los siguientes eventos: No hacer nada Cambiar las especificaciones Centrar el proceso+ Reducir la variabilidad Aceptar las pérdidas
Análisis de la capacidad de proceso – Estudios de capacidad
247
Identificación de características: Deben ser indicativas de un factor clave en la
calidad del producto o proceso
Debería ser posible ajustar el valor de la característica como factor de control
Las condiciones de operación que afecten la característica medida deben ser identificadas y controladas
El PPAP indica la evaluación una inicial de la capacidad
Análisis de la capacidad de proceso – Estudios de capacidad
248
La desviación estándar del proceso cuando se encuentra en control se determina como sigue con base en una carta de control X-R siempre que esté bajo control estadístico:
Desv. Est. st
(Within)=
Rango medio
Constante d2 de acuerdo al tamaño de subgrupo en X-R
D2 = 1.128 para carta I-MR con n=2D2= 2.326 para carta X-R con n=5
Estimación de la desviación estándar
con el proceso normal o en control
249
Límites de tolerancia natural del proceso
LTNS = Media + 3*sigma
LTNI = Media – 3*sigma
Si los límites de especificación son: LIE y LSE
El Cp = (LSE – LIE) / (LTNS – LTNI) debe ser mayor a 1
250
Los valores de Z inferior y Z superior se calculan de acuerdo a las fórmulas siguientes:
Zi = LIE - promedio del procesoDesviación Estándar - st
LSE - Promedio del proceso
Desviación Estándar - st
La fracción defectiva se calcula con la distribución normal estándar:
P(Zi) = Área en tabla (-Z) P(Zs) = 1 – Área corresp. a Zs en tabla (+Z)
Zs =
Fracción defectiva = P(Zi) + P(Zs)
Capacidad del procesoZ’s y P(Z’s) Fracción defectiva
251
El índice de capacidad potencial del Proceso (Cp) mide la variación del proceso en relación con el rango de Especificación.
Cp = ToleranciaVariación del proceso
=LSE - LIE
6 Desviaciones Estándar - st
La relación de capacidad (CR) es la inversa del cálculo de Cp. Este índice le indica que porcentaje de la especificación está siendo usado por la variación del proceso.
CR = Rango del procesoTolerancia
= 6 desviaciones estándar - stLSE - LIE
Índices de Capacidad Potencial del proceso en control – Corto
plazo
Otro índice que toma en cuenta el centrado del proceso vsMedia de Especificaciones M es:
22 )(6 MX
LIELSECpm
252
Cpk es una medida de la capacidad real del proceso en función de la posición de la media del proceso (X) en relación con con los límites de especificación.
Con límites bilaterales da una indicación del centrado.
Es el menor de:
Cpk = LSE - promedio del proceso3 desviaciones Est. - st y
Promedio del proceso - LIE3 desviaciones Estándar - st
Índice de capacidad real del proceso
en control estadístico – corto plazo
253
Cálculo de la capacidad del proceso
Habilidad o capacidad potencial Cp = (LSE - LIE ) / 6 st
Debe ser 1.33, si está entre 1 – 1.33 requiere mucho control, <1 inac.para tener el potencial de cumplir con especificaciones (LIE, LSE)
Habilidad o capacidad real Cpk = Menor | ZI y ZS | / 3El Cpk debe ser 1.33 para que elproceso cumpla especificaciones, entre 1 y 1.33 requiere control, <1 inac.
254
Tasa de falla vs Cp
255
Tasa de capacidad
Tasa de capacidad l Cp = 6 st/ (LSE - LIE )
Debe ser <= 0.75 si está entre 0.75 y 1 requiere mucho control, >1 inac.para tener el potencial de cumplir con especificaciones (LIE, LSE)
Índice Cpm basado en el índice de Taguchi, equivale al Cp tomando en cuenta el centrado:T = valor objetivo
256
Los valores de Z inferior y Z superior se calculan de acuerdo a las fórmulas siguientes:
Zi = LIE - promedio del procesoDesviación Estándar - st
LSE - Promedio del proceso
Desviación Estándar - st
La fracción defectiva se calcula con la distribución normal estándar:
P(Zi) = Área en tabla (-Z) P(Zs) = 1 – Área corresp. a Zs en tabla (+Z)
Zs =
Fracción defectiva = P(Zi) + P(Zs)
Capacidad del procesoZ’s y P(Z’s) Fracción defectiva
257
Capacidad de proceso a partir de Histogramas y Distribución
normal
258
EjemploSe tomaron los datos siguientes:
265 205 263 307 220 268 260 234 299197 286 274 243 231 267 281 265 214346 317 242 258 276 300 208 187 264280 242 260 321 228 250 299 258 267265 254 281 294 223 260 308 235 283200 235 246 328 296 276 264 269 235221 176 248 263 231 334 280 265 272265 262 271 245 301 280 274 253 287261 248 260 274 337 250 278 254 274278 250 265 270 298 257 210 280 269215 318 271 293 277 290 283 258 275251
259
Ejemplo (cont…)Agrupando los datos en celdas se tiene:
Intervalo Marca Frecuencia Frecuencia de clase de clase Frecuencia Relativa Absoluta170 - 189 179.5 2 0.02 0.02190 - 209 199.5 4 0.04 0.06210-229 219.5 7 0.07 0.13230-249 239.5 13 0.13 0.26250-269 259.5 32 0.32 0.58270-289 279.5 24 0.24 0.82290-309 299.5 11 0.11 0.93310-329 319.5 4 0.04 0.97330-349 339.5 3 0.03 1.00 .
260
Ejemplo (cont…)
El histograma es el siguiente (se observa con forma normal):
05
101520253035
170-189
210-229
250-269
290-309
330-349
Frec.
261
Ejemplo (cont…)
Calculando la media y la desviación estándar se tiene:
X-media = 264.06 s = 32.02
La variabilidad del proceso se encuentra en 6 = 192.12Si las especificaciones fueran LIE = 200 y LSE = 330
Cp = (330 - 200 ) / 192.2 < 1 no es hábil el proceso
Zi = (330 - 264.06) / 32.02 Zs = (200 - 264.06) / 32.02
Cpk = menor de Zi y Zs < 1 el proceso no cumple especificaciones
262
EjercicioCalcular la capacidad del proceso con la distribución de frecuencias siguiente considerando LIE = 530 y LSE = 580:
Intervalo Frecuencia Frecuenciade clase Marca de clase Frecuencia Relativa Absoluta .
531 - 535 533 6536 - 540 538 8541 - 545 543 12546 - 550 548 13551 - 555 553 20556 - 560 558 19561 - 565 563 13566 - 570 568 11571 - 575 573 8
263
Ejemplo de capacidad de proceso
13.612.812.011.210.49.6
LSL USLProcess Data
Sample N 50StDev(Within) 0.85577StDev(Overall) 0.80259
LSL 9.00000Target *USL 14.00000Sample Mean 11.74400
Potential (Within) Capability
CCpk 0.97Overall Capability
Pp 1.04PPL 1.14PPU 0.94Ppk
Cp
0.94Cpm *
0.97CPL 1.07CPU 0.88Cpk 0.88
Observed PerformancePPM < LSL 0.00PPM > USL 0.00PPM Total 0.00
Exp. Within PerformancePPM < LSL 671.85PPM > USL 4191.66PPM Total 4863.51
Exp. Overall PerformancePPM < LSL 314.35PPM > USL 2470.24PPM Total 2784.59
WithinOverall
Process Capability of Viscosidad
264
Interpretación de salida Minitab
Desviación estándar “Within” se determina con R / d2, se usa para determinar los índices de capacidad a corto plazo Cp, Cpk y PPM “Within”
Desviación estándar “Overall” det. Con la desviación estándar de los datos S/C4, donde C4=4(n–1)/(4n-3)), se usa para determinar los índices de Desempeño Pp, Ppk y PPM “Overall”
El “Observed Perfomance” se determina comparando los datos de la muestra con las especificaciones
265
Capacidad a partir de cartas de control
266
EN CASOS ESPECIALES COMO ESTOSDONDE LAS VARIACIONES PRESENTES SON TOTALMENTE INESPERADASTENEMOSUN PROCESO INESTABLE o “IMPREDECIBLE”. ?
? ? ? ?? ?
267
Bases del CEP
SI LAS VARIACIONES PRESENTES SON IGUALES, SE DICE QUE SE TIENE UN PROCESO “ESTABLE”. LA DISTRIBUCION SERA “PREDECIBLE” EN EL TIEMPO
Predicción
Tiempo
268
Control y Capacidad de Proceso Control de Proceso:
Cuando la única fuente de variación es normal o de causa común, se dice que el proceso esta operando en “CONTROL”.
