Grupo de Radiofrecuencia, UC3MTema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Microondas-3- 1
Capítulo 3:Herramientas para el análisis de líneas de
transmisión: Carta de Smith
En el presente capítulo se va presentar la carta de Smith que constituye una herramienta básica en el análisis y diseño de
cualquier circuito de microondas.El fundamento de la carta de Smith es la transformación de
impedancias y coeficientes de reflexión haciendo uso de una representación polar en el plano de los coeficientes de reflexión. De esta forma se obtiene una representación acotada del conjunto de todas las impedancias pasivas
existentes.
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Microondas-3- 2
ECUACIONES DE PROPAGACIÓN EN UNA LÍNEA
Dada una línea de transmisión:
i(z,t)
v(z,t)
∆z
z
Se puede obtener un modelo circuital equivalente de la misma…
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Microondas-3- 3
∆z
i(z,t)
v(z,t)
R∆z L∆z
G∆z C∆z v(z+ ∆z,t)
i(z + ∆z,t)
R = resistencia en serie por unidad de longitud, Ω/m
L = inductancia en serie por unidad de longitud, H/m
G = conductancia en paralelo por unidad de longitud, S/m
C = capacidad por unidad de longitud, F/m
ECUACIONES DE PROPAGACIÓN EN UNA LÍNEA
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Microondas-3- 4
Ecuación del telegrafista
Por las leyes de Kirchhoff:
( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,, =∆+−∂
∂⋅∆− tzzv
ttzitzizRtzv
( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,, =∆+−∂
∂∆−∆+⋅∆− tzzv
ttzizCtzzVzGtzi
∆z 0
( ) ( )t
tziLtziRt
tzv∂
∂⋅−⋅−=
∂∂ ,),(, ( ) ( )
ttzvCtzvG
ttzi
∂∂⋅−⋅−=
∂∂ ,),(,
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Microondas-3- 5
( ) ( ) ( )zIjwLRdz
zdV⋅+−=
( ) ( ) ( )zVjwCGdz
zdI⋅+−=
Similitud con las ecuaciones de Maxwell
( ) ( ) 022
=− zVdz
zVd γ
( ) ( ) 022
=− zIdz
zId γ( ) ( )jwCGjwLRj +⋅+=+= βαγ
CONSTANTE DE PROPAGACIÓN
Ecuación del telegrafista
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( ) zo
zo eVeVzV γγ ⋅+⋅= −−+
( ) zo
zo eIeIzI γγ ⋅+⋅= −−+
( ) [ ]zo
zo eVeV
jwLRzI γγγ
⋅−⋅+
= −−+
jwCGjwLRjwLRZo +
+=
+=
γ
o
oo
o
o
IVZ
IV
−
−
+
+
−==
( ) z
o
oz
o
o eZ
VeZ
VzI γγ ⋅−⋅=−
−+
Ecuación de propagación
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( ) ( )( ) z
o
zo
ezwtV
ezwtVtzVα
α
φβ
φβ
⋅+−⋅
+⋅+−⋅=−−
−++
cos
cos,
βπλ 2
= fwvp ⋅== λβ
Ecuación de propagación
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Línea sin pérdidas
LCjwj =+= βαγ LCw=β
0=α CLZo =
( ) z
o
oz
o
o eZ
VeZ
VzI ββ ⋅−⋅=−
−+
( ) zo
zo eVeVzV ββ ⋅+⋅= −−+
LCwπ
βπλ 22==
LCwvp
1==
β
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Línea cargada
i(z,t)
v(z,t) z
0l
ZLZo,β
( ) z
o
oz
o
o eZ
VeZ
VzI ββ ⋅−⋅=−
−+
( ) zo
zo eVeVzV ββ ⋅+⋅= −−+
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( )( ) o
oo
ooL Z
VVVV
IVZ −+
−+
−+
==00
o
oL
oLo V
ZZZZV +−
+−
=
oL
oL
o
o
ZZZZ
VV
+−
==Γ +
−
( ) [ ]zjzjo eeVzV ββ ⋅Γ+= −+
( ) [ ]zjzj
o
o eeZ
VzI ββ ⋅Γ−= −+
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( )201
21
Γ−=+
oav Z
VP Pérdidas de retorno:
( )Γ⋅−= log20RL dB
( )( )lj
o
ljo
zjo
eV
eVeVzVβθ
ββ
2
22
1
11−+
−++
⋅Γ+⋅
=⋅Γ+⋅=⋅Γ+⋅=
( )Γ+= + 1max oVV
( )Γ−= + 1min oVV
Γ−Γ+
===11
min
max
VVSWRROE
∞<< SWR1
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( ) ( ) ljlj
o
ljo e
eVeVl β
β
β20 −
+
−−
Γ=⋅⋅
=Γ COEFICIENTE DE REFLEXIÓNEN EL RESTO DE LA LÍNEA
( )( )
( )( )ljZZ
ljZZZZee
lVlVZ
Lo
oLoolj
lj
in ββ
β
β
tantan
11
2
2
++
=Γ−Γ+
=−
= −
−
Ejemplos de casos particulares…
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Línea cortocircuitada
i(z,t)
v(z,t) z
0l
Zo,β
