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Copyright febrero de 2015 por TECSUP
NIVELACION
Matemticas
II CICLO
TECNOLOGIA MECANICA ELECTRICA
Mg. Luis Carlos Moreno Fuentes
INFORMACION DEL CURSO
CODIGO PG2014
NOMBRE
CURSO Matematicas DEPARTAMENTO
INFORMACION DEL PLAN DE TEMA
TIPO
PLAN
N HORAS
X SESIN 2 terico-Practico APROBADO POR:
SIST. DE EVALUACION
N
SESIONES 6 sesiones de Aula FECHA APROBACION
NIVEL 2
CURRICUL
A C9-2014-1 AUTORIZADO POR:
PROGRAMA Tecnologa Mecanica Electrica FECHA AUTORIZACION
OBJETIVOS
1
Familiarizarse con operaciones matemticas de algebra , trigonometra y calculo superior en tres dimensiones para reforzar su
formacion en matemticas
2 Identificar las aplicaciones de operaciones algebraicas y trigonomtricas en problemas que contengan tres incgnitas.
CLASE COMPETENCIAS, CAPACIDADES
TERMINALES A OBTENER
UNIDADES DE
FORMACION
CONTENIDOS DIDACTICA / MEDIOS
1
Graficar, puntos, segmentos de recta en
un sistema de coordenadas cartesianas
en tres dimensiones Geometria del espacio
Sistema de coordenadas
rectangulares en tres dimensiones.
Punto en el espacio. Distancia
entre puntos en 3D. Definicin de
vector, elementos de un vector.
Calculo del Modulo de un vector.
Tipos de vectores
Se utiliza multimedia, pizarra.
Ejercicios de aplicacin.
2
Realizar operaciones de suma y resta de
vectores Adicin de vectores
Operaciones con vectores,
Mtodos para operaciones de
suma y resta de vectores
unidimensionales y en el plano
Se utiliza multimedia, pizarra.
Ejercicios de aplicacin.
3
Operar con las funciones trigonomtricas
para obtener los valores de los ngulos.
Evaluar aprendizaje Trigonometra
Circulo unitario. Razones
trigonomtricas de un ngulo
agudo. Razones trigonomtricas
inversas. Obtencin de ngulos y
catetos y usando trigonometra.
Se utiliza multimedia, pizarra.
Ejercicios de aplicacin.
4
Resuelve problemas de sistemas de
ecuaciones lineales con 3 incognitas Algebra
Determinantes de 2x2 y 3x3.
Sistema de ecuaciones lineales de
3 incognitas. Metodo de cramer.
Solucion de una ecuacion
cuadratica.
Se utiliza multimedia, pizarra.
Ejercicios de aplicacin.
5
Diferenciar las dos formas de producto de
vectores Producto de vectores
Producto escalar. Angulo entre dos
rectas. Producto Vectorial y sus
propiedades.
Se utiliza multimedia, pizarra.
Ejercicios de aplicacin.
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Resolver problemas de integrales
definidas aplicando el teorema de barrow.
Evaluar aprendizaje Clculo Integral Integral definida. Regla de Barrow
Se utiliza multimedia, pizarra.
Ejercicios de aplicacin.
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2
Sistema de coordenadas rectangulares en dos y tres dimensiones.
Punto en el espacio en 2D y 3D.
Distancia entre puntos en 3D.
1ra Clase
Puntos en el plano. Coordenadas
Un sistema de referencia en el plano est formado por dos rectas: OX (llamada eje de abscisas) y OY (llamada eje de ordenadas) que se cortan en un punto O (llamado origen de coordenadas)
X
Y
O 1
1
P
p1
p2 (p1, p2) Cada punto del plano queda unvocamente determinado por sus coordenadas
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3
Sistema de coordenadas cartesianas en 2D y 3D
Puntos en 2D y 3D
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Sistema a derechas
Graficar el punto
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Distancia entre dos puntos
Rpta: d=10.5u
Cual es la distancia
d=???
?????????
Hallar la distancia entre los siguientes dos
puntos
RPTA:
d=(5-4)2+(12-
7)21/2
D=10.3u
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6
Calcular la distancia del segmento en cada caso
d=7.81 u d=6.32 u
EJERCICIOS
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Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A
(origen) al punto B (extremo).
VECTOR
Elementos de un vector
X+
La direccin del vector es la direccin de la recta que contiene al vector o de
cualquier recta paralela a ella.