Capacidad de Proceso:
Medición estadística de las variaciones de causa común que son demostradas por un proceso. Un proceso es capaz cuando la causa común de variación cae dentro de las especificacionesdel cliente. La capacidad no se puede determinar a menos que el proceso se encuentre en Control y Estable.
269
Proceso en Control Estadístico La distribución de la mayoría de las características medidas forman una curva en forma de campana o normal, si no hay causas especiales presentes, que alteren la normalidad . ¿cuales son las causas comunes?|
Distribucióndel Proceso
Area entre 0 y 1s -Probabilidad de Ocurrencia
_ x= media s= sigma; es la desviación estándar; medida de la variación del proceso.14 % 14 %
2% 2%-3s -2s -1s x +1s +2s 3s
99.73%
34% 34%
x
270
Ejemplo de carta de control X-R
Sample
Sam
ple
Mea
n
18161412108642
90
80
70
60
__X=72.69
UCL=86.84
LCL=58.53
Sample
Sam
ple
Rang
e
18161412108642
48
36
24
12
0
_R=24.54
UCL=51.89
LCL=0
Xbar-R Chart of Pulse1
271
Desviación estándar: Si el proceso sigue una distribución normal y
está en control estadístico, entonces la desviación estándar puede ser estimada de:
Para procesos nuevos, se puede estimar la capacidad del proceso de una producción piloto
Estudios de capacidad
2dR
R
272
Desviación Estándar del proceso
Donde, = Desviación estándar de la poblaciónd2 = Factor que depende del tamaño del subgrupo en la carta de control X - RC4 = Idem al anterior para una carta X - S
NOTA: En una carta por individuales, d2 se toma para n = 2 y Rango Medio= Suma rangos / (n -1)
= R o = S d2 c4
273
Capacidad de procesoCuando las causas comunes son la única variación:
Cp El índice de capacidad potencial del proceso compara la amplitud del proceso con la amplitud especificada. Cp = (LSE - LIE) / 6
Cpk El índice de capacidad real del proceso compara la media real con el límite de especificaciones más cercano (LE) a esta.
Cpk = LE – Xmedia Cpk = menor |Z1 ; Z2| / 3 3
274
Ejemplo (carta X - R) De una carta de control X - R (con subgrupo n = 5) se obtuvo lo siguiente, después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes:
Xmedia de medias = 264.06 Rmedio = 77.3
Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene:
= X media de medias = Rmedio / d2 =77.3 / 2.326 = 33.23
[ d2 para n = 5 tiene el valor 2.326]
Si el límite de especificación es: LIE = 200. El Cpk = (200 - 264.06) / (77.3) (3) = 0.64 por tanto el proceso no cumple con las especificaciones
275
Ejemplo (carta X - S)
De una carta de control X - S (con subgrupo n = 5) se obtuvo lo siguiente, después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes:
Xmedia de medias = 100 Smedio = 1.05
Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene:
= X media de medias = Smedio / C4 = 1.05 / 0.94 = 1.117
[ C4 para n = 5 tiene el valor 0.94 ]Si el límite de especificación es: LIE = 85 y el LSE = 105. El Cpk = (105 - 100) / (1.117 ) (3) = 1.492El Cp = (105 - 85) / 6 (1.117 ) = 2.984por tanto el proceso es capaz de cumplir con especificaciones
276
Ejercicios 1) De una carta de control X - R (con subgrupo n = 8) se obtuvo lo siguiente, después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes (LIE = 36, LSE = 46):
Xmedia de medias = 40 Rmedio = 5
2) De una carta de control X - S (con subgrupo n = 6) se obtuvo lo siguiente, después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes (LIE = 15, LSE = 23):
Xmedia de medias = 20 Smedio = 1.5
277
V.F.2 Índices de desempeño del proceso
278
Se toman todos los datos del proceso históricos, no importa que el proceso no esté en control o no sea normal.
Desv. Est. lt(Overall)
=
Estimación de la desviación estándar
con el proceso a largo plazo
44
1
2
)(
34)1(4
1
)(
CdatosDesvest
CS
nnn
XXin
i
lt
279
El índice de desempeño potencial del Proceso (Pp) mide la variación del proceso en relación con el rango de Especificación.
Pp = ToleranciaVariación del proceso
=LSE - LIE
6 Desviaciones Estándar - lt
La relación de capacidad (CR) es la inversa del cálculo de Cp. Este índice le indica que porcentaje de la especificación está siendo usado por la variación del proceso.
CR = Rango del procesoTolerancia
= 6 desviaciones Est. - ltLSE - LIE
Índices de desempeño Potencial del proceso – Largo plazo
280
Ppk es una medida del desempeño real del proceso en función de la posición de la media del proceso (X) en relación con con los límites de especificación.
Con límites bilaterales da una indicación del centrado.
Es el menor de:
Ppk = LSE - promedio del proceso3 desviaciones est. - lt y
Promedio del proceso - LIE3 desviaciones Estándar - lt
Índice de desempeño real del proceso – largo plazo
281
Cálculo del desempeño del proceso a lago plazo
Índice de desempeño potencial Pp = (LSE - LIE ) / 6 lt
Debe ser 1 de preferencia >1.33para tener el potencial de cumplir con especificaciones (LIE, LSE)
Índice de desempeño real Ppk = Menor | ZI y ZS | / 3El Ppk debe ser 1 para que elproceso cumpla especificacionesde preferencia > 1.33
282
IIIF.3 Capacidad a corto y a largo plazo
283
Corto y largo plazos Corto plazo:
Es un periodo corto de tiempo en el cual no hay cambios significativos en el proceso en relación a las 6M’s (personal, materiales, métodos, medio ambiente, mediciones, máquinas)
Largo Plazo Es el periodo de tiempo en el cual ya han
ocurrido todos los cambios posibles en el proceso, se trata de información histórica
284
Carta de corridas cortas Se puede utilizar una carta X-R modificada
para corridas cortas, con base en subgrupos de 3 a 10 piezas.
Inicialmente se utilizan A2 y D4 para calcular los límites de control que se modifican al tomar más puntos
El Cpk calcualdo de esta forma se considera preliminar
Corto y largo plazos Los índices de capacidad del proceso Cp y Cpk
se consideran a corto plazo, cuando no se presentan cambios en el proceso (en las 6 M’s)
Los índices de desempeño Pp y Ppk se consideran a largo plazo con datos históricos cuando ya han sucedido todos los cambios en el proceso
285
286
V.F.4 Análisis de la Capacidad de procesos no normales
287
Procesos no normales Los datos no siempre se ajustan a la
distribución normal. Se tienen dos estrategias para transformar los
datos no normales para lograr un comportamiento normal, la de Box Cox y Johnson
288
Transformación de Box Cox Minitab encuentra una transformación óptima
(W = Y**Lamda) Está limitada a datos positivos . Asume que los
datos están en subgrupos para permitir un análisis “dentro del subgrupo”
La transformación de potencia de Box-Cox dada por:
0;1)(
2
xx
0;)ln()( x
289
Procesos no normales Dadas las observaciones X1, X2, X3,….., Xn,
seleccionar la potencia que maximice el logaritmo de la función de máxima verosimilitud
Con la media aritmética de los datos transformados dada por:
n
ii
n
i
i xnxxnxf
11
2
)ln()1())()((
ln2
)(
n
iixn
x1
)(1)(
290
Capacidad de procesos no normales transformando datos
con Box - Cox Con archivo de Minitab TILES.MTW, lamda =
0.5
Lambda
StDe
v
543210-1-2
20
15
10
5
0
Lower CL Upper CL
Limit
Lambda
0.500000
(using 95.0% confidence)Estimate 0.345504Lower CL 0.052120Upper CL 0.642093Best Value
Box-Cox Plot of Warping
291
Capacidad de procesos no normales transformando datos
con Box - Cox Con la raíz cuadrada de los datos y de los límites de
especificaciones se tiene:
2.82.42.01.61.20.80.40.0
LSL USLProcess Data
Sample N 100StDev(Within) 0.51337StDev(Overall) 0.53934
LSL 0.00000Target *USL 2.82843Sample Mean 1.62374
Potential (Within) Capability
CCpk 0.92Overall Capability
Pp 0.87PPL 1.00PPU 0.74Ppk
Cp
0.74Cpm *
0.92CPL 1.05CPU 0.78Cpk 0.78
Observed PerformancePPM < LSL 0.00PPM > USL 20000.00PPM Total 20000.00
Exp. Within PerformancePPM < LSL 781.08PPM > USL 9472.66PPM Total 10253.74
Exp. Overall PerformancePPM < LSL 1303.73PPM > USL 12754.26PPM Total 14057.99
WithinOverall
Process Capability of Transf
292
Transformación de Johnson
Minitab selecciona la función de transformación de tres tipos de funciones (SB, SL y SU), para tener muchas opciones
Transformación de Johnson Con archivo Tiles.mtw
293
1050-5
99.999
90
50
101
0.1
Perc
ent
N 100AD 1.028P-Value 0.010
420-2
99.99990
50
101
0.1
Perc
ent
N 100AD 0.231P-Value 0.799
1.21.00.80.60.40.2
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
Z Value
P-Va
lue
for
AD
test
0.6
Ref P
P-Value for Best Fit: 0.798895Z for Best Fit: 0.6Best Transformation Type: SBTransformation function equals0.882908 + 0.987049 * Ln( ( X + 0.132606 ) / ( 9.31101 - X ) )
Probability Plot for Original Data
Probability Plot for Transformed Data
Select a Transformation
(P-Value = 0.005 means <= 0.005)
Johnson Transformation for WarpingWarping Transf1.60103 -0.590060.84326 -1.24983.00679 0.1947491.29923 -0.816752.24237 -0.193652.63579 0.0141730.34093 -2.020426.96534 1.9758023.46645 0.4043471.41079 -0.72885
Etc. Etc.
