Lección 3
Diseño de componentes magnéticos para convertidores
electrónicos de potencia
Universidad de Oviedo
Diseño de Sistemas Electrónicos de Potencia
4º Curso. Grado en Ingeniería en Tecnologías y Servicios de Telecomunicación
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
¿Por qué un tema dedicado a los componentes magnéticos?
• Realizan dos funciones importantísimas en la conversión de la
energía eléctrica:
- Transferencia directa de energía eléctrica con posible cambio de
escalas de tensión y corriente y obtención de aislamiento galvánico
entre entrada y salida Þ transformadores
- Almacenamiento de la energía eléctrica en forma de energía en un
campo magnético para su posterior transferencia Þ bobinas (con
uno o varios devanados)
• Frecuentemente deben diseñarse a medida
• En potencias pequeñas, sí se encuentran componentes “estandarizados”
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Partes de un componente magnético
Núcleo de material magnético (ferrita, polvo de
hierro, aleaciones férricas amorfas, Fe, Fe Si, etc.)
Soporte para albergar el
devanado (carrete, “bobbin”)
Devanado o devanados (de hilo de
cobre con barniz aislante, pletinas o cintas
de cobre, pistas de circuito impreso, etc.)
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Partes de un componente magnético
• Montaje :
- Se parte del carrete
- Se devanan los devanados o bobinados
- Se introducen los núcleos magnéticos
- Se sujeta todo el conjunto
CO
MP
ON
EN
TE
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AG
NÉ
TIC
OS
Partes de un componente magnético
• Puede haber una zona en la que el
circuito magnético esté interrumpido.
Es el entrehierro (“gap”)
Sin entrehierro
Con entrehierro
CO
MP
ON
EN
TE
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AG
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TIC
OS
Partes de un componente magnético
• Distintos tipos de
entrehierros
Con núcleos estándar Con núcleos a medida
CO
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TE
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TIC
OS
Tipos de núcleos magnéticos: núcleos compuestos de dos partes
• Núcleos en
“E”
E
E plano
EFD
Todos estos son de
columnas de base
rectangular (en algunos
casos redondeadas)
CO
MP
ON
EN
TE
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TIC
OS
Tipos de núcleos magnéticos: núcleos compuestos de dos partes
• Núcleos en
“E”
Son núcleos de columna
central de base circular
EC
ETD
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Tipos de núcleos magnéticos: núcleos compuestos de dos partes
• Núcleos en
“E”
Todos estos también son
de columna central de
base circular, pero más
blindados
EQ ER
EP
CO
MP
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TE
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TIC
OS
Tipos de núcleos magnéticos: núcleos compuestos de dos partes
• Núcleos muy blindados tipo P (“potcores”)
PT
PQ
CO
MP
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TE
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TIC
OS
Tipos de núcleos magnéticos: núcleos compuestos de dos partes
• Núcleos muy blindados tipo RM
RM/IRM
RM/ILP
CO
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TE
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TIC
OS
Tipos de núcleos magnéticos: núcleos compuestos de dos partes
• Núcleos muy poco blindados
U
En marco y barra
• Núcleos en U:
- Con separación de los devanados
- Muy interesante para alta tensión
CO
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ON
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TE
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TIC
OS
Tipos de núcleos magnéticos: núcleos compuestos de una parte
• En electrónica de potencia normalmente son toroides
lm
CO
MP
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EN
TE
S M
AG
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TIC
OS
Teoría básica de los componentes magnéticos
• En el estudio de la teoría básica de los componentes
magnéticos, vamos a suponer que el núcleo es toroidal
S
l
Sd)t
Dj(ldH
Una de las Ecuaciones de Maxwell
S
l
inSdjldH
Particularización al componente magnético
H
ld
SS
j
ni
Ley de Ampère
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Teoría básica de los componentes magnéticos
• Ahora ya partimos
de:inldH
l
• Suponemos que el campo magnético fuera del
núcleo es despreciable y que tiene el mismo
módulo en todo él (sección uniforme), de tal forma
que:
m
l
lHldH
(lm es la longitud media del toroide)
• Por
tanto:inlH m
n
i
• Llamamos “Fuerza magnetomotriz” (Fmm) a
n·i:mmm lHinF
lm
ni
H
Ley de Ampère para un toroide de sección uniforme y sin entrehierro
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Teoría básica de los componentes magnéticos
• Se ha supuesto que todo el campo magnético
está en el núcleo férrico. Aplicamos las
relaciones entre H y B (sin saturación, es decir,
en zona de comportamiento lineal del núcleo):
HBHB FeFe
• Por otra
parte:rFe0Fe
rFe0
mmm
lBinF
• Sustituyendo en la fórmula de la Ley de Ampère, queda:
• Por tanto:
rFe0Fe
BBH
lm
ni
H
Otra forma de expresar la Ley de Ampère para un toroide de sección uniforme y sin entrehierro
B
,Fe
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Teoría básica de los componentes magnéticos
• Por otra parte, definimos el flujo
magnético f como:
rFe0
mmm A
linF
• Sustituyendo de nuevo en la en la fórmula
de la Ley de Ampère, queda:
A
ABAdB
Otra forma más de escribir la Ley de Ampère para un toroide con sección uniforme y sin entrehierro
lm
ni
B
Fe
A
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Teoría básica de los componentes magnéticos
• Esta es la Ley de Ampère aplicada a un
núcleo de sección uniforme y sin entrehierro.
