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Senales sinusoidales y el concepto de frecuenciaAnalisis de Fourier

Muestreo

Dominio de la frecuencia: Conceptos basicosLeccion 06.1

Dr. Pablo Alvarado Moya

CE5201 Procesamiento y Analisis de Imagenes DigitalesArea de Ingenierıa en Computadores

Tecnologico de Costa Rica

I Semestre, 2017

P. Alvarado — TEC — 2017 Dominio de la frecuencia 1 / 40


Muestreo

Contenido

1 Senales sinusoidales y el concepto de frecuenciaSenal sinusoidal continuaSenal sinusoidal discretaFrecuencia temporalFrecuencia espacial

2 Analisis de FourierEspacios funcionalesAnalisis unidimensionalAnalisis bidimensional

3 Muestreo



Muestreo

Senal sinusoidal continuaSenal sinusoidal discretaFrecuencia temporalFrecuencia espacial

Senal sinusoidal continua

Oscilacion armonica:

xa(t) = A cos(Ωt + θ), −∞ < t <∞

conΩ = 2πF

xa(t) = A cos(2πFt + θ), −∞ < t <∞ .

Ω: Frecuencia angular

F : Frecuencia hertziana



Muestreo


PeriodicidadSenal sinusoidal continua

Si F es constante, entonces xa es periodica

xa(t + Tp) = xa(t)

con perıodo fundamental Tp = 1/F .

0

A cos θ

A

x(t)

t

Tp = 1/F



Muestreo


Senal sinusoidal discreta

La senal sinusoidal en tiempo discreto se expresa como

x(n) = A cos(ωn + θ), −∞ < n <∞

y con ω = 2πf

x(n) = A cos(2π f n + θ), −∞ < n <∞ .

Dimensiones de f : ciclos por muestra.



Muestreo


Frecuencia en senal discreta

Ejemplo ω = π/6 y θ = π/6:

x(n)

n



Muestreo


Periodicidad de un sinusoide discreto

Senal x(n) periodica con periodo N sii

x(n + N) = x(n) para todo n

Una senal sinusoidal de frecuencia f0 es periodica si

cos (2π f0(N + n) + θ) = cos (2π f0n + θ)

lo que se cumple solo si existe un entero k tal que

2π f0 N = 2kπ

o, en otros terminos, f0 es el numero racional

f0 =k

N

de periodo N si k y N son enteros primos relativos.P. Alvarado — TEC — 2017 Dominio de la frecuencia 7 / 40


Muestreo


x(n)x(n)

nn

x(n)x(n)

nn

f = 5/32, N = 32 f = 4/32, N = 8



Muestreo


Equivalencia de frecuencias en sinusoides discretos

cos ((ω0 + 2π)n + θ) = cos(ω0n + 2πn + θ) = cos(ω0n + θ)

xk(n) = A cos(ωkn + θ), k = 0, 1, 2, . . .

ωk = ω0 + 2kπ

Rango |ω| ≤ π (o |f | ≤ 12 ) es de frecuencias fundamentales

Frecuencias |ω| > π (o |f | > 12 ) son alias.



Muestreo


Equivalencia de frecuenciasSinusoides continuos y discretos

cos(2πfn)!

= cos(2πFt)|t=nTs

2πfn!

= 2πFnTs

f =F

Fs

ω = 2πΩ

Ωs



Muestreo


Tasa maxima de oscilacion

x(n)

n

x(n)

n

x(n)

n

ω0 = 0 (f = 0) ω0 = π/6 (f = 1/12) ω0 = π/3 (f = 1/6)

x(n)

n

x(n)

n

ω0 = π/2 (f = 1/4) ω0 = π (f = 1/2)



Muestreo


Tasa maxima de oscilacion

Sea x0(n) = cos(ω0n) con ω0 ∈ [0, π]

Sea ω1 = 2π − ω0.

Si ω0 ∈ [0, π] entonces ω1 ∈ [π, 2π] de tal forma quesi ω0 aumenta ω1 disminuye.

Debido a que

x1(n) = A cos(ω1n) = A cos((2π−ω0)n) = A cos(−ω0n) = x0(n)

la frecuencia angular ω1 es un alias de ω0.



Muestreo


Concepto de frecuencia negativa

Im

Re

r

ωt

−ωt

x(n) = A cos(ωn + θ) =A

2e j(ωn+θ) +

A

2e−j(ωn+θ)



Muestreo


Rango valido de frecuencias

Todas las frecuencias en un intervalo [ω0, ω0 + 2π] representantodas las frecuencias existentes para senales discretas.

Usualmente se utilizan los rangos de frecuencias angularesω ∈ [−π, π] (f ∈ [−1

2 ,12 ]) o ω ∈ [0, 2π] (f ∈ [0, 1]) y reciben

el nombre de rango fundamental.