294
Capacidad con distribuciones diferentes a la normal
Se pueden utilizar otras distribuciones que ajusten a los datos no normales para determinar el Pp y el Ppk
10.01.00.1
99.99050
10
1
0.1
Warping
Perc
ent
10.01.00.1
99.999
90
50
10
10.1
Warping
Perc
ent
10.0001.0000.1000.0100.001
99.99050
10
1
0.1
Warping
Perc
ent
1050
99.999
90
50
10
10.1
Warping
Perc
ent
Weibull0.994
Lognormal0.978
Exponential*
Normal0.978
Correlation Coefficient
Probability Plot for WarpingLSXY Estimates-Complete Data
Weibull Lognormal
Exponential Normal
295
Capacidad de procesos no normales usando la distribución
de Weibull Con archivo de Minitab TILES.MTW
7.56.04.53.01.50.0
LSL USLProcess Data
Sample N 100Shape 1.69368Scale 3.27812
LSL 0.00000Target *USL 8.00000Sample Mean 2.92307
Overall CapabilityPp 0.81PPL 1.03PPU 0.73Ppk 0.73
Observed PerformancePPM < LSL 0PPM > USL 20000PPM Total 20000
Exp. Overall PerformancePPM < LSL 0.0PPM > USL 10764.5PPM Total 10764.5
Process Capability of WarpingCalculations Based on Weibull Distribution Model
296
Capacidad de procesos por Pearson
• Independientemente de si los datos siguen una distribución normal o no, se pueden calcular los índices de capacidad y habilidad de proceso determinando los valores de los “Percentiles” o “límites de control” equivalentes a un área bajo la curva de 0.135% de cada lado de la misma.
• Este método ha sido propuesto por Clements (1989) con base en las curvas de Karl Pearson (1893), para ello, es necesario caracterizar la curva de distribución de acuerdo a su posición (Media), dispersión (Desviación Estándar) y forma (Grado de asimetría mediante el Sesgo y grado de “achatamiento” o Kurtosis).
297
Capacidad de procesos por Pearson
Procedimiento : Identificar los límites de especificación de la
variable de interés (LSE, LIE) Calcular la Media (Y). Calcular la Desviación estándar (s ó s) Calcular el coeficiente de sesgo (a3) Calcular el coeficiente de Kurtosis
Pi’ se determina de la tabla 1ª y Ps’ de la 1b
298
Capacidad de procesos por Pearson
Cálculo del sesgo:
Donde : momento 3 = m3 = (S(yi – y)3)/n
a3 = n .(n-1)(n-2) S
i=1
n ( ) yi – y s
3O bien :
a3 > 0 a3 < 0a3 = 0
299
Capacidad de procesos por Pearson
Calcular el coeficiente de curtosis (a4 -3)
a4 = m4 / 4 Donde : momento 4 = m4 = (S(yi – y)4)/n
a4-3 = n (n+1) .(n-1)(n-2)(n-3) S
i=1
n ( ) yi – y s
4{ } 3 (n-1)2 .(n-2)(n-3) -
O bien :
Curva Leptocúrtica : a4 > 3
Curva Mesocúrtica : a4 = 3Curva Platicúrtica : a4 < 3
300
Con Minitab Stat > Basic Statistics > Display descriptive statistics >> Graphs... >> Graphical Summary
1.000.850.700.550.40
95% Confidence Interval for Mu
0.580.530.48
95% Confidence Interval for Median
Variable: Dist.1
0.47619
0.12829
0.51402
Maximum3rd QuartileMedian1st QuartileMinimum
NKurtosisSkewnessVarianceStDevMean
P-Value:A-Squared:
0.52875
0.17075
0.57338
1.111110.588240.513160.454550.34483
962.485151.44751
2.15E-020.1464900.543699
0.0003.073
95% Confidence Interval for Median
95% Confidence Interval for Sigma
95% Confidence Interval for Mu
Anderson-Darling Normality Test
Descriptive Statistics
301
Con MinitabDe la tabla 2 de las curvas de Pearson obtenga
la Mediana estandarizada (M’) :Para coeficiente de sesgo positivo cambie el signo a
M’.Para coeficiente de sesgo negativo deje el signo de
M’.Calcular el percentil 0.135 estimado (PI) :
PI = y – s * PI’Calcular percentil 99.865 estimado
(PS) : PS = y + s * PS’Calcular la Mediana estimada (M) :
M = y + s * M’
302
Con MinitabCalcular el índice de capacidad potencial de proceso
(Pp). LSE - LIE PS - PI
Pp =
Calcular el índice de habilidad del proceso (Ppk)
Ppk = min {Ppi, Pps}
M - LIE M - PI
Ppi =
LSE – M PS - M
Pps =
Tabla 1a de PearsonCurtosis Sesgo Curtosis
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0-1.4 1.512 1.421 1.317 1.206 1.092 0.979 0.868 0.762 -1.4-1.2 1.727 1.619 1.496 1.364 1.230 1.100 0.975 0.858 0.747 -1.2-1.0 1.966 1.840 1.696 1.541 1.384 1.232 1.089 0.957 0.836 -1.0-0.8 2.210 2.072 1.912 1.736 1.555 1.377 1.212 1.062 0.927 0.804 0.692 -0.8-0.6 2.442 2.298 2.129 1.941 1.740 1.539 1.348 1.175 1.023 0.887 0.766 0.656 -0.6-0.4 2.653 2.506 2.335 2.141 1.930 1.711 1.496 1.299 1.125 0.974 0.841 0.723 0.616 -0.4-0.2 2.839 2.692 2.522 2.329 2.116 1.887 1.655 1.434 1.235 1.065 0.919 0.791 0.677 0.574 -0.20.0 3.000 2.856 2.689 2.500 2.289 2.059 1.817 1.578 1.356 1.163 1.000 0.861 0.739 0.630 0.531 0.00.2 3.140 2.986 2.834 2.653 2.447 2.220 1.976 1.726 1.485 1.269 1.086 0.933 0.801 0.686 0.583 0.20.4 3.261 3.088 2.952 2.785 2.589 2.368 2.127 1.873 1.619 1.382 1.178 1.008 0.865 0.742 0.634 0.536 0.40.6 3.366 3.164 3.045 2.896 2.714 2.502 2.267 2.015 1.754 1.502 1.277 1.087 0.931 0.799 0.685 0.583 0.469 0.60.8 3.458 3.222 3.118 2.986 2.821 2.622 2.396 2.148 1.887 1.625 1.381 1.172 1.000 0.857 0.736 0.629 0.533 0.81.0 3.539 3.266 3.174 3.058 2.910 2.727 2.512 2.271 2.013 1.748 1.491 1.262 1.072 0.917 0.787 0.675 0.575 0.484 1.01.2 3.611 3.300 3.218 3.115 2.983 2.817 2.616 2.385 2.132 1.876 1.602 1.357 1.149 0.979 0.840 0.721 0.617 0.510 1.21.4 3.674 3.327 3.254 3.161 3.043 2.893 2.708 2.488 2.243 1.981 1.713 1.456 1.230 1.045 0.894 0.768 0.659 0.562 0.475 1.41.6 3.731 3.349 3.282 3.199 3.092 2.957 2..787 2.581 2.345 2.089 1.821 1.556 1.316 1.113 0.950 0.815 0.701 0.600 0.510 1.61.8 3.782 3.367 3.306 3.229 3.133 3.011 2.855 2.664 2.438 2.189 1.925 1.664 1.404 