Introduccion al Analisis de Series Temporales
Calculo de Tendencias y Estacionalidad
Los contenidos a desarrollar en este tema son los siguientes:
Graficos temporales.
Series estacionarias y no estacionarias.
Descomposicion de una serie: tendencia, estacionalidad y componenteirregular.
Prediccion.
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Introduccion al Analisis de Series Temporales
Calculo de Tendencias y Estacionalidad
Lecturas recomendadas:
Pena, D. (2005) Analisis de series temporales, Alianza Editorial.
Box, G.E.P., Jenkins,G.M. y Reinsel, G. (1994) Time Series Analysis:Forecasting and Control, Editorial Prentice-Hall.
Brockwell, J.P. y Davis, R.A. (1996) Introduction to Time Series andForecasting, Editorial SpringerVerlag.
Pena, D., Tiao, G.C. y Tsay, R.S. (2005) A Course in Time Series Analysis,Editorial John Wiley.
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Introduccion
Definicion 1. Una serie temporal es una sucesion de observaciones de unavariable tomadas en varios instantes de tiempo.
Nos interesa estudiar los cambios en esa variable con respeto al tiempo.
Predecir sus valores futuros.
I Ejemplos de series temporales podemos encontrarlos en muchos campos deconocimiento:
Economa: producto interior bruto anual, tasa de inflacion, tasa de desem-pleo, etc.Demografa: nacimientos anuales, tasa de dependencia, etc.Meteorologa: temperaturas maximas, medias o mnimas, precipitacionesdiarias, etc.Medio ambiente: concentracion media mensual de nitratos en agua, alcalin-idad media anual del suelo, emisiones anuales de CO2, etc.
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Representacion grafica de una serie temporal
A menudo, se representa la serie en un grafico temporal, con el valor de laserie en el eje de ordenadas y los tiempos en el eje de abscisas.
Ejemplo 1. El siguiente grafico temporal muestra la media de lospluviometros peninsulares (Fuente I.N.M.) para el perodo Octubre/1989 aSeptiembre/2006.
Pluvio
metria
(mm)
10/89 10/91 10/93 10/95 10/97 10/99 10/01 10/03 10/05 10/07
0
30
60
90
120
150
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Ejemplos de grafico temporal
Rio Santa Cruz (Washigton, USA)pH
del
agua
1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004
6.4
6.6
6.8
7
7.2
Rio Santa Cruz (Washigton, USA)
Tem
pera
tura
(Cel
sius)
1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004
0
4
8
12
16
20
24
Rio Santa Cruz (Washigton, USA)
Oxi
geno
disu
elto
mg/
lt
1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004
4.2
6.2
8.2
10.2
12.2
Rio Santa Cruz (Washigton, USA)
Cond
ucta
ncia
mic
rosie
mes
/cm
1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004
61
81
101
121
141
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Otros tipos de graficos temporales
Graficos por perodos de observacion.
Ejemplo 2. Distribucion mensual de la precipitacion media en EspanaTomado de www.hispagua.cedex.es.
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Otros tipos de graficos temporales
Graficos por perodos de observacion plurianuales.
Ejemplo 3. Reserva hidrologica peninsular. Tomado de www.mma.es.
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Otros tipos de graficos temporales
Boxplot anual.
Ejemplo 4. Alcalinidad total (mg/lt). Tomado de www.gemstat.org.
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Otros tipos de graficos temporales
Boxplot por perodos de observacion.
Ejemplo 5. Concentracion de sulfatos (mg/lt). Tomado de www.gemstat.org.
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Clasificacion de series temporales
Definicion 2. Una serie temporal es una sucesion de observaciones de unavariable tomadas en varios instantes de tiempo. Estas observaciones provienende una distribucion que puede ser diferente en cada instante del tiempo.
No somos capaces de tratarcualquier tipo de serie temporal,ya que en cada instante tenemosuna variable con distinta distribu-cion de la que solo observamosun dato. Ignoramos mucho ytenemos poca informacion.
Necesitamos imponer condiciones a la serie
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Clasificacion de series temporales
I Una serie es estacionaria si la media y la variabilidad se mantienenconstantes a lo largo del tiempo.
I Una serie es no estacionaria si la media y/o la variabilidad cambian a lolargo del tiempo.
I Series no estacionarias pueden mostrar cambios de varianza.
