2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 1 -
1 Para g(x) = e1− x + L(x + 2), calcule g´(1). (Propuesto PAU Andalucía 2007) Solución
1 x 1 x 1 11 1 1 1 2g´(x) e ( 1) 1 e g´(1) e 1
x 2 x 2 1 2 3 3
2 Calcule g´(3), siendo g(x) = 2x ⋅ e3x−1. (Propuesto PAU Andalucía 2007) Solución
3x 1 3x 1 3x 1 3.3 1 8g´(x) 2e 2xe 3 e (2 6x) g´(3) e (2 6.3) 20e
3 Calcule la derivada de las siguientes funciones: 2
3g(x) L(1 x)
(2x 5)
x
3
eh(x)
x 1
(Propuesto PAU Andalucía 2007) Solución
2
4 4 3
0.(2x 5) 3.2(2x 5)2 1 12(2x 5) 1 12 1g´(x) ( 1) g´(x)
1 x 1 x 1 x(2x 5) (2x 5) (2x 5)
x 3 x 2 x 3 2 x 3 2
3 2 3 2 3 2
e .(x 1) e 3x e .(x 1 3x ) e .(x 3x 1)h´(x) h´(x)
(x 1) (x 1) (x 1)
4 Calcule la función derivada de 2x
2 2
ef(x)
( x 2)
. (Propuesto PAU Andalucía 2011)
Solución
2x 2 2 2x 2 2x 2 2 2x 2
2 4 2 4 2 3
e ( 2)( x 2) e 2( x 2)( 2x) 2e ( x 2)[ ( x 2) ( 2x)] 2e (x 2x 2)f´(x) f´(x)
( x 2) ( x 2) ( x 2)
5 Calcule las derivadas de las siguientes funciones: 2
2
2 5x 1 2xf(x)
3 x
g(x) = (3x+2)2 ln(1 + x2)
(Propuesto PAU Andalucía 2010) Solución
2 22
2 4 4 3
1 1 2x 1 2.x (1 2x)2x 50x 20 2x 2x 50x 20 2x 2f(x) (2 5x) f´(x) 2(2 5x)( 5) f´(x)
9 9 9 9x x x x
22 2 2
2 2
1 6x 4xg´(x) 2(3x 2)3 ln(1 x ) (3x 2) .2x g´(x) (3x 2) 6 ln(1 x )
1 x 1 x
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 2 -
6 Sea la función 2
x k, si x 0
x 1f(x)
x 2x 1 , si x 0
. Calcule el valor de k para que la función f sea continua
en x = 0. Para ese valor de k , ¿es f derivable en x = 0? (Propuesto PAU Andalucía 2007) Solución
x 0x 0
2
x 0 x 0
22
x klim f(x) lim k
x 1
a) D(f) R y f es continua para x 0. Además lim f(x) lim (x 2x 1) 1
f(0) 1
Para que sea continua en x 0 debe ser k 1 k 1
x 11 , si x 0, si x 0
x 1Para k 1, f(x)x 2
x 2x 1, si x 0
x 0
x 0
.x 1, si x 0
lim f´(x) 00 , si x 0
Para x 0, f´(x) No coinciden las derivadas laterales. no es derivable en x 02x 2, si x 0 lim f´(x) 2
7 Sea la función x
2
3 , si x 1f(x)
x 6x 8 , si x 1
Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función f. (Propuesto PAU Andalucía 2009) Solución
x
x
x 1 x 1
2
x 1x 1
1
x
x 1 x 1
3 .ln(3) , si x 1Para x 1, f es derivable (y, por tanto, también continua). Además, f´(x)
2x 6 , si x 1
lim f(x) lim 3 3
lim f(x) lim (x 6x 8) 3 f es continua en x 1
f(1) 3 3
lim f´(x) lim (3 .ln
x 1x 1
(3)) 3.ln(3)
No coinciden las derivadas laterales en x 1lim f´(x) lim (2x 6) 4
Luego, f no es derivable en x 1
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 3 -
8 Sea la función
2x 4x a , si x 2f(x) 1
, si x 2x 1
. Calcule el valor de a para que la función sea continua
en x = 2. Para ese valor de a obtenido, ¿es derivable la función en x = 2? (Propuesto PAU Andalucía 2016)
Solución
2
x 2 x 2
x 2x 2
x 2 x 2
2x 2x 2
lim f(x) lim (x 4x a) a 4
1lim f(x) lim 1 Para que sea continua en x 2, a 4 1 a 5
x 1
1f(2) 1
2 1
lim f´(x) lim (2x 4) 02x 4 , si x 2
Para x 2, f´(x) 1, si x 2 lim f´(x) lim
(x 1)
2