1.185 1.008 0.863 0.743 0.638 0.546 0.461 1.82.0 3.828 3.382 3.325 3.255 3.167 3.055 2.914 2.736 2.524 2.283 2.023 1.755 1.494 1.261 1.068 0.913 0.785 0.676 0.580 0.494 2.02.2 3.870 3.395 3.342 3.277 3.196 3.093 2.964 2.800 2.600 2.369 2.116 1.850 1.584 1.339 1.132 0.964 0.828 0.714 0.615 0.526 0.445 2.22.4 3.908 3.405 3.356 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2.766 2.622 2.456 2.271 2.070 1.861 1.648 9.810.0 4.408 3.497 3.475 3.451 3.424 3.393 3.359 3.320 3.275 3.222 3.161 3.088 3.003 2.901 2.780 2.639 2.476 2.295 2.097 1.890 1.679 10.010.2 3.425 3.395 3.361 3.322 3.278 3.226 3.166 3.095 3.011 2.911 2.793 2.655 2.496 2.318 2.123 1.918 1.708 10.210.4 3.396 3.363 3.325 3.281 3.230 3.171 3.101 3.019 2.921 2.806 2.671 2.515 2.340 2.148 1.945 1.737 10.410.6 3.364 3.327 3.283 3.233 3.175 3.107 3.026 2.930 2.818 2.686 2.533 2.361 2.172 1.972 1.765 10.610.8 3.329 3.286 3.237 3.179 3.112 3.033 2.940 2.829 2.700 2.551 2.382 2.196 1.998 1.793 10.811.0 3.289 3.240 3.184 3.118 3.040 2.948 2.840 2.714 2.567 2.401 2.218 2.023 1.819 11.011.2 3.243 3.188 3.123 3.046 2.956 2.851 2.727 2.583 2.420 2.240 2.047 1.845 11.211.4 3.191 3.128 3.053 2.964 2.861 2.739 2.598 2.438 2.261 2.070 1.870 11.411.6 3.195 3.132 3.058 2.972 2.870 2.751 2.613 2.456 2.281 2.093 1.895 11.611.8 3.137 3.064 2.979 2.879 2.762 2.627 2.473 2.301 2.115 1.919 11.812.0 3.141 3.070 2.986 2.888 2.773 2.641 2.489 2.320 2.136 1.942 12.012.2 3.075 2.993 2.896 2.784 2.653 2.505 2.338 2.157 1.965 12.2
Sesgo 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
Tabla 1b de PearsonCurtosis Sesgo Curtosis
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0-1.4 1.512 1.584 1.632 1.655 1.653 1.626 1.579 1.516 -1.4-1.2 1.727 1.813 1.871 1.899 1.895 1.861 1.803 1.726 1.636 -1.2-1.0 1.966 2.065 2.134 2.170 2.169 2.131 2.061 1.966 1.856 -1.0-0.8 2.210 2.320 2.400 2.446 2.454 2.422 2.349 2.241 2.108 1.965 1.822 -0.8-0.6 2.442 2.560 2.648 2.704 2.726 2.708 2.646 2.540 2.395 2.225 2.062 1.885 -0.6-0.4 2.653 2.774 2.869 2.934 2.969 2.968 2.926 2.837 2.699 2.518 2.314 2.114 1.928 -0.4-0.2 2.839 2.961 3.060 3.133 3.179 3.194 3.173 3.109 2.993 2.824 2.608 2.373 2.152 1.952 -0.20.0 3.000 3.123 3.224 3.303 3.358 3.387 3.385 3.345 3.259 3.116 2.914 2.665 2.405 2.169 1.960 0.00.2 3.140 3.261 3.364 3.447 3.510 3.550 3.564 3.546 3.488 3.378 3.206 2.970 2.690 2.412 2.167 0.20.4 3.261 3.381 3.484 3.570 3.639 3.688 3.715 3.715 3.681 3.603 3.468 3.264 2.993 2.687 2.398 2.149 0.40.6 3.366 3.485 3.588 3.676 3.749 3.805 3.843 3.858 3.844 3.793 3.693 3.529 3.290 2.984 2.658 2.366 2.119 0.60.8 3.458 3.575 3.678 3.768 3.844 3.905 3.951 3.978 3.961 3.953 3.883 3.758 3.561 3.283 2.945 2.609 2.322 0.81.0 3.539 3.654 3.757 3.847 3.926 3.991 4.044 4.080 4.096 4.087 4.043 3.952 3.797 3.561 3.243 2.881 2.547 2.269 1.01.2 3.611 3.724 3.826 3.917 3.997 4.066 4.124 4.167 4.194 4.208 4.177 4.115 3.998 3.808 3.529 3.172 2.798 2.476 1.21.4 3.674 3.786 3.887 3.978 4.060 4.131 4.193 4.243 4.278 4.296 4.290 4.252 4.168 4.020 3.789 3.463 3.075 2.705 2.399 1.41.6 3.731 3.842 3.942 4.033 4.115 4.189 4.253 4.308 4.351 4.378 4.386 4.367 4.311 4.200 4.015 3.736 3.364 2.961 2.609 1.61.8 3.782 3.891 3.990 4.081 4.164 4.239 4.307 4.365 4.414 4.449 4.468 4.472 4.431 4.352 4.209 3.979 3.646 3.238 2.840 2.511 1.82.0 3.828 3.936 4.034 4.125 4.208 4.285 4.354 4.416 4.468 4.511 4.539 4.549 4.532 4.479 4.372 4.189 3.907 3.522 3.095 2.719 2.02.2 3.870 3.976 4.073 4.164 4.248 4.325 4.396 4.460 4.517 4.564 4.600 4.620 4.619 4.587 4.510 4.369 4.137 3.796 3.370 2.949 2.603 2.22.4 4.908 4.013 4.109 4.199 4.283 4.361 4.433 4.500 4.559 4.611 4.653 4.682 4.693 4.678 4.627 4.521 4.336 4.047 3.648 3.201 2.808 2.42.6 3.943 4.046 4.142 4.231 4.315 4.394 4.467 4.535 4.597 4.653 4.700 4.736 4.757 4.756 4.725 4.649 4.506 4.269 3.916 3.471 3.033 2.62.8 3.975 4.077 4.172 4.261 4.344 4.423 4.498 4.567 4.631 4.690 4.741 4.783 4.812 4.824 4.809 4.758 4.650 4.460 4.160 3.745 3.280 2.83.0 4.004 4.105 4.199 4.287 4.371 4.450 4.525 4.596 4.662 4.723 4.777 4.824 4.860 4.882 4.881 4.850 4.771 4.623 4.376 4.007 3.544 3.03.2 4.031 4.131 4.224 4.312 4.396 4.475 4.550 4.622 4.689 4.752 4.810 4.861 4.903 4.932 4.944 4.929 4.875 4.762 4.563 4.347 3.813 3.23.4 4.056 4.155 4.247 4.335 4.418 4.498 4.573 4.645 4.714 4.779 4.839 4.893 4.940 4.976 4.997 4.996 4.963 4.880 4.723 4.461 4.072 3.43.6 4.079 4.177 4.269 4.356 4.439 4.518 4.594 4.667 4.737 4.803 4.865 4.922 4.973 5.015 5.044 5.055 5.038 4.980 4.859 4.647 4.311 3.63.8 4.101 4.197 4.288 4.375 4.458 4.537 4.614 4.687 4.757 4.825 4.888 4.948 5.002 5.049 5.085 5.106 5.103 5.066 4.976 4.806 4.524 3.84.0 4.121 4.217 4.307 4.393 4.476 4.555 4.631 4.705 4.776 4.845 4.910 4.972 5.029 5.080 5.122 5.150 5.159 5.139 5.075 4.943 4.712 4.04.2 4.140 4.234 4.324 4.410 4.492 4.571 4.648 4.722 4.794 4.863 4.929 4.993 5.052 5.107 5.153 5.189 5.208 5.202 5.159 5.059 4.873 4.24.4 4.157 4.251 4.340 4.425 4.508 4.587 4.663 4.737 4.809 4.879 4.947 5.012 5.074 5.131 5.181 5.223 5.250 5.257 5.232 5.159 5.012 4.44.6 4.174 4.267 4.355 4.400 4.522 4.601 4.677 4.752 4.824 4.895 4.963 5.029 5.093 5.152 5.207 5.253 5.288 5.305 5.295 5.244 5.131 4.64.8 4.189 4.281 4.369 4.454 4.535 4.614 4.691 4.765 4.838 4.909 4.978 5.045 5.110 5.172 5.229 5.280 5.321 5.346 5.349 5.318 5.233 4.85.0 4.204 4.295 4.383 4.467 4.548 4.627 4.703 4.778 4.851 4.922 4.992 