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Tema: Área de una Región Plana
Partiremos expresando el área de una región como una sumatoria de Riemann
para luego plantear la integral que defina la región del plano que se desea
calcular.
Una integral se puede expresar como una sumatoria de Riemann como se
detalla a continuación:
∫(5𝑥 + 3)𝑑𝑥 = lim∆𝑥→0
∑(5𝑤𝑖 + 3)∆𝑖𝑥
𝑛
𝑖=1
EJEMPLO 1. Calcule el área de la región del primer cuadrante limitada por la
curva, el eje x y la recta x = 2 .Exprese la función como una sumatoria de
Riemann y grafique.
𝑦 = 𝑥√𝑥2 + 5 𝑑𝑥
Desarrollo. El límite o intervalo de integración se obtiene del eje x y la recta x
= 2.
𝐴 = lim∆𝑥→0
∑ 𝑤𝑖√𝑤𝑖2 + 5 ∆𝑖𝑥
𝑛
𝑖=1
𝐴 = ∫ 𝑥√𝑥2 + 5 𝑑𝑥2
0
𝐴 = ∫ (𝑥2 + 5)1 2⁄ 𝑥𝑑𝑥2
0
𝐴 =1
3(𝑥2 + 5)3 2⁄ |2
0
𝐴 =1
3{[(2)2 + 5]3 2⁄ − [(0)2 + 5]3 2⁄ }
=1
3(93 2⁄ − 53 2⁄ ) =
1
3(27 − 5√5)
𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 𝑥2 + 5
𝑑𝑢
𝑑𝑥= 2𝑥
𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥
1
2𝑑𝑢 = 𝑥𝑑𝑥
∫(𝑥2 + 5)1 2⁄
𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑢1 2⁄ ∙1
2𝑑𝑢
1
2∫ 𝑢1 2⁄ 𝑑𝑢
1
2
𝑢1 2⁄ +1
1 2 + 1⁄
1
2∙
2
3𝑢3 2⁄ =
1
3𝑢
32⁄
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EJEMPLO 2. Grafique y calcule el área de la región limitada por la curva
𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥
El eje x y las rectas x =1 y x = 3
Desarrollo. El límite o intervalo de integración se obtiene del eje x y la recta x
= 1 y x = 3.
Como el área de la gráfica está en el 4to cuadrante se antepone el signo menos
a la expresión.
𝐴 = lim∆𝑥→0
∑ −(𝑤𝑖2 − 4𝑤𝑖) ∆𝑖𝑥
𝑛
𝑖=1
𝐴 = ∫ −(𝑥2 − 4𝑥)3
1
𝑑𝑥
𝐴 = ∫ (4𝑥 − 𝑥2) 𝑑𝑥3
1
𝐴 = [4 (1
2𝑥2) −
1
3𝑥3] 3
1
𝐴 = 2(3)2 −1
3(3)3 − [2(1)2 −
1
3(1)3] =
22
3𝑢𝑛𝑖𝑑2
EJEMPLO 3. Grafique y determine el área de la región limitada por la curva
𝑦 = 𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6
El eje x y las rectas x = -1 y x = 2. Exprese como sumatoria de Riemann
𝑥 = 1
𝐸𝑗𝑒 𝑥
𝑥 = 3
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Desarrollo. Como se aprecia en la gráfica el área
está representada por el color verde, la que está
sobre el eje x es positiva y la que está abajo del eje
x en negativa. Ahora planteemos la solución.
𝐴 = lim∆𝑥→0
∑(𝑤𝑖3 − 2𝑤𝑖
2 − 5𝑤𝑖 + 6)∆𝑖𝑥
1
−1
− lim∆𝑥→0
∑(𝑤𝑖3 − 2𝑤𝑖
2 − 5𝑤𝑖 + 6)∆𝑖𝑥
2
1
𝐴1 𝐴2
Observe que lo que cambia son los límites de integración. 𝐴 = 𝐴1 − 𝐴2.