¿Cómo sería la Ley de Ampère si hubiera
entrehierro?
• Para estudiar este caso, hace falta recordar el
comportamiento del campo magnético en un
cambio de medio
B
B
B
FeH
gH
FeH
• La densidad de
flujo es la
misma en
ambos medios
• La intensidad
de campo
magnético
cambia con el
medio
lm
ni
B
Fe
A
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Teoría básica de los componentes magnéticos
ni
B
FeH
B
gH
»lm
g
• Suponemos que hay
entrehierro en el toroide
• Suponemos que el
campo magnético en el
entrehierro sigue la
misma trayectoria que en
el núcleo
Ley de Ampère para el toroide con sección uniforme y con entrehierro
gHlHinF gmFemm
gHlHldHldHinF gmFe
g
0 g
l
0 Femm
m
• Por tanto:
Despreciable
CO
MP
ON
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TE
S M
AG
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TIC
OS
Teoría básica de los componentes magnéticos
ni
B
FeH
B
gH
»lm
g
• Aplicamos las relaciones entre H y B
(sin saturación, es decir, en zona de
comportamiento lineal del núcleo):
HBHB
• Por otra
parte:rFe0Fer0 0g y
g
lBinF
rFe
m
0mm
• Sustituyendo en la fórmula de la Ley de Ampère, queda:
• Por tanto:
rFe0FeFe
BBH
0g
BH
y
CO
MP
ON
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TE
S M
AG
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TIC
OS
Teoría básica de los componentes magnéticos
ni
B
FeH
B
gH
»lm
g
gl
AinF
rFe
m
0mm
entonces la Ley de Ampère queda:A
•
Como
:
A
ABAdB
Otra forma de escribir la Ley de Ampère para un toroide con sección uniforme y con entrehierro
• Esta es la Ley de Ampère aplicada a un núcleo de sección
uniforme. ¿Cómo sería la Ley de Ampère si la sección no fuera
uniforme?
• Para estudiar este caso, hace falta recordar una de las
propiedades básicas de los campos magnéticos: son campos de
divergencia nula (adivergentes)
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Teoría básica de los componentes magnéticos
2A1A
A
22
ointrec A
11
21
AdBAdBAdB
ointrec
0AdB
• Forma integral de la condición de divergencia nula (el flujo neto
que atraviesa una superficie cerrada es nulo) :
• Como sólo hay flujo distinto de
cero en A1 y A2, la condición
anterior se puede escribir como:
• Por
tanto:22112A1A ABAB
A2
1B
2B
2A
1A
A1
11 A
B
2
2 AB
y
• El flujo es el mismo en
todas las secciones
• La densidad de flujo no
ni
CO
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TE
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AG
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TIC
OS
Teoría básica de los componentes magnéticos
gA1
• Toroide con zonas de distinto área y con
entrehierro
rFe01rFe0
11Fe A
BH
A2
l1a
l1b
l2
mrF
e f
gHlH)ll(HinF g22Feb1a11Femm
• Aplicando la Ley de Ampère queda:
01rFe02
2
rFe01
b1a1mm A
g
A
l
A
llinF
rFe02rFe0
22Fe A
BH
010
1g A
BH
xgFe2Fe1mm )(inF
CO
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TIC
OS
Teoría básica de los componentes magnéticos
ni
gA1
A2
l1a
l1b
l2
mrF
e f
rFe01
b1a1Fe1 A
ll
• Reluctancia de la zona de sección A1 en el material férrico:
rFe02
2Fe2 A
l
• Reluctancia de la zona de sección A2 en el material férrico:
01g A
g
• Reluctancia del entrehierro (de sección A1):
xmm inF
rx0x
xx A
l
Ley de Ampère para un toroide
xgFe2Fe1mm )(inF
CO
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TE
S M
AG
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TIC
OS
Teoría básica de los componentes magnéticos
ni
gA1
A2
l1a
l1b
l2
mrF
e f
• Equivalencia magnética-eléctrica
xmm inF
rx0x
xx A
l
Ley de Ampère para un componente de un único circuito magnético
VEE
R1
R2
R3
iEE
xEEEEem RiVF
xx
xx A
lR
Ley de Ohm para un circuito de una única malla
CO
MP
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TE
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AG
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TIC
OS
Teoría básica de los componentes magnéticos
ni
gA1
A2
l1a
l1b
l2
mrF
e f
• Equivalencia magnética-eléctrica
VEE
R1
R2
R3
iEE
• Fuerza magnetomotriz
• Flujo magnético
• Reluctancia
• Permeabilidad absoluta
• Fuerza electromotriz (tensión)
• Corriente eléctrica
• Resistencia
• Conductividad
Þ
Þ
Þ
Þ
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Teoría básica de los componentes magnéticos
• Equivalencia magnética-eléctrica en circuitos con varias ramas
f1=B1·A1f2=B2·A2
f3=B3·A3
A2
A3
A1
2B
3B
1B
f1 = f2 + f3(consecuencia de la adivergencia de B)
2j
1j
3ji1=j1·A1
i2=j2·A2
i3=j3·A3
A2
A1
A3
i1 = i2 + i3(Kirchhoff)
También es válida
CO
MP
ON
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TE
S M
AG
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TIC
OS
Teoría básica de los componentes magnéticos
• Equivalencia magnética-eléctrica en circuitos con varias ramas
g
llat
lc/2
AlatAc
llat
lc/2
rFe0lat
latlat A
l
rFe0c
cc A
l
0cg A
g
RlatRlat
Rc
Rg
Þ Rlat
Þ Rg
Þ Rc
CO
MP
ON
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TE
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TIC
OS
Teoría básica de los componentes magnéticos
• Equivalencia magnética-eléctrica en circuitos con varias ramas
2c
