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Matemática
Proh
ibid
a su
ven
ta
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Pregunta 01
Sean: P(x) = 9 - x2, Q(x)= ax3 - 2x +3
Determine el valor de “a” para que P(x).(Q(x)-1) sea divisible por x-3 y satisfaga que la suma de los coeficientes de los términos del cociente sea -12.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Resolución 01
División algebraica
Sea: P(x)=9 – x2; Q(x)=ax3 – 2x+3
Del enunciado: P(x).[Q(x) – 1]≡(x – 3).M(x) ...... α
Donde: M(x): cociente
Además: M(1)=–12
En “α” reemplazamos: x=1
P(1).[Q(1) – 1]=(– 2).M(1)
Reemplazando los valores:
(8).(a)=(– 2)(– 12)
` a=3
Rpta.: 3
Pregunta 02 2
Determine cuántos números de 3 cifras que son divisibles por 11 tienen por suma de sus cifras igual a 15.
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Resolución 02
Divisibilidad
Criterios de divisibilidadSea el número abc.
• abc=11 y a+b+c=15
abc+ +-
= 11
111111
a c b+ − =S
15 – b – b=15 – 2b=
b=2
Luego
13
4 9
5 8
6 7
7 6
8 5
9 4
a c
pares6
. .
+ =
_
`
a
bbbb
bbbb
∴ Hay 6 números.
Rpta.: 6
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2
Pregunta 03
Sean las clases de equivalencia de números racionales:
,ba
nm y s
r8 8 8B B BDadas las siguientes proposiciones:
I. Si ba
nm
+ z=8 8B B , entonces an = bm
II. Si ba
nm
+ ! z8 8B B , entonces bn
am=
III. Si ba
nm
sr+ =8 8 8B B B, entonces
bnan bm
sr
!+ 8 B.
¿Cuáles son correctas?
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) II y III
E) I y III
Resolución 03
Números racionales
Clases de equivalencia
;ba
nm y
sr8 8 8B B B: Clases de equivalencia
I. Si ba
nm+ z=8 8B B , entonces: an=bm (F)
porque ba
nm an bm*+ !z=8 8B B
II. Si ba
nm+ ! z8 8B B , entonces: an=bm ... (F)
„ bn
am= Si a≠0, pero no si a=0
III. Si ba
nm
sr+ =8 8 8B B B,
entonces: bn
an bmsr!+ 8 B (V)
Porque:
bnan bm
sr+ =8 8B B
Rpta.: III
Pregunta 04
Halle el menor valor de a + n, donde a, n, M ∈ N tales que
( ) ( ) ... ( ) ... 259a a a M3 9 3 9 3 9 00 0
n cifras n cifras2 2
2=1 2 34444 4444S
N es el conjunto de los números naturales.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Resolución 04
Divisibilidad
Criterios de divisibilidad
... ... . .a a a M3 9 3 9 3 9 00 00 7 37
n n2 2
2=^ ^ ^
^ ^
h h h
h h1 2 34444 4444S
• Observación: Un número de 6 cifras de la
forma xyxyxy siempre es 7o
y 37o
.
Como pide el menor valor, la cantidad de cifras significativas debe ser 6.
a a a3 9 3 9 3 9
2 6nn 3
==
^ ^ ^h h h1 2 34444 4444
Si a=1 → 3 9 3 9 3 9=7.37.1521
392S
„ a=1 y n=3
a+n=4
Rpta.: 4
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3
Pregunta 05
Se tiene dos barras de oro; en la primera el 80% del peso total es oro y en la segunda el 75% de su peso es oro, siendo esta el cuádruple de la anterior. Si se mezclan, determine la pureza resultante de dicha mezcla.
A) 0,755
B) 0,760
C) 0,765
D) 0,770
E) 0,775
Resolución 05
Aleación
Ley media
,
,
, , ,,
Pesos Leyes Ley media
W K
W Km1 0 80
4 0 75 51 0 80 4 0 75
53 8
0 7601
2,
==
=+
= =_ _i i
4
Rpta.: 0,760
Pregunta 06
En un total de 15 personas, 10 son hombres y 5 son mujeres, van a ser divididos al azar en cinco grupos con 3 personas cada uno. Calcule la probabilidad que en cada uno de los cinco grupos siempre haya una mujer.