Muestreo


Frecuencia en el tiempo

Frecuencia herziana F : Ciclos por unidad de tiempo

f (t) = cos(2πFt)

Frecuencia herziana normalizada f : Ciclos por muestra

f (n) = cos(2πfn)

Frecuencia angular Ω: Radianes por unidad de tiempo

f (t) = cos(Ωt)

Frecuencia angular normalizada ω: Radianes por muestra

f (n) = cos(ωn)



Muestreo


Frecuencia espacial

Senal senoidal en el espacio continuo

x(s) = A cos(2πFs + θ) = A cos(Ωs + θ), −∞ < s <∞Senal senoidal en el espacio discreto

x(n) = A cos(2πfn + θ) = A cos(ωn + θ), −∞ < n <∞

0

A cos θ

A

x(t)

t

Tp = 1/F

x(n)

n



Muestreo


Unidades de la frecuencia espacial

Frecuencia herziana F : Ciclos por unidad de longitud

f (s) = cos(2πFs)

Frecuencia herziana normalizada f : Ciclos por muestra

f (n) = cos(2πfn)

Frecuencia angular Ω: Radianes por unidad de longitud

f (s) = cos(Ωs)

Frecuencia angular normalizada ω: Radianes por muestra

f (n) = cos(ωn)



Muestreo


Frecuencia horizontal



Muestreo


Frecuencia horizontal

f =6 ciclos

256 px

= 0, 0234 ciclos/px



Muestreo

Espacios funcionalesAnalisis unidimensionalAnalisis bidimensional

Espacios lineales

Analisis de Fourier se basa en concepto de espacios lineales

Funciones equivalen a vectores en un espacio lineal de infinitasdimensiones.

Con imagenes: espacio de interes es finito con todas lasimagenes de un tamano R × C particular,

Dos operaciones:1 Suma de funciones f (t) + g(t)2 Producto escalar af (t)

Repasar lecciones 13 y 14 de “Modelos de Sistemas”



Muestreo


Cambio de sistema de referencia

u1

u2

u′1

u′2

a1

a2

a′1

a′2

xx

ai a′i

1 2 1 2ii



Muestreo


Multiples representaciones de un vector

El mismo vector x tiene distintas representaciones:

x = [a1, a2]T si se usa base u1,u2x = [a′1, a

′2]T si se usa base u′1,u′2

. . .

Multiples representaciones

El mismo vector x tiene distintas representaciones, dependiendo dela base utilizada

Sıntesis a partir de componentes:

x =∑i

aiui

Analisis a partir del vector y la base

ai =〈ui , x〉‖ui‖2



Muestreo


Extension del concepto a funciones

Igual que para vectores, una funcion tiene diferentesrepresentaciones, dependiendo de la base utilizada.

Series generalizadas de Fourier

Sıntesis x(t) =∑k

ckuk(t)

Analisis ck =〈uk(t), x(t)〉‖uk(t)‖2

Analisis de Fourier: base compuesta por exponencialescomplejas

Wavelets proveen otras bases

De moda: bases dispersas



Muestreo


Analisis de Fourier

Herramienta Tiempo Espectro

tiempo periodo frecuencia periodo

Series continuo periodica discreta aperiodica

Transformada continuo aperiodica continua aperiodica

Series discreto periodica discreta periodica

Transformada discreto aperiodica continua periodica

periodico ←→ discretoaperiodico ←→ continuo



Muestreo


Base funcional en el analisis de Fourier

Herramienta base funcional

Series en tiempo continuo e jkΩ0t k ∈ Z, t ∈ IRPeriodo Tp = 2π

Ω0

Transformada en tiempo continuo e jΩt Ω ∈ IR, t ∈ IR

Series en tiempo discreto e j2πk(1/N)n k ∈ Z, n ∈ ZPeriodo N

Transformada en tiempo discreto e jωn n ∈ Z, ω ∈ IR



Muestreo


Sıntesis y analisis

Herramienta Sıntesis / Trans. Inversa Analisis / Trans. DirectaSeriestiempocontinuo

x(t) =∞∑

k=−∞cke

jΩ0kt ck =1

Tp

∫ t0+Tp

t0

x(t)e−jΩ0kt dt

t ∈ [0,Tp] k = −∞ . . .∞Transformadatiempocontinuo

x(t) =1

2π

∫ ∞−∞

X (Ω)e jΩt dΩ X (Ω) =

∫ ∞−∞

x(t)e−jΩt dt

t ∈ [−∞,∞] Ω = −∞ . . .∞Seriestiempodiscreto

x(n) =N−1∑k=0

ckej2πkn/N ck =

1

N

N−1∑n=0

x(n)e−j2πkn/N

n = 0 . . .N − 1 k = 0, 1, . . . ,N − 1Transformadatiempodiscreto

x(n) =1

2π

∫ π

−πX (ω)e jωn dω X (ω) =

∞∑n=−∞

x(n)e−jωn

n = −∞ . . .∞ ω ∈ [−π, π]



Muestreo


Transformada Discreta de Fourier

Senales discretas aperiodicas espectro periodico continuo

Transformada Discreta de Fourier (TDF o DFT)

Senales discretas aperiodicas espectro periodico discreto

DFT permite utilizar medios digitales para procesamiento espectral.