no coinciden las derivadas laterales.11
(x 1)
Luego, f no es derivable en x 2
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 4 -
9 Se considera la siguiente función: 2
x 2, si x 1
x
f(x) x a , si 1 x 1
x 2, si 1 x
x
Halle los valores de a para los que f es continua y derivable. (Propuesto PAU Andalucía 2002) Solución
2 2
2 2
x 1 x 1
2
x 1x 1
1.x (x 2).1 2, si x 1 , si x 1
x x
Para x 1, x 1, f´(x) 2x , si 1 x 1 2x , si 1 x 1
1.x (x 2).1 2, si 1 x , si 1 x
x x
x 2lim f(x) lim 3
x
lim f(x) lim ( x a) 1 a Para q
f( 1) 1 a
2x 1 x 1
x 1x 1
2
x 1 x 1
x 1x 1
ue sea continua en x 1 debe ser 3 1 a a 4
2lim f´(x) lim 2
x coinciden las derivadas lateraleslim f´(x) lim ( 2x) 2
lim f(x) lim ( x a) 1 a
x 2lim f(x) lim 3 Para
x
f(1) 3
x 1 x 1
2x 1x 1
que sea continua en x 1 debe ser 3 1 a a 4
lim f´(x) lim ( 2x) 2
coinciden las derivadas laterales2lim f´(x) lim 2
x
Por tanto, a 4
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 5 -
10 Sea la función f: R → R definida por x
2
2 , si x 1f(x)
x mx 5 , si x 1
a) Calcule m para que la función sea continua en x = 1. b) Para ese valor de m, ¿es derivable la función en x = 1?
(Propuesto PAU Andalucía 2007) Solución
x
x 1 x 1
2
x 1x 1
x x
2
x 1
lim f(x) lim 2 2
a) lim f(x) lim (x mx 5) m 6 Para que sea continua en x 1 debe ser 2 m 6 m 4
f(1) 2
2 , si x 1 2 ln(2) , si x 1b) Para m 4, f(x) . Para x 1, f´(x)
2x 4 , si x 1x 4x 5, si x 1
lim
x 1
f´(x) 2 ln(2)
No coinciden las derivadas laterales. no es derivable en x 1lim f´(x) 2
11 Sea la función
x2 , si x 1f(x) 2
, si x 1x
Estudie la continuidad y la derivabilidad de f. (Propuesto PAU Andalucía 2005) Solución
x
2
x
x 1 x 1
x 1x 1
x
x 1 x 1
2 ln(2) , si x 1
Para x 1, f es derivable (y, por tanto, también continua). Además, f´(x) 2, si x 1
x
lim f(x) lim 2 2
2lim f(x) lim 2 f es continua en x 1
x
2f(1) 2
1
lim f´(x) lim 2 ln(2) 2ln(
2x 1x 1
2)
no coinciden las derivadas laterales en x 1 no es derivable en x 12
lim f´(x) lim 2x
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 6 -
12 Sea la función 2
4x 3 , si x 1
f(x) 2x 1 , si 1 x 1
k 2, si x 1
x
Calcule el valor que debe tomar el parámetro k para que la función sea continua en R y estudie su derivabilidad para el valor de k obtenido. (Propuesto PAU Andalucía 2003)
Solución
x 1 x 1
x 1 x 1
Como f es continua si x 1, x 1, para que sea continua en R debe ser continua en x 1 y en x 1
lim f(x) 1 lim f(x) 1
En x 1 lim f(x) 1 es continua En x 1 lim f(x) k 2 debe ser k 2 1 k 1
f( 1) 1 f(1) k 2
P
2
2
x 1 x 1
x 1
4x 3 , si x 1
ara k 1, f(x) 2x 1 , si 1 x 1.Observamos que
1, si x 1
x
4 , si x 1
si x 1 y 1, f es derivable y f´(x) 4x , si 1 x 1.
1, si x 1
x
lim f´(x) 4 lim
En x 1 es derivable En x 1lim f´(x) 4
x 1
f´(x) 4
no es derivablelim f´(x) 1
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 7 -
13 Estudie la continuidad y la derivabilidad de
2
x 4 , si x 0
4f(x) , si 2 x 4
x
x 4x 1 , si x 4
.