I Series no estacionarias pueden mostrar una tendencia, es decirque la media crece o baja a lo largo del tiempo.
I Ademas, pueden presentar efectos estacionales, es decir queel comportamiento de la serie es parecido en ciertos tiemposperiodicos en el tiempo.
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Clasificacion de series temporales - Series estacionarias
Definicion 3. Una serie temporal es estacionaria en sentido amplio si:
E[Xt] = para todo t
V ar(Xt) = 2 para todo t.
Cov(Xt, Xt+k) = k para todo t y k.
El ejemplo mas simple es el RUIDO BLANCO, cuando la media y la covarianzason siempre cero.
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Clasificacion de series temporales - Series estacionarias
Por que es bueno que las series sean estacionarias?
Con series estacionarias podemos obtener predicciones facilmente.
Como la media es constante, podemos estimarla con todos los datos, yutilizar este valor para predecir una nueva observacion.
Tambien se pueden obtener intervalos de prediccion (confianza) para laspredicciones asumiendo que Xt sigue una distribucion conocida, por ejemplo,normal.
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Clasificacion de series temporales - Ejemplos
Serie estacionaria: Variaciones anuales de la media de los pluviometrospeninsulares para el perodo Octubre/1990 a Septiembre/2006.
Var
iaci
n a
nual
10/89 10/91 10/93 10/95 10/97 10/99 10/01 10/03 10/05 10/07
-110
-70
-30
10
50
90
130
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Clasificacion de series temporales - Ejemplos
Serie no estacionaria: Emisiones mundiales de CO2.
Emisiones mundiales de CO2
0
1
2
3
4
5
6
7
1950 1960 1970 1980 1990 2000
Tendencia
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Clasificacion de series temporales - Ejemplos
Serie no estacionaria: Superficie de hielo en el Artico.
Cambios en la tendencia
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Clasificacion de series temporales - Ejemplos
Serie no estacionaria: Precipitaciones medias (mm).
Coopermine (1933 - 1976)
OCT 1975
JUL 1973
APR 1971
JAN 1969
OCT 1966
JUL 1964
APR 1962
JAN 1960
OCT 1957
JUL 1955
APR 1953
JAN 1951
OCT 1948
JUL 1946
APR 1944
JAN 1942
OCT 1939
JUL 1937
APR 1935
JAN 1933
Precip
itacion
es me
dias (m
m)
120
100
80
60
40
20
0
Pgina 1
Fuente de datos: P.C. Baracos, K.W. Hipel & A.I. McLeod (1981) Modelinghydrologic time series from the Arctic, Water Resources Bulletin, Vol. 17.
Estacionalidad
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Clasificacion de series temporales - Ejemplos
Serie no estacionaria: Agua embalsada y energa disponible (hm3).
Aos hidrolgicos 2003/2004 a 2005/2006
Reserv
a total
1 27 53 79 105 131 157
20
24
28
32
36
40
44
Fuente de datos: Boletn hidrologico, Ministerio de Medio Ambiente.
Tendencia + Estacionalidad
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Clasificacion de series temporales - Ejemplos
Serie no estacionaria: Numero mensual de pasajeros de avion, USA,Enero:1949 a Diciembre:1960Time Series Plot for No. de pasajeros
No. d
e pasa
jeros
1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/610
150
300
450
600
750
Tendencia, Heteroscedasticidad y Estacionalidad
Fuente de datos: Box, G. & Jenkins, G. (1976) Time Series Analysis: Forecasting and Control.
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Componentes de una serie temporal
En muchos casos, se supone que la serie temporal es la suma de variascomponentes:
Xt = Tt + St + It
Valor observado = Tendencia + Estacionalidad + Irregular
Tendencia: comportamiento o movimiento suave de la serie a largo plazo.
Estacionalidad: movimientos de oscilacion dentro del ano.
Irregular: variaciones aleatorias alrededor de los componentes anteriores.
I En esos casos, es interesante obtener o aislar los distintos componentes.
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Analisis de la tendencia
En algunos casos, se puede suponer una relacion determinista entre Tt y t, porejemplo una tendencia lineal
Tt = a + btque se estima mediante el metodo de mnimos cuadrados.
Ejemplo 6.