Muestreo


¿Como se obtiene DFT?

Dos enfoques:

1 Discretizacion del espectro por muestreo

2 Continuacion periodica de la senal

ambas condiciones son mutuamente dependientes.



Muestreo


DFT

La transformada discreta de Fourier DFT:

X (k) =N−1∑n=0

x(n)e−j2πkn/N , k = 0, 1, . . . ,N − 1

La transformada discreta de Fourier inversa (IDFT):

x(n) =1

N

N−1∑k=0

X (k)e j2πkn/N , n = 0, 1, . . . ,N − 1



Muestreo


Transformada de Fourier enmultiples dimensiones



Muestreo


Definicion de producto interno

En caso de una dimension:

〈f (x), g(x)〉 =

∫ ∞−∞

f ∗(x)g(x) dx∫ ∞−∞|f (x)|2 dx = 〈f (x), f (x)〉 = ‖f (x)‖2

2 <∞

Generalizacion a w dimensiones:

〈f (x), g(x)〉 =

∫ ∞−∞

f ∗(x)g(x) dwx∫ ∞−∞|f (x)|2 dwx = 〈f (x), f (x)〉 = ‖f (x)‖2

2 <∞



Muestreo


Base bidimensional

Funciones exponenciales complejas armonicamenterelacionadas en dos dimensiones:

εk,l(x , y) = e j(kΩx 0x+lΩy 0y) = e j2π(kFx 0x+lFy 0y) k , l = 0,±1,±2, . . .

Estas funciones son separables, en el sentido de que

εk,l(x , y) = εk(x)εl(y) = e jkΩx 0xe jlΩy 0y

Estas funciones son ortogonales entre sı



Muestreo


Herramientas de analisis de Fourier (1)Caso de dos dimensiones

Serie de Fourier continua

u(x , y) =∞∑

l=−∞

∞∑k=−∞

ck,lej(kΩx 0x+lΩy 0y)

ck,l =1

SxSy

∫ y0+Sy

y0

∫ x0+Sx

x0

e−j(kΩx 0x+lΩy 0y)u(x , y) dx dy



Muestreo



Serie de Fourier discreta

u(n,m) =M−1∑l=0

N−1∑k=0

ck,lej2π(kn/N+lm/M)

ck,l =1

NM

M−1∑m=0

N−1∑n=0

u(n,m)e−j2π(kn/N+lm/M)

0 ≤ k < N, 0 ≤ l < M



Muestreo



Transformada de Fourier

U(Ωx ,Ωy ) =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

u(x , y)e−j(Ωxx+Ωyy) dx dy

u(x , y) =1

4π2

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

U(Ωx ,Ωy )e j(Ωxx+Ωyy) dΩx dΩy

Transformada de Fourier de senales discretas

U(ωx , ωy ) =∞∑

m=−∞

∞∑n=−∞

u(n,m)e−j(ωxn+ωym)

u(n,m) =1

4π2

∫ π

−π

∫ π

−πU(ωx , ωy )e j(ωxn+ωym) dωx dωy



Muestreo



Transformada discreta de Fourier (DFT)

U(k , l) =M−1∑m=0

N−1∑n=0


0 ≤ k < N, 0 ≤ l < M

u(n,m) =1

NM

M−1∑l=0

N−1∑k=0

U(k, l)e j2π(kn/N+lm/M)

0 ≤ n < N, 0 ≤ m < M



Muestreo


Separabilidad de DFT

DFT-2D es separable

U(k, l) =M−1∑m=0

N−1∑n=0


=M−1∑m=0

N−1∑n=0

u(n,m)e−j2π(kn/N)e−j2π(lm/M)

=M−1∑m=0

e−j2π(lm/M)N−1∑n=0

u(n,m)e−j2π(kn/N)

Primero DFT-1D de cada fila

Segundo DFT-1D de cada columna de resultado anterior



Muestreo

Muestreo

(Gonzalez y Woods, 2008)



Muestreo

Patrones de Moire

Productos de interferencia espectral



Muestreo

Resumen

1 Senales sinusoidales y el concepto de frecuenciaSenal sinusoidal continuaSenal sinusoidal discretaFrecuencia temporalFrecuencia espacial

2 Analisis de FourierEspacios funcionalesAnalisis unidimensionalAnalisis bidimensional

3 Muestreo



Muestreo

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© 2005-2017 Pablo Alvarado-Moya Area de Ingenierıa en Computadores Instituto Tecnologico de Costa Rica


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