A) 0,05
B) 0,06
C) 0,07
D) 0,08
E) 0,09
Resolución 06
Probabilidades
Cálculo de probabilidadesSe tiene 10 hombres y 5 mujeres; se forma 5 grupos.
Sea “P(A)” la probabilidad de que en cada grupo haya 2 hombres y 1 mujer.
. . . . .grupo grupo grupo grupo grupo
PC
C CC
C CC
C CC
C CC
C C
1 2 3 4 5
( )
er o er o o
A315
210
15
312
28
14
39
26
13
36
24
12
33
22
11#
##
##
##
##=
`P(A)=0,08
Rpta.: 0,08
Pregunta 07
Señale la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F).
I. 111(3) = 23(5)
II. 0,25 = ,0 1(5)|
III. , ,a0 0 4(5)(11) =| | , donde a=10
A) F V F
B) F V V
C) V F F
D) V V F
E) V V V
Resolución 07
Números racionales
Fracción generatrizI.
( )V
111 23
3 3 1 2 5 3
13 13
3 52
#
f
=+ + = +=
^ ^h h
II. , ,
V
0 25 0 1
10025
41
5
f
=
=
7
^
^
h
h
III. , ,a
a V
0 0 4
10 44
11 5=7
f
7
10a"= = ^
^ ^
h
h h
Rpta.: VVV
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Pregunta 08
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Si a - b ∈ N y b ∈ N , entonces a ∈ N .
II. Si a - b ∈ N y a ∈ N , entonces b ∈ N .
III. Si a2 ∈ N , entonces a ∈ N .
N es el conjunto de los números naturales.
A) V F F
B) V F V
C) V V F
D) V V V
E) F V F
Resolución 08
Números reales
Números naturalesI. Si (a – b) ! N y b ! N,
entonces (a – b)+b = a ! N ....................(V)
Propiedad de clausura en N
II. Si (a – b) ! N y a ! N, entonces b ! N ....(F)
porque el conjunto N no es cerrado con respecto a la resta; es decir: a – (a – b)=b ∉ N
III. Si a2 ! N, entonces a ! N ......................(F)
Si a ! N → a2 ! N, pero
si a2 ! N → a ! N; no siempre es cierto
Ej.: 3 N2!^ h , entonces 3 N! ; no es
cierto.
Rpta.: VFF
Pregunta 09
Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):
Sea A una matriz cuadrada de orden n e I la matriz identidad del mismo orden.
I. Si |A - kI|=0, k número real, entonces [AT - kI] = 0
II. Si A2=I-A, entonces |A|=0
III. Si B=(-1)n+1|A|A2n, entonces
|B|= |A|3n
A) VVV
B) VFV
C) VVF
D) FFV
E) VFF
Resolución 09
Matrices
DeterminantesI. Verdadero
|A – kI|=0 → |(A – kI)T|=0
|AT – kIT|=0 → |AT – kI|=0
II. Falso
A2=I – A → A2+A=I
A (A+I)=I → |A (A+I)|=|I|
|A|.|A+I|=1 →|A|≠0
III. Verdadero
B=(– 1)n+1.|A|. A2n
|B|={(– 1)n+1.|A|}n.|A 2n |
|B|=( )1– n n2 + .|A|n.|A|2n
|B|=1.|A|3n=|A|3n
Rpta.: VFV
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5
Pregunta 10
Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):
Sea la matriz:
A100
010
101
= > H
I. det (An) = n para todo n ∈ N .
II. An1
00
010
01
n = > H para todo n ∈ N
III. Si B es la matriz inversa de An, entonces det (Bn) = -n para todo n ∈ N .
A) V V V
B) V F V
C) F V V
D) F V F
E) F F F
Resolución 10
Matrices
Matriz cuadradaNótese que det(A)=1. Ahora en cada proposición:
I. Falso
det(An)=[det(A)]n=1n=1; ∀n∈N
II. Verdadero
An=A.A.A ... n veces= n1
00
010
01
J
L
KKK
N
P
OOO
III. Falso
det(Bn)= [det(B)]n= [det(A–n)]n
det detA A
1 1
11
1 1
n
n n
nn
2
22
=
= =
_ _
c _
i i
m i
> >H H
Rpta.: FVF
Pregunta 11
Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):
I. Si a los términos de una progresión aritmética se le aumenta un valor constante, entonces se forma una progresión aritmética con la misma razón.