Linear trend = 87.6528 + 2.65718 t
No.
de
pasa
jero
s
1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/610
200
400
600
800Residual Plot for No. de pasajeros
Res
idua
l
1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61-100
-50
0
50
100
150
200
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Analisis de la tendencia - Ejemplo 6
Ejemplo 6. En primer lugar, eliminamos la heteroscedasticidad mediante unatransformacion logartmica.
Log(
No. d
e pas
ajero
s)
1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/614.6
5
5.4
5.8
6.2
6.6
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Analisis de la tendencia - Ejemplo 6
Ejemplo 6. Sobre la serie transformada estimamos una tendencia lineal.
Linear trend = 4.81367 + 0.0100484 t
log(N
o. de
pasaj
eros) actual
forecast
95.0% limits
1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/614.6
5
5.4
5.8
6.2
6.6
I Se observa una clara tendencia creciente lineal, ademas de efectos esta-cionales.
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Analisis de la tendencia - Ejemplo 6
Ejemplo 6. Obtenemos la serie de residuos, Xt Tt:Re
sidua
l
1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61-0.31
-0.11
0.09
0.29
0.49
I Se mantienen los efectos estacionales.
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Analisis de la tendencia - Ejemplo 7
Ejemplo 7. Oxgeno disuelto (ml/lt). Rio Santa Cruz (Washington, USA).
Linear trend = -24.9531 + 0.0168516 t
Oxi
geno
dis
uelt
o
actual
forecast
95.0% limits
1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004
4.2
6.2
8.2
10.2
12.2
Linear trend = -24.9531 + 0.0168516 t
Res
idua
l1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004
-4.1
-2.1
-0.1
1.9
3.9
I Una tendencia determinista (lineal) no parece adecuada.
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Tendencia evolutiva
I A menudo, la tendencia de la serie no sigue una recta y evoluciona a lo largodel tiempo.
I En ese caso, un metodo general de estimar Tt es suponer que evolucionalentamente en el tiempo, y que se puede aproximar con una funcion sencillapara intervalos cortos del tiempo.
Ejemplo 8. Si una recta es una representacion valida para tres periodos
consecutivos:
Tt1 = Tt TTt = Tt
Tt+1 = Tt + T
Si hacemos la media de las tres observaciones consecutivas, mt =xt1+xt+xt+1
3 ,tendramos que:
mt = Tt +It1 + It + It+1
3es decir descubriramos la tendencia subyacente.
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Tendencia evolutiva
Definicion 4. Para instante t, se define la media movil de orden 3 de laserie como
mt =xt1 + xt + xt+1
3.
Suponemos que la tendencia Tt satisface
Tt = mt It1 + It + It+1
3.
I Como la media del componente irregular es cero, podemos suponer que lamedia de los tres valores (It1, It, It+1) es pequena, de esta manera mt recogefundamentalmente la tendencia de la serie en el instante t.
I Es posible calcular medias moviles de ordenes mas altos. Cuando crece elorden, el valor de mt cambia mas suavemente.
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Analisis de la tendencia - Ejemplo 7
Ejemplo 9.
Smoothed Time Series Plot for Oxigeno disuelto
Oxi
geno
dis
uelt
o
data
smooth
1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004
4.2
6.2
8.2
10.2
12.2
Time Series Plot of Residuals for Oxigeno disuelto
1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004
-1.4
-0.4
0.6
1.6
2.6
I En los residuos no se observa una tendencia clara.
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Analisis de la tendencia - Ejemplo 6
Ejemplo 10. Tendencia evolutiva en el numero de pasajeros.
Simple moving average of 3 terms
log
(No
. d
e p
asaj
ero
s)
actual
forecast
95.0% limits
1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/614.6
5
5.4
5.8
6.2
6.6Simple moving average of 12 terms
log
(No
. d
e p
asaj
ero
s)
actual
forecast
95.0% limits
1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/614.6
5
5.4
5.8
6.2
6.6
I Con medias moviles de ordenes altos, suavizamos los efectos estacionales.
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Diferenciacion de la serie
I Es un metodo mas general que consiste en no hacer ninguna hipotesis sobrela forma de la tendencia a corto plazo y suponer simplemente que evolucionalentamente en el tiempo.
Asumimos que la tendencia en el instante t es muy proxima a la tendencia enel instante t 1, y construimos una nueva serie:
yt = xt xt1
que denominamos serie diferenciada.
I Diferenciar la serie equivale a suponer que la tendencia en t es el valor deserie en t 1:
Tt = xt1.