Expresado como integral tenemos:
𝐴𝑇 = ∫ (𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6)𝑑𝑥 − ∫ (𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6)𝑑𝑥2
1
1
−1
𝐴1 =1
4𝑥4 − 2 (
1
3𝑥3) −
5
2𝑥2 + 6𝑥 |
1
−1
𝐴1 =1
4(1)4 −
2
3(1)3 −
5
2(1)2 + 6(1) − [
1
4(−1)4 −
2
3(−1)3 −
5
2(−1)2 + 6(−1)]
𝐴1 =1
4−
2
3−
5
2+ 6 − (
1
4+
2
3−
5
2− 6)
𝐴1 =32
3 𝑢𝑛𝑖𝑑2
𝑥 = −1
𝑥 = 2
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𝐴2 =1
4𝑥4 − 2 (
1
3𝑥3) − 5𝑥2 + 6𝑥 |
2
1
𝐴2 =1
4(2)4 −
2
3(2)3 −
5
2(2)2 + 6(2) − [
1
4(1)4 −
2
3(1)3 −
5
2(1)2 + 6(1)]
𝐴2 = 4 −16
3− 10 + 12 − (
1
4−
2
3−
5
2+ 6) = −
29
12 𝑢𝑛𝑖𝑑2
𝐴𝑇 =32
3− (−
29
12) =
157
12 𝑢𝑛𝑖𝑑2
CÁLCULO DE ÁREA ENTRE DOS FUNCIONES CONTINUAS
Sea 𝑓 𝑦 𝑔 dos funciones continuas en el intervalo
cerrado [𝑎, 𝑏] tales que 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) para toda
𝑥 𝑒𝑛 [𝑎, 𝑏]. Se desea calcular el área de la región
limitada por las dos curvas 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑦 = 𝑔(𝑥) y
las dos rectas 𝑥 = 𝑎 𝑦 𝑥 = 𝑏. La suma de las
medidas de las áreas de estos n rectángulos está
determinada por la suma de Riemann siguiente:
lim∆𝑥→0
∑[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]∆𝑖𝑥 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥𝑏
𝑎
𝑛
𝑖=1
EJEMPLO 4. Grafique y calcule el área de la región limitada por las curvas
𝑦 = 𝑥2 𝑦 𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥
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Pasos a seguir.
1. Encontrar gráficamente o por Ecuaciones
Simultáneas los puntos de intersección de
las dos curvas. En este caso los puntos son:
(0,0) y (2,4), así que los límites de
integración serán: a = 0 y b = 2
2. Identificar que función está en la parte
superior la cual denominaremos F(x) y la
inferior la denominaremos g(x). Así:
𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑥2
3. Plantear la medida del área como la suma de Riemann e integral
definida.
lim∆𝑥→0
∑[𝑓(𝑤𝑖) − 𝑔(𝑤𝑖)]∆𝑖𝑥 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥2
0
𝑛
𝑖=1
4. Resolver
𝐴 = ∫ [(−𝑥2 + 4𝑥) − 𝑥2] 𝑑𝑥2
0
𝐴 = ∫ (−2𝑥2 + 4𝑥)𝑑𝑥2
0
= −2
3𝑥3 + 2𝑥2 |
2
0=
8
3 𝑢𝑛𝑖𝑑2
𝑦 = 𝑥2
𝑦 = 4𝑥 − 𝑥2
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EJEMPLO 5. Grafique y calcule el área de la región limitada por la parábola
(relación) 𝑦2 = 2𝑥 − 2 𝑦 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑦 = 𝑥 − 5. Encuentre los límites de
integración.
Pasos a seguir.
1. Encontrar gráficamente o por Ecuaciones
Simultáneas los puntos de intersección de
las dos curvas, son los puntos: (3,-2) y (9,4).
En este caso, se divide en dos Regiones,
𝑅1 = [1,3] 𝑦 𝑅2 = [3,9], así que los límites
de integración serán en 𝑅1; 𝑎 = 1 𝑦 𝑏 = 3
y para 𝑅2; 𝑎 = 3 𝑦 𝑏 = 9.
2. Identificar que función está en la parte
superior la cual denominaremos F(x) y la
inferior la denominaremos g(x). Así:
𝑓(𝑥)1,2 = ±√2𝑥 − 2 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 5
3. Plantear la medida del área como la suma de Riemann e integral
definida.
Desarrollo. Para 𝑅1; 𝑎 = 1 𝑦 𝑏 = 3
lim∆𝑥→0
∑[𝑓1(𝑤𝑖) − 𝑓2(𝑤𝑖)]∆𝑖𝑥 = ∫ [𝑓1(𝑥) − 𝑓2(𝑥)] 𝑑𝑥3
1
𝑛
𝑖=1
𝐴1 = ∫ [√2𝑥 − 2 − (−√2𝑥 − 2)] 𝑑𝑥3
1
𝐴1 = ∫ [√2𝑥 − 2 + √2𝑥 − 2] 𝑑𝑥3
1
𝐴1 = 2 ∫ (2𝑥 − 2)1 2⁄ 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑢1 2⁄ (1
2𝑑𝑢)
3
1
3
1
𝐴1 = ∫ 𝑢1 2⁄ 𝑑𝑢3
1
=2
3(2𝑥 − 2)3 2⁄ |
3
1= 16
3⁄ 𝑢𝑛𝑖𝑑2
𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 2𝑥 − 2
𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥
1
2𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
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Desarrollo. Para 𝑅2; 𝑎 = 3 𝑦 𝑏 = 9
∑[𝑓1(𝑤𝑖) − 𝑔(𝑤𝑖)]∆𝑖𝑥 = ∫ [𝑓1(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥9
3
𝑛
𝑖=1
𝐴2 = ∫ [√2𝑥 − 2 − (𝑥 − 5)]𝑑𝑥9
3
𝐴2 = ∫ (√2𝑥 − 2 − 𝑥 + 5)𝑑𝑥9
3
𝐴2 = ∫ (2𝑥 − 2)1 2⁄ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥𝑑𝑥 + 5 ∫ 𝑑𝑥9
3
9
3
9
3
𝐴2 =1
3(2𝑥 − 2)3 2⁄ −
1
2𝑥2 + 5𝑥 |
9
3
𝐴2 =64
3−
81
2+ 45 − (
8
3−
9
2+ 15) =
38
3 𝑢𝑛𝑖𝑑2
𝐴𝑇 = 𝐴1 + 𝐴2
𝐴𝑇 = 163⁄ + 38
3⁄
𝐴𝑇 = 18 𝑢𝑛𝑖𝑑2
𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 2𝑥 − 2
𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥
1
2𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
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EJERCICIO 6. Grafique y calcule el área de la región por las dos curvas 𝑦 =
𝑥3 − 6𝑥2 + 8𝑥 𝑦 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥
Pasos a seguir.