II. Si la progresión tiene una cantidad par de términos, la suma de los términos extremos de una progresión aritmética (primero y último) es igual a la suma de los términos centrales.
III. Si a los términos de una progresión aritmética se le multiplica por el valor constante, entonces se forma una progresión aritmética con la misma razón.
A) VVV
B) VVF
C) VFV
D) FVV
E) VFF
Resolución 11
Sucesiones
Progresión aritméticaProgresión aritmética inicial
a; a+R, a+2R, a+3R
I. Sumando “c” a cada uno.
(a+c); (a+c)+R; (a+c)+2R; (a+c)+3R
nueva PA: m; m+R; m+2R; m+3R ... (V)
II. Propiedad en progresión aritmética: “La suma de términos equidistantes a los extremos es constante”.
a+(a+3R)=(a+R)+(a+2R) ... (V)
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III. Multiplicando por K.
; ; ;ak ak Rk ak Rk ak Rk2 3m m m m
+ + +SS S S
Resulta m; m+Rk; m+2Rk; m+3Rk
Observaciones:
i. No es la misma razón.
ii. Si K=0: 0; 0; 0; 0
No es progresión aritmética. ... (F)
∴ VVF
Rpta.: VVF
Pregunta 12
Determine el conjunto de valores de K para que el siguiente sistema lineal en x e y admita al menos una solución.
(K+3)x + 2Ky = 5K – 9
(K+4)x + (3K – 2)y = 2K+1
A) , ,2 3,3 3- -B) , , ,2 2 3 3, ,3 3- - -C) , ,2 2,3 3- - -D) , , ,2 2 2 3 3, , 3-E) , ,2 2,3 3-
Resolución 12
Sistema de ecuaciones
• Según la condición del problema:
El sistema es consistente.
• Por contradicción:
El sistema no tiene solución.
Propiedad:
KK
KK
KK
43
3 22
2 15 9!
++ =
− +−
Al resolver:
K=−2
„ Para que el sistema tenga al menos una solución:
, ,K 2 2d ,3 3- - -
Rpta.: , 2 2,,3 3- - -
Pregunta 13
Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):
Respecto al sistema de ecuaciones lineales en x, y,
(1 – l)x+y = c
2x – ly = 2c
x – y = (1+l)c
I. Si l=– 2, el sistema tiene solución para todo c ! R .
II. Si l=0, el sistema no tiene solución.
III. Si l=1, el sistema tiene solución única para cada valor real de c.
A) VVV
B) VFV
C) VFF
D) FVF
E) VVF
Resolución 13
Sistema de ecuaciones
Clasificación del sistemaI. Verdadera.
Si l = – 2, el sistema:3
2 2 2
x y c
x y c
x y c
+ =+ =− =−
*
Al resolver: x=0 ) y=c
El sistema tiene solución para todo c ! R.
II. Falsa.
Si l = 0, el sistema:x y c
x c
x y c
2 2
+ ==− =
*
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Al resolver: x = 0 ) y = 0
El sistema tiene solución para todo c ! R.
III. Falsa.
Si l = 1, el sistema:................
....
.......
y c
x y c
x y c
1
2 2 2
2 3
=− =− =
^^^
hhh
*
Al resolver (1) y (2) se obtiene:
x c y c23 /= =
Los cuales no verifican la ecuación (3).
` El sistema no admite solución.
Rpta.: V F F
Pregunta 14
En una granja de pollos se da una dieta “para engordar” con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y 20 unidades de una sustancia B. En el mercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo M, con una composición de 1 unidad A y 5 unidades de B; y el tipo N, con una composición de 5 unidades de A y 1 de B.
El precio del tipo M es de 1000 soles y el del tipo N es de 3000 soles.
El dueño de la granja quiere saber qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un costo mínimo.
