1
Matrices 1. Introdución
2. Matrices: definición
3. Tipos de Matrices
4. Operacións coas matrices
4.1 Suma de matrices
4.2 Diferenza de matrices
4.3 Produto dun número por unha matriz
4.4 Produto de matrices
5. Produto de matrices cadradas
6. Matriz inversa
6.1 Cálculo da matriz inversa
6.1.1 Aplicando a definición
6.1.2 Aplicando o método de Gauss
6.2 Aplicacións da matriz inversa: Ecuacións matriciais
7. As matrices na resolución de problemas
1. Introdución
Son moitas as actividade nas que é conveniente dispoñer das informacións numéricas ordenadas en táboas de dobre entrada. Estas disposicións rectangulares de datos numéricos facilitan a súa lectura, interpretación e análise e dan pé ao concepto matemático de matriz, a súa utilidade va moito más alá dunha mera disposición de números, como se verá o longo do trimestre.
2. Matrices: definición
Chámase matriz de orde m x n a unha disposición en táboa rectangular de m x n
números reais dispostos en m filas e n columnas.
A =
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
...
...............
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
= (aij)
Aos números reais aij chámaselles elementos da matriz. O primeiro subíndice i indica
a fila e o segundo j a columna na que se atopa o elemento 𝑎𝑖𝑗. Por exemplo, o
elemento 𝑎32 atópase na terceira fila e segunda columna.
O número de filas e de columnas é a dimensión da matriz e desígnase así: m x n. Se
m = n, filas igual a columnas, trátase dunha matriz cadrada de orde n.
As matrices represéntanse así: A = (𝑎𝑖𝑗), B= (𝑏𝑖𝑗), etc.
2
Igualdade de matrices
Dúas matrices A e B son iguais se teñen a mesma dimensión (ou a mesma orde, se
son cadradas) e ademais son iguais todos os elementos que ocupan o mesmo lugar.
3. Tipos de Matrices
Matriz rectangular é aquela matriz na que o número de filas é distinto ao de columnas m ≠ n.
Matriz cadrada é aquela na que o número de filas é igual ao de columnas m = n.
Nunha matriz cadrada chámase diagonal principal ao conxunto dos elementos da
forma 𝑎𝑖𝑖. Na matriz B, do exemplo anterior, a diagonal principal fórmana os
elementos: –2, 3, –8.
Nunha matriz cadrada chámase diagonal secundaria ao conxunto dos elementos
𝑎 𝑖𝑗con i + j = n + 1. Na matriz B, do exemplo anterior, a diagonal secundaria fórmana
os elementos: 7, 3, 0; os seus subíndices suman 4.
Exemplo
Dada a matriz A = (aij) =
8024
6231
054
32
cal é a súa dimensión? E cales son
os valores de a13 e a23
É unha matriz de dimensión 3 x 4 (tres filas e catro columnas) e os valores son:
a13 = 5, a23 = 2
Exemplo
As matrices A =
ba 0
592 e B =
62
33
6
d
c serán iguais se a = 2, b = 6,
c = –5 e d = 0
Exemplos
Matriz rectangular: A =
954
130
Matriz cadrada: B =
857
634
012
3
Matriz fila é unha matriz que ten unha fila; polo tanto, de dimensión 1 x n.
Matriz columna é unha matriz que ten unha columna; polo tanto, de dimensión m x 1.
Matriz oposta dunha matriz A é aquela que ten por elementos os opostos de A. Represéntase por –A.
Matriz trasposta dunha matriz A é aquela que resulta ao escribir as filas de A como
columnas; e represéntase por 𝐴𝑡
Matriz simétrica é unha matriz cadrada que coincide coa súa trasposta, 𝐴 = 𝐴𝑡ou ben aij = aji.
Matriz antisimétrica é unha matriz cadrada onde a súa trasposta coincide coa súa
negativa,− 𝐴 = 𝐴𝑡 ou ben aij = –aji
.