gRlatRlat
Rc
Rg
latlat 2
c
VEEi
i1
i2
i3
gclat
gclatlat
EE1
RRR
)RR(RR
Vi
gclat
gclatlat
1 )(in
f1
• Ejemplo: cálculo de i1
n
CO
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TIC
OS
Teoría básica de los componentes magnéticos
• Reducción de un núcleo no toroidal a uno toroidal
RlatRlat
Rc+Rg
VEE
Rc+Rlat/2+Rg
VEE
glat
lat 2c
i
n
ig
2lat
c
n
CO
MP
ON
EN
TE
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AG
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TIC
OS
Teoría básica de los componentes magnéticos
• Datos de un fabricante
Ae
le
E30/15/7
Ve » Aele
CO
MP
ON
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TE
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TIC
OS
Teoría básica de los componentes magnéticos
• Datos de un fabricante
rFe0x
xFe A
l
FerFe0
x
x
A
l
E30/15/7
2lat
cFe
latlat c
Valor desde el que se puede calcular la reluctancia total del circuito magnético
CO
MP
ON
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TE
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TIC
OS
Teoría básica de los componentes magnéticos
• Datos de un fabricante: Introducción de un entrehierro
gngn gn
g gg
g = 2gn g = gn
g = gn
A2 A2
A1
A1 = 2A2
CO
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TE
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TIC
OS
Teoría básica de los componentes magnéticos
• Concepto de autoinducción (o inductancia)
x
in
- Por la Ley de Ampère sabemos que:
- Definimos autoinducción:i
nL
2L
x
2
nAn
i
nL
- Por tanto:
AL recibe el nombre de permeancia. Muchas veces se representa por P
CO
MP
ON
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TE
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TIC
OS
Teoría básica de los componentes magnéticos
• Cálculo de la autoinducción con entrehierro desde la permeancia AL sin entrehierro, AL0
0Lg
20L
g0L
2
gFe
2
x
2
A1
nA
A1
nnnL
- Por tanto:
Fe0L
1A
- Partimos de:
0Le0
20L
AA
g1
nAL
0eg A
g
- Como , entonces:
Siendo:
AL0: Permeancia sin entrehierro
n: número de espiras
g: longitud del entrehierro
Ae: Área efectiva de la sección del núcleo
m0: permeabilidad del vacío (4p10-7 Hm-1)
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Teoría básica de los componentes magnéticos
• Relación entre la tensión eléctrica y magnitudes magnéticas
TS
l
Sdt
BFEMldE
Una de las Ecuaciones de Maxwell
Particularización al componente magnético
Ley de Faraday
S
B
+
-v
ST
TS S tnSd
t
BnSd
t
B
tnv
Por tanto:
n
A
B
fld
E
j
+
-v FEMv FEMA
B
,E
j
(Nos interesa con estos signos tal y como es )j
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
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TIC
OS
Teoría básica de los componentes magnéticos
• Relación entre la tensión eléctrica y corriente eléctrica
- Usando la definimos autoinducción, , obtenemos:i
nL
t
iLv
y como i sólo puede cambiar
con el tiempo:
dt
diLv
+
-v
L
i
Otra forma de expresar la Ley de Faraday
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Teoría básica de los componentes magnéticos Resumen
gL
Ae
f
n
+
-v
i
0LFe A
1
0eg A
g
0Lg
20L
A1
nAL
dt
diLv
• Los componentes magnéticos se estudian reduciendo el
comportamiento de su núcleo al de un toroide equivalente con
posible entrehierro
• El comportamiento tensión-corriente del componente nos lo da la
ley de Faraday:
eAn
iLB
• La inductancia L del componente magnético depende del número
de espiras al cuadrado y de la reluctancia del núcleo y del
entrehierro, según la fórmula:
• La densidad de flujo en
el núcleo magnético
vale:
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
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TIC
OS
Diseño de componentes magnéticos
gLn
+
-v
i
• Vamos a estudiar tres
casos:
L1
n1
+
-v1
i1
n2
+
-v2
i2
L2
L1
n1
+
-v1
i1
n2
+
-v2
i2
L2
g
- Bobinas con un único devanado
(almacenar energía eléctrica)
- Transformadores
(cambiar la escala de tensión y
corriente y aislamiento galvánico)
- Bobinas con varios devanados
(almacenar energía eléctrica,
cambiar la escala de tensión y
corriente y aislamiento galvánico)
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
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TIC
OS
Diseño de bobinas con un único devanado
gLn
+
-v
i
• Datos de partida:
- Valor de la inductancia deseada, L
- Forma de onda de la corriente por la bobina. En particular,
valor máximo de la corriente, imax
- Características del núcleo de partida. En particular, de su
permeancia sin entrehierro, AL0 y sus dimensiones (Ae y lm)
• Datos a obtener:
- Necesidad o no de entrehierro. Si es necesario, su longitud, g
- Número de espiras, n
- Diámetro del conductor del devanado, d
- Verificación de si nos vale núcleo magnético a usar
Diseño no optimizado
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
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TIC
OS
Diseño de bobinas con un único devanado
gLn
+
-v
i
• Proceso de cálculo:
- Realizar el cálculo completo con un tamaño determinado de
núcleo. Su elección se basa en la experiencia previa del
diseñador.