El mdulo del vector es la longitud del segmento AB, se representa por
El sentido del vector es el que va desde el origen A al extremo B.
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SIMBOLOGIA
Representacin de un vector
Y
X+
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CALCULO DEL MODULO DE UN VECTOR
Coordenadas de un vector
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Tipos de vectores
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Operaciones con vectores
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SUMA GEOMTRICA DE VECTORES
Conociendo dos vectores , la suma de estos no solo depender de su mdulos, sino
tambin de sus respectivas direcciones, o
sea del ngulo que estos forman.
Existen varios mtodos geomtricos para sumar o restar vectores.
ByA
B
A
Se emplea para sumar o restar dos vectores coplanares concurrentes:
La suma o resta de dos vectores depende de sus
mdulos y tambin del ngulo que estos forman.
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SUMA DE DOS VECTORES
Sean los vectores y el ngulo que estos forman, para sumar estos vectores
debemos proceder del siguiente modo:
CosABBAR 2222
ByA
B
A
a) Juntar los orgenes de los vectores A y B observando el ngulo que estos forman.
b) Por el extremo de cada vector
trace una paralela al otro
vector formando el
paralelogramo.
c) El vector resultante R es el vector
que parte del origen comn y que se
halla sobre una de las diagonales del
paralelogramo.
En esta ecuacin no debe
reemplazarse los mdulos de A o B.
d) Para hallar el mdulo del vector resultante se debe usar el mtodo del paralelogramo.
CosABBAR 2222
PROCEDIMIENTO
B
A
B
A
A
B
R
BAR
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a) Invertir el sentido del vector
con el objeto de obtener el
vector opuesto y poder construir la diferencia.
DIFERENCIA DE VECTORES
Sean los vectores y el ngulo que estos forman, para hallar la diferencia debemos:
ByA
1802222
CosABBABA
CosABBABA 2222
B
B
b) Seguir el procedimiento
del mtodo del
paralelogramo. En la frmula del paralelogramo:
De la trigonometra se sabe que: Cos(180 - ) = - Cos
Luego:
A
180
B
B
B
BA
A
180
B
A
Sean los vectores que deben sumarse segn el mtodo del tringulo.
Vectorialmente:
ByA
Se emplea para sumar dos vectores ordenndolos secuencial mente, el valor resultante se trazar desde el primer origen hasta el ltimo extremo.
PROCEDIMIENTO
a) Ordenar los vectores colocando un vector despus de otro
b) El vector resultante se traza desde el primer origen hasta el ltimo extremo.
R
BAR
En esta ecuacin no se
debe reemplazar los
mdulos de los vectores Sen
R
Sen
B
Sen
A
Ley de Senos:
ByA
B
A
A
R
B
180
A 180
B
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Si ordenamos secuencialmente 3
ms vectores tal como se hace en el
mtodo del tringulo, el mtodo se
denomina POLGONO.
Sean
CyBA , los vectores que sumaremos segn este mtodo Procedimient
o 1.Ordenar los vectores
colocando un vector despus de otro
uniendo extremo con origen
ByA
2) El vector resultante se traza desde el
primer origen hasta el ultimo extremo.
Vectorialmente:
CBAR
En esta ecuacin no se deben remplazar los
mdulos de CBA
,,
A
B
C
A
R
B
C
BC
A
A
B
C
D
Entonces si se tiene los
siguientes vectores
El vector resultante
de la suma de todos
ellos ser:
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A B
C
D
DCBAR
R
Ejemplo 8:
Hallar el vector resultante de la suma de los
siguientes vectores
A B
C
A B
C R = 2
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VECTOR UNITARIO
El vector unitario de un vector es otro vector en la misma direccin y cuyo mdulo es la unidad.
En el diagrama se observa un vector ; si en la misma direccin de
trazamos otro vector de mdulo igual a la unidad diremos que es el
vector unitario de .
Mdulo:
C
C
C
c
Matemticamente el vector unitario se halla dividiendo el vector entre
su respectivo mdulo.
C
C
x
c
y
C
cCC
1
c
Vectores unitarios en el plano
ij
x
y
i Vector unitario en la direccin del eje x+ j Vector unitario en la direccin del eje y+
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VECTOR UNITARIOS PRINCIPALES En cualquier direccin es posible determinar el
respectivo vector unitario, en el plano cartesiano unitario,
en la direccin x e y, los vectores unitarios reciben nombres especiales, estos son i y j respectivamente
i = 1; 0 en la direccin horizontal.
j = 0; 1 en la direccin
vertical.