Exemplos
A = (–1 4 5 0) é unha matriz fila de dimensión 1 x 4.
B =
7
2
5
é unha matriz columna de dimensión 3 x 1.
Exemplo
Dada a matriz A =
571
204 a súa oposta é a matriz –A =
571
204
Exemplo
As matrices A =
45
52 e B =
943
462
321
son matrices simétricas.
E as matrices A =
03
30 e B =
047
403
730
son matrices antisimétricas
Exemplo
Dada a matriz A
842
013 a súa trasposta é 𝐴𝑡=(
3 2−1 4 0 8
)
4
Os elementos da diagonal principal dunha matriz antisimétrica cumpren aii = –aii; é
dicir, son números que coinciden cos seus opostos, polo tanto nulos.
Matriz nula é a que ten todos os seus elementos nulos. Denotarase por O = (0)
Matriz diagonal é unha matriz cadrada que ten nulos todos os elementos que non pertencen á diagonal principal.
Matriz escalar é unha matriz diagonal na que todos os elementos da diagonal son iguais.
Matriz unidade ou identidade é unha matriz escalar na que os elementos da diagonal principal son uns.
Matriz triangular é unha matriz cadrada na que todos os elementos situados por debaixo (ou por encima) da diagonal principal son cero.
Exemplos
As seguintes matrices son nulas: O2 =
00
00 e O2x3 =
000
000
As seguintes matrices son diagonais: A =
30
06 e B =
500
040
003
As seguintes matrices son escalares: A =
60
06 e B =
400
040
004
Exemplos
As matrices I2 =
10
01 e I3 =
100
010
001
son matrices identidade de orde dúas e
tres respectivamente.
Exemplo
As matrices A =
100
730
432
e B =
861
025
003
son matrices triangulares.
5
4. Operacións coas matrices
Ao conxunto de todas as matrices de dimensión m x n desígnaselle por Mmxn. Nas
matrices deste conxunto definense as operacións de sumar e restar.
4.1 Suma de matrices
Dadas dúas matrices do conxunto Mmxn A= (aij) e B = (bij), chámase suma de ambas á
matriz C = (cij) da mesma dimensión cuxo termo xenérico é cij = aij + bij.
A suma de matrices desígnase 𝐴 + 𝐵 = (𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗)
A suma de matrices (aij + bij) obtense ao sumar os elementos que ocupan o mesmo
lugar nunha e noutra matriz.
Propiedades da suma
Asociativa. Calquera que sexan as matrices A, B e C de Mmxn cúmprese a igualdade (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶)
Existencia da matriz nula en Mmxn. A matriz 𝑂 = (0) é tal que 𝐴 + 𝑂 = 𝐴
Existencia da matriz oposta. Dada a matriz A de Mmxn existe a matriz oposta − 𝐴 da
mesma orde, de modo que 𝐴 + (– 𝐴) = 𝑂
Conmutativa. Para todo par de matrices A e B de Mmxn cúmprese a igualdade
𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴
4.2 Diferenza de matrices
A diferenza de matrices A e B do conxunto Mmxn represéntase por A – B e obtense
sumando ao minuendo o oposto do subtraendo; é dicir, 𝐴 – 𝐵 = 𝐴 + (– 𝐵)
A diferenza de matrices (aij) – (bij) = (aij – bij) obtense ao restar elementos que ocupan
o mesmo lugar nunha e noutra matriz.
Exemplo
Dadas as matrices A =
745
213 e B =
053
102 de orde 2x3, calcular A + B
A + B =
745
213 +
053
102 =
075435
120123 =
718
315
Exemplo
Dadas as matrices A =
745
213 e B =
053
102 de orde 2x3, calcular A – B.
A – B =
745
213 –
053
102 =
075435
120123 =
792
111
6
4.3 Produto dun número por unha matriz
Calquera que sexan o número real k e a matriz A = (aij) do conxunto Mmxn, chámase produto de k por A, á matriz B = (bij) da mesma dimensión que A e cuxo termo xenérico é bij = k·aij.