5.060 5.126 5.190 5.249 5.303 5.350 5.383 5.396 5.381 5.320 5.05.2 4.218 4.308 4.395 4.479 4.560 4.638 4.715 4.789 4.862 4.934 5.004 5.073 5.141 5.206 5.267 5.325 5.376 5.415 5.437 5.436 5.395 5.25.4 4.231 4.321 4.407 4.090 4.571 4.649 4.725 4.800 4.873 4.945 5.016 5.086 5.154 5.220 5.284 5.344 5.399 5.443 5.474 5.483 5.460 5.45.6 4.243 4.332 4.418 4.501 4.581 4.659 4.736 4.810 4.884 4.956 5.027 5.097 5.166 5.233 5.299 5.361 5.418 5.468 5.505 5.525 5.516 5.65.8 4.255 4.343 4.429 4.511 4.591 4.669 4.745 4.820 4.893 4.966 5.037 5.108 5.177 5.246 5.312 5.376 5.436 5.491 5.533 5.571 5.565 5.86.0 4.266 4.354 4.439 4.521 4.600 4.678 4.754 4.829 4.902 4.975 5.046 5.117 5.188 5.257 5.325 5.390 5.452 5.511 5.558 5.593 5.608 6.06.2 4.276 4.364 4.448 4.530 4.609 4.695 4.763 4.837 4.911 4.983 5.055 5.126 5.197 5.267 5.336 5.403 5.467 5.529 5.581 5.621 5.645 6.26.4 4.286 4.373 4.457 4.538 4.618 4.703 4.771 4.845 4.919 4.991 5.063 5.135 5.206 5.276 5.346 5.440 5.480 5.542 5.600 5.646 5.678 6.46.6 4.296 4.382 4.466 4.547 4.626 4.710 4.778 4.853 4.926 4.999 5.071 5.143 5.214 5.285 5.356 5.425 5.492 5.557 5.618 5.669 5.706 6.66.8 4.305 4.391 4.474 4.554 4.633 4.717 4.785 4.860 4.933 5.006 5.078 5.150 5.222 5.293 5.364 5.434 5.503 5.569 5.634 5.688 5.732 6.87.0 4.313 4.399 4.481 4.562 4.640 4.724 4.792 4.867 4.940 5.013 5.085 5.157 5.229 5.301 5.372 5.443 5.513 5.581 5.648 5.706 5.754 7.07.2 4.322 4.406 4.489 4.569 4.647 4.730 4.799 4.873 4.946 5.019 5.091 5.164 5.236 5.308 5.380 5.451 5.522 5.591 5.658 5.722 5.775 7.27.4 4.330 4.414 4.496 4.576 4.654 4.736 4.805 4.879 4.952 5.025 5.097 5.170 5.242 5.314 5.387 5.459 5.530 5.601 5.669 5.736 5.792 7.47.6 4.337 4.421 4.503 4.582 4.660 4.742 4.811 4.885 4.958 5.031 5.103 5.175 5.248 5.320 5.393 5.466 5.538 5.609 5.679 5.749 5.808 7.67.8 4.344 4.428 4.509 4.588 4.666 4.747 4.817 4.890 4.963 5.036 5.109 5.181 5.253 5.326 5.399 5.472 5.545 5.617 5.688 5.760 5.823 7.88.0 4.351 4.434 4.515 4.594 4.672 4.753 4.822 4.896 4.969 5.041 5.114 5.186 5.259 5.331 5.404 5.478 5.551 5.624 5.696 5.771 5.836 8.08.2 4.358 4.441 4.521 4.600 4.677 4.758 4.827 4.901 4.974 5.046 5.118 5.191 5.263 5.336 5.410 5.483 5.557 5.631 5.704 5.775 5.847 8.28.4 4.365 4.447 4.527 4.605 4.682 4.762 4.832 4.905 4.978 5.051 5.123 5.195 5.268 5.341 5.414 5.488 5.562 5.637 5.710 5.783 5.858 8.48.6 4.371 4.452 4.532 4.611 4.687 4.767 4.837 4.910 4.983 5.055 5.127 5.200 5.272 5.345 5.419 5.493 5.567 5.642 5.717 5.790 5.867 8.68.8 4.377 4.458 4.538 4.616 4.692 4.772 4.841 4.914 4.987 5.059 5.132 5.204 5.276 5.349 5.423 5.497 5.572 5.647 5.722 5.797 5.875 8.89.0 4.382 4.463 4.543 4.621 4.697 4.776 4.845 4.918 4.991 5.063 5.135 5.208 5.280 5.353 5.427 5.501 5.576 5.652 5.727 5.803 5.883 9.09.2 4.388 4.468 4.548 4.625 4.701 4.780 4.850 4.923 4.995 5.067 5.139 5.211 5.284 5.357 5.431 5.505 5.580 5.656 5.732 5.808 5.883 9.29.4 4.393 4.473 4.552 4.630 4.705 4.784 4.854 4.926 4.999 5.071 5.143 5.215 5.287 5.361 5.434 5.509 5.584 5.660 5.736 5.813 5.889 9.49.6 4.398 4.478 4.557 4.634 4.710 4.788 4.857 4.930 5.002 5.074 5.146 5.218 5.291 5.364 5.437 5.512 5.587 5.663 5.740 5.817 5.894 9.69.8 4.403 4.483 4.561 4.638 4.714 4.791 4.861 4.934 5.006 5.078 5.149 5.222 5.294 5.367 5.440 5.515 5.590 5.667 5.744 5.821 5.898 9.810.0 4.408 4.487 4.565 4.642 4.717 4.795 4.865 4.937 5.009 5.081 5.156 5.225 5.297 5.370 5.443 5.518 5.593 5.670 5.747 5.825 5.903 10.010.2 4.721 4.798 4.868 4.940 5.012 5.084 5.156 5.228 5.300 5.373 5.446 5.521 5.596 5.673 5.750 5.828 5.906 10.210.4 4.871 4.943 5.015 5.087 5.158 5.230 5.303 5.375 5.449 5.523 5.599 5.675 5.753 5.831 5.910 10.410.6 4.874 4.947 5.018 5.090 5.161 5.233 5.305 5.378 5.451 5.526 5.601 5.678 5.755 5.834 5.913 10.610.8 4.949 5.021 5.092 5.164 5.236 5.308 5.300 5.454 5.528 5.603 5.680 5.757 5.836 5.915 10.811.0 5.024 5.095 5.166 5.238 5.310 5.383 5.456 5.530 5.605 5.682 5.760 5.838 5.918 11.011.2 5.098 5.169 5.240 5.312 5.385 5.458 5.532 5.607 5.684 5.762 5.840 5.920 11.211.4 5.171 5.243 5.314 5.387 5.460 5.534 5.609 5.686 5.763 5.842 5.922 11.411.6 5.173 5.245 5.316 5.389 5.462 5.536 5.611 5.687 5.765 5.844 5.924 11.611.8 5.247 5.318 5.391 5.464 5.538 5.613 5.689 5.767 5.845 5.925 11.812.0 5.249 5.320 5.393 5.465 5.539 5.614 5.690 5.760 5.847 5.927 12.012.2 5.322 5.394 5.467 5.500 5.616 5.692 5.769 5.848 5.928 12.2
Sesgo 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
Tabla 2 de PearsonCurtosis Sesgo Curtosis
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0-1.4 0.000 0.053 0.111 0.184 0.282 0.424 0.627 0.754 -1.4-1.2 0.000 0.039 0.082 0.132 0.196 0.284 0.412 0.591 0.527 -1.2-1.0 0.000 0.031 0.065 0.103 0.151 0.212 0.297 0.419 0.586 -1.0-0.8 0.000 0.026 0.054 0.085 0.123 0.169 0.231 0.317 0.439 0.598 0.681 -0.8-0.6 0.000 0.023 0.047 0.073 0.104 0.142 0.190 0.254 0.343 0.468 0.616 0.653 -0.6-0.4 0.000 0.020 0.041 0.064 0.091 0.122 0.161 0.212 0.280 0.375 0.504 0.633 0.616 -0.4-0.2 0.000 0.018 0.037 0.058 0.081 0.108 0.141 0.183 0.237 0.311 0.413 0.542 0.638 0.574 -0.20.0 0.000 0.017 0.034 0.053 0.073 0.097 0.126 0.161 0.206 0.266 0.347 0.456 0.579 0.621 0.531 0.00.2 0.000 0.015 0.032 0.049 0.068 0.089 0.114 0.145 0.183 0.233 0.299 0.388 0.501 0.605 0.582 0.20.4 0.000 0.014 0.029 0.045 0.063 0.082 0.105 0.132 0.165 0.208 0.263 0.336 0.433 0.545 0.607 0.536 0.40.6 0.000 0.013 0.028 0.043 0.059 0.077 0.097 0.122 