(Propuesto PAU Andalucía 2011) Solución
2
x 4 x 4
2
x 4x 4
2
x 4 x
1 , si x 0
4Para x 4, f es derivable (y, por tanto, continua) y f´(x) , si 2 x 4
x
2x 4 , si x 4
4lim f(x) lim 1
x
En x 4 : lim f(x) lim (x 4x 1) 1 f es continua en x 4
f(4) 4 4.4 1 1
lim f´(x) lim
24
x 4x 4
4 1
4x no coinciden las derivadas laterales en x 4lim f´(x) lim (2x 4) 4
Luego, f no es derivable en x 4.
14 Se considera la función f, definida a trozos por la expresión 2x x 6 , si x 2
f(x)x 2 , si x 2
Analice la derivabilidad de la función. (Propuesto PAU Andalucía 2015)
Solución
2, ,
2 1, 2, 2 (́ )
1, 2
Para x f es derivable porque se compone de funciones polinómicas que son derivables
x si xAdemás para x f x
si x
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2.
lim ( ) lim ( x 6) 4
; (2) 4 2. ,lim ( ) lim (x 2) 4
lim (́ ) lim ( 2 1) 3
lim (́ ) lim 1 1
x x
x x
x x
x x
Estudio de la derivabilidad en x
f x x
f f es continua en x Luego f es continua en Rf x
f x x
f NO es derif x
2vable en x porque no coinciden las derivadas laterales
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 8 -
15 Sea la función
2(x 1) , si x 0
1f(x) , si 0 x 2
x
x, si x 2
4
. Estudie la continuidad y derivabilidad.
(Propuesto PAU Andalucía 2003) Solución
2
2
x 0 x 0
x 0 x 0
2(x 1) , si x 0
1Si x 0 y x 2, f es derivable (y por tanto, continua) y f´(x) , si 0 x 2
x
1, si x 2
4
lim f(x) lim (x 1) 1
Para x 0, no es continua (y, por tanto, tampoco derivable)1
lim f(x) limx
Para
x 2 x 2
x 2x 2
2x 2 x 2
x 2x 2
1 1lim f(x) lim
x 2
x 1x 2, lim f(x) lim es continua
4 2
2 1f(2)
4 2
1 1lim f´(x) lim
4xno coinciden las derivadas laterales
x 1lim f´(x) lim
4 2
Luego, f no es derivable en x 2
16 Sea la función 2
1(x 12) , si x 1
2f(x)
x (x 1) , si x 1
. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica
de la función f(x) en el punto de abscisa x = –2. (Propuesto PAU Andalucía 2015) Solución
0 0 0 0tan : (́ ).( ) ( )La ecuación de la recta gente en x es y f x x x f x
0 0 0
2 12 1 1, 2 , ( ) ( 2) 7. 1, (́ ) , (́ ) (́ 2)
2 2 2
En este caso x f x f Como para x f x f x f
1 1tan : .( 2) 7 : 6
2 2 tgLa ecuación de la recta gente es y x r y x
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 9 -
17 Sea la función x
2
3 , si x 1f(x)
x 6x 8 , si x 1
. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de
la función f en el punto de abscisa x = 3. (Propuesto PAU Andalucía 2009) Solución
0 0 0 0
20 0 0
tg
La ecuación de la recta tangente a f en x es : y f´(x ).(x x ) f(x )
En este caso, x 3 , f(x ) f(3) 3 6.3 8 1 ; f´(x ) f´(3) 2.3 6 0
La ecuación de la recta tangente a f en x 3 es : y 0.(x 3) 1 r : y 1
18 Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función
2
x 4 , si x 0
4f(x) , si 2 x 4
x
x 4x 1 , si x 4
en el
punto de abscisa x = 3. (Propuesto PAU Andalucía 2011) Solución
0 0 0 0
20 0 0
tg
La ecuación de la recta tangente a f en x es : y f´(x ).(x x ) f(x )
En este caso, x 3 , f(x ) f(3) 3 4.3 1 2 ; f´(x ) f´(3) 2.3 4 2
La ecuación de la recta tangente a f en x 3 es : y 2.(x 3) 2 r : y 2x 8
19 Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x3+x2+1 en el punto de abscisa x = 1. (Propuesto PAU Andalucía 2017)
Solución 2
0 0 0 0
0 0 0
tg
f´(x) 3x 2x. La ecuación de la recta tangente a f en x es : y f´(x ).(x x ) f(x )
En este caso, x 1 , f(x ) f(1) 3 ; f´(x ) f´(1) 5
La ecuación de la recta tangente a f en x 1 es : y 5.(x 1) 3 r : y 5x 2
20 Se considera la función f(x) = x3 – 2x2 + x a) Calcule los puntos de corte con los ejes. b) Obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f en los puntos de abscisas x = 0 y x = 1. (Propuesto PAU Andalucía 2015)
Solución
a) f(x) = 0 → x3 – 2x2 + x = 0 → x(x2 – 2x + 1) = 0 → x = 0 ; x = 1 .