- El cálculo anterior debe incluir la determinación de la longitud
del entrehierro, si éste es necesario (caso más habitual)
- Con el número de espiras calculado, estimación de las
pérdidas en los devanados en función del grosor del hilo
empleado. La sección total de hilo conductor debe caber en el
núcleo
- En caso que el diseño no se juzgue adecuado, cambiar de
tamaño y/o forma del núcleo
Diseño no optimizado
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de bobinas con un único devanado
L
n
i
• Diseño sin entrehierro (habitualmente no es válido):
- Partimos de un núcleo elegido (AL0 y Ae), de L y de imax
Diseño no optimizado
0L
20L A
LnnAL
e
0Lmax
e
maxmax A
LAi
An
iLB
Normalmente Bmax > Bsat (300-400 mT),
por lo que el diseño no es válido
(el valor de AL0 no es el supuesto inicialmente
al estar el núcleo saturado y haber perdido,
por tanto, sus propiedades magnéticas)
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de bobinas con un único devanado
• Diseño con entrehierro:
- Partimos de un núcleo elegido (AL0 y Ae), de L, de imax y de la
Bmax deseada, siempre menor que la de saturación
- Calculamos n:
Diseño no optimizado L
n
i g
maxe
max
e
maxmax BA
iLn
An
iLB
(se debe elegir un número
entero, el mayor más próximo)
- Calculamos g:
1
L
nA
A
Ag
AA
g1
nAL
20L
0L
e0
0Le0
20L
- Ahora ya conocemos n y g. El siguiente paso es calcular las
pérdidas y reconsiderar el diseño
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de bobinas con un único devanado
Diseño no optimizado
• Las pérdidas se dividen en:
- Pérdidas en el devanado (vulgarmente, pérdidas en el cobre)
- Pérdidas en el núcleo (vulgarmente, pérdidas en el hierro)
• Para calcular las pérdidas en el devanado hace falta:
- Calcular el valor eficaz de la forma de onda de la corriente
- Calcular el valor de la resistencia del devanado
• Para calcular la resistencia del devanado hace falta:
- Calcular la longitud del hilo del devanado
- Calcular la sección del hilo del devanado
CO
MP
ON
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TE
S M
AG
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TIC
OS
Diseño de bobinas con un único devanado
Diseño no optimizado
• Cálculo de la longitud del hilo del devanado
(ejemplo de sección circular):
nr2l mCu
rm
• Cálculo de la sección del hilo del devanado
- Sección total de cobre en la “ventana” del
núcleo:
n2
dA
2
Cu
(d es el diámetro del hilo de cobre)
- Sección total de la “ventana” del núcleo: AW
- Como el hilo de cobre no se ajusta perfectamente en la ventana, hay
parte del área que no es posible llenar y queda vacía. Se define el
“factor de ventana” fW:
W
CuW A
Af (típicamente fW » 0,3)
AW
CO
MP
ON
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TE
S M
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TIC
OS
Diseño de bobinas con un único devanado
Diseño no optimizado
- Como el devanado debe caber en la ventana,
se debe cumplir:
n
fA2dfAA WW
WWCu
- Supongamos que toda la sección de cobre es
útil para la circulación de corriente. Entonces la
resistencia del devanado vale:
rm
AW
WWCu
2m
2
Cu
CuCu fA
nr2
2d
lR
- Pérdidas en el devanado:2Lef
CuWW
2m2
LefCuCu ifA
nr2iRP
Para un núcleo dado, las pérdidas en el devanado crecen con n2
CO
MP
ON
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TE
S M
AG
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TIC
OS
Diseño de bobinas con un único devanado Diseño no optimizado
¿Es útil de verdad toda la sección de cobre para la circulación de
corriente eléctrica? Hay que hablar de los efectos “pelicular” y
“proximidad”
- Efecto pelicular: en un conductor aislado que conduce corriente
eléctrica con una componente de alterna, el campo magnético variable
que ésta genera redistribuye de forma no uniforme la densidad de
corriente en el conductor, produciéndose zonas en las que casi no hay
conducción de corriente
- Efecto proximidad: como el efecto pelicular, pero en presencia de un
campo magnético producido por la conducción de corriente por otros
trozos de conductor
Conductor macizo en continua
Conductor macizo único en alterna
Conductor macizo no único en alterna
Múltiples conductores paralelos en alterna
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
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TIC
OS
Diseño de bobinas con un único devanado Diseño no optimizado
• Concepto de profundidad pelicular (“skin”)
o profundidad de penetración:
f
1
0CuS
ds
• A 60 Hz Þ ds= 8,5 mm
• A 100 kHz Þ ds= 0,21 mm
• A 1 MHz Þ ds= 0,067 mm
(esto ocurriría con sólo alterna; en la mayoría de las bobinas de los convertidores hay una fuerte componente de continua, por lo que la situación no es tan grave)
• La mejor manera de aprovechar la sección de
cobre es sustituir el conductor macizo por otro
compuesto por muchos conductores de diámetro
menor de 2ds. Esto encarece el devanado.