Si
x : número de unidades del compuesto M que se compran
y : número de unidades del compuesto N que se compran
Modele el problema que responda a la inquietud del dueño de la granja.
A) mín (1000 x+3000 y) sujeto a
x+5y # 15
5x+y # 20
x$0, y $ 0
B) mín (3000 x+1000 y) sujeto a
x+5 y $ 15
5x+y # 20
x $ 0, y $ 0
C) mín (1000 x+3000 y) sujeto a
x+5 y $ 15
5x+y $ 20
x $ 0, y $ 0
D) mín (1000 x+3000 y) sujeto a
x+5 y $ 20
5x+y $ 15
x $ 0, y $ 0
E) mín (3000 x+1000 y) sujeto a
x+5 y $ 15
5x+y $ 20
x $ 0, y $ 0
Resolución 14
Programación lineal
ModelaciónClases de compuestos
Tipo M: “x”; precio S/ 1000
Tipo N: “y”; precio S/ 3000
Función objetivo: mín(1000x+3000y)
Datos de la composición Restricciones
Sust
A
Sust
B
Tipo M 1 5
Tipo N 5 1;
Sx y
x yx y
5 155 20
0 0
$
$
$ $
=++*
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Rpta.: mín (1000 x+3000 y) sujeto a
x+5 y $ 15
5x+y $ 20
x $ 0, y $ 0
Pregunta 15
Sea:
/ 0M x Rx xx x
1 42 3
! $=− − ++ − +) 3
¿Cuántos números enteros hay en Mc?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Resolución 15
Inecuaciones
Inecuaciones con valor absoluto
.x xx x
x xx x
1 42 3
01 42 3
$− − ++ − +
− + ++ + +c cm m
( ) ( )( ) ( )x xx x
1 42 3
02 2
2 2$
− − ++ − +
( ) ( )( ) ( )
xx
2 3 52 5 1
0$+ −+ −
0xx
2 32 5
$++
25-
23-
+ +-
Luego: M ∈ ; 25 ;2
3< ,3 3− − − +B
∴ ;M 25
23C ! - - B
Cantidad de valores enteros: 1
Rpta.: 1
Pregunta 16
La ecuación cuadrática x2+bx+c=0 tiene como conjunto solución {D – 1, D+1}; D es el discriminante de la ecuación. Determine la suma de sus raíces.
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 12
Resolución 16
Ecuaciones cuadráticas
Reconstrucción/Discriminantex2 + bx + c = 0
CS={D – 1; D + 1}
Por reconstrucción de la ecuación
x2 – (D – 1 + D + 1)x + (D – 1)(D + 1) = 0
x2 – 2Dx + D2 – 1 = 0 ... (α)
Luego
D = 4D2 – 4(D2 – 1)
D = 4
Reemplazando en (α)
x2 – 8x + 15 = 0
∴ x1 + x2 = 8
Rpta.: 8
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Pregunta 17
Señale el mayor rango de la función:
xx x
58 152
4 2
−− +
A) , ;3 5 53- -6 " ,
B) ;3 3-6C) ,3 23-6 " ,
D) ,2 33-6 " ,
E) ,2 13-6 " ,
Resolución 17
Funciones
Función lineal
Se tiene: ( )( )
( ) ( )f x
xx x
53 52
2 2=
−− −
; D 5Rf != − " ,
f(x) = x2 - 3 ; x 5!!
Gráficamente:y
-3
x
2
- 5 5
∴ ,Ran 3 2( )F 3= −6 " ,
Rpta.: ,3 23-6 " ,
Pregunta 18
Considere la siguiente función:
f: [0;6]→[– 4;4] cuya gráfica se muestra a continuación:
0
-4
6
4
y
x
Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):
I. f es biyectiva.
II. |f(x)| – f(x)>0 para todo x ! [0,6].
III. g(x)=f(x)+|f(x)| es inyectiva.
A) VVV
B) VVF
C) VFF
D) FFV
E) FFF
Resolución 18
Funciones
Clases de funcionesI. Verdadero
La función es inyectiva y suryectiva a la vez; por tanto, f es biyectiva.
