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Problemas de Transbordo
MSc. Ing. Julio Rito Vargas II cuatrimestre 2012
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
El problema de transbordo
Un problema de transporte permite sólo envíos directamente desde los puntos de origen a los puntos de demanda. En muchas situaciones, sin embargo, existe la posibilidad de hacer envíos a través de puntos intermedios (puntos de transbordo). En este caso se habla de un problema de transbordo.
A continuación veremos como la solución del problema de transbordo puede ser encontrada a través de un problema de transporte.
Definiremos los puntos de oferta como aquellos puntos desde donde sóolo se puede despachar unidades. Similarmente, un punto de demanda es un punto donde sólo se pueden recibir unidades. Un punto de transbordo es punto que puede recibir y enviar unidades a otros puntos. Veamos un ejemplo:
Características
La oferta o suministro en cada origen es limitada.
En cada destino la demanda está definida o especificada.
El objetivo en el problema de transbordo es determinar cuantas unidades deberán embarcarse por cada uno de los arcos de la red, de manera que todas las demandas-destinos se satisfagan al costo de transporte mínimo posible.
Ejemplo 1:
Una fábrica posee dos plantas de manufactura, una en Memphis y otra en Denver.
La planta de Memphis puede producir hasta 150 unidades al día, la de Denver hasta 200 unidades al día. Los productos son enviados por avión a Los Angeles y Boston. En ambas ciudades, se requieren 130 unidades diarias. Existe una posibilidad de reducir costos enviando algunos productos en primer lugar a New York o a Chicago y luego a sus destinos finales. Los costos unitarios de cada tramo factible se ilustran en la siguiente tabla:
Tabla de Costos de transporte
Memphis Denver N.Y. Chicago L.A. Boston
Memphis 0 - 8 13 25 28
Denver - 0 15 12 26 25
N.Y. - - 0 6 16 17
Chicago - - 6 0 14 16
L.A. - - - - 0 -
Boston - - - - - 0
Hacía
Desd
e
La fábrica desea satisfacer la demanda, minimizando el
costo total de envío. En este problemas, Memphis y
Denver son puntos de oferta de 150 y 200 unidades
respectivamente. New York y Chicago son puntos de
transbordo. Los Angeles y Boston son puntos de
demanda de 130 unidades cada uno.
150
130
130
200
Solución:
A continuación construiremos un problema de transporte balanceado a partir del problema de transbordo. Para ello podemos seguir los siguientes pasos (suponiendo que la oferta excede a la demanda):
Paso 1. Si es necesario, se debe agregar un punto de demanda ficticio (con oferta 0 y demanda igual al excedente) para balancear el problema. Los costos de envío al punto ficticio deben ser cero. Sea S la oferta total disponible.
Paso 2. Construir una tabla de transporte siguiendo las siguientes reglas:
Solución:
Incluir una fila por cada punto de oferta y de transbordo.
Incluir una columna por cada punto de demanda y de transbordo.
Cada punto i de oferta debe poseer una oferta igual a su oferta original si. Cada punto de demanda j debe poseer una demanda igual a su demanda original dj .
Cada punto de transbordo debe tener una oferta igual a su oferta original + S y una demanda igual a su demanda original + S. Como de antemano no se conoce la cantidad que transitaría por cada punto de transbordo, la idea es asegurar que no se exceda su capacidad. Se agrega S a la oferta y a la demanda del punto de transbordo para no desbalancear la tabla.
Solución:
En el ejemplo, S = 150+200 = 350. La demanda total es 130+130 = 260. Luego, el punto ficticio debe tener una demanda =90.
Como en el ejemplo los puntos de transbordo no tienen ni demanda ni oferta por sí mismos, la oferta y demanda en la tabla deber ser igual a s.
Una vez planteado la tabla, se pueden emplear los métodos vistos anteriormente para obtener una solución inicial factible y obtener la solución óptima.
Modelo deTransbordo
N.Y. Chicago L.A. Boston Ficticio Oferta
Memphis 8 13 25 28 0 150
Denver 15 12 26 25 0 200
N.Y. 0 6 16 17 0 350
Chicago 6 0 14 16 0 350
Demanda 350 350 130 130 90
Solución del problema de transbordo
Análisis de Sensibilidad: Para interpretar la solución, es preciso revisar
cuidadosamente las combinaciones asignadas. De la primera fila, vemos que de Memphis sólo se despacharon 130 unidades a New York del total de 150 disponibles, el excedente de 20 unidades está asignado al punto artificial. De la segunda fila se desprende que de Denver se enviaron 130 unidades a Boston del total de 200 disponibles, quedando 70 asignadas al punto ficticio. En la tercera fila vemos que se enviaron desde el punto de transbordo en New York 130 unidades a Los Angeles. La asignación de 220 de N.Y. a N.Y. significa que del total de unidades en tránsito, 220 no pasaron por dicho nodo de transbordo, o bien, que no se emplearon 220 unidades de la capacidad del punto. Finalmente, en la cuarta fila, la asignación de 350 del punto de transbordo de Chicago a Chicago representa simplemente que no se empleó el punto de transbordo.
