La Integral indefinida (Antiderivadas)
Def. Sea f: [a, b] IR una funcin continua .
Una funcin F se denomina antiderivada (o primitiva ) de la funcin f, sobre un intervalo [a , b] , si
i. F es derivable sobre ]a, b[.ii. x ] a, b [, F '(x) = f(x) .
1
Notas.-1.- Si F es una primitiva de una funcin f sobre [ a, b], entonces cualquier otra primitiva G de f sobre [ a, b] verifica
x [ a, b ] , G(x) = F(x) + C,
donde C es una constante real.
Se dice que F(x) + C es Integral Indefinida de f(x)
2.- Al proceso de encontrar Antiderivada se llamaAntiderivacin o Integracin.
2
Ejemplo.
Si ( )f x 1
xx, entonces ( )F x 2 x
x2
2 es una primitiva de
( )f x .
Luego, ( )G x 2 xx2
2C es integral indefinida (o
antiderivada general) de f(x)
3
Integral Indefinida
La Integral Indefinida de f(x) se denota con d ( )f x x .
Esto es, si F es una antiderivada de f entonces
d ( )f x x = F(x) + C
Notas- La funcin f(x) se denomina integrando .- La constante C se denomina constante de integracin.
4
Ejemplos.
1.- d
1 x = x + C
2.- d
5 x3 x =
5 x4
4 + C
3 .- d
sec2 x x = tan(x) + C.
4.- d
3 u u = 2 u
32
+ C .
5. d
3 x2 x = x3 + C
5
Ejer.
Encontrar una funcin derivable F(x) tal que F'(x) = 3 x2 y( )F 1 3
Sol.- F(x) = x3+C
6
7
Tabla Bsica de Integrales
1) d
1 x x C 2) d
x x
x2
2C
3) d
x x
2 x3/2
3C 4) d
x
n x x( )n 1
n 1C , n 1
5) d
1x
x ln x C 6) d
e
x x ex C
7) d
( )sin x x ( )cos x C 8) d
( )cos x x ( )sin x C
9) d
( )sec x
2 x ( )tan x C 10) d ( )sec x ( )tan x x ( )sec x C
11) d
1
1 x2x ( )Arcsin x C 12) d
1
1 x2x ( )Arctan x C
8
Teorema (Reglas Bsicas de Integracin).
Sean f, g funciones continuas sobre un intervalo I, y sean, IR entonces :
(a) d
( )f x x = d
( )f x x
(b) d ( )f x ( )g x x = d
( )f x x + d
( )g x x
9
Ejemplos.
1.- d
x2 3 x 4 ex x 2.- d
x2 3 x 1
x4x
32
x
3.- Si F(x) = d
1
x4x
x, halle F de tal manera que F(1)=1
4.- Hallar una funcin f(x) tal que f '(x) = 3 x2 1 y f(2) = 6
10
Ejercicios.
I) Calcule cada una de las siguientes integrales indefinidas
1.- d
( )cos x 3 x4 x 2.- d
( )csc 2
3.- d
( )sin x( )cos x 2
x 4.- d
( )x x x x
5.- d
( )x
2 12
x 6.- d
2 ( )x x
2 13
x
11
II) (ejercicios de aplicacin)1.- Encontrar una funcin f tal que:
f ''(x) = x + cos(x)
f(0) = 1 y f '(0) = 2
2.- La tangente a la grfica de una funcin f en un punto (x,y) tiene pendiente
( )m x 4 x3 5. Si se sabe que f(1) = 2, encontrar f.
3.- Los frenos de un automvil producen una desaceleracin constante de 7m/
seg2.
Si el automvil viaja a 35 mts/seg (126 km/hr) que trayecto recorre el automvil antes de detenerse completamente? .
12
Teorema (Sustitucin)
Si f y gson funciones continuas, para evaluar la integral indefinida
d ( )f ( )g t ( )g t t
se realiza el cambio de variable u = g(t) , y se obtiene
d
( )f ( )g t ( )g t t = d
( )f u u
en donde du = g(t) dt
13
Ejemplo.
a) d
x 4 x2 x b) Calcular d
x
4 x2x
14
Ejercicios
(a) d
2 x ( )x
2 14
x (b) d
z 1
( ) 3 z2 6 z 51/3 z
c) d ( )sin x ( )cos x x (d) d
( )sin x 9 x
(e) d
1
x3
81/3 x (f ) d
3 x2 x3 12
x
15
g) d
ln2 xx
x h) d
xx 1
x
i) d
16 x ( )sin 2 x
2 12
( )cos 2 x2 1 x
16
Integracin por partes
Si f y g son funciones continuas en un intervalo I, entonces
d ( )f x ( )g x x = ( )f x ( )g x d
( )g x ( )f x x
_________________Usando notacin diferencial la fmula de integracin por parte se puede escribir
d
u v = u v dv u
17
Ejemplos.
a) d
x ( )sin x x g) d
( )Arcsin x x
b) d
x
2 ( )cos 2 x x h ) d ( )Arctan x x
c) dln x x ? i) d
e
x sin x x
d) d
x e
x x j) dx lnx x
f) d
lnx
x3x k) d
x3 e( )x2
x
18
19
Top Related