Cualquier vector puede ser expresado en funcin de
los vectores unitarios principales i y j
X - i
Y
i
j
- j
Vectores unitarios en el espacio
x y
z
ij
k
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VECTORES UNITARIOS , ,
1
1
1
Los vectores unitarios , y se encuentran en los ejes x, y y z
x
y
z
Se llaman unitarios
por que su magnitud
es la unidad
= = =
Cualquier vector se puede escribir
utilizando los vectores unitarios , y
Por ejemplo, el vector definido por el punto P=(4, 5,
-6) se puede escribir de la
forma:
4
5
x
y
z = (4,5, 6)
= (4,5,6)
Y utilizando los vectores unitarios
- 6
= 4 + 5 6
= 4 + 5 6
= 4 + 5 6
Podemos graficar el
vector si es necesario
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TRIGONOMETRIA
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Triangulo rectngulo
Cateto AB es opuesto a y tambin adyacente al ngulo
Cateto BC es opuesto a y tambin adyacente al ngulo
Circulo unidad en trigonometra
El crculo trigonomtrico, o
goniomtrico, es aquel crculo cuyo
centro coincide con el origen de
coordenadas del plano cartesiano y
cuyo radio mide la unidad. El crculo
trigonomtrico tiene la ventaja de
ser una herramienta prctica en el
manejo de los conceptos de
trigonometra, pero al mismo tiempo
es un apoyo terico, pues ayuda a
fundamentar y tener una idea
precisa y formal de las funciones
trigonomtricas. A travs del crculo trigonomtrico se puede obtener de forma
manual o analtica el valor aproximado de las razones
trigonomtricas para un ngulo determinado si se dispone de los
instrumentos geomtricos necesarios.
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x=Cos , y=
Sen
Valores de Seno y Coseno
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SENO
COSENO
TANGENTE
COTANGENTE
SECANTE
COSECANTE
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Signos de las Razones Trigonometricas
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Localizaciones en el circulo unitario
F.T. 0, 90, 180, 270
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FUNCION PERIODICA SENO Y COSENO
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31
ANGULOS DE REFERENCIA
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Rpta:
a-=10.7
b= 11.8
=25
RAZONES TRIGONOMETRICAS
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Tringulos notables
R.T. de tringulos notables
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Hallar el valor de x en cada una de la siguientes
figuras
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Determinantes de 2x2 y 3x3. Solucin
Sistema de ecuaciones lineales de 3 incgnitas.
Mtodo de Cramer.
Solucin de una ecuacin cuadrtica.
Clase 4
DETERMINANTES
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Determinante de orden 3 Se resuelve aplicando la regla de sarrus
SISTEMA DE ECUACIONES CON 3
INCOGNITAS
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones
Solucin
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METODO DE CRAMER
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SISTEMA DE ECUACIONES CON 3
INCOGNITAS
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones
Solucin
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Ejercicios.
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
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Ecuacin cuadrtica
La ecuacin cuadrtica o tambin conocida
como la ecuacin de segundo grado es aquella
ecuacin que obedece a un polinomio de segundo
grado de la forma ax2 + bx + c igual a cero.
Donde el coeficiente "a" es necesariamente
diferente a cero (En el caso que a = 0 se obtiene
una ecuacin lineal o de primer orden)
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Solucin
X1=6/18=1/3
X2=6/18=1/3
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PRODUCTO ESCALAR
Este producto nos permitir calcular ngulos
entre dos vectores y adems proyecciones
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PRODUCTO ESCALAR
Dado dos vectores A y B llamaremos producto escalar de A y B al nmero real
determinado por:
A B = | A | | B | cos
Dado dos vectores A y B llamaremos producto escalar de A y B al nmero real
determinado por:
A B = | A | | B | cos
De forma inmediata se deduce que el producto escalar de dos vectores
perpendiculares es nulo (si AB =/2 y cos /2=0). Por otra parte el producto escalar de un vector por si mismo es igual a su mdulo al cuadrado
(A A=A2).
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Por lo que se obtiene finalmente la expresin del producto
escalar de dos vectores en funcin de sus componentes
rectangulares.
