Máquinas que comen máquinas
To iterate is human, to recurse divine.—L. Peter Deutsch
Ivan Meza
Máquinas de TuringEs una tupla (Q, Σ, Γ, , B, A, δ)q0
conjunto finito de estados alfabeto de cadenas reconocidas alfabeto de cinta, estado inicial Símbolo de espacio en blanco pero estados finales
función de transición
QΣΓ Σ ⊂ Γq0B B ∈ Γ B ∉ ΣAδQ × Γ → Q × Γ × {der, izq}
Jerarquía de ChomskyLenguaje Gramática Máquina Ejemplo
Recursivamenteenumerables
Tipo 0 ( )
Máquina deTuring
??
Dependiente delcontexto
Tipo 1 ( )
Autómata dedoblepila/lineal confronteras
Independientedel contexto
Tipo 2 ( )
Autómata depila
Regular Tipo 3 ( )
Autómatafinito
α → β
αV β → αγβww, anbncn
V → αw ,wr anbn
V → aA|ϵw, a∗
Lo que sabemos
Si existe una máquina de Turing para el lenguaje, se trata deun lenguaje recursivamente enumerable
Con autómatas finitos, autómatas de pilas, autómatas dedoble pila y autómatas con frontera lineal, son máquinas
aceptoras: verdadero o falso
Entonces las MT contienen máquinas aceptoras
Codificación de una cadena δ( , ) = ( , , )qi Xj qk Xl Dm
Asignar a cada estado , a cada símbolo de y cada dirección unenteroCodificar cada entrada de la MT como Separar cada codificación con doble uno ( )
Q Γ
0i10j10k10l10m
11
Ejemplo δ( , 1) = ( , 0, R)q1 q3 0100100010100
δ( , 0) = ( , 1, R)q3 q1 0001010100100δ( , 1) = ( , 0, R)q3 q2 00010010010100δ( , B) = ( , 1, L)q3 q30001000100010010
Con = 1, = 2, = 3; 0 = 1, 1 = 2, B = 3; L = 1, R = 2q1 q2 q3
01001000101001100010101001001100010010010100110001000100010010
Máquin de Turing Universal
It is possible to invent a single machine which can be used tocompute any computable sequence. If this machine is
supplied with a tape on the beginning of which is written theS.D ["standard description" of an action table] of somecomputing machine , then will compute the same
sequence as .
U
M UM
Turing, 1936
Es posible inventar una máquina que pueda ser usada paracomputar cualquier secuencia computable. Si esta máquina
se le provee con una cinta en la que al principio se leescribe la descripción estándar de una tabla de acción de
alguna máquina , entonces computará la mismasecuencia que
U
M UM
MTU: Máquina de Turing que puedesimular una MT arbitraria
Mu
Lenguaje aceptado y su correspondiente = {mw|w ∈ L(m)}Lu Mu
Verdadero
FalsoW
MTUM
M
Realización, una MT es una cadena
Como cadena se podía presentar a una máquina de Turinguniversal
Verdadero
FalsoM
MTUM
Mi
ii
Las máquinas de Turing que se aceptan a si mismas u otrasmáquinas
Las máquinas en realidad son un número, como número laspodemos ordenar
Ordenadas, cada una corresponde a un número entero
Entonces,...
T F F T F
F F F F F
T T T T T
F T F F F
T F T F F
M c0 M c
1 M c2 M c
3 M c4 …
M0 …M1 …M2 …M3 …M4 …… … … … … … …
T F F T F
F F F F F
T T T T T
F T F F F
T F T F F
M c0 M c
1 M c2 M c
3 M c4 …
M0 …M1 …M2 …M3 …M4 …… … … … … … …
Md T F T F F …
T F F T F
F F F F F
T T T T T
F T F F F
T F T F F
M c0 M c
1 M c2 M c
3 M c4 …
M0 …M1 …M2 …M3 …M4 …… … … … … … …
Md F T F T T …
¡ no existe!Md
¡No es recursivamente enumerable!