• El hilo “litz” se basa en este principio
>2ds
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
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TIC
OS
Diseño de bobinas con un único devanado Diseño no optimizado
• Pérdidas en el núcleo de un componente magnético
- Por histéresis
La curva B-H real tiene histéresis. El funcionamiento del componente describe un área en la curva B-H que define las pérdidas por histéresis
- Por corrientes inducidas en el núcleo (“eddy currents”)
El flujo magnético variable induce corrientes en el propio núcleo. La circulación de estas corrientes provoca pérdidas
Es importante que el material férrico del núcleo tenga alta resistividad eléctrica
HFe
BFe
CO
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TIC
OS
Diseño de bobinas con un único devanado Diseño no optimizado
• Cálculo analítico de las pérdidas en el núcleo
- Las pérdidas crecen con la componente de alterna de la densidad de
flujo y con la frecuencia. Una fórmula empírica aproximada es:
yp
xeFe BfVkP Siendo:
k: una constante
Ve: volumen efectivo del núcleo
f: frecuencia de la componente alterna
Bp: valor de pico de la componente alterna de la
densidad de flujo
x: exponente muy variable
y: exponente de valor próximo a 2
e
pp An
iLB
2e
2
2p
2xe
Fe An
iLfVkP
Para un núcleo dado y a una frecuencia fija,
las pérdidas en el núcleo decrecen con n2
Siendo:Ae: área efectiva del núcleo
ip: valor de pico de la componente alterna de la
corriente
CO
MP
ON
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TE
S M
AG
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TIC
OS
Diseño de bobinas con un único devanado Diseño no optimizado
- Los valores de k, x e y se pueden obtener
desde curvas de pérdidas suministradas
por los fabricantes de núcleos
yp
xeFe BfVkP
yp
x
e
Fe BfkV
P
CO
MP
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TIC
OS
Diseño de bobinas con un único devanado Diseño no optimizado
• Pérdidas totales:
2e
2
2p
2xe
CuWW
22Lefm
FeCuT An
iLfVk
fA
nir2PPP
PFe
PT
PCu
n
Pér
did
as
- Ahora ya conocemos las pérdidas totales en la bobina. Si éstas son
suficientemente bajas, el diseño es adecuado. En caso contrario
habrá que elegir un núcleo mayor.
- Sin embargo, hay otra forma de enfocar el diseño. Se trata de
intentar trabajar a mínimas pérdidas, partiendo de elegir n para
pérdidas mínimas.
Diseño realizado
Diseño de optimización de pérdidas
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de bobinas con un único devanado Diseño optimizado
22e
2p
2xe2
CuWW
2Lefm
T n
1·
A
iLfVkn
fA
ir2P
PFe
PT
PCu
n
Pér
did
as
- En esta función, el mínimo se alcanza cuando PFe = Pcu. Por tanto:
2op
2e
2p
2xe2
opCuWW
2Lefm
n
1·
A
iLfVkn
fA
ir2
42e
2Lefm
CuWW2p
2xe
op Air2
fAiLfVkn
Sin embargo, este diseño no
garantiza que la densidad de
flujo esté por debajo de la de
saturación. Por tanto, hay
que comprobarlo
nop
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de bobinas con un único devanado Diseño optimizado
PFe
PT
PCu
n
Pér
did
as
nop
- Si Bop < Bsat, entonces el
diseño es posible.
eop
maxop An
iLB
- Sabemos que:
- Si Bop > Bsat, entonces el
diseño no es posible. Hay que
elegir otro núcleo o hacer un
diseño no optimizado
B
n
Bsat
nop
Bop
B
n
Bsat
nop
Bop
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de bobinas con un único devanado Inductancia de dispersión
• En todo lo desarrollado hasta ahora se ha supuesto que no hay flujo disperso por el aire
• Vamos a valorar su influencia en la inductancia de la bobina
• Para ello, es preciso estudiar la densidad de energía asociada al campo magnético:
v
V BdHw
ni
B
FeH
B
gH
»lm
g
• Si aplicamos esto a un
componente magnético sin flujo
disperso, queda:
g
g
Fe
FeV BdHBdHw
gFeV www
rFe0
2
Fe 2
Bw
0
2
g 2
Bw
Por tanto:
Siendo:
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de bobinas con un único devanado Inductancia de dispersión
rFe
m
0
2e
FeFeFe
l
2
BAVwW
g2
BAVwW
0
2e
ggg
m
rFe
Fe
g
l
g
W
W
• Habitualmente, . Ejemplo:
g » 1 mm; lm» 70 mm; mrFe» 2200
1W
W
Fe
g
14,3170
2200
W
W
Fe
g
La mayor parte de la energía se
almacena en el entrehierro in
Baja energía
Alta energía
• La energía total almacenada
vale:
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de bobinas con un único devanado Inductancia de dispersión
in
Baja energía
Alta energía
• ¿Es esto extraño?