Los puntos de corte con el eje X son (0, 0) y (1, 0)
El punto de corte con el eje Y es (0, f(0)) = (0, 0)
2) ´( ) 3x 4x 1 b f x
: (́ ).( ) ( ).
0 ( 0); f( ) f(0) 0; (́ ) (́0) 1 : 1.( 0) 0 :
tg
tg tg
r y f a x a f a
En x a a f a f r y x r y x
1 ( 1); f( ) f(1) 0; (́1) (́1) 0 : 0.( 1) 0 : 0tg tgEn x a a f f r y x r y
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 10 -
21 Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función x 2
g(x)x 1
en el punto de
abscisa x = 0. (Propuesto PAU Andalucía 2012) Solución
02 2
0 0 0 0 0 0
tg
1(x 1) (x 2).1 3f´(x) . La ecuación de la recta tangente a f en x es :
(x 1) (x 1)
y f´(x ).(x x ) f(x ). En este caso, x 0, f(x ) f(0) 2 ; f´(x ) f´(0) 3
La ecuación de la recta tangente a f en x 0 es : y 3.(x 0) 2 r : y 3x 2
22 Sea la función definida de la forma 2
2x, si x 2
x 1f(x)
2x 10x , si x 2
Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0. (Propuesto PAU Andalucía 2008)
Solución
2 2
0 0 0 0
0 0 0 2
2(x 1) 2x.1 2, si x 2 , si x 2
Para x 2, f´(x) (x 1) (x 1)
4x 10, si x 2 4x 10, si x 2
La ecuación de la recta tangente a f en x es : y f´(x ).(x x ) f(x ).
2.0 2En este caso, x 0 , f(x ) f(0) 0 ; f´(x ) f´(0)
0 1 (0 1)
tg
2
La ecuación de la recta tangente a f en x 0 es : y 2.(x 0) 0 r : y 2x
23 Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función x
g(x)x 2
en el punto de
abscisa x = 3. (Propuesto PAU Andalucía 2007) Solución
2 2
0 0 0 0
0 0 0 2
1(x 2) x.1 2c) Para x 2, g´(x)
(x 2) (x 2)
La ecuación de la recta tangente a g en x es : y g´(x ).(x x ) g(x ).
3 2En este caso, x 3, g(x ) g(0) 3 ; g´(x ) f´(0) 2
3 2 (3 2)
La ecuación de la recta tangente a g en x 3 es : y 2.(
tgx 3) 3 r : y 2x 9
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 11 -
24 Sea la función
x2 , si x 1f(x) 2
, si x 1x
. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f
en el punto de abscisa x = 2. (Propuesto PAU Andalucía 2005) Solución
0 0 0 0
0 0 0 2
tg
La ecuación de la recta tangente a f en x es : y f´(x ).(x x ) f(x ).