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Diferenciacion de la serie - Ejemplo 6
Ejemplo 11. Obtener la serie diferenciada para los datos del Ejemplo 6.
1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61-0.23
-0.13
-0.03
0.07
0.17
0.27
I La serie diferenciada no muestra una tendencia clara y mantiene los efectosestacionales.
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Diferenciacion de la serie - Ejemplo 7
Ejemplo 12. Obtener la serie diferenciada para los datos del Ejemplo 7.
Residual Plot for Oxigeno disuelto
Random walk
1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004
-4.2
-2.2
-0.2
1.8
3.8
I La serie diferenciada no muestra una tendencia clara.
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Analisis de la estacionalidad
I Un metodo de estimar el efecto estacional (v.g., de cada mes) es considerarcomo vara la media del perodo (mes) respecto de la media global.
Anos
1 2 n Medias Senero x11 x12 x1n x1 S1febrero x21 x22 x2n x2 S2
Meses ... ... ... ... ... ...noviembre x11 1 x11 2 x11 n x11 S11diciembre x12 1 x12 2 x12 n x12 S12Medias x1 x2 xn x
I Los coeficientes estacionales son:
Si = xi M para i = 1, . . . , 12.
I Suponemos que el efecto estacional St satisface:
St = St+12 = St+24 = . . .
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Ejemplo 13. Volvemos al Ejemplo 6. El grafico muestra los coeficientesestacionales.
Seasonal Index Plot for log(No. de pasajeros)
season
seas
onal
index
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-0.22
-0.12
-0.02
0.08
0.18
0.28
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Ejemplo 13. Obtenemos la serie desestacionalizada, Xt St:Seasonally Adjusted Data Plot for log(No. de pasajeros)
1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/614.7
5.1
5.5
5.9
6.3
6.7
I No muestra efectos estacionales.
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Ejemplo 14. Obtener los coeficientes estacionales de la serie mensual depluviometros peninsulares (Fuente I.N.M.) para el perodo Octubre/1989 aSeptiembre/2006 (Ejemplo 1).
Seasonal Indices for Pluviometria
Seasonal decomposition method: Additive
Season Index------------------------1 29.0565 2 21.1044 3 18.8623 4 5.59299 5 -7.70493 6 -4.37706 7 4.22346 8 4.78362 9 -19.1383 10 -28.394 11 -23.1034 12 -0.905707
Seasonal Index Plot for Pluviometria
season
seas
onal
inde
x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-29
-19
-9
1
11
21
31
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Ejemplo 14. Obtenemos la serie desestacionalizada, Xt St:
Seasonally Adjusted Data Plot for Pluviometria
10/89 10/91 10/93 10/95 10/97 10/99 10/01 10/03 10/05 10/07
-10
20
50
80
110
140
I No muestra efectos estacionales.
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Ejemplo 15. Obtener los coeficientes estacionales de la serie mensual deOxgeno disuelto (ml/lt). Rio Santa Cruz (Washington, USA). (Elaboracionpropia a partir de http://waterdata.usgs.gov).
Seasonal Indices for Oxigeno
Seasonal decomposition method: Additive
Season Index------------------------1 1.75095 2 1.82438 3 1.66915 4 1.45595 5 -0.989603 6 -1.57851 7 -2.56157 8 -2.76155 9 -1.56786 10 -0.657377 11 1.23205 12 2.184
Seasonal Index Plot for Oxigeno
seas
onal
inde
x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-2.8
-1.8
-0.8
0.2
1.2
2.2
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Ejemplo 15. Obtenemos la serie desestacionalizada, Xt St:
Seasonally Adjusted Data Plot for Oxigenose
ason
ally
adju
sted
1/72 1/76 1/80 1/84 1/88 1/92 1/96 1/00 1/04 1/08
0
3
6
9
12
15
I Todava muestra efectos estacionales.
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Diferenciacion estacional de la serie
I Es un metodo mas general que consiste en no hacer ninguna hipotesis sobrela forma general de la estacionalidad a corto plazo y suponer simplemente queevoluciona lentamente en el tiempo.
Construimos una nueva serie:
yt = xt xts
que denominamos serie diferenciada estacionalmente.
I Diferenciar estacionalmente la serie equivale a suponer que la estacionalidaden t es el valor de serie en t s:
St = xts.
