8/16/2019 Las Ecuaciónes Diofánticas
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DEPARTAMENTO DE LA EDUCACIÓN Y LA CIENCIA DE UCRANIA
ADMINISTRACIÓN DE LA EDUCACIÓN Y LA CIENCIA DE LA ADMINISTRACIÓN REGIONAL
ESTATAL DE LVOV
La academia Menor Regional de las ciencias de Zolochiv
Matemáticas
EL COMPENDIO DE TEMA:
“LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS”
El trabajo ejecutó:
Pavlo Kosarevych
alumno del 4º de la ESO
del IES Salvador Allende
Madrid, Fuenlabrada
El tutor científico:
Bozhakivska Rymma
la profesora de matemáticas
del liceo económico de Zolochiv
Madrid, Alcorcón – 2011
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CONTENIDO
1. Maneras de solucionar las ecuaciones diofánticas lineales_________________________ 3
1.1.
Decisión por soluciones naturales de la manera de apreciación_________________31.2. Utilización de las fracciones continúas para solucionar las ecuaciones diofánticas
lineales________________________________________________________________4
1.3. Solución de las ecuaciones diofánticas lineales con ayuda de representación lineal
de máximo común divisor________________________________________________5
1.4. Solución de las ecuaciones diofánticas lineales utilizando método de dispersió___6
1.5.
Solución de las ecuaciones diofánticas con tres variables______________________72. Las ecuaciones diofánticas no lineales_________________________________________9
2.1. Las ecuaciones que se solucionan descomponiendo a los factores_______________9
2.2. Las ecuaciones que se reducen a las ecuaciones de segundo grado______________9
3. Los sistemas da las ecuaciones diofánticas_____________________________________10
4. Las problemas que llevan a las ecuaciones diofánticas___________________________12
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Parte 1
MANERAS DE SOLUCIONAR LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS
LINEALES.
1.1. Decisión por soluciones naturales de la manera de apreciación.
Ejemplo 1. Solucionar la ecuación en los números naturales
105158 y x
S o l u c i ó n . La ecuación tiene las soluciones enteras.
Cuando x = 0, y = 7. El mayor valor natural de variable y es número 6.
Cuando y = 0, то 8
113 x . El mayor valor natural de variable x es número 13.
Expresamos la variable y:
715
8 x y
Como 13 x y x es divisible por 15, pues esta ecuación no tiene las soluciones naturales.
Respuesta. No tiene las soluciones naturales.
Ejemplo 2. Solucionar la ecuación en los números naturales.
S o l u c i ó n . La ecuación tiene las soluciones enteras.
Cuando x = 0, y = 15,75. El mayor valor natural de variable y es número 15.
Cuando y = 0, x = 9. El mayor valor natural de variable x es número 8.
El mayor valor natural de variable x:
.974 y x
El valor de y tiene que ser divisible por 7 y menor que 15. Obtenemos y = 7 o y = 14.
Encontraremos las x correspondientes: x = 5 o x = 1.
Respuesta. (5; 7), (1; 14).
1.2 Utilización de las fracciones continúas para solucionar las ecuaciones
diofánticas lineales. Ejemplo 3. Solucionar la ecuación en los números enteros
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543183 у х
S o l u c i ó n . La ecuación tiene las soluciones enteras. Encontraremos la solución
entera de esta ecuación utilizando las fracciones continuas. Apuntaremos la ecuación formada
de los coeficientes de la parte izquierda y transformaremos a una fracción continua:
2
13
11
14
13
2
7
11
14
13
7
21
14
13
7
9
14
13
9
74
13
9
4313
4393
43138
Quitaremos la última fracción2
1 y calcularemos la fracción que se queda:
19
61
3
11
14
13
Encontraremos la diferencia entre19
61
43
138i :
1943
1
1943
436119138
19
61
43
138
Apuntaremos la identidad que se compone de los numeradores de las dos últimasfracciones:
1436119138
Compararemos las ecuaciones 543183 у х y 1436119138 .
Para encontrar la solución entera, multiplicaremos la última identidad por (-5):
5)305(43)95(138
Tenemos la solución entera de la fracción: (-95; -305). Las formulas generales de lassoluciones enteras son:
(-95 + 43п; -305 + 138п); п Z.
Respuesta. (-95 + 43п; -305 + 138п); п Z.
1.3. Solución de las ecuaciones diofánticas lineales con ayuda de
representación lineal de máximo común divisor.
Ejemplo 4. Encontrar la menor solución natural de ecuación
17500 y x
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S o l u c i ó n . Aplicaremos algoritmo de Euclides para encontrar MCD de los números
500 y 7:
3717500
.1237
Así el MCD (500; 7) = 1De la última identidad expresaremos número 1:
.2371
De la primera identidad expresaremos número 3 y colocaremos lo en .2371 :
143725002)717500(71
Tenemos una identidad:
114372500
Compararemos la parte izquierda de la ecuación y la parte izquierda de la última identidad.