II. Falso
Nótese que cuando f(x) ≥ 0, entonces
|f(x)|= f(x)
Por lo tanto:
|f(x)|– f(x)=0
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III. Falso
Del gráfico dado:
Si f(x)< 0 →|f(x)|=–f(x)
Luego:
g(x)=f(x)+|f(x)|=0
∴ g(x) no es inyectiva
Rpta.: VFF
Pregunta 19
Dado xyz41= , calcule
Exy z xy z
xy z x y z xy z6 6
4 2 2 2 2 4=
+ − −+ + − + −
^ ^
^ ^ ^
h h
h h h
A) 41
B) 21
C) 1
D) 2
E) 4
Resolución 19
Productos notables
Diferencia de cubos
( ) ( )( ) ( ) ( )
Exy z xy z
xy z x y z xy z6 6
4 2 2 2 2 4=
+ − −+ + − + −
Hacemos xy + z = A ∧ xy – z = B
Luego:
( )E
A BA AB B
EA B
A A B B
2
6 6
4 2
2 3 2 3
4 2 2 2
=−
+ +
=−
+ +^ ^h h
( ) ( )
( ) ( )
:
EA B A A B B
A A B B
Exy z xy z
E xyz
Por dato xyz
1
41
41
2 2 4 2 2 4
4 2 2 4
2 2
=− + +
+ +
=+ − −
=
=
∴ E=1
Rpta.: 1
Pregunta 20
Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):
I. La función f(x)=4x+4–x es monótona.
II. La función g(x)=4x – 4–x posee en algún xo ! R su valor mínimo.
III. La función h(x)=2x–3–x es una función impar.
A) VVV
B) VVF
C) VFV
D) FVV
E) FFF
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Resolución 20
Funciones
Función exponencialI. Falso
Nótese que f(– x)=f(x); ∀x !R
f es una función par; por tanto, no es monótona.
II. Falso
Nótese que g(x)=g1(x)+g2(x)
g1(x)=4x es creciente
g2(x)=– 4– x es creciente
Por lo tanto, g(x) es creciente.
III. Falso
Es evidente que h(– x)≠–h(x)
Rpta.: FFF
Pregunta 21
En un ángulo triedo isósceles una cara es recta y la medida del ángulo entre dichas caras y la arista opuesta es 45°. Calcule la medida de una de las caras congruentes.
A) 30°
B) 45°
C) 60°
D) arctan32
E) arcos31
Resolución 21
Geometría del espacio
Ángulo triedro
O
Q
H45°
45°x x
P
m
m 2
Piden: x
* OPH (notable 45° y 45°)
OP=2m
* OPQ (notable 30° y 60°)
` x = 60°
Rpta.: 60°
Pregunta 22
Desde un punto O fuera del plano de un triángulo ABC, cuyo perímetro es p, se proyecta dicho triángulo ABC sobre un plano Q paralelo al plano del triángulo. Si A’ B’ C’ es el triángulo proyectado y A A’ = AO, entonces el perímetro del triángulo A’ B’ C’ es:
A) p2
B) p
C) 2p
D) 3p
E) 4p
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12
Resolución 22
Geometría del espacio
Rectas alabeadasPiden: 2PA’B’C’
Por base media
A’B’=2c Si a+b+c=p
B’C’=2a
A’C’=2b
2a
cc a
B
O
A
2c
2bA’ C’
B’ ⇒2PA’B’C’=2pb
Rpta.: 2p
Pregunta 23
En el exterior de un poliedro convexo se toma un punto, el cual se une con los vértices de la cara más próxima; este nuevo poliedro posee 16 aristas, su número de vértices es igual al número de caras, y el número de aristas excede en 4 a las del poliedro inicial. Determine el número de caras del poliedro inicial.
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Resolución 23
Poliedros
Piden C.
Poliedro final
A2=16
C2+V2=16+2
2C2=18
→ C2=9 → V2=9
Poliedro inicial
C1= ?
V1= ?
A1=12
C1+V1=12+2
∴ C1=6
P
Poliedro
inicial
(A2 – A1)
Aristas Poliedro
final
Rpta.: 6
Pregunta 24
Se tiene un tronco de cilindro circular recto con AB = 8 cm como diámetro de la base y generatrices AC > 2 cm y BD = 2 cm. La bisectriz del ángulo ACD corta a AD en E de tal forma que AE=
94 68 .
