Las Ecuaciónes Diofánticas

8/16/2019 Las Ecuaciónes Diofánticas

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DEPARTAMENTO DE LA EDUCACIÓN Y LA CIENCIA DE UCRANIA

ADMINISTRACIÓN DE LA EDUCACIÓN Y LA CIENCIA DE LA ADMINISTRACIÓN REGIONAL

ESTATAL DE LVOV

La academia Menor Regional de las ciencias de Zolochiv

Matemáticas

EL COMPENDIO DE TEMA:

“LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS”

El trabajo ejecutó:

Pavlo Kosarevych

alumno del 4º de la ESO

del IES Salvador Allende

Madrid, Fuenlabrada

El tutor científico:

Bozhakivska Rymma

la profesora de matemáticas

del liceo económico de Zolochiv

Madrid, Alcorcón – 2011


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CONTENIDO

1. Maneras de solucionar las ecuaciones diofánticas lineales_________________________ 3

1.1.

Decisión por soluciones naturales de la manera de apreciación_________________31.2. Utilización de las fracciones continúas para solucionar las ecuaciones diofánticas

lineales________________________________________________________________4

1.3. Solución de las ecuaciones diofánticas lineales con ayuda de representación lineal

de máximo común divisor________________________________________________5

1.4. Solución de las ecuaciones diofánticas lineales utilizando método de dispersió___6

1.5.

Solución de las ecuaciones diofánticas con tres variables______________________72. Las ecuaciones diofánticas no lineales_________________________________________9

2.1. Las ecuaciones que se solucionan descomponiendo a los factores_______________9

2.2. Las ecuaciones que se reducen a las ecuaciones de segundo grado______________9

3. Los sistemas da las ecuaciones diofánticas_____________________________________10

4. Las problemas que llevan a las ecuaciones diofánticas___________________________12


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Parte 1

MANERAS DE SOLUCIONAR LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS

LINEALES.

1.1. Decisión por soluciones naturales de la manera de apreciación.

Ejemplo 1. Solucionar la ecuación en los números naturales

105158 y x

S o l u c i ó n . La ecuación tiene las soluciones enteras.

Cuando x = 0, y = 7. El mayor valor natural de variable y es número 6.

Cuando y = 0, то 8

113 x . El mayor valor natural de variable x es número 13.

Expresamos la variable y:

715

8 x y

Como 13 x y x es divisible por 15, pues esta ecuación no tiene las soluciones naturales.

Respuesta. No tiene las soluciones naturales.

Ejemplo 2. Solucionar la ecuación en los números naturales.

S o l u c i ó n . La ecuación tiene las soluciones enteras.

Cuando x = 0, y = 15,75. El mayor valor natural de variable y es número 15.

Cuando y = 0, x = 9. El mayor valor natural de variable x es número 8.

El mayor valor natural de variable x:

.974 y x

El valor de y tiene que ser divisible por 7 y menor que 15. Obtenemos y = 7 o y = 14.

Encontraremos las x correspondientes: x = 5 o x = 1.

Respuesta. (5; 7), (1; 14).

1.2 Utilización de las fracciones continúas para solucionar las ecuaciones

diofánticas lineales. Ejemplo 3. Solucionar la ecuación en los números enteros


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543183 у х

S o l u c i ó n . La ecuación tiene las soluciones enteras. Encontraremos la solución

entera de esta ecuación utilizando las fracciones continuas. Apuntaremos la ecuación formada

de los coeficientes de la parte izquierda y transformaremos a una fracción continua:

2

13

11

14

13

2

7

11

14

13

7

21

14

13

7

9

14

13

9

74

13

9

4313

4393

43138

Quitaremos la última fracción2

1 y calcularemos la fracción que se queda:

19

61

3

11

14

13

Encontraremos la diferencia entre19

61

43

138i :

1943

1

1943

436119138

19

61

43

138

Apuntaremos la identidad que se compone de los numeradores de las dos últimasfracciones:

1436119138

Compararemos las ecuaciones 543183 у х y 1436119138 .

Para encontrar la solución entera, multiplicaremos la última identidad por (-5):

5)305(43)95(138

Tenemos la solución entera de la fracción: (-95; -305). Las formulas generales de lassoluciones enteras son:

(-95 + 43п; -305 + 138п); п Z.

Respuesta. (-95 + 43п; -305 + 138п); п Z.

1.3. Solución de las ecuaciones diofánticas lineales con ayuda de

representación lineal de máximo común divisor.