O produto dun número por unha matriz k(aij) obtense ao multiplicar por k cada elemento de A= (aij).
Propiedades do produto dun número por unha matriz
Calquera que sexan as matrices A e B do conxunto Mmxn e os números reais λ e μ, verifícase:
Distributiva respecto da suma de matrices: λ(A + B) = λA + λB
Distributiva respecto da suma de escalares: (λ + μ)A = λA + μA
Asociativa respecto dos escalares: λ(μA) = (λμ)A
Elemento unidade: 1·A = A
4.4 Produto de matrices
Para multiplicar matrices, as matrices factores deben reunir algúns requisitos que se describirán neste apartado.
a) Produto dunha matriz fila por unha matriz columna
Sexan A unha matriz cunha fila e n columnas e B unha matriz con n filas e unha
columna: A = naaa ...21 e B =
nb
b
b
...
2
1
O produto da matriz fila A con n columnas pola matriz columna B con n filas é a matriz C = A·B cunha fila e unha columna; é dicir, un número c = a1·b1 + a2·b2 + ... +
an·bn. Polo tanto, A·B = C = (c) =
n
i
ii ba1
Hai que facer notar que, para poder multiplicar A e B, o número de columnas do primeiro factor A debe ser igual ao número de filas do segundo factor B.
Exemplo
Dada a matriz A =
534
102 de orde 2x3, calcular k·A
k·A = 5·
534
102 =
553545
150525 =
251520
5010
7
Regra: Obsérvase que para realizar o produto déixase caer a matriz fila A na matriz
columna B; multiplícanse os elementos enfrontados e súmanse os resultados.
b) Produto de dúas matrices calquera
Sexan A unha matriz do conxunto Mmxn, e B unha matriz do conxunto Mnxp; as
columnas de A coinciden coas filas de B (neste caso n).
O produto de matrices A do conxunto Mmxn e B do conxunto Mnxp é outra matriz C do
conxunto Mmxp con m filas (as do primeiro factor A) e p columnas (as do segundo
factor B), cuxos elementos se calculan así:
O elemento cij da matriz produto C é o resultado de multiplicar a fila i da matriz A pola
columna j da matriz B consideradas ambas como matrices fila e columna
respectivamente.
A expresión do elemento cij da matriz produto C será:
cij = inii aaa ...21 ·
nj
j
j
b
b
b
...
2
1
= (ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj) =
nk
k
kjik ba1
Exemplo
Sexan A = 412 unha matriz cunha fila e 3 columnas e B =
1
2
4
unha matriz
con 3 filas e unha columna. Achar a matriz produto.
A·B = 412 ·
1
2
4
= (2·4 + 1·2 + 4·(–1)) = 6
O resultado é unha matriz de orde 1 x 1; polo tanto, un número.
Exemplo
Dadas as matrices A =
314
012 e B =
51
24
32
:
a) Indicar a dimensión da matriz produto.
b) Calcular A·B
8
Propiedades do produto de matrices
O produto de matrices non é en xeral conmutativo; é dicir, 𝐴 · 𝐵 ≠ 𝐵 · 𝐴
O produto de matrices ten as propiedades seguintes:
Asociativa. Calquera que sexan as matrices A, B, C nos casos que se poidan multiplicar as tres matrices verifica se que:
(𝐴 · 𝐵) · 𝐶 = 𝐴 · (𝐵 · 𝐶)
Distributiva respecto da suma: 𝐴 · (𝐵 + 𝐶) = 𝐴 · 𝐵 + 𝐴 · 𝐶
Sexa A e B dúas matrices tales que existe o seu produto entón verifícase:
(𝐴𝐵)𝑡 = 𝐵𝑡𝐴𝑡
a) A dimensión de A é 2 x 3. A dimensión de B é 3 x 2. Como o número de columnas
de A, tres, coincide co de filas de B, as matrices pódense multiplicar e ademais a
dimensión da matriz produto é 2 x 2; isto é, número de filas do primeiro factor e
número de columnas do segundo factor.
b) As notacións que se empregaron no desenvolvemento do produto de matrices
pódense simplificar, mediante a seguinte regra.