No, es lo mismo que pasa en el equivalente eléctrico
Siendo Rg >>RFe
VEE
RFe
Rg
Baja potencia
Alta potencia
• Cuanto más pequeña es la suma de reluctancias, más energía se almacena en el núcleo
• Para una suma de reluctancias dada, cuanto mayor es la del entrehierro, más se almacena en él
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de bobinas con un único devanado Inductancia de dispersión
• Analicemos ahora lo que ocurre con el flujo disperso
- Representamos la fuerza magnetomotriz Fmm(x)
en la ventana
- Aplicamos la Ley de Ampère a los caminos que
describe el flujo disperso:
nini2/3
ni/3
W1WW1WFeFemm l)x(Hl)x(HlH)x(F
Fmm(x)
x
W1
mmW l
)x(F)x(H
l1W
- La densidad de energía en la ventana vale:
2
)x(H
2
)x(B)x(w
2W0
0
2W
W
- Y la energía en el volumen de las ventanas vale:
WV
W
2W0
W dV2
)x(HW
(así podremos calcular HW(x))
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de bobinas con un único devanado Inductancia de dispersión
- Por tanto:
WV
W2
W0
W dV)x(H2
W
- Por otra parte: 2dW iL
2
1W
- Por tanto:2
V
W2
W0
d i
dV)x(H
L W
siendo Ld la inductancia de dispersión
- En nuestro ejemplo: nini2/3
ni/3
Fmm(x)
x
l1W
l2W l2Wa
l3W
2
W1
Wa2W2W30
d nl
l32
llL
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de bobinas con un único devanado Inductancia de dispersión
• Modelo equivalente eléctrico sin dispersión:
VEE
RFe
Rg
• Modelo equivalente eléctrico con dispersión:
RFe
VEE Rg
i1
RW
i2
iT
i1
gFe
EE1 RR
Vi
gFe1
in
21L
gFe
2
1 nAn
L
Por tanto:
Siendo: gFe
1L
1A
inAin
RR
Vi 1L
gFe1
gFe
EE1
inAin
R
Vi LW
W2
W
EE2
in)AA( LW1LT
Por tanto: d12
W1LT LLn)AA(L
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de bobinas con un único devanado Inductancia de dispersión
• En conclusión, la inductancia total es la suma de la teórica sin dispersión más la de dispersión:
d1T LLL 2
1L1 nAL
gFe1L
1A
2LWd nAL
WLW
1A
i
L1 Ld
LT
W1
Wa2W2W30
LW l
l32
llA
0Le0
0L1L
AA
g1
AA
l1W
l2Wl2Wa
l3W
g/2
- En nuestro ejemplo:
+
-v1
+
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de transformadores
• En una primera aproximación, vamos a despreciar el flujo
disperso. Analizamos la teoría básica de un transformador
• Relaciones entre n1, n2, L1 y L2:
L1
n1 n2
L2
io1
+
-v2
io2=0
• Colocamos una fuente de tensión en un
devanado. Ocurren los siguientes
fenómenos:
f
- Se produce un flujo magnético f y una corriente io1, de acuerdo con la
Ley de Faraday:
210L1 nAL 2
20L2 nAL 22
21
2
1
n
n
L
L
- Como el otro devanado está
atravesado por el mismo flujo:
2
2
1
122 n
v
n
v
dt
dnv
- Y como está en vacío: 0i 2o
L1
n1 n2
L2
Sin flujo disperso
dt
dnv 11
1
0
t
t
11
1o1o
11 dtvL
1i
dt
diLv
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de transformadores
i2
• Ahora colocamos una resistencia en la salida de tensión v2.
Obligatoriamente circulara una corriente i2:
- Pero, el flujo tiene que estar determinado por la Ley de Faraday.
¿Cómo se compatibilizan ambas “obligaciones”?
2
22 R
vi
121
22
2 Ln
nL
11
22 v
n
nv
+
-v1
+
i1
+
-v2
f
L1n1 n2
L2
Sin flujo disperso
R2
- También obligatoriamente la corriente i2 tiene que generar un
flujo f2: 22
22 i
n
L
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de transformadores
• El flujo total debe ser f. Asimismo, i2 crea un nuevo flujo f2.