Si AC+CD = 18 cm , halle volumen (cm3) del tronco de cilindro.
A) 60π
B) 70π
C) 80π
D) 90π
E) 100π
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Resolución 24
Geometría del espacio
Tronco de cilindroPiden el volumen del tronco.
OA B
C
D
4 4
5K
4K
2E
θ θ
95 68
94 68
• ED= 95 68
• ACD=Teorema de la bisectriz
• 94 68
DCAC
DCAC
95 68 5
4&= =
AC=4K y CD=5K
• Dato: AC+DC=18
4K+5K=18
K=2
• AC=4(2)
AC=8
• Volumen del tronco= 28 2 4 2r
+` ^j h =80π cm3
Rpta.: 80π
Pregunta 25
Se tiene 2 conos rectos de la misma altura h y bases del mismo radio R. Si el vértice de cada cono está en el centro de la base del otro cono, el volumen común (en u3) a los conos es:
A) R h4
2r
B) R h6
2r
C) R h8
2r
D) R h12
2r
E) R h13
2r
Resolución 25
Geometría del espacio
Cono
h
R
RR
R
2h
2h
R/2
Piden: VSólidosombreado
VSólidosombreado
2 .R h2 2 3
12r= ` j
VSólidosombreado
R h12
2r=
Rpta.: R h12
2r
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Pregunta 26
Se tienen dos esferas concéntricas, se traza un plano secante a la esfera mayor y tangente a la esfera menor, determinando un círculo de área 16π m2. Calcule el área, en m2, del casquete menor formado en la esfera mayor sabiendo que el radio de la esfera menor es 3 m.
A) 16π
B) 18π
C) 20π
D) 22π
E) 24π
Resolución 26
Geometría del espacio
Esfera
4
r1
3R
r=3
hA=16r
Piden Acasquete.
πr12=16π r1=4
⇒R=5 h=2
Acasquete=2πRH=2π(5)(2)
∴ Acasquete=20π
Rpta.: 20π
Pregunta 27
lndique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F), según el orden dado:
I. Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.
II. Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares y congruentes entonces el cuadrilátero es un cuadrado.
III. Si las diagonales de un trapecio son congruentes entonces el trapecio es isósceles.
A) VVF
B) VFF
C) VFV
D) FVF
E) VVV
Resolución 27
Cuadriláteros
TeoríaPiden indicar V o F.
I. V
A
B C
D
a
b
b
aα αO
AOB ≅ COD
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II. F
A
B
C
D
AC=BD ∧ BD ⊥ AC
III. V
Se traza el DBCE: paralelogramo
→ ACE: isósceles
→ ABCD: trapecio isósceles θ=α
θ α αA
B C
D E
Rpta.: VFV
Pregunta 28
Sean ABCD un cuadrado y AEF un triángulo equilátero, ambos inscritos en la misma circunferencia, de modo que AF y CD se intersecan en el punto I. ID=2cm, halle el radio de la circunferencia (en cm).
A) 2 2 – 6
B) 2 + 6
C) 2 2 + 6
D) 2 +2 6
E) 2 2 +2 6
Resolución 28
Polígonos regulares
Piden: R
60º
60º 230º
90ºA D
F
CR
I
BE
15º R 2
• AD=,4 → AD= R 2
• ADI: notable 15º-75º
R 2 = 2(2+ 3 )
∴R=( )cm2 2 6+
Rpta.: 2 2 6+
Pregunta 29
En la figura mostrada, determine PO (en cm),
tal que PC es la bisectriz interior en el triángulo
BPN, m\BNO=m\ROP, AP=4 cm y ON=3 cm
P
O
A
R
CB N
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
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Resolución 29
SemejanzaP
O
A4
x
33k
xk
αα
θ
θ
R
CB N
Piden “x”.