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Diferenciacion estacional de la serie - Ejemplos
Ejemplo 16. Obtener la serie desestacionalizada mediante diferenciacionestacional para las series de los datos 15 y 6.
Time Series Plot for SDIFF(Oxigeno, 12)
1/72 1/74 1/76 1/78 1/80 1/82 1/84 1/86 1/88 1/90 1/92 1/94 1/96 1/98 1/00 1/02 1/04 1/06 1/08
-5
-2
1
4
7
10
Time Series Plot for SDIFF(log(No. de pasajeros),12)
1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61-0.26
-0.16
-0.06
0.04
0.14
0.24
0.34
0.44
I En ambas no se observan efectos estacionales.
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Descomposicion de la serie en componentes
Ejemplo 17. Con los datos del Ejemplo 6, obtenemos los siguientes graficos:Time Series Plot for log(No. de pasajeros)
1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/614.6
5
5.4
5.8
6.2
6.6
Time Series Plot for TREND
1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/614.6
5
5.4
5.8
6.2
6.6
Time Series Plot for INDICES
1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61-0.22
-0.12
-0.02
0.08
0.18
0.28
Time Series Plot for IRREGULAR
1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61-0.12
-0.08
-0.04
0
0.04
0.08
0.12
I La componente irregular parece aproximadamente estacionaria y sin patrones de tendenciao estacionalidad.
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Descomposicion de la serie en componentes
Ejemplo 18. Con los datos del Ejemplo 1, obtenemos los siguientes graficos:Time Series Plot for Pluviometria
10/89 10/93 10/97 10/01 10/05
0
30
60
90
120
150
Time Series Plot for TREND
10/89 10/93 10/97 10/01 10/05
0
30
60
90
120
150
Time Series Plot for INDICES
10/89 10/93 10/97 10/01 10/05
-29
-19
-9
1
11
21
31
Time Series Plot for IRREGULAR
10/89 10/93 10/97 10/01 10/05
-70
-40
-10
20
50
80
I La componente irregular parece aproximadamente estacionaria y sin patrones de tendenciao estacionalidad.
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Prediccion de una serie temporal
I Una vez que hemos obtenido la descomposicion de la serie temporal:
Xt = Tt + St + It
I Podemos obtener predicciones de los valores futuros mediante los valorespara t + 1, t + 2, . . . , t + h de las componentes Tt y St.
Ejemplo 19. Si Tt = a + bt y St se obtuvo mediante ndices estacionalestrimestrales, i.e., tenemos S1, S2, S2, y S4, entonces:
Tt+1 = a + bt y St+1 =
S1 si t + 1 = Q1S2 si t + 1 = Q2S3 si t + 1 = Q3S4 si t + 1 = Q4
.
Las predicciones para t + 2, t + 3, . . . , t + h se obtienen de manera analoga.
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Prediccion de una serie temporal - Ejemplos
Ejemplo 20. Con los datos del Ejemplo 1 obtenga las predicciones para elano hidrologico 2006/2007 con los siguientes procedimientos:
Tendencia lineal, Tt = a + bt, e ndices estacionales.
Medias moviles de orden 3, mt =Xt3+Xt2+Xt1
3 , e ndices estacionales.
Indices estacionales.
Diferencia estacional.Xt = Xt1 Xt12.