Los números x = -2 y y = -143 valen como las soluciones. Solución general apuntaremos
como х = -2 + 7n, у = -143 +500n, п .
Necesitamos las soluciones naturales, pues:
;0500143
,072
n
n
;143500
,27
n
n
.500
143
,7
2
n
n
Así, n = 1, 2, 3,…… La menor solución natural cuando n = 1es: x = 5, y = 357.Respuesta: (5; 357).
1.3. Solución de las ecuaciones diofánticas lineales utilizando método de
dispersión.
Ejemplo 5. Solucionar en los números naturales la ecuación
13x – 16y = 7.
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S o l u c i ó n . La ecuación tiene las soluciones enteras. Solucionaremos la ecuación en
los números enteros. Expresaremos la x a través de la y (porque el coeficiente de la x menor
que de la y):
13
716
y x
.Separaremos la parte entera de la fracción:
13
7313 y y x
,
13
73 y
y x
.
Como la x tiene que ser un número entero, la fracción13
73 y debe adquirir los valores
enteros:
13
73 y = t; t es Z.
Expresaremos la y a revés de la t :3
713
t y .
Separaremos la parte entera de la fracción:
3
1612
t t y
,
3
124
t t y
.
La fracción 3
1t
tiene que adquirir los valores enteros:
3
1t = m, m es Z.
Expresaremos la t a revés de la m:
t = 3m + 1.
La expresión 3m + 1 es entera para los valores enteros de la m. Encontraremos
3
713 t
y , si la t = 3m + 1 tenemos:
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3
7)13(13
m y
,
у = 13т + 2.
Encontraremos13
716
y x , si la y = 13m + 2:
13
7)213(16
m x .
Así tendremos:
m y
m x
132
316, m es Z.
La x y la y tienen que ser los números naturales, pues:
0132
0163
m
m
13
2
16
3
m
m
Tenemos m = 0, 1, 2, 3,…. Si la m = 0, la x = 3, la y = 2.
Respuesta: (3 + 16т; 2 + 13т), т = 0; 1; 2;….
1.5. Solución de las ecuaciones diofánticas con tres variables.
Ejemplo 6. Solucionar en los números enteros le ecuación
2х + 3у – 5z = 8.
S o l u c i ó n . Así que MCD (2; 3; 5) = 1, pues la ecuación tiene las soluciones
enteras. Vemos que el coeficiente libre 8 se divide entre 2. Tenemos la solución entra
(4; 0; 0)
Las formulas generales de las soluciones enteras son:
x = 4 – 5m, y = -5n, z = – 2m – 3n, m, n Z
Respuesta: (4 – 5m; –5п; – 2m – 3n), m, n Z.
Ejemplo 7. Solucionar en los números enteros la ecuación
3x + 5y – 7z = 11.
S o l u c i ó n . Esta ecuación tiene las soluciones enteras. Expresaremos la x:
.3
7511 z y x
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Sacaremos la parte entera de la fracción:
3
2223
z y z y x .
Como buscamos las soluciones enteras, la fracción tiene que ser un número entero:
,3
22
n
z y
n є Z.
Ahora expresamos la z:
z = 3n + 2y – 2.
Colocaremos 3n + 2y – 2 en lugar de la z en el identidad
3
7511 z y x
y encontraremos valor de la x:
n y yn y yn y
x 7313
141421511
3
)223(7511
.
Las formulas generales de las soluciones enteras son:
x = – 1 +3k + 7n, y = k,
z = – 2 + 2k + 3n, n, k Z
Respuesta: ( – 1 + 3k + 7n; k; – 2 + 2k + 3n), k, n Z.
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Parte 2
LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS NO LINEALES.
2.1. Las ecuaciones que se solucionan descomponiendo a los factores.
Ejemplo 1. Solucionar en los números enteros la ecuación
.122
у х
S o l u c i ó n . Descompondremos a los factores la parte izquierda de la ecuación:
(x – y)(x + y) = 1.
Como el 1 es un número impar, la ecuación tiene las soluciones enteras. Solucionaremos el
sistema de las ecuaciones lineales:
0
,1
;1
,1
у
х
у х
у х
Respuesta: (1; 0); (-1; 0).
2.2. Las ecuaciones que se reducen a las ecuaciones de segundo grado.
Ejemplo 2. Encontrar las soluciones enteras da la ecuación
.0)1()1( 2 aa x xаа
S o l u c i ó n . Discerniremos el caso cuando el coeficiente de la x2 igual a 0.