0.151 0.188 0.235 0.297 0.379 0.481 0.579 0.579 0.589 0.60.8 0.000 0.013 0.026 0.040 0.055 0.072 0.091 0.113 0.140 0.172 0.213 0.266 0.336 0.425 0.527 0.590 0.533 0.81.0 0.000 0.012 0.025 0.038 0.053 0.068 0.086 0.106 0.130 0.159 0.196 0.242 0.301 0.379 0.474 0.563 0.569 0.484 1.01.2 0.000 0.011 0.024 0.036 0.050 0.065 0.082 0.100 0.122 0.148 0.181 0.222 0.274 0.341 0.426 0.520 0.576 0.524 1.21.4 0.000 0.011 0.023 0.035 0.048 0.062 0.078 0.095 0.116 0.140 0.169 0.206 0.252 0.310 0.385 0.474 0.554 0.555 0.475 1.41.6 0.000 0.010 0.022 0.034 0.046 0.060 0.075 0.091 0.110 0.132 0.159 0.192 0.233 0.285 0.351 0.432 0.518 0.564 0.510 1.61.8 0.000 0.010 0.021 0.032 0.044 0.057 0.072 0.087 0.105 0.126 0.151 0.180 0.217 0.264 0.323 0.396 0.480 0.549 0.540 0.461 1.82.0 0.000 0.009 0.020 0.031 0.043 0.065 0.069 0.084 0.101 0.120 0.143 0.171 0.204 0.246 0.299 0.365 0.443 0.521 0.552 0.494 2.02.2 0.000 0.009 0.020 0.030 0.042 0.054 0.067 0.081 0.097 0.115 0.137 0.162 0.193 0.231 0.279 0.338 0.410 0.488 0.544 0.522 0.445 2.22.4 0.000 0.009 0.019 0.029 0.040 0.052 0.065 0.078 0.094 0.111 0.131 0.155 0.183 0.218 0.261 0.315 0.381 0.456 0.524 0.538 0.475 2.42.6 0.000 0.008 0.018 0.029 0.039 0.051 0.063 0.076 0.091 0.107 0.126 0.148 0.175 0.207 0.246 0.295 0.355 0.426 0.498 0.539 0.503 2.62.8 0.000 0.008 0.018 0.028 0.038 0.049 0.061 0.074 0.080 0.104 0.122 0.143 0.167 0.197 0.233 0.278 0.333 0.398 0.470 0.526 0.522 2.83.0 0.000 0.008 0.017 0.027 0.037 0.048 0.059 0.072 0.085 0.101 0.118 0.138 0.161 0.189 0.222 0.263 0.313 0.374 0.443 0.506 0.530 3.03.2 0.000 0.008 0.017 0.027 0.037 0.047 0.058 0.070 0.083 0.098 0.114 0.033 0.155 0.181 0.212 0.250 0.296 0.352 0.417 0.483 0.525 3.23.4 0.000 0.008 0.017 0.026 0.036 0.046 0.057 0.068 0.081 0.095 0.111 0.129 0.150 0.174 0.203 0.239 0.281 0.333 0.394 0.460 0.513 3.43.6 0.000 0.007 0.016 0.025 0.035 0.045 0.056 0.067 0.079 0.093 0.108 0.125 0.145 0.168 0.196 0.228 0.268 0.316 0.373 0.437 0.495 3.63.8 0.000 0.007 0.016 0.025 0.034 0.044 0.054 0.066 0.078 0.091 0.105 0.122 0.141 0.163 0.188 0.219 0.256 0.301 0.354 0.415 0.475 3.84.0 0.000 0.007 0.015 0.025 0.034 0.043 0.053 0.064 0.076 0.089 0.103 0.119 0.137 0.158 0.182 0.211 0.246 0.288 0.337 0.395 0.495 4.04.2 0.000 0.007 0.015 0.024 0.033 0.043 0.053 0.063 0.075 0.087 0.101 0.116 0.133 0.153 0.176 0.204 0.236 0.276 0.322 0.376 0.435 4.24.4 0.000 0.007 0.015 0.024 0.033 0.042 0.052 0.062 0.073 0.085 0.099 0.113 0.130 0.149 0.171 0.197 0.228 0.265 0.308 0.359 0.416 4.44.6 0.000 0.007 0.015 0.023 0.032 0.041 0.051 0.061 0.072 0.084 0.097 0.111 0.127 0.145 0.167 0.191 0.220 0.255 0.296 0.344 0.399 4.64.8 0.000 0.006 0.015 0.023 0.032 0.041 0.050 0.060 0.071 0.082 0.095 0.109 0.124 0.142 0.162 0.186 0.213 0.246 0.285 0.330 0.382 4.85.0 0.000 0.006 0.014 0.023 0.031 0.040 0.049 0.059 0.070 0.081 0.093 0.107 0.122 0.139 0.158 0.181 0.207 0.238 0.274 0.317 0.367 5.05.2 0.000 0.006 0.014 0.022 0.031 0.040 0.049 0.058 0.069 0.080 0.092 0.105 0.119 0.136 0.155 0.176 0.201 0.231 0.265 0.306 0.353 5.25.4 0.000 0.006 0.014 0.022 0.030 0.039 0.048 0.057 0.068 0.078 0.090 0.103 0.117 0.133 0.151 0.172 0.196 0.224 0.257 0.295 0.340 5.45.6 0.000 0.006 0.014 0.022 0.030 0.039 0.047 0.057 0.067 0.077 0.089 0.101 0.115 0.131 0.148 0.168 0.191 0.218 0.249 0.285 0.328 5.65.8 0.000 0.006 0.014 0.022 0.030 0.038 0.047 0.056 0.066 0.076 0.087 0.100 0.113 0.128 0.145 0.164 0.186 0.212 0.242 0.277 0.317 5.86.0 0.000 0.006 0.014 0.021 0.029 0.038 0.046 0.055 0.065 0.075 0.086 0.098 0.111 0.126 0.142 0.161 0.182 0.207 0.235 0.268 0.307 6.06.2 0.000 0.006 0.013 0.021 0.029 0.037 0.046 0.055 0.064 0.074 0.085 0.097 0.110 0.124 0.140 0.158 0.178 0.202 0.229 0.261 0.298 6.26.4 0.000 0.006 0.013 0.021 0.029 0.037 0.045 0.054 0.063 0.073 0.084 0.096 0.108 0.122 0.137 0.155 0.175 0.197 0.223 0.254 0.289 6.46.6 0.000 0.006 0.013 0.021 0.028 0.037 0.045 0.054 0.063 0.073 0.083 0.094 0.107 0.120 0.135 0.152 0.171 0.193 0.218 0.247 0.281 6.66.8 0.000 0.006 0.013 0.021 0.028 0.036 0.044 0.053 0.062 0.072 0.082 0.093 0.105 0.118 0.133 0.150 0.168 0.189 0.213 0.241 0.273 6.87.0 0.000 0.005 0.013 0.020 0.028 0.036 0.044 0.053 0.061 0.071 0.081 0.092 0.104 0.117 0.131 0.147 0.165 0.185 0.209 0.236 0.267 7.07.2 0.000 0.005 0.013 0.020 0.028 0.036 0.044 0.052 0.061 0.070 0.080 0.091 0.103 0.115 0.129 0.145 0.162 0.182 0.205 0.230 0.260 7.27.4 0.000 0.005 0.013 0.020 0.027 0.035 0.043 0.052 0.060 0.070 0.079 0.090 0.101 0.114 0.128 0.143 0.160 0.179 0.201 0.226 0.254 7.47.6 0.000 0.005 0.012 0.020 0.027 0.035 0.043 0.051 0.060 0.069 0.079 0.089 0.100 0.113 0.126 0.141 0.157 0.176 0.197 0.221 0.249 7.67.8 0.000 0.005 0.012 0.020 0.027 0.035 0.043 0.051 0.059 0.068 0.078 0.088 0.099 0.111 0.124 0.139 0.155 0.173 0.193 0.217 0.243 7.88.0 0.000 0.005 0.012 0.019 0.027 0.034 0.042 0.050 0.059 0.068 0.077 0.087 0.098 0.110 0.123 0.137 0.153 0.170 0.190 0.213 0.238 8.08.2 0.000 0.005 0.012 0.019 0.027 0.034 0.042 0.050 0.058 0.067 0.076 0.086 0.097 0.109 0.121 0.135 0.151 0.168 0.187 0.209 0.234 8.28.4 0.000 0.005 0.012 0.019 0.260 0.034 0.042 0.050 0.058 0.067 0.076 0.086 0.096 0.108 0.120 0.134 0.149 0.165 0.184 0.205 0.229 8.48.6 0.000 0.005 0.012 0.019 0.026 0.034 0.041 0.049 0.057 0.066 0.075 0.085 0.095 0.107 0.119 0.132 0.147 0.163 0.181 0.202 0.225 8.68.8 0.000 0.005 0.012 0.019 0.026 0.033 0.041 0.049 0.057 0.066 0.075 0.084 0.094 0.106 0.118 0.131 0.145 0.161 0.179 0.199 0.221 8.89.0 0.000 0.005 0.012 0.019 0.026 0.033 0.041 0.049 0.057 0.065 0.074 0.084 0.094 0.105 0.116 0.129 0.143 0.159 0.176 0.196 0.218 9.09.2 0.000 0.005 0.012 0.019 0.026 0.033 0.040 0.048 0.056 0.065 0.073 0.083 0.093 0.104 0.115 0.128 0.142 0.157 0.174 0.193 0.214 9.29.4 0.000 0.005 0.012 0.019 0.026 0.033 0.040 0.048 0.056 0.064 0.073 0.082 0.092 0.103 0.114 0.127 0.140 0.155 0.172 0.190 0.211 9.49.6 0.000 0.005 0.012 0.019 0.025 0.033 0.040 0.048 0.055 0.064 0.072 0.082 0.091 0.102 0.113 0.125 0.139 0.153 0.170 0.188 0.208 9.69.8 0.000 0.005 0.012 0.018 0.025 0.032 0.040 0.047 0.055 0.063 0.072 0.081 0.091 0.101 0.112 0.124 0.137 0.152 0.168 0.185 0.205 9.8