Regra: Os elementos da matriz produto obtéñense ao deixar caer os elementos das
filas da matriz primeiro factor sobre as columnas da matriz segundo factor; multiplicar
os elementos que quedaron enfrontados e finalmente sumalos.
A·B =
314
012·
51
24
32
=
532134134124
502132104122 =
2515
48
Exemplos
Sexan as matrices A2x3 =
130
321 e B3x1 =
0
1
2
realiza A·B e B·A
A2x3·B3x1 =
130
321·
0
1
2
=
011320
031221 =
3
0
Pero neste caso non se pode facer B∙A
9
5. Produto de matrices cadradas
O produto de matrices cadradas merece atención especial posto que as matrices
cadradas do conxunto Mnxn, ou de orde n, multiplícanse entre si e o resultado é unha
matriz do conxunto Mnxn, ou de orde n.
En canto ás propiedades é evidente que seguen conservando as propiedades
asociativa do produto e distributiva do produto respecto da suma, pero débense
destacar outras propiedades.
En canto á propiedade conmutativa sempre é posible o dobre produto A·B e B·A, pero
en xeral o resultado será diferente, como se indica no seguinte exemplo.
Exemplo
Sexan as matrices A2x3 =
420
231 e B3x2 =
51
42
01
, realiza A·B e B·A
A2x3·B3x2 =
420
231·
51
42
01
=
544200142210
524301122311 =
=
280
225
B3x2·A2x3 =
51
42
01
·
420
231 =
452125310511
442224320412
402120310011
=
=
1871
20142
231
Exemplo
Sexan A =
20
04 e B =
31
21 calcula A·B e B·A. Comproba que o produto
danos unha matriz do mesmo orde que as iniciais.
A·B =
62
84 e B·A =
64
44; obsérvase que A·B ≠ B·A
A matriz produto ten orde dúas.
10
O produto de matrices cadradas posúe elemento unidade e é a matriz identidade In; se
A é unha matriz cadrada de orde n, tense:
𝐼𝑛 · 𝐴 = 𝐴 · 𝐼𝑛 = A
A matriz unidade de orde dúas será: I2 =
10
01
Potencias de matrices cadradas
Como se viu, o produto de dúas matrices cadradas é outra do mesma orde; isto fai
que unha matriz póidase repetir como factor cantas veces precísese, dando lugar ás
potencias de matrices, así:
𝐴 · 𝐴 = 𝐴2; 𝐴 · 𝐴 · 𝐴 = 𝐴3; . . . ; 𝐴 · 𝐴. . .𝑛−𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 . . .· 𝐴 = 𝐴𝑛
6. Matriz inversa
Dada unha matriz cadrada A de orde n, non sempre existe outra matriz B chamada
matriz inversa de A, tal que 𝐴 · 𝐵 = 𝐵 · 𝐴 = 𝐼𝑛
Cando existe a matriz B, dise que é a matriz inversa de A e represéntase A–1; é dicir,
A·A–1 = A–1·A = In
As matrices cadradas que teñen inversa chamáselles matrices regulares.
As matrices cadradas que non teñen inversa chámanse matrices singulares.
6.1 Cálculo da matriz inversa
6.1.1 Aplicando a definición
Para calcular a matriz inversa dunha matriz dada tendo en conta a definición teremos
que resolver unha igualdade entre matrices 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐼 e obteremos un sistema que sa sabemos resolver de cursos anteriores.