Ejemplo 4. Encontrar la menor solución natural de ecuación

17500 y x


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S o l u c i ó n . Aplicaremos algoritmo de Euclides para encontrar MCD de los números

500 y 7:

3717500

.1237

Así el MCD (500; 7) = 1De la última identidad expresaremos número 1:

.2371

De la primera identidad expresaremos número 3 y colocaremos lo en .2371 :

143725002)717500(71

Tenemos una identidad:

114372500

Compararemos la parte izquierda de la ecuación y la parte izquierda de la última identidad.

Los números x = -2 y y = -143 valen como las soluciones. Solución general apuntaremos

como х = -2 + 7n, у = -143 +500n, п .

Necesitamos las soluciones naturales, pues:

;0500143

,072

n

n

;143500

,27

n

n

.500

143

,7

2

n

n

Así, n = 1, 2, 3,…… La menor solución natural cuando n = 1es: x = 5, y = 357.Respuesta: (5; 357).

1.3. Solución de las ecuaciones diofánticas lineales utilizando método de

dispersión.

Ejemplo 5. Solucionar en los números naturales la ecuación

13x – 16y = 7.


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S o l u c i ó n . La ecuación tiene las soluciones enteras. Solucionaremos la ecuación en

los números enteros. Expresaremos la x a través de la y (porque el coeficiente de la x menor

que de la y):

13

716

y x

.Separaremos la parte entera de la fracción:

13

7313 y y x

,

13

73 y

y x

.

Como la x tiene que ser un número entero, la fracción13

73 y debe adquirir los valores

enteros:

13

73 y = t; t es Z.

Expresaremos la y a revés de la t :3

713

t y .

Separaremos la parte entera de la fracción:

3

1612

t t y

,

3

124

t t y

.

La fracción 3

1t

tiene que adquirir los valores enteros:

3

1t = m, m es Z.

Expresaremos la t a revés de la m:

t = 3m + 1.

La expresión 3m + 1 es entera para los valores enteros de la m. Encontraremos

3

713 t

y , si la t = 3m + 1 tenemos:


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3

7)13(13

m y

,

у = 13т + 2.

Encontraremos13

716

y x , si la y = 13m + 2:

13

7)213(16

m x .

Así tendremos:

m y

m x

132

316, m es Z.

La x y la y tienen que ser los números naturales, pues:

0132

0163

m

m

13

2

16

3

m

m

Tenemos m = 0, 1, 2, 3,…. Si la m = 0, la x = 3, la y = 2.

Respuesta: (3 + 16т; 2 + 13т), т = 0; 1; 2;….

1.5. Solución de las ecuaciones diofánticas con tres variables.

Ejemplo 6. Solucionar en los números enteros le ecuación

2х + 3у – 5z = 8.

S o l u c i ó n . Así que MCD (2; 3; 5) = 1, pues la ecuación tiene las soluciones

enteras. Vemos que el coeficiente libre 8 se divide entre 2. Tenemos la solución entra

(4; 0; 0)

Las formulas generales de las soluciones enteras son:

x = 4 – 5m, y = -5n, z = – 2m – 3n, m, n Z

Respuesta: (4 – 5m; –5п; – 2m – 3n), m, n Z.

Ejemplo 7. Solucionar en los números enteros la ecuación

3x + 5y – 7z = 11.

S o l u c i ó n . Esta ecuación tiene las soluciones enteras. Expresaremos la x:

.3

7511 z y x


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Sacaremos la parte entera de la fracción:

3

2223

z y z y x .

Como buscamos las soluciones enteras, la fracción tiene que ser un número entero:

,3

22

n

z y

n є Z.

Ahora expresamos la z:

z = 3n + 2y – 2.

Colocaremos 3n + 2y – 2 en lugar de la z en el identidad

3

7511 z y x

y encontraremos valor de la x:

n y yn y yn y

x 7313

141421511

3

)223(7511

.

Las formulas generales de las soluciones enteras son:

x = – 1 +3k + 7n, y = k,

z = – 2 + 2k + 3n, n, k Z

Respuesta: ( – 1 + 3k + 7n; k; – 2 + 2k + 3n), k, n Z.


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Parte 2

LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS NO LINEALES.

2.1. Las ecuaciones que se solucionan descomponiendo a los factores.

Ejemplo 1. Solucionar en los números enteros la ecuación

.122

у х

S o l u c i ó n . Descompondremos a los factores la parte izquierda de la ecuación:

(x – y)(x + y) = 1.

Como el 1 es un número impar, la ecuación tiene las soluciones enteras. Solucionaremos el

sistema de las ecuaciones lineales:

0

,1

;1

,1

у

х

у х

у х

Respuesta: (1; 0); (-1; 0).

2.2. Las ecuaciones que se reducen a las ecuaciones de segundo grado.

Ejemplo 2. Encontrar las soluciones enteras da la ecuación

.0)1()1( 2 aa x xаа

S o l u c i ó n . Discerniremos el caso cuando el coeficiente de la x2 igual a 0.