10.0 0.000 0.005 0.011 0.018 0.025 0.032 0.040 0.047 0.055 0.063 0.071 0.080 0.090 0.100 0.111 0.123 0.136 0.150 0.166 0.183 0.202 10.010.2 0.000 0.032 0.039 0.047 0.054 0.063 0.071 0.080 0.089 0.099 0.110 0.122 0.135 0.149 0.164 0.181 0.200 10.210.4 0.000 0.032 0.039 0.047 0.054 0.062 0.071 0.079 0.089 0.099 0.109 0.121 0.133 0.147 0.162 0.179 0.197 10.410.6 0.000 0.039 0.046 0.054 0.062 0.070 0.079 0.088 0.098 0.109 0.120 0.132 0.146 0.160 0.177 0.195 10.610.8 0.000 0.046 0.054 0.061 0.070 0.078 0.088 0.097 0.108 0.119 0.131 0.144 0.159 0.175 0.192 10.811.0 0.000 0.053 0.061 0.069 0.078 0.087 0.097 0.107 0.118 0.130 0.143 0.157 0.173 0.190 11.011.2 0.000 0.061 0.069 0.078 0.087 0.096 0.106 0.117 0.129 0.142 0.156 0.171 0.188 11.211.4 0.000 0.069 0.077 0.086 0.095 0.105 0.116 0.128 0.141 0.154 0.169 0.186 11.411.6 0.000 0.068 0.077 0.086 0.095 0.104 0.116 0.127 0.139 0.153 0.168 0.184 11.611.8 0.000 0.076 0.085 0.094 0.104 0.115 0.126 0.138 0.152 0.166 0.182 11.812.0 0.000 0.076 0.085 0.094 0.104 0.114 0.125 0.137 0.150 0.165 0.181 12.012.2 0.000 0.084 0.093 0.103 0.113 0.124 0.136 0.149 0.163 0.179 12.2
Sesgo 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
Procedimiento : Obtener el índice de capacidad potencial de proceso a
corto plazo (Cp) y el índice de capacidad real de proceso a largo plazo (Ppk).
Calcular el índice de desempeño potencial de proceso (Zcp).
Zst = 3 Cp (P/especif. Bilaterales) Zst = 3 Cpk (P/especif. Unilaterales)
Calcular el índice de desempeño real de proceso (Zlp): Zlt = 3 Ppk
Calcule el índice de desempeño entre grupos (Zshift): Zshift = Zst - Zlt
Índices de desemepeño
Índices de desempeño Analice la información; se consideran como
valores aceptables los siguientes: Zlt > 3 ; Zst > 4 ; Zshift < 1.5
Zst4.0 6.0
Zshi
ft
2.00.00.0
1.0
2.0
3.0
Zlp =
4Zlp
=5Zlp
=3
Zlp =
2
Zlp =
1
Zlp =
0Zlp =
-1
Cont
rol
Capacidad/Diseño/TecnologíaZst
4.0 6.0
Zshi
ft
2.00.00.0
1.0
2.0
3.0
Cont
rol
Capacidad/Diseño/Tecnología
Buen
oM
alo
Malo Bueno
Estado deseado
Pobre control
Pobre capacidad
Pobre control y pobre capacidad
308
V.F.5 Capacidad de procesos por atributos
309
Capacidad de proceso para datos por atributos
En este caso la capacidad del proceso es la proporción media de producto no conforme
Para cartas p y np, la capacidad del proceso es la p media de fracción no conforme. Se puede usar 1 – p.
Para cartas c, la capacidad del proceso es el promedio de las no conformidades, c media, para una muestra fija de tamaño n.
Para cartas u, la capacidad del proceso es el promedio de las no conformidades por unidad, u media
310
V.E.6 Capacidad de procesos
bajo Seis Sigma
311
Capacidad de procesos bajo Seis Sigma
Motorola notó que muchas operaciones en productos complejos tendían a desplazarse 1.5 sobre el tiempo, por tanto un proceso de 6 a la larga tendrá 4.5 hacia uno de los límites de especificación, generando 3.4 DPMOs (defectos por millón de oportunidades)
312
Variación a Corto Plazo (periodo durante el cual no se presenta ningún cambio en el proceso)Zst = Zlt + 1.5
Variación a largo plazo (periodo en el cual ya se han presentado todos los cambios posibles en el proceso) - Zlt
Variación Global - Zbench.
313
DNOSAJJMAMFEDNOSAJJMAMFE
3.5
Salida
Mes
Variabilidad Total
(Natural)
Variabilidad “entre subgrupos”
Variabilidad combinada“dentro del subgrupo”+=
2.5
1.5
LIE
Capacidad a Largo Plazo
LSE
Capacidad a Corto Plazo
Capacidad en el corto y largo plazo
314
Rendimiento de la capacidad realRecibo de partes del proveedor
45,000 Unidades
desperdiciadas
51,876 Unidades
desperdiciadas
Correcto la primera
vez
Después de la inspección de recepción
De las operaciones de Maquinado
En los puestos de prueba - 1er intento
125,526 unidades desperdiciadaspor millón de oportunidades
28,650 Unidades
desperdiciadas
95.5% de rendimiento
97% de rendimiento
94.4% de
rendimiento
YRT = .955*.97*.944 = 87.4%
1,000,000 unidades
315
Ejemplos de defectos / unidad
Determinar DPU en la producción de 100 unidades
DPU = D/U = (20+10+12+4)/100=0.46Si cada unidad tiene 6 oportunidades para defecto
(características A, B, C, D, E y F), calcular DPO y DPMO
DPO = DPU / O = 0.46/6 = 0.078 DPMO = 78,333
Defectos 20 10 12 4Unidade
s70 20 6 4
316
Relaciones de sigmas La probabilidad de uno o más defectos es:
P(d) = 1- Yrt = 1 – FPY o P(d) = 1 – Yrt para varios procesos
Si se tiene FPY = 95% P(d) = 0.05
Entonces la Z a largo plazo se encuentra en tablas como Zlt = 1.645 sigma y por tanto la Zst a corto plazo es:
Zst = 1.645 + 1.5 (corrimiento) = 3.145
317
¿Como calcular la capacidad Seis Sigma para un proceso (equivale a la Zst de corto plazo)?