= {m|mm ∉ (mm)}Ld Mu
Lenguajes aceptados por máquinas aceptoras: recusivos odecidibles
¿Las máquinas de Turing son las máquinas aceptoras?
Sabemos que las máquinas Turing tiene un límite
MT Verdadero
FalsoW
Imaginemos
MT Verdadero
FalsoW
Verdadero
Falso
Complemento de todos los recursivos son recursivo
Lenguaje aceptado
Verdadero
FalsoW
MTUM
M
= {mw|w ∈ L(m)}Lu
Si es recursivo, su complemento también...Lu
Verdadero
FalsoW
MTUM
M Verdadero
Falso
¿Si pasamos nuestra numeración de ?MTi
¡Aceptaría ! ¡No es posible! por lo tanto no es decidibleLd Lu
RE no R
Sabemos que hay MT que son decidibles: verdadero y falso
Sabemos que hay otras MT: complemento de Mu
Sabemos que hay problemas para los cuales no existe MT, Ld
¿Qué hace diferente RE a R?
Máquina H
Para
No paraw
MTUM
M Verdadero
Falso
Dado un par podemos saber si la máquina va a pararM, w
Depende de , entonces es RE, por lo tanto el no parar es latercera opción
Mu
Supongamos que existe Mhalt
Es posible definir la siguiente máquina a partir de ella
Para
H'M
H Para
No para
Para
H'H'
H Para
No para
Sí para con , también lo hace , pero por definición sequeda en un cicloSí se cicla con , también lo hace con , pero por definiciónse para
H ′ H ′ H
H ′ H ′ H
Opciones de una máquina de Turing¿Cuándo se acepta? Llega a estado aceptor¿Cuándo se rechaza? Llega a estado del que no hay transicióndado el estado de la cinta¿Otra opción? Quedarse en un ciclo infinito
MT Verdadero
FalsoW
Modelo teórico: instantáneoAceptar (T) Llega a estado aceptorRechazar (F) Se queda en estado noaceptorLoop infinito Rechazó o loopinfinito?
Modelo práctico: tiempoAceptar (T) En algún momento llega a estado aceptorRechazar (F) En algún momento llega a estado noaceptorLoop infinito No termina nunca
Ante problemas muy, muy difíciles, no sabemos si sigueprocesando o está en un loop infinito
Ejemplo de problema muy muy difícilDe un conjunto de números enteros de tamaño ¿existe una
combinación del subconjuntos de ellos que sume ?N
C
¿Cómo se diseña la MT?
N = 1, ∗ 1 = 2 = 2ns21
N = 2, ∗ 2 = 8 = 8ns22
N = 3, ∗ 3 = 24 = 24ns23
N = 10, 0 ∗ 10 = 10, 240 = 10micros21
N = 20, 0 ∗ 20 = 20, 971, 520 = 2milis22
N = 30, 0 ∗ 30 = 32, 212, 254, 720 = 32s23
N = 40, 0 ∗ 40 = 43, 980, 465, 111, 040 = 12h24
N = 50, 0 ∗ 50 = 56, 294, 995, 342, 131, 200 = 651d25
¿Por qué mi programa tiene un loop?Por diseño, loops son importantes desde lenguajesregulares
¿Por qué mi programa tiene unloop infinito?
Un errorPor diseño, interfaz gráfica, satélites, switches,robots
Hecho de la computación: los loops son básicos en lacomputación
Pero nos meten en problemas rápidamente
Jerarquía de Chomsky extendida*Lenguaje Gramática Máquina Ejemplo
No RE -- --
RE/Rec Tipo 0 ( )
Máquina deTuring
,
Dependientedel contexto
Tipo 1 ( )
Autómata dedoble pila/linealcon fronteras
Independientedel contexto
Tipo 2 ( )
Autómata depila
Regular Tipo 3 ( )
Autómata finito
Ld
α → βmw mmi
αV β → αγβww, anbncn
V → αw ,wr anbn
V → aA|ϵw, a∗
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Máquinas de Turing o máquinas con cola by islicensed under a
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