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Prediccion de una serie temporal - Ejemplos
Time Sequence Plot for Pluviometria
Linear trend = 51.6349 + -0.0091951 t
actual
forecast
95.0% limits
10/89 10/93 10/97 10/01 10/05 10/09
-30
0
30
60
90
120
150
Time Sequence Plot for Pluviometria
Simple moving average of 3 terms
actual
forecast
95.0% limits
10/89 10/93 10/97 10/01 10/05 10/09
-40
0
40
80
120
160
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Prediccion de una serie temporal - Ejemplos
Time Sequence Plot for Pluviometria
Constant mean = 46.3064
actual
forecast
95.0% limits
10/89 10/93 10/97 10/01 10/05 10/09
-30
0
30
60
90
120
150
Time Sequence Plot for Pluviometria
ARIMA(0,0,0)x(0,1,0)12 with constant
actual
forecast
95.0% limits
10/89 10/93 10/97 10/01 10/05 10/09
-50
-10
30
70
110
150
190
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Prediccion de una serie temporal - Resultados
Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3 Modelo 4 Observado Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3 Modelo 4Octubre 74.42 77.46 75.36 93.11 85.3 Octubre 0.128 0.092 0.116 0.092
Noviembre 66.46 69.51 67.41 73.01 89.9 Noviembre 0.261 0.227 0.250 0.188Diciembre 64.21 67.26 65.17 46.21 45.2 Diciembre 0.421 0.488 0.442 0.022
Enero 50.93 53.99 51.90 47.21 33.9 Enero 0.502 0.593 0.531 0.393Febrero 37.62 40.70 38.60 46.41 58.5 Febrero 0.357 0.304 0.340 0.207Marzo 40.94 44.02 41.93 61.31 50.3 Marzo 0.186 0.125 0.166 0.219Abril 49.53 52.62 50.53 37.81 64.9 Abril 0.237 0.189 0.221 0.417Mayo 50.08 53.18 51.09 22.01 61 Mayo 0.179 0.128 0.162 0.639Junio 26.15 29.26 27.17 21.61Julio 16.89 20.01 17.91 13.21 Media 0.284 0.268 0.279 0.272
Agosto 22.17 25.30 23.20 19.21 S.D. 0.131 0.183 0.147 0.200Septiembre 44.36 47.50 45.40 60.11 ECM 0.098 0.105 0.099 0.114
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Otra alternativa para la prediccion de una serie temporal
Alisados Exponenciales
Se emplean fundamentalmente para predecir nuevos valores de la serie.
Se basan en modelos parametricos deterministas que se ajustan a la evolucionde la serie.
Las observaciones mas recientes tienen mas peso en la prediccion que lasmas alejadas.
Se resuelven por metodos recursivos.
Pueden ser poco realistas para explicar la evolucion de la serie.
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Alisado exponencial simple, se emplea para series sin tendencia niestacionalidad:
XT = XT + (1 )XT1,
XT = T1
t=0(1 )tXTs,
XT+k = XT , para todo k.
Alisado exponencial lineal de Holt: se emplea para series con tendencialineal y sin estacionalidad:
XT = XT + (1 )(XT1 + BT1),
bT = (XT XT1) + (1 )BT1,
XT+k = XT + BTk,con X1 = X1, X2 = X2, B1 = 0 y B2 = X2 X1.
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Alisado exponencial estacional de Holt-Winters: se emplea para seriescon tendencia y estacionalidad.
XT = XTSts
+ (1 )(XT1 + BT1),
bT = (XT XT1) + (1 )BT1,
ST = XT
XT+ (1 )STs,
XT+k = (XT + BTk)STs+k.
I El factor estacional no es constante como en los ndices estacionales.
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Alisado exponencial - Efecto y seleccion de los pesos
Time Sequence Plot for Oxigeno disuelto
Simple exponential smoothing with alpha = 0.1
actual
forecast
95.0% limits
1970 1980 1990 2000 2010
4.2
6.2
8.2
10.2
12.2
Time Sequence Plot for Oxigeno disuelto
Simple exponential smoothing with alpha = 0.9
actual
forecast
95.0% limits
1970 1980 1990 2000 2010
3.1
5.1
7.1
9.1
11.1
13.1
Time Sequence Plot for Oxigeno disuelto
Simple exponential smoothing with alpha = 0.7992
actual
forecast
95.0% limits
1970 1980 1990 2000 2010
3.5
5.5
7.5
9.5
11.5
13.5
I Los pesos determinan el peso que damos a las componentes de la prediccion,un peso cercano a la unidad le asigna mas peso a las observaciones recientes.