¿Qué proceso se considera? Facturación y CxC ¿Cuántas unidades tiene el proceso? 1,283 ¿Cuántas están libres de defectos? 1,138
Calcular el desempeño del proceso 1138/1283=0.887 Calcular la tasa de defectos 1 - 0.887 = 0.113
Determinar el número de oportunidades que pueden ocasionar un defecto (CTQs) 24
Calcular la tasa de defecto por caract. CTQ 0.113 / 24 = .004709
Calcular los defectos x millón de oportunidades DPMO = 4,709
Calcular #sigmas con tabla de conversión de sigma 4.1
318
Planta escondida
$1/Unit $1/Unit $1/Unit $1/Unit 100 100
10Rework Rework Rework Rework
100 100 100
10 10 10
Y1=0.90 Y2=0.90 Y3=0.90 Y3=0.90 100 90 81 73 66
10 9 8 7
319
La eficiencia rolada$1/Unit $1/Unit $1/Unit $1/Unit
100 100
10Reproceso Reproceso Reproceso Reproceso
100 100 100
10 10 10
1 – YRT = Probabilidad de un defecto/unidad = 1 – 0.67 = 0.33 = 33%1 + (1 – YRT) = Numero de unidades equivalentes iniciadas para producir una unidad buena = 1 + (1 - 0.67) = 1.33
YRT = e- DPU = e- (40/100) = e- 0.4 = 0.67 = 67%
Aproximando de Binomial a Poisson :
0.9 x 0.9 x 0.9 x 0.9 = 0.94 = 66/100 = 0.66 = 66%
YRT = pi=1
nYi =
320
Costos de pobre calidad
$1/Unit $1/Unit $1/Unit $1/Unit 100 100
10Rework Rework Rework Rework
100 100 100
10 10 10
Considerando :• No existe scrap ni costos de inventarios• Precio de Ventas = $5.00/Unidad
Por lo tanto :• Como el número de unidades equivalentes iniciadas para producir
una unidad buena = 1.33• Costo de producir una unidad buena = 1.33*$4 = $5.32• Utilidades = $5.00 - $5.32 = -$0.32/Unidad• COPQ = ($5.32-$4.00)/$5.00 = 26.4% de las ventas
321
Eficiencias y DPMOs PPMs
El desempeño de un proceso también puede ser expresado en términos de eficiencia. Las 3 eficiencias más usadas son :
Eficiencia de primer paso (bien a la primera vez), eficiencia final (Yfinal) o “First Time Yield” (YFT)
Eficiencia rolada o “Rolled-Throughput Yield” (YRT)
Eficiencia Normalizada (Ynorm)
322
Eficiencias y DPMOs PPMs Eficiencia de primer paso (bien a la primera
vez), eficiencia final (Yfinal) o “First Time Yield” (YFT)Yfinal = Número de unidades buenas antes de retrabajo
Número de unidades probadas ó evaluadas
323
Eficiencias y DPMOs PPMs Eficiencia rolada o “Rolled-Throughput Yield”
(YRT)Y1=S1/E Y2=S2/S1 Y3=S3/S2 Yn=Sn/Sn-1 ....
. E S1 S2 S3 Sn-1 Sn
Donde : e = 2.71828182845 m = Número de oportunidades por unidad
Para datos continuos : YRT = p
i=1
nYi = Y1 x Y2 x Y3 x....x Yn
Para datos discretos (Aproximación de Binomial a Poisson) :YRT = e-TDPU
YRT = e-(DPO)m
Donde : Y1, Y2, Y3,...., Yn son “first time Yield” de los pasos 1, 2, 3,...,n
324
Eficiencias y DPMOs PPMs
Eficiencia Normalizada (Ynorm)
Ynorm = (YRT)1/k
Cálculo de DPU a partir de la Eficiencia :
DPU = 1 - Y
Eficiencia a partir de PPM’s :Y = 1 – (PPM/1’000,000)
Cálculo de la Eficiencia Normalizada (Ynorm) :
325
Relaciones con el rendimiento Y
La probabilidad de encontrar X defectos con la distribución de Poisson es:
X es un entero y DPU > 0 Para el caso de que X sea cero se tiene
Rendimiento o FRC = P(X=0) = Exp(-DPU)
326
Fórmulas de desempeño
327
Rolled Troughput Yield (Yrt) Yrt es el cálculo acumulativo del índice de
defectos a lo largo de procesos múltiples
La probabilidad de un defecto es 1 – P(Yrt) = 0.05
328
Tablero de control de variable discreta
Se utiliza cuando se va a evaluar el desempeño de un CTQ, pero hay desempeños parciales en el tiempo.
Defina el defecto, la unidad y el número de oportunidades por unidad
Defina que es un corto plazo
Evalúe el desempeño en DPMO y Z del CTQ en varios (k) cortos plazos
329
Tablero de control de variable discreta
Evalúe el desempeño en DPMO del largo plazo, considerando lo siguiente
Dlt = S Dsti i = 1
k
TotOplt = S [Ui*(Op/U)i ] i = 1
k
DPMOlt = Dlt .TotOplt* 106
Donde :Dlt = Defectos de largo plazoDst = Defectos de corto plazoU = Número de unidades
Op/U = Oportunidades por unidadTotOp = Total de oportunidades
DPMOlt = Defectos por Millón de Oportunidades k = Número total de características críticas
330
Tablero de control de variable discreta
Con los DPMOlt evalúe la Zlt Identifique la Z de corto plazo más pequeña y
ésta será la Zst Calcule la Zshift considerando que :
Zshift = Zst - Zlt
331
Tablero de control de variable continua
Se utiliza cuando se va a evaluar el desempeño de un CTQ, pero hay desempeños parciales en el tiempo.
Determine la variable y los Límites de Especificación
Defina que es un periodo de tiempo
Recolecte datos de cada periodo y calcule la desviación estándar de Corto plazo (Sst) y las PPM’s de cada periodo de tiempo
Calcule la Zst y Zlt de cada periodo de tiempo
332
Tablero de control de variable discreta
Calcule la Sst total del CTQ mediante:
Calcule la Zst total del CTQ Calcule los PPM’s totales mediante un
promedio ponderado
g (nj-1) sj
2j=1 (n-g)sst =Donde : n = Número Total de Datos
nj = Número de datos del grupo j
sj = Desviación Estándar del grupo j
g = Número de grupos
333
Tablero de control de variable discreta
Con los PPM’s totales obtenga Zlt total del CTQ Calcule la Zshift considerando que :
Donde : PPM = PPM Totales PPMj = PPM’s del periodo i ni = Número de datos del
periodo i N = Número total de datos
PPM = S PPMi niN i = 1
k
334
Tablero de control de variable discreta
Con los DPMOlt evalúe la Zlt Identifique la Z de corto plazo más pequeña y
ésta será la Zst Calcule la Zshift considerando que :
Zshift = Zst - Zlt
335
Tablero de control de variable múltiple
Se utiliza cuando se va a evaluar el desempeño de un Producto, Proceso ó Sistema a partir del desempeño de varios CTS’s, CTQ’s ó CTP’s
Defina el Producto, Proceso ó Sistema a evaluar
Identifique los CTS’s, CTQ’s ó CTP’s del Sistema a evaluar
Evalúe de forma individual cada CTS, CTQ ó CTP en términos de DPMOlt
336
Tablero de control de variable múltiple
• Calcule la eficiencia (Yftlt) de cada CTS, CTQ ó CTP considerando que:
• Evalúe desempeño potencial de cada característica crítica expresado en DPMOst, el cual se puede obtener a partir de la Zst ó los menores DPMO que el proceso ha demostrado generar a corto plazo.
yftlti = 1 –
Donde :yftlti
= Eficiencia de la característica crítica iDPMOlti
= Defectos por Millón de Op. de la caract. i
DPMOlti
106
337
Tablero de control de variable múltiple
Calcule la eficiencia (yftst) de cada CTS, CTQ ó CTP considerando que :
yftsti = 1 – DPMOsti
106
Calcule las eficiencias roladas (YRT) de Corto (st) y largo plazo (lt) del Producto, Proceso ó Sistema mediante :
YRTlt = P yftlti i = 1
k Donde :YRTlt = Eficiencia rolada total del sistemaYRTst = Eficiencia rolada potencial del sistemayftlti
= Eficiencia de la característica crítica iyftsti
= Eficiencia potencial de la característica crítica i k = Número total de características
YRTst = P yftsti i = 1
k
338
Tablero de control de variable múltiple
Calcule la Eficiencia Normalizada (ynorm) de corto (st) y largo plazo (lt) :Ynormst
= (YRTst)1/k
Ynormlt = (YRTlt)1/k
En caso de que cada Característica Crítica tenga un diferente nivel de importancia, entonces la Eficiencia Normalizada se puede obtener ponderando las eficiencias de cada Característica usando la siguiente fórmula :
Ynorm = (d1I1) x (d2
I2) x … x (dnIn)
(1/SIi)
I es la importancia. La característica crítica con mayor valor de I es ponderado con mayor peso al calcular el valor total compuesto Y
339
Tablero de control de variable múltiple
• Calcule los DPMO totales del sistema mediante:
• Con los DPMOst obtenga la Zst, con los DPMOlt obtenga la Zlt
Calcule la Zshift del sistema mediante :
DPMOst = (1 – Ynormst)*106 DPMOlt = (1 – Ynormlt
)*106
Zshift = Zst - Zlt
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