Gráficamente, la solución óptima resulta:
EJEMPLO 2
Dos fábricas de automóviles, P1 y P2, están
conectadas a tres distribuidores, D1, D2 y D3, por
medio de dos centros de tránsito, T1 y T2, de
acuerdo con la red que se muestra en la siguiente
diapositiva
Las cantidades de la oferta en las fábricas P1 y P2,
son de 1000 y 1200 automóviles, y las cantidades
de la demanda en las distribuidoras D1, D2 y D3,
son de 800, 900 y 500 automóviles. El costo de
envío por automóvil (en decenas de dólares) entre
los pares de nodos, se muestra en los eslabones
(arcos) de conexión de la red
800
900
500
1200
1000
D3
D2
D1
T1
T2
P1
P2
3
4
4 2
5
8
6 5
3 9
RED - MODELO DE ASIGNACION
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Cada vez que se plantea un problema de
programación lineal, se procede cumpliendo las
siguientes etapas:
1.- Comprensión del problema (lectura en detalle)
2.- Definición de las variables de decisión
3.- Descripción de la función objetivo
4.- Identificación de las restricciones del problema
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Se plantea identificando como variables de decisión
a todas las posibilidades de flujos de asignación, a
transferir entre los nodos de la red de transbordo
Se define como función objetivo la
minimización de los costos de
transporte asociados al transbordo
Las restricciones corresponden a un
balance de transferencia de unidades
para cada nodo de la red de asignación,
sin olvidar la condición de no negatividad
800
900
500
1200
1000 T1
T2
P1
P2
XP1T1
XP2T2
XD
1D
2
XD
2D
3
D2
D1
D3
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Red para plantear el PPL:
F.O. Mín Z = 3XP1T1 + 4XP1T2 + 2XP2T1 + 5XP2T2 +
8XT1D1 + 6XT1D2 + 4XT2D2 + 9XT2D3 +
5XD1D2 + 3XD2D3
s.a. : 1000 = XP1T1 + XP1T2 1200 = XP2T1 + XP2T2 XP1T1 + XP2T1 = XT1D1 + XT1D2 XP1T2 + XP2T2 = XT2D2 + XT2D3 XT1D1 = XD1D2 + 800
XT1D2 + XT2D2 + XD1D2 = XD2D3 + 900
XT2D3 + XD2D3 = 500
Xij > 0
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
EJEMPLO DE TRANSBORDO
El transbordo ocurre ya que la cantidad de la oferta
de 2200 (1000 + 1200) automóviles en los nodos P1
y P2, requiere pasar a través de los nodos de
transbordo de la red (T1 y T2) ,antes de llegar a sus
puntos de destino en los nodos D1, D2 y D3
• Nodos puros de Oferta
• Nodos de Transbordo
• Nodos puros de Demanda
El modelo de transbordo se convierte a un modelo
de transporte con seis puntos de origen (P1, P2, T1,
T2, D1 y D2) y cinco de destino (T1, T2, D1, D2 y D3)
P1, P2
D3
T1, T2, D1, D2
NODOS PUROS DE OFERTA
Y NODOS PUROS DE DEMANDA
Las cantidades de la oferta y la demanda en los
nodos puros de oferta y puros de demanda, queda:
Oferta en un Nodo puro de Oferta
Demanda en un Nodo puro de Demanda
Oferta Original
Demanda Original
Un nodo puro de oferta no posee amortiguador
Un nodo puro de demanda no posee amortiguador
NODOS DE TRANSBORDO
Las cantidades de la oferta y la demanda en los
nodos de transbordo, se establece de acuerdo a:
Oferta en un Nodo de Transbordo
Demanda en un Nodo de Transbordo
Oferta Original
Amorti- guador
Demanda Original
Amorti- guador
+
+
La oferta necesariamente posee un amortiguador,
mientras que a veces se encuentra oferta original
La demanda necesariamente posee amortiguador,
mientras que en ocasiones hay demanda original
Matriz de transbordo
Resuelto como un PPL
SOLUCION
Solución gráfica del modelo
U$ 207,000.00
4
2
8
6
4 3
Para resolver
1
2
5 3
6 4
1
4
2
3
100
200
150
150
1 3
6
5
8
1
La red de la figura, muestra las rutas de transporte de los nodos 1 y 2 a
los nodos 5 y 6, pasando por los nodos 3 y 4. Se ven, en los arcos
respectivos, los costos unitarios de transporte.
a. Formule el modelo correspondiente de transbordo
b. Resuelva el modelo e indique cual es la solución ópt
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