𝐴2 = 𝐴 ∙ 𝐴 = (1 20 1
) (1 20 1
) = (1 40 1
)
𝐴3 = 𝐴 ∙ 𝐴 ∙ 𝐴 = (1 20 1
) (1 20 1
) (1 20 1
) = (1 60 1
)
Exemplo
Dada a matriz A = (1 20 1
) 𝐴2, 𝐴3 calcula e atopa unha expresión para 𝐴𝑛
Podemos comprobar que o temo 𝑎12 de cada potencia é o produto de dous pola
potencia que fagamos da matriz, isto é 𝑛 ∙ 2 .
Obtemos que a matriz n-sima 𝐴𝑛 = (1 2 ∙ 𝑛0 1
)
11
6.1.2 Aplicando o método de Gauss
No método de Gauss para o cálculo da matriz inversa de A, cando exista, pártese da
matriz (𝐴 𝐼𝑛) e mediante as transformacións que se indican a continuación chégase á
matriz( 𝐼𝑛 𝐵 ) ; entón a matriz B = A–1 é a inversa de A.
As transformacións que se poden aplicar son as seguintes:
Cambiar as filas de lugar.
Multiplicar unha fila por un número distinto de cero.
Sumar a unha fila outra multiplicada por un número.
Exemplo
Dada a matriz cadrada de orde dúas A =
21
74, calcular a súa inversa.
Temos que calcular unha matriz
uz
yx que cumpra:
21
74·
uz
yx =
10
01
Efectúase o produto:
uyzx
uyzx
22
7474 =
10
01
A igualdade dos dous termos dá lugar aos sistemas:
02
174
zx
zx e
12
074
uy
uy
As solucións dos sistemas son: 𝑥 = 2, 𝑧 = – 1, 𝑦 = – 7, 𝑢 = 4
A matriz inversa será A–1 =
41
72
Exemplo
Calcula a inversa da matriz M =
21
53 e comprobar o resultado.
Engádeselle á matriz M a matriz unidade, así:
(𝑀 𝐼) =
10
01
21
53 FF ª2ª1
01
10
53
21 FF ª13ª2
31
10
10
21
Fª21
31
10
10
21 FF ª22ª1
31
52
10
01
A matriz inversa é M–1 =
31
52
Comprobación:
21
53·
31
52 =
31
52·
21
53 =
10
01
12
6.2 Aplicacións da matriz inversa: Ecuacións matriciais
As operacións coas matrices e en particular o cálculo da matriz inversa permiten
resolver situacións problemáticas nas que aparecen matrices.
Estas situacións chámanse ecuacións matriciais; resólvense cos mesmos principios
que as ecuacións con coeficientes e variables de números reais, tendo en conta
algunhas das seguintes consideracións:
Algunhas matrices non teñen inversa.
O produto de matrices non é conmutativo; polo que á hora de multiplicar os dous membros dunha igualdade débese ter en conta que a multiplicación se fai ben pola esquerda ou ben pola dereita en ambos os membros da igualdade.
No caso de ecuacións matriciais que se reducen á forma 𝐴 · 𝑋 = 𝐵 𝑜𝑢 𝑋 · 𝐴 = 𝐵 e A
ten inversa; a incógnita X calcúlase respectivamente multiplicando pola esquerda ou
pola dereita por A–1 os dous membros da igualdade.