Obligatoriamente se debe crear otro flujo f1 para cancelar el efecto de
f2:
i2
121
22
2 Ln
nL
11
22 v
n
nv
+
-v1
+
i1
+
-v2
f
L1n1 n2
L2 R2
22
21o
1
12121 i
n
Li
n
L
- Y también:
1
1
11 i
n
L 2
12
211o1 i
Ln
Lnii
- Teniendo en cuenta la relación entre L1 y L2, se obtiene:
21
21o1 i
n
nii
Sin flujo disperso
Por tanto:
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de transformadores
11
22 v
n
nv i2
+
-v1
+
i1
+
-v2
L1n1 n2
L2 R2 21
21o1 i
n
nii
Sin flujo disperso
io2=0
+
-v1
+
io1
+
-v2
L1n1 n2
L2
0i 2o 11
22 v
n
nv
1
0
t
t
11
1o dtvL
1i
2
22 R
vi
1
0
t
t
11
1o dtvL
1i
Resumen:
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de transformadores Sin flujo disperso
11
22 v
n
nv
21
21o1 i
n
nii
2
22 R
vi
1
0
t
t
11
1o dtvL
1i
• Representación:
Transformador ideal (ni siquiera magnético)
io1
L1
n1:n2
v1
+
-
v2
+
-
i2i1 i2n2/n1
R2+
i2
+
nv1
ni2
v1
+
-
v2
+
-
i1i
i2i1i
1:n
v1
+
-
v2
+
-
v2 = v1n i2 = i1i/n
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de transformadores Sin flujo disperso
• Terminología habitual:
i1 i2’
Transformador ideal
im
Lm
n1:n2
v1
+
-
v2
+
-
i2
R2+
11
22 v
n
nv
'iii 2m1 2
22 R
vi
1
0
t
t
1m
m dtvL
1i
21
22 i
n
n'i
• Lm es la inductancia magnetizante. Aquí se ha “referido” al primario
del transformador, pero se puede referir al secundario o a cualquier otro devanado (si existe). Interesa que sea lo mayor posible
• Lm caracteriza el hecho de que el transformador electromagnético
transfiere energía creando y compartiendo flujo magnético
• La corriente por Lm es la corriente magnetizante im. En general
interesa que sea lo menor posible
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de transformadores Sin flujo disperso
• Procedimiento de diseño:
- Partimos de un núcleo elegido (AL0 y Ae), de v1, del intervalo de
tiempo ton = t1 - t0 en el que va a crecer el flujo (tiempo en el que v1 es,
por ejemplo, positiva), del valor de B en t0 (es decir, de B0) y del valor
máximo deseado de B (es decir, de Bmax), siempre menor que la de
saturación
- Calculamos n1 desde la Ley de Faraday:
1
0
1
0
t
t
1e0max
1
t
t
1e1
0maxe11 dtvABB
1ndtv
An
1BBB
dt
dBAnv
1
212 v
vnn - Calculamos n2 en función de v2:
- Asignamos a cada devanado la mitad de la ventana. Calculamos la
sección de los conductores y las pérdidas como en las bobinas (en el
caso de los transformadores, el efecto proximidad es muy importante)
- Si el diseño no nos satisface, se recalcula con otro núcleo. También
es posible adaptar el diseño optimizado a los transformadores
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de transformadores Sin flujo disperso
• El transformador tiene como misión transformar, no almacenar, energía eléctrica. Sin embargo, siempre se almacena una parte de energía eléctrica en la inductancia magnetizante
• ¿Debe colocarse un entrehierro en el circuito magnético de un
transformador para que su núcleo férrico no se sature? No, si trabaja como tal
• ¿Por qué un entrehierro soluciona los problemas de saturación en una bobina y no en un transformador?
• Transformador: el la densidad de flujo la fija la tensión:
2
1
t
tee dtv
An
1B
dt
dBAnv luego B decrece al crecer n
y
0Le0
20L
AA
g1
nAL
0Le0
0L
ee AA
g1
AL
A
i
An
iLB
luego B decrece
al crecer g
• Bobina: la densidad de flujo la fija la corriente y depende de la
reluctancia del circuito magnético, que se puede modificar con g:
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de transformadores Sin flujo disperso
i2
+
-v1
+
i1
+
-v2
L1n1 n2
L2 R2
f
0LFe
A
1=Âå
i®f
VEE2®n2i2VEE1®n1i1
FeFeR
• Modelo equivalente eléctrico de las magnitudes magnéticas en el transformador
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de transformadores Con flujo disperso
• Hay que valorar el campo magnético disperso. Para ello representamos la fuerza magnetomotriz a lo largo de una ventana del núcleo
l1W
n1·i1
n1·i1-n2·i2
n1n2
Fmm(x)
xl2W1l2W2
i1
Transformador real
n1:n2
v1
+
-
v2
+
-
i2
21
V
W2
W0
1d i
dV)x(H
L W
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de transformadores Con flujo disperso
• Calculamos la intensidad del campo magnético a lo largo de una ventana del núcleo para después obtener la inductancia de dispersión
n1·i1/l1W
x
H(x)H(x)2
x
21
W3W1H0
21
V
W2
W0
1d i
llA
i
dV)x(H
L2
W
n1i1
n1i1-n2i2
Fmm(x)
xl2W1l2W2
n1i1
n1i1-n2i2
n1i1
n1i1-n2i2n1i1-n2i2
Fmm(x)
xl2W1l2W2
Fmm(x)
xl2W1l2W2
Fmm(x)
xl2W1l2W2
La inductancia de dispersión es proporcional al área .2H
A
2HA
2
w2
W
H
l
0 W3W12
WW3W1
V
W2
W Alldx)x(HlldV)x(H
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de transformadores
Con flujo disperso
• ¿Qué se puede hacer para disminuir la inductancia de dispersión? Disminuir los valores de H en la ventana
