7/28/2019 Leyes de Seno y Coseno
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Introduccin:
No todos los tringulos poseen un ngulo recto (90)
Aquellos tringulos que no poseen un ngulo recto seles llama: TRINGULOS OBLICUNGULOS
Ejemplos:
Ninguno de ellos posee ngulos rectos
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Qu significa resolver tringulos?
Calcular la medida de todos sus lados y ngulos.
Utilizaremos la ley de senos y cosenos para
resolver cualquier tipo de tringulos.
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Qu establece la ley de los senos?
En cualquier tringulo oblicungulolas longitudes de sus lados son
proporcionales a los senos de susngulos opuestos
c
Csen
b
Bsen
a
Asen
Csen
c
Bsen
b
Asen
a
Esta ley se puede utilizar de esta
forma y ofrece el mismo
resultado final
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Ejemplo
Resuelve el tringulo de la derechasi el mismo posee las siguientesmedidas:
54126180
)7254(180
A
A
A
Estrategia de solucinPrimero buscamos eltercer ngulo (el que falta)
Luego los otros lados
utilizando la ley de lossenos.
Cuidado: No siempre el ngulo que falta ser igual a uno de los
que aparezca en el tringulo
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Resuelve el tringulo de laderecha si el mismo poseelas siguientes medidas:
x
xsen
sen
senxsensen
x
sen
Csen
c
Asen
a
63.17
)54(
)72(15
)54()72(157254
15
=54
Estrategia de solucinAhora calculamos losotros lados utilizando laley de los senos.
Primero la longitud dellado x
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Resuelve el tringulo de laderecha si el mismo posee lassiguientes medidas:
y
ysen
sen
senysensen
y
sen
Bsen
b
Asen
a
15
)54(
)54(15
)54()54(155454
15
=54
Ahora calculamos lalongitud el lado que faltautilizando la ley de los
senos.
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Una vez tengas todas las medidas de los lados y
ngulos el problema termin.
=54
y = 15 m
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Resuelve el tringulo de laderecha:
Ejemplo 2
24
47
)123(23
47
)123(23
)(47)123(23
123
47
23
1 sensen
sensen
sensen
sensen
sen
a
sen
b
Estrategia de solucin:
Primero buscamos elngulo con la ley de
senos
47 cm
23 cm
c
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Resuelve el tringulo de la
derecha:
ccm
csen
sen
sencsen
sen
c
sen
sen
c
sen
a
31
123
)33(47
)123()33(47
33123
47
Estrategia de solucin
Segundo, buscamos el
tercer ngulo que falta.
47 cm
23 cm
33
147180
)12324(180
180
Por ltimo,buscamosel lado que
falta por laley desenos.
c
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Ejemplo 3
Para medir la longitud de un lago, se estableci y se midi
una lnea de base AB de 125 metros. Los ngulos A y B son
41.6 y 124.3, respectivamente. Qu tan largo es el lago?
Estrategia de solucin:
Como nos dan lamedida de un lado
deberamos conocer el
ngulo en C para luegoutilizar la ley de senosy encontrar la longitud
del lado d.
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Para medir la longitud d de un lago, se estableci y se midi
una lnea de base AB de 125 metros. Los ngulos A y B son
41.6 y 124.3, respectivamente. Qu tan largo es el lago?
1.14
9.165180
)3.1246.41(180
)(180
C
C
C
BAC
Ahora usamos la leyde senos para
encontrar la longituddel lado d
Calculamos el ngulo C
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Para medir la longitud d de un lago, se estableci y se midi
una lnea de base AB de 125 metros. Los ngulos A y B son
41.6 y 124.3, respectivamente. Qu tan largo es el lago?
d
dsen
sen
sendsen
sen
d
sen
Asen
a
Csen
c
66.340
1.14
)6.41(125
)1.14()6.41(125
6.411.14
125
El largo del lago es aproximadamente 340.66 m.
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Qu establece la ley de los cosenos?
En todo tringulo oblicungulola longitud de cualquiera de suslados al cuadrado es igual a lasuma de los cuadrados de laslongitudes de los otros dos menos
el doble producto de laslongitudes de dichos lados por elcoseno del ngulo que estosforman
Cabbac
Baccab
Abccba
cos2
cos2
cos2
222
222
222
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Resuelve el tringulode la derecha
Ejemplo
Paso 1: Utiliza la ley de
cosenos para despejar b.
cmb
b
Baccab
Baccab
96.54.32cos)45.6)(3.10(2)45.6()3.10(
cos2
cos2
22
22
222
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Resuelve el tringulode la derecha
Paso 2: Utiliza laley de senos para
encontrar.
Puesto que el
lado c es ms
corto que el lado
a, debe ser
agudo.
44.35
96.5
)4.32(45.6
)(
)()(
1
sensen
b
sencsen
sencsenb
sen
b
sen
c
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Resuelve el tringulo de la
derecha
Paso 3: Calcular el
tercer ngulo
16.112
)44.354.32(180
)(180
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Resuelve el tringulo cona = 27.3 m, b = 17.8 m yc = 35.2 m
Ejemplo 5
Paso 1: Utiliza laley de cosenos
para encontrar el
ngulo , que est
opuesto al lado
ms largo.
49.100
)8.17)(3.27(2
)8.17()3.27()2.35(cos
cos
2
cos2
cos2
2221
222
222
222
ab
bac
abbac
abbac
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Resuelve el tringulo con
a = 27.3 m, b = 17.8 m yc = 35.2 m
Paso 2: Utilizala ley de senos
para encontrar
el ngulo o .Calculemos .
69.49
2.35
)49100(3.27
)(
)()(
1
.sensen
c
senasen
senasenc
senc
sena
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Resuelve el tringulo cona = 27.3 m, b = 17.8 m yc = 35.2 m
Paso 3: Calcular eltercer ngulo, .
82.29
)69.4949.100(180
)(180
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Resuelva cada tringulo1) = 73 = 28 c = 42 pies2) = 122 = 18 b = 12 km
3) = 112 = 19 c = 23 yds
4) = 52 = 47 a = 13 cm
5) Dos faros, A y B (con 10 millas de separacin), se colocan
en una costa para vigilar barcos ilegales que traspasen el
lmite de 3 millas. Si el faro A reporta un barco S en elngulo BAS = 37 y el faro B reporta el mismo barco en el
ngulo ABS = 20. A qu distancia est el barco del faro
A? A qu distancia est de la costa? (Suponga que la
costa est a lo largo de la lnea que une a los faros.)
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Resuelva cada tringulo
6) = 72.1 b = 5.32 yds c = 5.03 yds
7) = 120 a = 5.73 mm b = 10.2 mm
8) = 104.5 a = 17.2 pulg c = 11.7 pulg
9) = 57.2 = 112 c = 24.8 m
10) = 38.4 a = 11.5 pulg b = 14 pulg
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