• RO // CN: Teorema de Tales
RCPR x
3=
• PRA ∼ PCO
3xk kxk
x4
+=
Y YY
• x = 6
Rpta.: 6
Pregunta 30
En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se ubican los puntos M y N, puntos medios de los lados AB y BC respectivamente. En AC se ubican los puntos R y H de modo que R ∈ AH. Sabiendo que el área de la región formada por el cuadrilátero RMNH es la mitad del área formada por la región triangular ABC. Calcule
MNRH .
A) 0,25
B) 0,50
C) 0,75
D) 1
E) 1,25
Resolución 30
Áreas
Áreas triangulares y cuadrangulares
Piden MNRH
ax= .
h
h
a
2a
xR H C
N
B
M
A
Condición
SRMNH= S2
ABC
( )..a x h a h
2 2 22 2+
=
x=a
∴ ax =1
Rpta.: 1
Pregunta 31
En una circunferencia, dos cuerdas paralelas miden 2 cm y 6 cm. Si la distancia entre ellas es 2 cm, calcule el radio (en cm) de dicha circunferencia.
A) 3
B) 10
C) 2 3
D) 4
E) 3 2
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Resolución 31
Circunferencia
Piden R.
P
R
R
F
OE
C
Ab b
θ
D
B
1 111
2
3
2
22
b + θ
• CD = AP
• mCAD = mACP
OFD ( )Not y237
2143o o
∴ R = 10
Rpta.: 10
Pregunta 32
Un cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia. Tiene por lados AB = 7a cm, BC =15a cm, CD = 20a cm y AD = 24a cm. Si M y N son puntos medios de las diagonales AC y BD respectivamente, MN = 15 cm . Calcule el perímetro del cuadrilátero ABCD (en cm).
A) 130
B) 132
C) 135
D) 140
E) 142
Resolución 32
Relaciones métricas en el cuadrilátero
B
A D
C
15
N53º7a
15a
M
37º16º
20a
24a
a2
25
a2
25
Piden 2P ABCD
• Por teorema de Ptolomeo
AC.BD=7a.20a+15a.24a
AC.BD=500a2 ... (I)
• Por teorema de Viette
..
BDAC
a a a aa a a a
24 20 7 157 24 15 20=
+ ++ +
...BDAC II
585468= ^ h
• De I y II
BD=25a
• AMN; notable (37º y 53º)25 a2
25=
a=2
• 2P ABCD=66(2)
=132 cm
Rpta.: 132
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Pregunta 33
La distribución diaria (en horas) de luz solar durante el año en Lima está dada por la función
11 , 0 365f sen t t3652 54t # #r= − +^`^ hjh ,
donde t es el número de días transcurridos desde el inicio del año. Determine en qué fecha del año se tiene la menor cantidad de luz.
A) 29 de nov
B) 27 de nov
C) 24 de nov
D) 20 de nov
E) 15 de nov
Resolución 33
Funciones trigonométricas
Función senoDistribución diaria:
F t Sen t
t
3652
54 11
3652
542
3
43 365
menor luzm nimo 1í
&
#
r
r r
= − +
− =
=−
,t d as327 75 í=
t 54= +
_ _
_
i i
i
< E1 2 34444 4444S
∴ 24 de noviembre
Rpta.: 24 de nov
Pregunta 34
Resuelva la siguiente inecuación:
cos x x23 0$r
+^ h
A) ,x3
3! r− +8
B) ,x2
3! r− +8
C) ,x2
3! r- - B
D) ,x3
3! r- - B
E) ,x125 3! r− +8
Resolución 34
Inecuaciones trigonométricas
0 ( ) ( )cos cosx x x x f x g x23
23
$ $$ $ $r r
+ −
x
2y
0x
-1
π
1
π/2-π/2
f(x)
g(x)
El punto de intersección
x23r
= - cosx
∴ x 3r=−
;x 3 >3!r− +8
Rpta.: ;x 3 3!r− +8
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Pregunta 35
Sea ABCD un cuadrilátero con AB = 3 cm, BC = 4 cm, CD = 2 cm y AD = 5 cm.
Calcule el valor de cos
cosE
DB
51 6
=+
^
^
h
h.