l1W
Fmm(x)
x
n2/3 2n1/3 2n2/3 n1/3
H(x)2
x
n1·i1-n2·i2n1·i1/3
-n1·i1/321
W3W1H01d i
llAL
2
El entrelazado de
devanados disminuye la
inductancia de dispersión
2HA
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de transformadores Con flujo disperso
n2/3 2n1/3 2n2/3 n1/3
Con entrelazadon2 n1Sin entrelazado
H(x)2
x2H
A
Alta Ld
Baja Ld
x
H(x)22H
A
n2i2 n1i1
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
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TIC
OS
Diseño de transformadores
• Modelo equivalente eléctrico de las magnitudes magnéticas en el transformador
Con flujo disperso
3Feg2FeÂ
1Fe
1Fe
VEE2
RFe2 RFe1
RFe1
Rg
RFe3VEE2
VEE1 VEE1
RFe3
RFe1
RFe1
RFe2
Rg
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
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TIC
OS
Diseño de transformadores
• Simplificamos el equivalente eléctrico
Con flujo disperso
VEE2
RFe2 RFe1
RFe1
Rg
RFe3VEE2
VEE1 VEE1
RFe3
RFe1
RFe1
RFe2
Rg
VEE2
RFe2 RFe1
Rg
RFe3
RFe1 VEE1
VEE2
RFe2 2RFe1+RFe3
Rg VEE1
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de transformadores
• Seguimos simplificamos el equivalente eléctrico
Con flujo disperso
• Supongamos que dejamos el devanado secundario en circuito abierto
Þ n2i2 = 0 Þ sustituimos la fuente de tensión VEE2 del
equivalente eléctrico por un cortocircuito
g2Fe
g2Fe1Fe1eq RR
RR'RR
g2Fe1Fe
g2Fe1Fe
g2Fe
g2Fe1Fe
1eq
R1
R1
'R1
R1
R1
'R1
RR
RR'R
1
R
1
VEE2
RFe2 2RFe1+RFe3
Rg VEE1
VEE2
RFe2 RFe1’
Rg
VEE1
RFe2 RFe1’
Rg
Req1
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de transformadores
• Ahora volvemos al circuito magnético
Con flujo disperso
g2Fe1Fe
g2Fe1Fe
1eq
R1
R1
'R1
R1
R1
'R1
R
1
g2Fe1Fe
g2Fe1Fe
1eq11
'1
11'1
1
• Multiplicamos por n12 tenemos en cuenta la relación entre
reluctancias e inductancias:
1d21Fe11Fe
1d21Fe11Fe1eq
g
21
2Fe
21
1Fe
21
g
21
2Fe
21
1Fe
21
1eq
21
LLL
LLLL
nn'
n
nn'
n
n
• Siendo:
1Fe
21
11Fe '
nL
2Fe
21
21Fe
nL
g
21
1d
nL
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de transformadores Con flujo disperso
2d12Fe22Fe
2d12Fe22Fe2eq
g
22
1Fe
22
2Fe
22
g
22
1Fe
22
2Fe
22
2eq
22
LLL
LLLL
n'
nn
n'
nn
n
• Repetimos lo anterior, pero ahora dejando el primario en circuito
abierto Þ n1i1 = 0 Þ sustituimos la fuente de tensión VEE1 del
equivalente eléctrico por un cortocircuito. Siguiendo idéntico procedimiento, obtenemos:
• Siendo:
2Fe
22
22Fe
nL
1Fe
22
12Fe '
nL
g
22
2d
nL
• Por tanto:2
1
211Fe12Fe n
nLL
2
1
221Fe22Fe n
nLL
2
1
21d2d n
nLL
1d11Fe21Fe
1d11Fe21Fe
2
1
22eq LLL
LLL
n
nL
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de transformadores
• Resumen de lo obtenido
Con flujo disperso
Primario Secundario
Leq1 Leq2
1d21Fe11Fe
1d21Fe11Fe1eq LLL
LLLL
1d11Fe21Fe
1d11Fe21Fe
2
1
22eq LLL
LLL
n
nL
n1:n2
v1
+
-
v2
+
-
i2
LFe11LFe21
Ld1
Primario Secundario
i1 i2n2/n1
Transformador idealModelo en “p”
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de transformadores Con flujo disperso
n1:n2
LFe1
Ld11
Primario Secundario
Transformador ideal
Ld21
n2n1
• Con otras estructuras, las inductancias parásitas encajan mejor con un modelo en “T”
Modelo en “T”
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de transformadores Con flujo disperso
n1:n2
Lm1
Ld1
Primario Secundario
Transformador ideal
• El la práctica, se trabaja con un modelo simplificado de ambos. Se basa en una inductancia de dispersión y en la inductancia magnetizante
• La inductancia de dispersión Ld1 se determina midiendo la
impedancia del primario con la salida en cortocircuito
• La inductancia magnetizante Lm1 se determina midiendo la
impedancia del primario con la salida en circuito abierto y restando a
esta medición el valor de Ld1
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de bobinas con varios devanados
• Realizan las misiones de las bobinas (almacenar energía) y
de los transformadores (cambiar la escala tensión-corriente
y suministrar aislamiento galvánico)
• Para poder realizar correctamente las funciones de una
bobina, habitualmente necesitan entrehierro
• Para poder realizar correctamente las funciones de un
transformador, el acoplamiento entre devanados debe ser lo
mejor posible (baja inductancia de dispersión)
• Al contrario que en un transformador, la inductancia
magnetizante referida a un devanado debe tener un valor
concreto: la inductancia deseada para ese devanado
• Las inductancias de todos los devanados están
relacionadas entre sí al estar en el mismo núcleo:
2n
n23
322
221
1
n
L...
n
L
n
L
n
L
CO
MP
ON
EN
TE
S M
AG
NÉ
TIC
OS
Diseño de bobinas con varios devanados
• Ejemplo de bobina con dos
devanados
Entrehierro Con entrelazado
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