27908428 Resolver Triangulos Usando Leyes de Seno y Coseno

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RESOLVER TRINGULOS

OBLICUNGULOS USANDOLAS LEYES DE SENO Y

COSENO

UNIDAD II: FUNCIONES CIRCULARES YTRIGONOMTRICAS

G.FG.11.5.1J. Pomales Marzo 2010


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Introduccin

No todos los tringulosposeen un ngulo recto (90)

Aquellos tringulos que noposeen un ngulo recto seles llama:

TRINGULOS

OBLICUNGULOS


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EJEMPLOS DE TRINGULOSOBLICUNGULOS Your subtopic goes here

Ninguno de ellos posee ngulos rectos


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Qu es resolver tringulos?

Calcular la medida de todos sus lados y

ngulos.

Anteriormente utilizamos SOHCAHTOAcuando eran tringulos rectngulos.

Ahora utilizaremos la ley de senos y

cosenos para resolver cualquier tipo detringulos.


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LEY

DELOS

SENO

S


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Qu establece la ley de lossenos? En cualquier tringulo la

relacin de cualquiera de sus

lados al seno del ngulo

opuesto es constante.

As que, esta ley aplica

mayormente cuando

tenemosngulo-lado-ngulo (ALA)

ngulo-ngulo-lado (AAL)

lado-lado-ngulo (LLA)


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Qu establece la ley de lossenos? En cualquier tringulo la

relacin de cualquiera desus lados al seno delngulo opuesto es

constante.

c

Csen

b

Bsen

a

Asen ==

Csen

c

Bsen

b

Asen

a

==Esta ley se puede utilizar de esta forma

y ofrece el mismo resultado final


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Resuelve el tringulo dela derecha si el mismoposee las siguientesmedidas:

54126180

)7254(180

==

+=

AA

AEstrategia de solucin

Primero buscamos eltercer ngulo (el que falta)

Luego los otros ladosutilizando la ley de lossenos.

Cuidado: No siempre el ngulo que falta ser igual a uno de losque aparezca en el tringulo

Ejemplo 1 para ALA


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x

xsen

sen

senxsensen

x

sen

Csen

c

Asen

a

=

=

=

=

63.17

)54(

)72(15

)54()72(157254

15

=54

Ejemplo 1 para ALA

Estrategia de solucin

Ahora calculamos losotros lados utilizando la

ley de los senos.


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y

ysen

sen

senysensen

y

sen

Bsen

b

Asen

a

=

=

=

=

=

15

)54(

)54(15

)54()54(155454

15

=54

x17

.63m

Ejemplo 1 para ALA


Ahora calculamos ellado que falta utilizando

la ley de los senos.


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Resuelve el tringulo dela derecha:

=

==

=

=

24

47

)123(23

47

)123(23

)(47)123(23

123

47

23

1 sensen

sensen

sensen

sensen

sen

a

sen

b


Primero buscamos elngulo con la ley de senos

Segundo, buscamos eltercer ngulo que falta.

Finalmente, calculamos ellado que falta utilizando laley de los senos.

Ejemplo 2 para LLA

47 cm23 cm

c


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Ejemplo 3Para medir la longitud d de un lago, se estableci y se midi

una lnea de base AB de 125 metros. Los ngulos A y B son

41.6 y 124.3, respectivamente. Qu tan largo es el lago?

125

m

Estrategia de solucin:Como nos dan la

medida de un ladodeberamos conocer el

ngulo en C para luegoutilizar la ley de senos

y encontrar d.


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125

m

1.14

9.165180

)3.1246.41(180)(180

=

=

+=

+=

C

C

C

BAC

Ahora usamos la leyde senos para

encontrar d


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125

m

d

dsensen

sendsen

sen

d

sen

Asen

a

Csen

c

=

=

=

=

66.340

1.14)6.41(125

)1.14()6.41(125

6.411.14

125

El largo del lago es aproximadamente 340.66 m.

14.1


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LEYDELOS

COSEN

OS


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19/32

Qu establece la ley de loscosenos?

Cabbac

Baccab

Abccba

cos2

cos2

cos2

222

222

222

+=+=

+=

Estas tres ecuaciones plantean

en esencia lo mismo.


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Estrategia para resolver casosLAL con ley de cosenos

Paso Encuentre Mtodo

1 El lado opuesto al

ngulo dado

Ley de cosenos

2 Segundo ngulo(Encuentre el ngulo opuesto alms corto de los dos lados

dados; siempre ser agudo)

Ley de senos

3 Tercer ngulo 180 menosla suma delos otros 2 ngulos


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Resuelve el tringulode la derecha

Paso 1: Utiliza la ley de

cosenos para despejar b.

Ejemplo 4 para LAL

cmb

b

Baccab

Baccab

96.5

4.32cos)45.6)(3.10(2)45.6()3.10(

cos2

cos2

22

22

222

+=+=

+=


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Paso 2:

Utiliza la leyde senos

para

encontrar .Puesto que el lado

c es ms corto que

el lado a, debe

ser agudo.

Ejemplo 4 para LAL

44.35

96.5

)4.32(45.6

)(

)()(

1

=

=

=

=

sensen

b

senc

sen

sencsenb

senb

senc


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Paso 3: Calcular

el tercer ngulo

Ejemplo 4 para LAL

16.112

)44.354.32(180

)(180

+=

+=


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Resuelve el tringulocon a = 27.3 m,b = 17.8 m y c = 35.2 m

Paso 1: Utiliza laley de cosenos

para encontrar el

ngulo , queest opuesto al

lado ms largo.

Ejemplo 5 para LLL

49.100

)8.17)(3.27(2

)8.17()3.27()2.35(cos

cos2

cos2

cos2

2221

222

222

222

=

=

=

+=

ab

bac

abbac

abbac


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Paso 2: Utiliza laley de senos para

encontrar el

ngulo o .Calculemos .

Ejemplo 5 para LLL

69.49

2.35

)49100(3.27

)(

)()(

1

=

=

=

=

.sensen

c

sena

sen

senasenc

senc

sena


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Paso 3: Calcular eltercer ngulo, .

Ejemplo 5 para LLL

82.29

)69.4949.100(180

)(180

+=+=


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EJERC

ICIOSDE

PRCT

ICA


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Resuelva cada tringulo1) = 73 = 28 c = 42 pies

2) = 122 = 18 b = 12 km

3) = 112 = 19 c = 23 yds

4) = 52 = 47 a = 13 cm

5) Dos faros, A y B (con 10 millas de separacin), se colocan

en una costa para vigilar barcos ilegales que traspasen el

lmite de 3 millas. Si el faro A reporta un barco S en elngulo BAS = 37 y el faro B reporta el mismo barco en el

ngulo ABS = 20. A qu distancia est el barco del faro

A? A qu distancia est de la costa? (Suponga que la

costa est a lo largo de la lnea que une a los faros.)


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Resuelva cada tringulo

6) = 72.1 b = 5.32 yds c = 5.03 yds

7) = 120 a = 5.73 mm b = 10.2 mm

8) = 104.5 a = 17.2 pulg c = 11.7 pulg

9) = 57.2 = 112 c = 24.8 m

10) = 38.4 a = 11.5 pulg b = 14 pulg


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Referencia

PRECLCULO,FUNCIONES Y GRFICAS.Barnett, Ziegler, Byleen,McGraw Hill


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