La Tierra de las Raíces UnitariasLa Tierra de las Raíces Unitarias
Jesús Gonzalo U. Carlos III de Madrid
Por que nos debemos preocupar por la existencia de raíces Por que nos debemos preocupar por la existencia de raíces unitarias?unitarias?
• Crecimiento (check el libro The First Measured Century)
• Predicción
• El efecto de un “shock”
• Regresión espurea
• Resultados asintóticos
• Contraste de raices unitarias
• Problemas de estos contrastes
• Cambios Estructurales
Algunos graficos: InflaciónAlgunos graficos: Inflación
Algunos graficos: Producción
Algunos graficos: Indice de un mercado bursatilAlgunos graficos: Indice de un mercado bursatil
Como modelamos crecimiento?Como modelamos crecimiento?
La mayoría de las series macroeconómicas, GNP, C, I, etc muestran un crecimiento continuado durante el tiempo. Este comportamiento es imposible de ser recogido con nuestros modelos ARMA estacionarios:
)(ˆlim)|()(ˆ
)()(
)(
0
22
lZZElZ
ZVarZE
aLZ
nl
nlnn
iiatt
tt
tZ
tt
Como describimos tendencias como la siguiente?
Como modelizamos el Crecimiento? (cont)Como modelizamos el Crecimiento? (cont)
Dos opciones:
• Un modelo ARMA estacionario con un componente tendencial deterministico (TS=Trend Stationary)
• Un proceso con Raiz Unitaria y una deriva (DS=difference stationary)
t
tcZEaLtcZ ttt )(
ttt aZZ 1
1. Componente Tendencial Deterministico
2. Tendencia Estocastica. Proceso de Raiz Unitaria
tcZEaLtcZ ttt )(
ttt aZZ 1
21
0
1
0
21
0
2
0
1
00
210212
101
)(),cov(
var
?0......,
................................................
2
a
t
jjt
t
jjttt
a
t
jjttt
t
jjtt
taaEZZ
tat
ZatZZ
aaZaZZ
aZZ
Paseo Aleatorio con deriva
1:con comparado grande para
)()(
)(22
2
t
tt
t
aa
a
tt
Como relacionamos los procesos 1. y 2. ?
ttt
tt
aZZ
aLtcZ
1.2
)(.1
PredicciónPredicción
Tendencia Deterministica (TS):
t
tal
alnln
lnlnnlnln
nlnln
lnln
tt
Z
aLMSE
lZZEMSE
aaaale
aalnclZ
aLlncZ
aLtcZ
deia estacionar parte
)(var....)1(lim
)...1())(ˆ(
....)(
....)()(ˆ
)()(
)(
222
21
221
22
21
2
112211
11
Predicción (cont)Predicción (cont)Raiz Unitaria:
........
....)|(
.........
......)|(
)|(......)|()|()|(
......
).....()()(
...)(ˆ
)()1(
121
11
121
1111
11
11
1211
11
nl
nllnnln
nnn
nlnlnlnlnln
nnnnlnnlnnln
nnlnlnln
nnnlnlnlnlnln
nlnln
t
Z
t
a
aZlZE
Zaa
aaaaZE
ZZEZEZEZE
ZZZZZ
ZZZZZZZZ
aalZ
aLZL
t
Predicción: EjemplosPredicción: Ejemplos
nnnln
ttt
nnln
tt
aZlZE
aaZL
ZlZE
aZL
)|(
0...;)1(.2
)|(
0....)1(.1
3211
21
Error de Predicción
2
2221
21
2
112122111
1122111111
11
)(ˆlim
.....)1()1(1)(ˆ
)...1(......)1()1(
.....)....()....(
)())1(ˆ(....))1(ˆ())(ˆ(
)(ˆ)(
lZZE
lZZE
aaaa
aaaaaaa
ZZZZlZZlZZ
lZZle
nlnl
anln
nllnlnln
nnllnlnnllnln
nnnnnlnnln
nlnn
(l elementos en la suma)
Predicción: Ejemplos (cont)Predicción: Ejemplos (cont)Ejemplo