1. Encontrar gráficamente o por Ecuaciones
Simultáneas los puntos de intersección de las dos
curvas, son los puntos: (0,02), (3, -3) y (4,0). En
este caso, se divide en dos Regiones,𝑅1 =
[0,3] 𝑦 𝑅2 = [3,4], así que los límites de
integración serán en 𝑅1; 𝑎 = 0 𝑦 𝑏 = 3 y para
𝑅2; 𝑎 = 3 𝑦 𝑏 = 4.
2. Identificar que función está en la parte superior la cual denominaremos
F(x) y la inferior la denominaremos g(x). Así:
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑅1 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 8𝑥 ; 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 𝑒𝑛 [0,3]
3. Plantear la medida del área como la suma de Riemann e integral
definida.
Desarrollo. Para 𝑅1; 𝑎 = 0 𝑦 𝑏 = 3
lim∆𝑥→0
∑[𝑓(𝑤𝑖) − 𝑔(𝑤𝑖)]∆𝑖𝑥 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥3
0
𝑛
𝑖=1
𝐴1 = ∫ [𝑥3 − 6𝑥2 + 8𝑥 − (𝑥2 − 4𝑥)] 𝑑𝑥3
0
𝐴1 = ∫ (𝑥3 − 6𝑥2 + 8𝑥 − 𝑥2 + 4𝑥) 𝑑𝑥3
0
𝐴1 = ∫ (𝑥3 − 7𝑥2 + 12𝑥) 𝑑𝑥3
0
𝐴1 =1
4𝑥4 −
7
3𝑥3 + 6𝑥2 ⌊
3
0
𝐴1 =45
4 𝑢𝑛𝑖𝑑2
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𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑅2 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 ; 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 8𝑥 𝑒𝑛 [3,4]
Desarrollo. Para 𝑅2; 𝑎 = 3 𝑦 𝑏 = 4
lim∆𝑥→0
∑[𝑔(𝑤𝑖) − 𝑓(𝑤𝑖)]∆𝑖𝑥 = ∫ [𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)] 𝑑𝑥4
3
𝑛
𝑖=1
𝐴2 = ∫ [𝑥2 − 4𝑥 − (𝑥3 − 6𝑥2 + 8𝑥)] 𝑑𝑥3
0
𝐴2 = ∫ (𝑥2 − 4𝑥−𝑥3 + 6𝑥2 − 8𝑥) 𝑑𝑥3
0
𝐴2 = ∫ (−𝑥3 + 7𝑥2 − 12𝑥) 𝑑𝑥3
0
===============================================================
EJEMPLO 8. Grafique y calcule el área de la región acotada por las gráficas de
𝑦 = 𝑥2 𝑦 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒𝑛 [0, 0.8767]
𝑦 =𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 ; 𝑔(𝑥) = 𝑥2
𝐴2 = −1
4𝑥4 +
7
3𝑥3 − 6𝑥2 |
3
0
𝐴2 =7
12 𝑢𝑛𝑖𝑑2
𝐴𝑇 = 𝐴1 + 𝐴2
𝐴𝑇 =45
4+
7
12=
71
6 𝑢𝑛𝑑2
𝑦 = 𝑥2
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Desarrollo. Para R; 𝑎 = 0 𝑦 𝑏 = 0.8767
lim∆𝑥→0
∑ [𝑓(𝑤𝑖) − 𝑔(𝑤𝑖)]∆𝑖𝑥 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥0.8767
0
0.8767
0
𝐴 = ∫ (𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑥2)0.8767
0
𝑑𝑥
𝐴 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥0.8767
0
𝑑𝑥 − ∫ 𝑥20.8767
0
𝑑𝑥
𝐴 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 −1
3𝑥3|0.8767
0
𝐴 = − cos(0.8767) − [− cos(0)] −1
3[(0.8767)3 + 0] 𝑒𝑛 𝑅𝑎𝑑
𝐴 = 0.1357 𝑢𝑛𝑑2
=============================================================
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