A) 1
B) 3/2
C) 2
D) 5/2
E) 3
Resolución 35
Resolución de triángulos oblicuángulos
A
B
B
C
D
D
3 cm
5 cm 2 cm
4 cm
Por teorema de cosenos:
AC2 = 32+42-2(3)(4)cosB
AC2 = 52+22-2(5)(2)cosD
Igualando:
25-24cosB = 29-20cosD
1coscos
DB
51 6+ =
Rpta.: 1
Pregunta 36
Dado el punto P = (– 2, 3 ), determine las nuevas coordenadas del punto luego que los ejes coordenados giran un ángulo de 30º en sentido antihorario.
A) , 132
-` j
B) ,2 325-` j
C) ,327-` j
D) 3 ,2 2
5-c m
E) ,43
21- -c m
Resolución 36
Transformación de coordenadas
Rotación de ejesFórmulas de rotación inversa:
cos
cos
x x ysen
y y xsen
i i
i i
= += −
y
y
Reemplazando:
2 30°x y 3/ / i=− = =Obtenemos:
;x
yP2
3
52
23
25= −
=−
y
y
yc m4
Rpta.: ,23
25-c m
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Pregunta 37
Dados dos ángulos, calcule la medida del menor ángulo en radianes, si la diferencia de los cuatro tercios del número de grados sexagesimales de uno y los tres quintos del número de grados centesimales del otro es 20. Además, son complementarios.
A) 74 r
B) 94 r
C) 92 r
D) 9r
E) 16r
Resolución 37
Sistemas de medición angular
Fórmula general de conversiónDatos
S
C
R
a*
S
C
R
90
100
2
b
r
-
-
Z
[
\
]]
]]
Además
34 S−
53 (100 − C)=20
34 S+
53 C=80; ahora
S=9l , C=10l , R=20rl
Reemplazando
34 (9l )+
53 (10l )=80
9l=40 S=40
∴ El menor R=92r
Rpta.: 92r
Pregunta 38
En la circunferencia trigonométrica del gráfico
mostrado, si AM i=!
, calcule la ordenada del punto P.
Y
X
M
P
OA
θ
A) tan
tan1i
i
-^
^
h
h
B) tan
tan1 i
i
- ^
^
h
h
C) cos
cos1i
i
-^
^
h
h
D) cos
cos1 i
i
- ^
^
h
h
E) sen
sen1i
i
-^
^
h
h
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Resolución 38
Circunferencia trigonométrica
Línea trigonométrica tangente
1y
y45°
1−y
−tanθθ
xA
M
P
y
Z
[
\
]]]
]]]
_
`
a
bbb
bbb
Por semejanza
anyy
t1 1
i
−= −
1 any t1 1
i− = −
anany t
t1ii= −
Rpta.: an( )
ant
t1i
i-
Pregunta 39
Si el ángulo θ satisface sen(θ)=1 – sen2(θ),
calcule M=csc2(θ) – tan2(θ).
A) 21
B) 2
C) 3
D) 2
E) 5
Resolución 39
Identidades trigonométricas
Identidades trigonométricasDato:
senθ=cos2θ
tgθ=cosθ
tg2θ=cos2θ
ctg2θ=sec2θ
csc2θ – 1=1+tg2θ
csc2θ – tg2θ=2
Rpta.: 2
Pregunta 40
Determine el conjunto solución de:
0 ,tan tan
para1
16
42 2
2 !i i
i r r−
+−
−^ ^h h
A) arctan 12
1 1i r^ h
B) arctan ,arctan1 31 1i^ ^h h
6arctan2
1 1i r
C) arctan arctan2 61 1i^ ^h h
D) arctan ,arctan1 21 1i^ ^h h
6arctan2
1 1i r^ h
E) 6arctan2
1 1i r^ h
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Resolución 40
Inecuaciones trigonométricas
4tan tan1
16
02i i−
+− efectuando operaciones
básicas
( ) ( )0
tan tantan
1 62
2i i
i- -
-
→tani , ,1 2 6, 3! +
Para el intervalo solicitado, tani es creciente; entonces:
1; ;arctan arctan arctan2 6,!i 2r
Rpta.: a r c t a n ( 1 ) < θ < a r c t a n ( 2 ) ,
arctan(6)<θ< 2r2
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