ARIMA(0,1,1)
22
221
21
2
11
)1)(1(1
)1(....)1(1)(ˆ
)1(
a
anln
ttt
l
lZZE
aaZL
El efecto de un shockEl efecto de un shock
Shock Transitorio:
Shock Permanente: 0tahtZ
h
0tahtZ
h
Ejemplos:
(1)
h cuando 0
....Z
Z
1||
...22
1ht
...22
1t
1
h
t
ht
th
hththt
ttt
ttt
a
Z
aaaa
aaa
aZZ
t
ht
a
Z
El efecto de un shock (cont)El efecto de un shock (cont)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
T-1 TT+1
T+2T+3
T+4T+5
T+6T+7
T+8T+9
T+10T+11
T+12
e
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
T-1 TT+1
T+2T+3
T+4T+5
T+6T+7
T+8T+9
T+10T+11
T+12
y
Funcion Respuesta a un impulso unitario en el shock de un AR(1) process yt = 0.8 yt-1 + et
El efecto de un shock (cont)El efecto de un shock (cont)
El efecto de un shockEl efecto de un shock(2)
h as 0h1tahtZ
....ta...2hta1htahtahtZ...2ta1tatatZ
| ta1tZtZ
(3)
0)1(tahtZ
hta)L(~
L1hta
)1(htZ
ta)L(~
L1ta
)1(tZ
ta)L(~
)L1(ta)1(ta)L(tZ)L1(
t
ht
a
Z
El efecto de un shock (cont)El efecto de un shock (cont)
Q1: Calcular el efecto de un impulso en la perturbación at en el siguiente modelo TS:
tttt aLuutcZ )( donde
t
ht
a
Z
Regresión EspuriaRegresión Espuria
Considera dos paseos aletorios independientes:
0,01
1
kttkttstttt
ttt
vEvuEustvEuvxx
uyy
Por construcción no hay ninguna relacion entre las variables x e y.Considera la regresión
ttt xy e
Q2: Que valores esperas que tomaran las estimaciones de y y sobre el R2? La respuesta la semana que viene.
Algunos Resultados AsintóticosAlgunos Resultados Asintóticos
Considera el caso de
t
t
ttt
t
t
ttt
y
y
y
yyOLS
12
1
12
1
ˆ:e
11 e ttt yy
Asintoticamente (CLT) de clases anteriores:
)1,0()ˆ( 2 NT
Algunos Resultados Asintóticos (cont)Algunos Resultados Asintóticos (cont)
Cuando el resultado asintotico no es valido para realizar inferencias porque
1
degenerada ióndistribuccuna tieneˆ
0)1ˆ(0)ˆvar(
T
Que hacer cuando ?1
Fuller - Dickeyde tribucción Dis
:standard-no ióndistribuccuna tiene
t
t
ttt
t
t
ttt
y
y
y
y
12
1
12
1
1ˆ:1under ;ˆe
e
tt
ttt
yT
yT
T2
12
1
1
1
)1ˆ(e
t
ttyT
?1
1e)1,0(),0(
0.....
2
011
Nt
ytNy
yy
tt
ttt
eee
12
11
1
2
1
2
11
2
1
2
11
2
1)(
2
1)(
2
1
)(2
1
2)(
2112
(por LLN)
2
2
2
12
221
220
221
221
21
221
211
221
2
221
e
e
e
ee
eee
ee
eee
D
ttt
tt
T
ttt
ttT
ttt
ttT
tt
t
t
tt
ttt
ttttt
ttttttt
yT
TT
yy
T
Ty
Ty
T
yyyyy
yyy
yyyy
?1
12
2
t
tyT
cero. es no limite el ena la varianz porquealeatoria variable
unaa esia convergencla estohacer Al . Tpor suma la dividir que tenemosque asi
T )1)(1()3/1()(
2
)1()1(
)1()var())1(,0(
2
2221
2
221
21
2
21
221
OrderttttyVar
TTtEyyE
tytNy
t
t
t t
t
t
t
tt
En resumen, el estadistico
t
t
ttt
yT
yT
T1
22
1
1
1
)1ˆ(e
tiene una distribucción no-standard conocida como distribucción de Dickey-Fuller que esta dominada por la chi-cuadrado del numerador.