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Prediccion de una serie temporal - Ejemplos
Ejemplo 21. Con los datos del Ejemplo 1 obtenga las predicciones para elano hidrologico 2006/2007 utilizando los metodos de alisados simple, de Holty de HoltWinters.Time Sequence Plot for Pluviometria
Simple exponential smoothing with alpha = 0.0089
actual
forecast
95.0% limits
10/89 10/93 10/97 10/01 10/05 10/09
-20
10
40
70
100
130
160
Time Sequence Plot for Pluviometria
Holt's linear exp. smoothing with alpha = 0.0491 and beta = 0.044
actual
forecast
95.0% limits
10/89 10/93 10/97 10/01 10/05 10/09
-30
0
30
60
90
120
150
Time Sequence Plot for Pluviometria
Winter's exp. smoothing with alpha = 0.0033, beta = 0.0001, gamma = 0.3079
actual
forecast
95.0% limits
10/89 10/93 10/97 10/01 10/05 10/09
-60
-20
20
60
100
140
180
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Prediccion de una serie temporal - Resultados
Modelo 1 Alisado 1 Alisado 2 Alisado 3 Observado Modelo 1 Alisado 1 Alisado 2 Alisado 3Octubre 74.42 46.01 39.98 97.54 85.3 Octubre 0.128 0.461 0.531 0.144
Noviembre 66.46 46.01 39.82 71.98 89.9 Noviembre 0.261 0.488 0.557 0.199Diciembre 64.21 46.01 39.66 58.19 45.2 Diciembre 0.421 0.018 0.123 0.287
Enero 50.93 46.01 39.50 43.86 33.9 Enero 0.502 0.357 0.165 0.294Febrero 37.62 46.01 39.35 48.38 58.5 Febrero 0.357 0.213 0.327 0.173Marzo 40.94 46.01 39.19 56.09 50.3 Marzo 0.186 0.085 0.221 0.115Abril 49.53 46.01 39.03 47.15 64.9 Abril 0.237 0.291 0.399 0.273Mayo 50.08 46.01 38.87 40.58 61 Mayo 0.179 0.246 0.363 0.335Junio 26.15 46.01 38.72 21.87Julio 16.89 46.01 38.56 14.26 Media 0.284 0.270 0.336 0.228
Agosto 22.17 46.01 38.40 21.94 S.D. 0.131 0.166 0.160 0.080Septiembre 44.36 46.01 38.24 50.16 ECM 0.098 0.101 0.138 0.058
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Ejemplo con datos faltantes
Ejemplo 22. Temperatura media en la superficie y en el fondo en LagoMurray - Carolina del Sur, Octubre/1992 a Septiembre/2006.
0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 1685
10
15
20
25
30
35Lago Murray, Carolina del Sur
Temperatura media Temperatura media en el fondo
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Ejemplo con datos faltantes
Podemos predecir la temperatura del fondo?
5 10 15 20 25 30 358
10
12
14
16
18
20
22
24
Temperatura media
Temp
eratur
a med
ia en
el fo
ndo
Lago Murray, Carolina del Sur
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Interpolacion de los datos faltantes
La relacion entre Temperatura y Temperatura en el fondo es no lineal
Multiple Regression Analysis-----------------------------------------------------------------------------Dependent variable: Temperatura Fondo----------------------------------------------------------------------------- Standard TParameter Estimate Error Statistic P-Value-----------------------------------------------------------------------------CONSTANT 3.6386 1.22333 2.97435 0.0035Temperatura 0.982518 0.144872 6.78196 0.0000Mes -1.21715 0.155993 -7.80261 0.0000Temperatura^2 -0.0363928 0.00396844 -9.17058 0.0000Temperatura*Mes 0.10833 0.0092613 11.697 0.0000-----------------------------------------------------------------------------
Analysis of Variance-----------------------------------------------------------------------------Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value-----------------------------------------------------------------------------Model 1446.01 4 361.502 208.78 0.0000Residual 219.905 127 1.73154-----------------------------------------------------------------------------Total (Corr.) 1665.91 131
R-squared = 86.7997 percentR-squared (adjusted for d.f.) = 86.384 percent
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Interpolacion de los datos faltantes
Plot of Temperatura Fondo
predicted
obser
ved
8 11 14 17 20 23
8
11
14
17
20
23
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Interpolacion de los datos faltantes
0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 1685
10
15
20
25
30
35Lago Murray, Carolina del Sur
Temperatura media Temperatura media en el fondo
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Interpolacion - Una alternativa basada en series temporales
Winter's exp. smoothing with alpha = 0.3343, beta = 0.0001, gamma = 0.1693
actual
forecast
95.0% limits
10/92 10/94 10/96 10/98 10/00 10/02 10/04 10/06
-40
-20
0
20
40
60
80
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Interpolacion - Una alternativa basada en series temporales
0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 1685
10
15
20
25
30
35Lago Murray, Carolina del Sur
Temperatura media Temperatura media en el fondoAjuste e interpolacin
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Ejemplo con datos faltantes
Ejemplo 23. Oxgeno disuelto media en la superficie y en el fondo en LagoMurray - Carolina del Sur, Octubre/1992 a Septiembre/2006.