( ) [ ] ( )zsenjVeeVzV ozjzj
o βββ ⋅−=−= +−+ 2
( ) [ ] ( )zZVee
ZVzI ozjzjo βββ cos2
00
⋅=+=+
−+
( )ljZZ oin βtan=
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Línea en circuito abierto
i(z,t)
v(z,t) z
0l
Zo,β
( ) [ ] ( )zVeeVzV ozz
o βββ cos2 ⋅=+= +−+
( ) [ ] ( )zsenZjVee
ZVzI ozzo βββ ⋅=−=
+−
+
00
2
( )ljZZ oin βcot−=
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Línea λ/2
i(z,t)
v(z,t) z
0l
Zo,β
Lin ZZ =
ZL
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Línea λ/4
i(z,t)
v(z,t) z
0l
Zo,β
L
oin Z
ZZ2
=
ZL
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Línea acoplada a otra línea
Zo Z1
Γ T
o
o
ZZZZ
+−
=Γ1
1( ) [ ]zjzj
o eeVzV ββ ⋅Γ+= −+
( ) zjoTeVzV β−+= z>0
z<0
z0
oZZZT+
=Γ+=1
121
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Carta de Smith
Biyección
Re(Γ)
Im(Γ)
2 familias de rectas perpendiculares 2 familias de circunferenciasperpendiculares
r
x
11
+−
=+−
=ΓL
L
oL
oLL Z
ZZZZZ
L
LLZ
Γ−Γ+
=11
Correspondenciabiunívoca
Plano complejo de impedancias.Representación cartesiana.
Plano semiinfinito.
Plano complejo de coeficientes ΓL.Representación polar.
Plano limitado por la circunferencia | ΓL|=1.
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Carta de Smith
( ) oZlZΓ−Γ+
=11 ( ) ( ) jxr
ZlZlZo
+==
ljLejvuw β2−Γ=+=
11
+−
=+−
=ΓL
L
oL
oLL Z
ZZZZZ )(1
)(1jvujvujxr
+−++
=+
( )( )
2
22
22
11
vuvur+−+−
=
( ) 2212
vuvx+−
=
( )22
2
11
1 rv
rru
+=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
( ) 2
22 111
xxvu =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−
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( )22
2
11
1 rv
rru
+=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+− Familia de circunferencias
con r como parámetro
rRadio
Centro
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
11
0,r1
r
r=0
u
v
(1,0)(0,0)
r=1
r=∞
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Familia de circunferencias con x como parámetro
xRadio
xCentro
1
1,1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
u
v
(1,0)(0,0)
( ) 2
22 111
xxvu =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−
x=0
x=1
x=-1
x=2
x=-2
x=0.5
x=-0.5
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¿Significado del sentidodel movimiento en la carta?
Sentido horario:hacia generadorSentido antihorario:hacia la carga
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Ejercicios de la carta de Smith
Adaptadores simples Stub simple Doble stub
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Adaptadores simples
jX
ZL = 50 +j10Zo = 70
d
Encontrar la posición y el valor de la reactancia para conseguiradaptación en la línea…
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Microondas-3- 27
142.0714.0 jZZZ
o
LL +==
Solución A:
Azimut = 0.141 λ
Impedancia vista = 1 + j0.38
d = (0.141-0.043)λ = 0.098 λ
Solución B:
Azimut = 0.359 λ
Impedancia vista = 1 - j0.38
d = (0.359-0.043)λ = 0.316 λ
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Stub simple
YL = 0.4 + j1.35Zo
d
l
jB
Encontrar l y d para conseguir adaptación en la línea…
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Microondas-3- 30
Solución A: Azimut = 0.193 λ
d = (0.193-0.153)λ = 0.04 λ
Solución B:Azimut = 0.307 λ
d = (0.307-0.153)λ = 0.154 λ
Admitancia vista = 1 + j2.3
Admitancia vista = 1 - j2.3
Azimut de -j2.3 = 0.315 λ
Azimut de j2.3 = 0.185 λ
l = (0.315 – 0.25) λ = 0.065 λ
l = (0.25 + 0.185) λ = 0.435 λ
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Doble stub
ZrZo
l1
jB1
l2
jB2
λ/4
Zo
Zo
Zo = 200 Ω
SWR = 6.5
Dmin voltaje a la carga = 0.168 λ
Zr ??
l1 y l2 para adaptación de la línea ??