2 2 1En este caso, x 2 , f(x ) f(2) 1 ; f´(x ) f´(2)
2 22
1 1La ecuación de la recta tangente a f en x 2 es : y .(x 2) 1 r : y x 2
2 2
25 Sea la función f(x) = −2x3 + x – 1. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = − 1. (Propuesto PAU Andalucía 2014)
Solución
f´(x) = −6x2 + 1
0 0 0 0 0 0: (́ ).( ) ( ). En este caso, 1; f( ) f( 1) 0; (́ ) (́ 1) 5tgr y f x x x f x x x f x f
: 5.( 1) 0 : 5 5tg tgr y x r y x
26 Sea la función 2x 6x 1 , si x 2
f(x)2x 2 , si x 2
. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica
de la función en el punto de abscisa x = – 2. (Propuesto PAU Andalucía 2013) Solución
0 0 0 0
0 0 0
tg
2x 6 , si x 2Si x 2, f´(x) . La ecuación de la recta tangente a f en x es : y f´(x ).(x x ) f(x )
2 , si x 2
En este caso, x 1 , f(x ) f( 1) 8 , f´(x ) f´( 1) 8
La ecuación de la recta tangente a f en x 1 es : y 8.(x 1) 8 r : y 8x
27 Sea la función dada por
2x 2x , si x 2f(x) x 3
, si x 2x 1
. Determine la ecuación de la recta tangente a la
gráfica de la función f en el punto de abscisa x = 1. (Propuesto PAU Andalucía 2014) Solución
0 0 0 02
0 0 0
tg
2x 2, si x 2
Si x 2, f´(x) . La ecuación de la recta tangente a f en x es : y f´(x ).(x x ) f(x )4, si x 2
(x 1)
En este caso, x 1 , f(x ) f(1) 3 , f´(x ) f´(1) 4
La ecuación de la recta tangente a f en x 1 es : y 4.(x 1) 3 r : y 4x
1
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 12 -
28 Dada la función f(x) = 2x2 + ax + b, determine los valores de a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1, 3) y alcanza un extremo en x = – 2.
(Propuesto PAU Andalucía 2012) Solución
2La gráfica pasa por (1, 3) f(1) 3 2.1 a.1 b 3 a b 1f´(x) 4x a a 8 b 7
Alcanza un extremo en x 2 f´( 2) 0 4( 2) a 0 a 8
29 Halle los valores de a y b para que la función b
g(x) axx
tenga un extremo relativo en el
punto (1, 2). (Propuesto PAU Andalucía 2008) Solución
2
bObservamos que g´(x) a
x
Como debe pasar por (1, 2) g(1) 2 a b 2 a b 2a 1 b 1
Como debetener un extremo relativo en x 1 g´(1) 0 a b 0 a b 0
30 Halle los valores de a y b para que la gráfica de la función f(x) =ax3 + 3x2 − 5x + b pase por el punto (1, −3) y tenga el punto de inflexión en x = −1. (Propuesto PAU Andalucía 2006)
Solución 2Observamos que f´(x) 3ax 6x 5 ; f´´(x) 6ax 6
Como debe pasar por (1, 3) f(1) 3 a 3 5 b 3 a b 1 a b 1a 1 b 2
Como debetener un punto de inflexión en x 1 f´´( 1) 0 6a 6 0 a 1 a 1
31 Sea la función f(x) = 2x3 + ax2 – 12x + b. a) Halle a y b para que la función se anule en x = 1 y tenga un punto de inflexión en x = –1/2. b) Para a = –3 y b = 2, calcule sus máximos y mínimos relativos. (Propuesto PAU Andalucía 2003)
Solución 2a) Observamos que f´(x) 6x 2ax 12 ; f´´(x) 12x 2a
Como se debe anular en x 1 f(1) 0 6 2a 12 b 0 2a b 62a b 6
a 3 b 01 1a 3Como debetener un punto de inflexión en x f´´( ) 0 6 2a 0 a 3
2 2
3 2 2b) Para a 3 , b 2, f(x) 2x 3x 12x 2 ; f´(x) 0 6x 6x 12 0 x 1, x 2
x 1 x 1 1 x 2 x 2 x 2
f´(x) 0 0
f(x) Máximo Mínimo
x 1 x 2Máximo M(1, 9) ; Mínimo N(2, 18)
y f( 1) 9 y f(2) 18
ր ց ր
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 13 -
32 Se considera la función
2x 2 , si 0 x 2f(x) 8x 10
, si x 2x 1
¿Es creciente la función en x = 3? (Propuesto PAU Andalucía 2015) Solución
2
2
2, 0 28 10 2