Cuando la a = 0, tendremos la x = 0.Cuando la a = -1, tendremos la x = 2.

Que 0)1( аа , entonces solucionaremos la ecuación como lo de segundo grado. Encontraremos el discriminante:

22 )12( a D .

Si D = 0, el significado de la a no es entero. Apuntaremos las soluciones de la ecuación:

,1

111)1(2

2)1(2

)12(1 221

aa

a

aa

a

aa

a x

.1

11

)1(2

)1(2

)1(2

)12(1 22

2aa

a

aa

a

aa

a

x

Como necesitamos los significados enteros de la variable x , pues las fracciones deben

adquirir los significados enteros.

Cuando la a = -2, la x = -2.

Cuando la a = 1, la x = 0.

Respuesta: (0; 0); (-1; 2); (1; 0); (-2; -2).


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Parte 3

LOS SISTEMAS DA LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS.

Ejemplo 1. Solucionar en los números enteros el sistema

.754443

,1254445

222

222

yz xy z y x

yz xy z y x

S o l u c i ó n . Sumaremos las ecuaciones y dividiremos la suma entre 2:

.100)2(

,10044

2

22

y x

xy y x

Tendremos un conjunto de las ecuaciones:

102

102

y x

y x

1) Si la x = 10 – 2y, pues después de poner la x en la otra ecuación del sistema

tendremos: .25)2( 2 z у

Discerniremos el conjunto de las ecuaciones:

.52

,52

z y

z y

Solucionaremos la primera ecuación en los números enteros:

.,25

,

Z nn y

n z

Expresaremos la x:

.4)25(210210 nn y x

Tenemos la solución entera:

(4п; 5 – 3п; п), Z п .

Solucionaremos la segunda ecuación de las del conjunto en los números enteros:

.,25

,

Z k k y

k z

Expresaremos la x:

.420)25(210210 k k y x

Tenemos la solución entera:(20 + 4k; -5 - 2k; k), Z k .


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2) Si la x = -10 – 2y, pues después de poner la x en la primera ecuación del sistema

tendremos:

.25)2( 2 z y

Discerniremos el conjunto de las ecuaciones:

.52,52

z y z y

Solucionaremos la primera ecuación en los números enteros:

.,25 Z mm y

m z

Expresaremos la x:

x = -10 – 2y = -10 – 2(5 – 2m) = -20 – 4m.Tenemos la solución entera:

(-20+ 4т; 5 – 2т; т), Z т

Solucionaremos la segunda ecuación de las del conjunto en los números enteros:

.,25

,

Z p p y

p z

Expresaremos la x:

.4)25(210210 p p y x

Tenemos la solución entera:

(4р; -5-2р; р), Z р .

Respuesta: (4п; 5 – 3п; п); (20 + 4k; -5 - 2k; k); (-20+ 4т; 5 – 2т; т); (4р; -5-2р; р),

.,,, Z pmk n


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Parte 4

LAS PROBLEMAS QUE LLEVAN A LAS ECUACIONES

DIOFÁNTICAS

Problema 1. Hay que cambiar 100 grn. a los participaciones de 2, 5 y 25 grn. así que sea

20 participaciones. ¿Cómo es posible hacerlo?S o l u c i ó n . Que sea la x, la y y (20 – x – y) – los cantidades de los correspondientes

participaciones. Tenemos una ecuación:

2x + 5y + 25(20 – x – y) = 100.

El par (0; 20) es la solución entera y es la única solución.

Respuesta: 20 participaciones de 5 grn.

Problema 2. Un chico compró unos sellos postales y gastó 2 €. Él compró los sellos postales de 2cent 10 veces menor que los de 1cent, el resto de los sellos eran de 5cent.

¿Cuántos y cuáles sellos postales compró el chico?

S o l u c i ó n . Que sea la x los sellos postales de 2 cent, 10 x los sellos postales de 1cent,

la y los sello postales de 5 cent. Tenemos la ecuación:

12x + 5y = 100.

Respuesta: 5 sellos de 2cent, 50sellos de 1cent, 8 sellos de 5 cent.

Problema 3. Señor Smith contó que en la subasta en media hora gastó el medio de su

dinero, y se le quedó tantas céntimas cuantas estuvieron en el principio dólares, y los dólares

dos veces menor que estuvieron en principio las céntimas. ¿Cuánto dinero gastó señor Smith

en la subasta?

S o l u c i ó n . Que sea la x los dólares, la y las céntimas o (100 x + y) céntimas – tuvo en

el principio señor Smith. Solucionaremos la ecuación:

.98,99

,9998

,2

1002

100

у х

у х

у х

у х

Respuesta: 99; 98.

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