Na ecuación 𝐴 · 𝑋 = 𝐵, multiplícanse pola esquerda os dous membros por A–1:
𝐴−1 · (𝐴 · 𝑋) = 𝐴−1 · 𝐵 ⟹ (𝐴−1 · 𝐴) · 𝑋 = 𝐴−1 · 𝐵 ⟹ 𝐼 · 𝑋 = 𝐴−1 · 𝐵 ⟹
𝑋 = 𝐴−1 · 𝐵
Na ecuación 𝑋 · 𝐴 = 𝐵, multiplícanse pola dereita os dous membros por A–1:
(𝑋 · 𝐴) · 𝐴−1 = 𝐵 · 𝐴−1 ⟹ 𝑋 · (𝐴 · 𝐴−1) = 𝐵 · 𝐴−1 ⟹ 𝑋 · 𝐼 = 𝐵 · 𝐴−1 ⟹
𝑋 = 𝐵 · 𝐴−1
Exemplo
Resolver a ecuación matricial A·X + B = C, A=
62
41, B=
13
20 e C=
52
64
Se despexamos a matriz X: A·X + B = C ⟹ A·X = C – B ⟹ A–1·(A·X) = A–1·(C – B) ⟹
X = A–1·(C – B)
Calcúlase a inversa de A polo método de Gauss:
10
01
62
41 FF ª12ª2
12
01
20
41 )2(:ª2 F
2
11
01
10
41 FF ª24ª1
2
11
23
10
01
Logo A–1 =
2
11
23 ou A–1 =
2
1
12
46
Substitúense as variables polos seus valores e opérase:
X =
2
11
23·
13
20
52
64 =
2
11
23·
45
44 =
62
132022
13
Ás veces o problema consiste en determinar algúns elementos dunha ou varias
matrices que figuran nunha ecuación matricial.
7. As matrices na resolución de problemas
As matrices aparecen con frecuencia nas ciencias que traballan con datos ordenados,
como é o caso das Ciencias Físicas, Económicas e Sociais. A continuación
preséntanse algunhas situacións nas que as matrices son de utilidade.
As matrices de información permiten resumir informacións diversas; entre outras
poden estar ligadas a grafos.
Os resultados dalgunhas operacións entre matrices asociadas a grafos transmiten
novas informacións, sobre as situacións que o grafo describe.
Exemplo
Dada a matriz A =
zy
x1, determinar os valores de x, y e z para que se verifique a
igualdade: At·A =
zx
y1·
zy
x1 =
100
010
Multiplícanse as matrices e iguálanse as matrices dos dous membros:
zx
y1·
zy
x1 =
22
21
zxyzx
yzxy =
100
010
10
0
0
101
22
2
zx
yzx
yzx
y
⟹
10
0
9
22
2
zx
yzx
y
⟹ Da primeira ecuación y = ±3.
Se y = 3 o sistema
10
03
22 zx
zx ten como solucións z = 1, x = –3 e z = –1, x = 3
Se y = –3 o sistema
10
03
22 zx
zx ten como solucións z = 1, x = 3 e z = –1, x = –3
As ternas (x, y, z) que verifican a ecuación matricial son:
(– 3, 3, 1), (3, 3, – 1), (3, – 3, 1) 𝑒 (– 3, – 3, – 1)
14
Exemplo
Ana, Xulio, Nereida e Ramón comunícanse a través de Internet como se indica no
seguinte grafo:
A matriz asociada ao grafo ao asignar o número 1 á frecha do que parte ao que chega
será a seguinte:
R
N
X
A
(
0 0 1 11 0 0 01 0 0 1
1 0 1 0
)
Desígnase por G a matriz do grafo.
Calcúlase G2 = G·G =
0101
1001
0001
1100
·
0101
1001
0001
1100
=
2101
1201
1100
1102
O elemento a11 = 2 da matriz G2 indica que se comunica con A de dúas formas diferentes
a través doutro; estas son A – N – A e A – R – A.
O elemento a32 = 0 significa que N non pode comunicarse con X a través doutro.
O elemento a23 = 1 significa que X pódese comunicar con N a través doutro: X – A – N.
A matriz G3 indica as formas de comunicarse cada persoa con outra a través doutras
dúas. G3 = G·G2 =
0101
1001
0001
1100
.
2101
1201
1100
1102
=
2303
3203
1102
3302
Por exemplo, o elemento a13 = 3 informa que Ana e Nereida pódense comunicar de tres
formas a través doutros dous internautas: A – R – A – N, A – N – R – N e A – N – A – N.
Traducir a información do grafo nunha matriz de
información G, calcular 𝐺2 e 𝐺3 en cada cálculo interpretar os resultados. No grafo A representa Ana, X Xulio, N Nereida e R Ramón.
RNXA
Top Related