0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 1680
2
4
6
8
10
12
14Lago Murray, Carolina del Sur
Oxgeno disuelto Oxgeno disuelto en el fondo
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Ejemplo con datos faltantes
Podemos predecir los datos faltantes?
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 130
2
4
6
8
10
12
14
Oxgeno disuelto (mg/lt)
Oxge
no di
suelt
o en e
l fond
o (mg
/lt)
Lago Murray, Carolina del Sur
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Interpolacion de los datos faltantes
Podemos predecir los datos faltantes?
Multiple Regression Analysis-----------------------------------------------------------------------------Dependent variable: Oxigeno Fondo----------------------------------------------------------------------------- Standard TParameter Estimate Error Statistic P-Value-----------------------------------------------------------------------------CONSTANT 6.29991 10.4769 0.601317 0.5492Oxigeno 0.830319 1.67511 0.495681 0.6214Oxigeno^2 -0.106926 0.0698998 -1.52971 0.1297Mes -0.483242 1.01006 -0.478427 0.6335Oxigeno*Mes 0.0205182 0.110638 0.185454 0.8533-----------------------------------------------------------------------------
R-squared = 8.5047 percentR-squared (adjusted for d.f.) = 4.29802 percent
Multiple Regression Analysis-----------------------------------------------------------------------------Dependent variable: Oxigeno Fondo----------------------------------------------------------------------------- Standard TParameter Estimate Error Statistic P-Value-----------------------------------------------------------------------------CONSTANT -9.22845 8.81297 -1.04714 0.2979Oxigeno 0.882918 0.893172 0.98852 0.3256Temperatura 0.509903 0.388381 1.31289 0.1926Oxigeno*Temperatu -0.0330939 0.0419215 -0.789424 0.4320-----------------------------------------------------------------------------
R-squared = 9.61981 percentR-squared (adjusted for d.f.) = 6.53866 percent
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Interpolacion - Una respuesta basada en series temporales
Random walk + Seasonal adjustment
O2 in
terpo
lado
actual
forecast
95.0% limits
10/92 10/94 10/96 10/98
4
6
8
10
12
------------------------------------------------------------------------------ Lower 95.0% Upper 95.0% Period Forecast Limit Limit------------------------------------------------------------------------------ 9/99 6.67861 5.13383 8.22338 10/99 6.0107 4.04454 7.97686 ------------------------------------------------------------------------------
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Interpolacion - Una respuesta basada en series temporales
Simple exponential smoothing with alpha = 0.9126O2
F inte
rpolad
o
actual
forecast
95.0% limits
12/96 12/97 12/98 12/99 12/00
-1
2
5
8
11
14
------------------------------------------------------------------------------ Lower 95.0% Upper 95.0% Period Forecast Limit Limit------------------------------------------------------------------------------11/00 6.64211 4.35922 8.925 12/00 7.85614 4.76551 10.9468 ------------------------------------------------------------------------------
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Interpolacion de los datos faltantes
0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800
2
4
6
8
10
12
14Lago Murray, Carolina del Sur
Oxgeno disuelto Oxgeno disuelto en el fondo
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Datos faltantes al inicio de la serie
Prediccion inversa (backcasting)
ARIMA(0,0,0)x(0,1,0)12 with constant
O2F
inve
rso
Observado
Ajuste
Pronstico
0 60 120 180
0
3
6
9
12
15
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Datos faltantes al inicio de la serie
Prediccion inversa (backcasting)
0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800
2
4
6
8
10
12
14Lago Murray, Carolina del Sur
Oxgeno disuelto Oxgeno disuelto en el fondo
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Recapitulacion
Introduccion al Analisis de Series Temporales
Calculo de Tendencias y Estacionalidad
Graficos temporales.
Series estacionarias y no estacionarias.
Descomposicion de una serie: tendencia, estacionalidad y componenteirregular.
Prediccion.
Interpolacion.
Introduccion al Analisis de Series Temporales Andres M. Alonso
Grupo de investigacion en analisis de series temporales
M Andres M. Alonso
M Jose R. Berrendero
M Ana E. Garca
M Carolina Garca
M Adolfo Hernandez
M Ana Justel
M Julio Rodrguez
M Mara J. Sanchez
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