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Desplazándose 0.168 λ hacia la carga:
Zr = Zo(0.6 – j1.6) = 120 – j320 Ω
Solución A:
Yr = 0.21 + j 0.41
Solución B:
Yr = 0.21 - j 0.41
Admitancia del stub = j0.41 – j0.55 = -j 0.14
Yr = 0.21 + j0.55
l1 = (0.478-0.25) λ = 0.228 λ
Azimut de –j0.14 = 0.478 λ
Admitancia del stub = -j0.41 – j0.55 = -j 0.96
l1 = (0.379-0.25) λ = 0.129 λ
Azimut de –j0.96 = 0.379 λ
Yin = 1 – j1.95 Yin = 1 + j1.95Azimut de j1.95 = 0.174 λ
l = (0.25 + 0.174) λ = 0.424 λ
Azimut de -j1.95 = 0.326 λ
l = (0.326 – 0.25) λ = 0.076 λ
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Criterio de Bode-Fano
La demostración del criterio es muy compleja:
H. W. Bode, Network Analysis and Feedback Amplifier Design, NY, 1945.
R. M. Fano, Theeoritical limitations on the broad band matching of arbitraryimpedances, Journal of the Franklin Institute, vol. 249, pp. 57-83, January 1950,
and pp. 139-154 February 1950.
¿Se puede conseguir una adaptación perfecta para un ancho de banda especificado?
Si no se puede, ¿cuál es la relación entre el máximo coeficiente de reflexiónque nos podemos permitir en la línea y el ancho de banda?
¿Se puede evaluar la complejidad de la red de adaptación?
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( ) RCdw
wπ
≤Γ∫
∞
0
1ln
∆ww
Módulo Γ
Γm
RCw
m
π≤
Γ∆
1ln
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Microondas-3- 36
Para una carga dada, se puede conseguir un ancho de banda elevado a expensas
de aumentar el coeficiente de reflexión….
El coeficiente de reflexión sólo puede ser ceroa frecuencias discretas….
Circuitos con Q mayor son más difíciles deadaptar que los de Q menor:
(Q alta equivale a valores de R y/o C altos)
Principales conclusiones del criterio de Bode-Fano
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Microondas-3- 37
Teoría de reflexiones múltiples
Zo Z1
Γ T
z0
Γ1 T1 Γ3
RL
Γ2
o
o
ZZZZ
+−
=Γ1
11
1210
10 Γ−=+−
=ΓZZZZ 1
13ZRZR
L
L
+−
=ΓoZZ
ZT+
=Γ+=1
12111
o
o
ZZZT+
=1
22
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Microondas-3- 38
( )n
nTT
TTTTTT
∑∞
=
ΓΓ−Γ−Γ=
=+ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ=Γ
0323211
33
22
2132
2213211 ...
Serie geométrica
( )( )( )11
12
32
3213211 21 ZRZZ
RZZTT
Lo
Lo
++−
=ΓΓ+
Γ−ΓΓΓ+Γ=Γ
Recordar adaptador de λ/4…
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Microondas-3- 39
Desadaptación de la carga y del generador
i(z,t)
v(z,t) z
0
Zo,β ZLVg
ZG
Zin
-l
ΓlΓG
( ) [ ]gin
inljljo
ZZZVgeeVlV+
=⋅Γ+=− −+ ββ
ljgl
lj
gin
oo
ee
ZZZVgV β
β
21 −
−+
ΓΓ−+=
og
ogg ZZ
ZZ+
−=Γ
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Microondas-3- 40
( ) ( )222
2*
21
1Re21Re
21
gingin
in
in
inin
XXRRRVg
ZVgIVP
+++
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
== Potencia entregada a la carga
Carga adaptada
( ) ( )222
21
ggo
o
XRZZVgP++
=
Generador adaptado
( )22
421
gg
g
XRR
VgP+
=
Adaptación compleja
gRVgP
41
21 2=
gin ZZ *=
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Microondas-3- 41
Línea de transmisión con pérdidas
( ) ( )jwCGjwLRj +⋅+=+= βαγ
wCGwLR
<<<< ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+≅ o
o
GZZR
21α
LCw≅βCLZo ≅
Línea de HeavisideCG
LR= L
CR=α
LCw=β
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Microondas-3- 42
( ) [ ]zzo eeVzV γγ ⋅Γ+= −+ ( ) [ ]zz
o
o eeZ
VzI γγ ⋅Γ−= −+
( )( )
( )( )lZZ
lZZZlVlVZ
Lo
oLoin γ
γtanhtanh
++
=−
=
( )[ ] l
oin el
ZV
P α22
20
12
Γ−=+
[ ]2
2
12
Γ−=+
o
o
L ZV
P
( ) ( )[ ]ll
oLinloss ee
ZV
PPP αα 222
20
112
−Γ+−=−=+
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