Cuando la a = 0, tendremos la x = 0.Cuando la a = -1, tendremos la x = 2.
Que 0)1( аа , entonces solucionaremos la ecuación como lo de segundo grado. Encontraremos el discriminante:
22 )12( a D .
Si D = 0, el significado de la a no es entero. Apuntaremos las soluciones de la ecuación:
,1
111)1(2
2)1(2
)12(1 221
aa
a
aa
a
aa
a x
.1
11
)1(2
)1(2
)1(2
)12(1 22
2aa
a
aa
a
aa
a
x
Como necesitamos los significados enteros de la variable x , pues las fracciones deben
adquirir los significados enteros.
Cuando la a = -2, la x = -2.
Cuando la a = 1, la x = 0.
Respuesta: (0; 0); (-1; 2); (1; 0); (-2; -2).
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Parte 3
LOS SISTEMAS DA LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS.
Ejemplo 1. Solucionar en los números enteros el sistema
.754443
,1254445
222
222
yz xy z y x
yz xy z y x
S o l u c i ó n . Sumaremos las ecuaciones y dividiremos la suma entre 2:
.100)2(
,10044
2
22
y x
xy y x
Tendremos un conjunto de las ecuaciones:
102
102
y x
y x
1) Si la x = 10 – 2y, pues después de poner la x en la otra ecuación del sistema
tendremos: .25)2( 2 z у
Discerniremos el conjunto de las ecuaciones:
.52
,52
z y
z y
Solucionaremos la primera ecuación en los números enteros:
.,25
,
Z nn y
n z
Expresaremos la x:
.4)25(210210 nn y x
Tenemos la solución entera:
(4п; 5 – 3п; п), Z п .
Solucionaremos la segunda ecuación de las del conjunto en los números enteros:
.,25
,
Z k k y
k z
Expresaremos la x:
.420)25(210210 k k y x
Tenemos la solución entera:(20 + 4k; -5 - 2k; k), Z k .
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2) Si la x = -10 – 2y, pues después de poner la x en la primera ecuación del sistema
tendremos:
.25)2( 2 z y
Discerniremos el conjunto de las ecuaciones:
.52,52
z y z y
Solucionaremos la primera ecuación en los números enteros:
.,25 Z mm y
m z
Expresaremos la x:
x = -10 – 2y = -10 – 2(5 – 2m) = -20 – 4m.Tenemos la solución entera:
(-20+ 4т; 5 – 2т; т), Z т
Solucionaremos la segunda ecuación de las del conjunto en los números enteros:
.,25
,
Z p p y
p z
Expresaremos la x:
.4)25(210210 p p y x
Tenemos la solución entera:
(4р; -5-2р; р), Z р .
Respuesta: (4п; 5 – 3п; п); (20 + 4k; -5 - 2k; k); (-20+ 4т; 5 – 2т; т); (4р; -5-2р; р),
.,,, Z pmk n
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Parte 4
LAS PROBLEMAS QUE LLEVAN A LAS ECUACIONES
DIOFÁNTICAS
Problema 1. Hay que cambiar 100 grn. a los participaciones de 2, 5 y 25 grn. así que sea
20 participaciones. ¿Cómo es posible hacerlo?S o l u c i ó n . Que sea la x, la y y (20 – x – y) – los cantidades de los correspondientes
participaciones. Tenemos una ecuación:
2x + 5y + 25(20 – x – y) = 100.
El par (0; 20) es la solución entera y es la única solución.
Respuesta: 20 participaciones de 5 grn.
Problema 2. Un chico compró unos sellos postales y gastó 2 €. Él compró los sellos postales de 2cent 10 veces menor que los de 1cent, el resto de los sellos eran de 5cent.
¿Cuántos y cuáles sellos postales compró el chico?
S o l u c i ó n . Que sea la x los sellos postales de 2 cent, 10 x los sellos postales de 1cent,
la y los sello postales de 5 cent. Tenemos la ecuación:
12x + 5y = 100.
Respuesta: 5 sellos de 2cent, 50sellos de 1cent, 8 sellos de 5 cent.
Problema 3. Señor Smith contó que en la subasta en media hora gastó el medio de su
dinero, y se le quedó tantas céntimas cuantas estuvieron en el principio dólares, y los dólares
dos veces menor que estuvieron en principio las céntimas. ¿Cuánto dinero gastó señor Smith
en la subasta?
S o l u c i ó n . Que sea la x los dólares, la y las céntimas o (100 x + y) céntimas – tuvo en
el principio señor Smith. Solucionaremos la ecuación:
.98,99
,9998
,2
1002
100
у х
у х
у х
у х
Respuesta: 99; 98.
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