Podemos construir un pseudo-t estadistico como
1
1ˆ
ˆ1ˆ
2
2
21
22ˆ
ˆ
T
sy
st tt
tt
e
ee
Este pseudo-t test no tiene la distribuccion lilmite Gaussiana usual
-1.95
5%
%5)65.1(
%595.1ˆ
1ˆ
ZP
P
Distribucción Dickey-Fuller
Distribucción normal.Se rechaza la raiz unitaria demasiadasveces si usasemos la normal.
Algunos Resultados Asintóticos (cont)Algunos Resultados Asintóticos (cont)
Las distribuciones asintoticas se pueden escribir de forma mas compacta
e
1
0
2W
)12)1(W)(2/1(1
0
2W
1
0
WdW
t
21ty
2T
1t
t1tyT
1
)1ˆ(T
2)dr2)r(W(
)12)1(W)(2/1(
2)dr2)r(W(
WdW
ˆˆ1ˆ
t
Algunos Resultados Asintóticos (cont)Algunos Resultados Asintóticos (cont)
donde W(r) es un Movimiento Browniano (vease los applets de esta leccción).Un Movimiento Browniano se define por las siguientes propiedades:•W(0)=0•W(t) tiene estacionarios e independientes incrementos y para todo t and s es tal que para t>s tenemos W(t)-W(s) is N(0, (t-s))•W(t) es N(0,t) para cada t•W(t) sus trayectorias con continuas.
Contraste de Raices Unitarias (contraste DF )Contraste de Raices Unitarias (contraste DF )
Problema: Los contrastes de raices unitarias son condicionales a la existencia de regresores deterministicos y vice-versa.
Reparametrización del modelo
eidad)(stacionar0:
unitaria) (raiz0:
)1(
1
0
11
111
eee
H
H
yyy
yyyy
ttttt
ttttt
Dickey-Fuller considera tres modelos de regresión diferentes:
ttt
ttt
ttt
yty
yy
yy
ee
e
1
1
1
)3(
)2(
)1(
RM3regresion
RM2regresion
RM1regresion
0:
0:
1
0
H
H
ttt
ttt
ttt
tt
tt
ytyRM
yyRM
yyRM
yDGP
y
ee
e
ee
1
1
1
)3(
)2(
)1(
Fuller-Dickey de contraste el para sregresione Tres
:2
:DGP1
:considerar a process) generating (data DGPs Dos
05.0)41.3t(P
05.0)86.2(P
05.0)95.1(P
05.0)64.1e(P
Contrastando por Raices Unitarias: DF testContrastando por Raices Unitarias: DF test
En clase se demostrará via simulaciones que:
El contraste DF en la RM1 NO es invariante a las condiciones iniciales.
El contraste DF en la RM2 NO es invariante a los valores de la deriva.
El contraste en la RM3 es invariante a las condiciones iniciales y a la deriva.
Diseña una estrategia para contrastar raices unitarias en las dos variables de tu proyecto empirico. En clase se recomendara:RM3 si se rechaza se para, si no se rechaza se contrasta existencia de deriva (regresando (1-L)yt sobre constante). Si existe se para. Si no existe se realiza contraste en RM2.
Contraste de Dickey-Fuller AumentadoContraste de Dickey-Fuller Aumentado
Los resultados previos solo son validos cuando el termino error et es iid.
Si este no es el caso, por ejemplo si et sigue un proceso lineal:
entonces se puede probar que podemor re-escribir la regresion del contraste de DF
añadiendo retardos de los incrementos de (1-L)yt-1 hasta que el termino de error llega a ser iid. Esto resuelve el problema y la estrategia es la misma que en el caso anterior.
ta)L(t e
t
p
iititt ayyty
11
Q3: Piensa en dos formas diferentes de elegir el orden “p” correcto.
Q4: Discute brevemente por que tratamos como nula el caso de raíz unitaria (no-estacionareidad) en vez de tratar la nula de estacionareidad.
Q5: A partir de ahora vas a oír, leer, muchas veces que los contrastes de raíces unitarias no tienen potencia. Que crees que pasa con los demás contrastes? Algún comentario.
Cambios Estructurales versus raíces Cambios Estructurales versus raíces unitariasunitarias
Se discutirá en clase.
Una referencia es la Parte IV de “Unit Roots, Unit Roots, Cointegration and Structural ChangeCointegration and Structural Change” por Maddala and Kim. Cambridge University Press 1998.
Top Related