Producto escalar de los vectores unitarios rectangulares
positivos:
PRODUCTO ESCALAR
Como aplicacin inmediata del
producto escalar podemos
determinar el ngulo formado
por dos vectores. Igualando
expresiones
PRODUCTO ESCALAR
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a) A . B = B . A es conmutativo
b) A . (B + C) = A . B + A . C
c) (a . A) . B = A . (a. B) (para a R)
d) A . A > 0 (para A 0)
e) | A . B| < | A | . | B | (desigualdad de Cauchy - Schwarz)
f) Si A 0, B 0 y = 90 A . B = 0 (El producto escalar de vectores
ortogonales es nulo ya que el cos 90= 0.)
Propiedades
2,3 5,-1 = (2)(5) +(3)(-1)=10-3= 7
Ejemplo:
PRODUCTO ESCALAR
Si tenemos dos vectores A = a1 , a2 , . . ., an y B = b1 , b2 , . . ., bn el producto escalar entre ambos puede hallarse mediante la sumatoria del producto de cada una de sus
coordenadas.
A B = a1b1+ a2 b2 + . . . + an bn
PRODUCTO ESCALAR
Ejemplo: Hallar
k-j7i6B
k2-j5i3A
BA
15(-2)(-1)(5)(-7)(3)(6)BA
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PRODUCTO VECTORIAL
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El resultado de un producto vectorial es otro vector que es perpendicular
al plano en el que se encuentran ByA C
BxAC
A
Cu B
PRODUCTO VECTORIAL
|C|=| A x B | = A B sen
El producto vectorial de dos vectores A y B, se denota por AxB, su
resultado es un nuevo vector C, (AxB=C), su mdulo queda
definido de la forma que sigue:
Regla de la mano derecha
Dos vectores no nulos a y b son paralelos, si y slo si a b = 0.
TEOREMA Criterio de Vectores Paralelos
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El sentido de C coincide con el que tendra el avance de un
sacacorchos (rosca derecha) si lo dispusiramos en la direccin de C
hacindolo girar en el sentido de llevar el primer vector hacia el
segundo vector que se multiplica.
PRODUCTO VECTORIAL
Propiedades a) A x B = - (B x A) no es conmutativo
b) A x (B + C) = A x B + A x C
c) (a . A) x B = A x (a. B) ; (para a R)
d) A x B es perpendicular a los vectores A y B
e) (A x B) x C = A x (B x C)
f) (A x B)2 = (A . A) . (B . B) - (A . B)2
g) | A x B | = | A | | B | | sen |
Nota: El mdulo del producto vectorial se utiliza para calcular el rea del
paralelogramo determinado por los vectores.
Ejemplo: Hallar el rea del paralelogramo formado por los vectores :
A=2i+5j y B= 3i+2j
Solucin: A | 2, 5 x 3, 2 | = | (2 2)i - (5 3)j| = | 4i 15j| = 241
Finalmente podemos comentar que el producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo. Lo mismo podemos decir del producto vectorial de un vector
por si mismo
PRODUCTO VECTORIAL
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Como consecuencia de la definicin, los productos vectoriales entre los
vectores unitarios sera,
PRODUCTO VECTORIAL
Ejemplo: Hallar
k-jiB
k-jiA
76
253
BxA
kxk))( -( -jxk))( -( -ixk))(( -
kxj))( -()jxj)( -(ixj))((
kxi))((jxi))((ixi))((C
CBxA
127262
157565
137363
Quedando finalmente
)(1412
5)(30
)(321
ij
ik
jkC
kjiC 51919
0
0
0
ijikjkC 1412530321
k j
k i
j i
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Mtodo de cramer
A este resultado tambin puede llegarse desarrollando el siguiente determinante
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Producto vectorial El producto vectorial lo realizamos asi
lo que nos conduce a obtener
kjiba21
21
31
31
32
32
bb
aa
bb
aa
bb
aa
321
321
bbb
aaa
kji
ba
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a) u = - 2i + 3j; v = - 7i + 4j c) u = i + 7j 3k; v = - i 7j + 3k
b) u = 10i + 7j - 3k; v = - 3i + 4j 3k d) u = 2i + 4j - 6k; v = - i j + 3k
Calcular el producto vectorial para los siguientes vectores
SON ORTOGONALES O
PARALELOS LOS SGTES
VECTORES:
a) u = 3i + 5j; v = - 6i -10j
b) u = 2i + 3j; v = 6i + 4j
c) u = 2i +3j; v = - 6i + 4j
d) u = 2i - 6j; v = - i + 3j