Métodos de Integración
1
Algunas Integrales Trigonométricas
En lo que sigue consideraremos integrales de la forma:
(a) d����sinm u cosn u u
(b) d����tanm u secn u u
(c) d����cotm u cscn u u
2
(a) Integrales del tipo : d����sinm u cosn u u
Caso 1.- (Uno de los dos, m o n, es impar y positivo) - Si m es impar, factorizar sin(u)du y expresar la potencia par restante de seno en potencias del coseno.
- Si n es impar, factorizar cos(u)du y expresar la potencia par restante de coseno en potencias del seno.
3
Ejemplos.-
1.- d����sin3 u cos-5 u u
2.- d�
�
����
cos3 xsin x
x
4
Caso 2.- ( Ambos, m y n , son pares y positivos o nulos )
En este caso es conveniente considerar las identidades:
(a) sin2 u = ���1 ( )cos 2 u
2 (b) cos2 u =
���1 ( )cos 2 u2
5
Ejercicios.
(a) d����sin2 x cos2 x x
(b) d����sin4 x x
6
(b) Integrales del tipo : d����tanm u secn u u
Caso 1.- ( n es par y positivo)
Conviene factorizar sec2 x y expresar la potencia par restante de sec x en términos de tangente.
Caso 2.- ( m es impar y positivo)Conviene factorizar sec x tan x y expresar la potencia par restante tan x en términos de secante.
7
Ejercicios.
(a) d�
�
����
sec4 xtan x
x
(b) d�
�
����
tan3 x( )sec x 1/3 x
8
(c) Integrales del tipo : d����cotm u cscn u u
Se tratan en forma similar a las de tipo (c)
Ejemplo
d����cot2 2 x csc2 2 x u
9
Sustitución Trigonométrica(a) Si el integrando contiene una expresión de la forma
���a2 x2 a veces conviene hacer el cambio de variable���x a ( )sin
Ejemplo
Calcular d
�
�
�����
x2
( )���4 x2 3/2 x
10
(b) Si el integrando contiene una expresión de la forma
���a2 x2 a veces conviene hacer el cambio de variable���x a ( )tan
Ejemplo
Calcular d�
�
�����
1
x2 ( )���4 x2 1/2 x
11
(c) Si el integrando contiene una expresión de la forma���x2 a2 a veces conviene hacer el cambio de variable
���x a ( )sec
Ejemplo
Calcular d
�
�
�����
x2
( )���x2 43/2 x
12
Ejercicios
1. d�
�
�����
x3
���9 x2x 2. d
�
�
�����
x3
���3 x2 5x 3. d
�
�
�����
x3
���2 x2 7x
4.- d�
�
����
x2
���x2 4x 5. d
�
�
�����
x3
x � ���9 x2x 6. d
�
�
�����
x2
���4 2 x2x
13
Integrando que contiene funciones cuadráticas
(1) d�
�
����
1
���2 x x2x
(2) d�
�
����
2 x3
��� ���2 x2 4 x 3x
14
Integración de Funciones Racionales
Sean P(x) , Q(x) funciones polinomiales.
A la función definida por ���( )R x( )P x( )D x
, con ���( )D x 0, se llama
Función Racional .
Una función racional ���( )R x( )P x( )D x
se dice:
*) Propia si grad( ( )P x ) < grad( ( )D x ) *) Impropia si grad( ( )P x ) � grad( ( )D x )
15
Si R es racional impropia, entonces existen polinomios Q(x) y r(x) tal que
*) ���( )R x ���( )Q X( )r x( )D x
, con grd( ( )r x ) < grd( ( )D x )
*) d���
( )R x x = d���
( )Q x x + d�
�
����
( )r x( )D x
x
Parar integrar la expresión racional propia ( )r x( )D x
, descomponer en fracciones parciales e integrar
Ejemplo.
d�
�
�����
x
��� ���x2 x 2x
16
Ejercicios
Calcular cada una de las siguientes integrales:
1.- d
�
�
������
x2
���x2 1x 2.- d
�
�
�����
x
��� ���x2 x 6x
3.- d
�
�
������
x2
���x4 1x 4.- d
�
�
����
2 ( )���x 1 3
���2 x2 1x
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Indicaciones
1.-x2
���x2 1 = ��� ���1
12 ( )���x 1
12 ( )���x 1
2.-x
��� ���x2 x 2 = ���
13 ( )���x 1
23 ( )���x 2
3.-x
��� ���x2 x 6 = ���
35 ( )���x 3
25 ( )���x 2
4.-x2
���x4 1 = � ��� ���
1 x
2 ( )���x2 1
14 ( )���x 1
14 ( )���x 1
5.-2 ( )���x 1 3
���2 x2 1 = ��� ���x 3
� ���1 5 x
���2 x2 1
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Sustituciones Importantes.
I.- Si el integrando contiene una única expresión irracional de la forma ( )���ax b p/q , con ,p q Z
conviene la sustitución
���u ( )���ax b 1/q ( o bien ���x���uq ba
)
Ejercicio
d�
�
����
( )���x 1 1/3
xx
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II.- Si el integrando es función racional de sin x y cos x , conviene a veces el cambio de variable:
���u����
����tan
x2
Para tal caso,
���( )sin x2 u���1 u2 , ���( )cos x
���1 u2
���1 u2 , ���dx2���1 u2 du
y el integrando que resulta es una expresión racional en u.
Ejercicio
(1) d�
�
����1
���1 sin xx (2) d
�
�
����1���4 sin x 3 cos x
x
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