10, ( ) . 3 (2, ), intervalo ( ) (́ ) 0,8 101 ( 1), 2
1
(́3) 0 , tan 3
x si xx
Para a f x Como en ese f x f xxx xsi x
x
luego f y por to f es creciente en x
33 Sea la función definida para todo número real x por f(x) = (1/3)x3 – 4x. Determine sus intervalos de monotonía y sus extremos. (Propuesto PAU Andalucía 2007)
Solución
2f´(x) x 4 0 x 2
x 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2
f´(x) 0 0 creciente en ( , 2) (2, ) , decreciente en ( 2, 2)
f(x) Máximo Mínimo
x 2 x 216 16
Máximo : M( 2, ) ; Mínimo : N(2, )16 163 3y f( 2) y f(2)
3 3
∪
ր ց ր
34 Halle la ecuación de la recta tangente a la curva y = x3 – 4x + 2 en su punto de inflexión. (Propuesto PAU Andalucía 2004)
Solución
2
x 0 x 0 x 0
y´ 3x 4 ; y´´ 6x 0 x 0 y´´ 0 Punto de inf lexión : x 0, y f(0) 2 I(0, 2)
y inf lexión
0 0 0 0
20 0 0
tg
y f(x). La ecuación de la recta tangente a f en x es : y f´(x ).(x x ) f(x )
En este caso, x 0 , f(x ) f(0) 2; f´(x ) f´(0) 3.0 4 4
La ecuación de la recta tangente a f en x 0 es : y 4.(x 0) 2 r : y 4x 2
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 14 -
35 Determine los extremos locales de
2
x 4 , si x 0
4f(x) , si 2 x 4
x
x 4x 1 , si x 4
. (Propuesto PAU Andalucía 2011)
Solución
2
1 , si x 0
4f´(x) , si 2 x 4 ; f´(x) 0 2x 4 0, x 4 (imposible)
x
2x 4 , si x 4
x 0 x 2 2 x 4 x 4 x 4
f´(x) Mínimo en x 4 , y 1 M(4, 1)
f(x) 1 (mínimo)
ց ց ր
36 Sea la función 2 31f(x) 2x x
3 . Calcule:
a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Las coordenadas de sus extremos relativos. c) El punto de la gráfica en el que la pendiente de la recta tangente a dicha gráfica es 4.
(Propuesto PAU Andalucía 2010) Solución
2
2 2
x 0 x 0 0 x 4 x 4 x 4
a) f´(x) 0 4x x 0 x 0, x 4 f´(x) 0 0
32f(x) 0 (mínimo) (máximo)
3
Decreciente en ( , 0) (4, ) creciente en (0,4)
x 4x 0 32
b) Mínimo M(0, 0) ; máximo N(4, )32y 0 3y
3
c) f´(x) 4 4x x 4 x 4x 4 0 x
ց ր ց
∪
x 216
2 P(2, )163y f(2)
3
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 15 -
37 Sea la función f(x) = x3 – 1. a) Calcule los puntos de corte de la gráfica con los ejes, su monotonía y extremos relativos, si los tuviese. b) Determine su curvatura y punto de inflexión. c) Halle los puntos de la gráfica en los que la recta tangente tiene de pendiente 3.
(Propuesto PAU Andalucía 2009) Solución
3
2
puntos de corte con el eje X : y 0 ; x 1 0 x 1 P(1, 0)a)
punto de corte con el eje Y : (0, f(0)) Q(0, 1)
x 0 x 0 x 0
f´(x) 0 3x 0 x 0 f´(x) 0 f es creciente; no hay extremos relativos
f(x)
x 0 x 0 x 0
b) f´´(x) 0 6x 0 x 0 f´´(x)
ր ր
2
0
f(x) 1 (inf lexión)
f es cóncava en ( , 0) y convexa en (0, ) ; Punto de inf lexión : Q(0, 1)
x 1 x 1c) f´(x) 3 3x 3 x 1 P(1, 0) ; R( 1, 2)
y f(1) 0 y f( 1) 2
38 De una función f se sabe que su función derivada es f´(x) = 3x2 – 9x + 6 a) Estudie la monotonía y la curvatura de f. b) Sabiendo que la gráfica de f pasa por (0, 1), calcule la ecuación de la recta tangente en dicho punto. (Propuesto PAU Andalucía 2004)
Solución 2a) Monotonía : f´(x) 0 3x 9x 6 0 x 1, x 2
x 1 x 1 1 x 2 x 2 x 2
f´(x) 0 0 creciente en ( , 1) (2, ) , decreciente en (1, 2)
f(x) Máximo Mínimo
3Curvatura : f´´(x) 0 6x 9 0 x
2
3 3 3x x x
2 2 2
f´´(x) 0 cóncav
f(x) inf lexión
∪
ր ց ր
3 3a en , y convexa en ,
2 2
0
20 0 0 0 0 0
t
b) Como la gráfica pasa por (0, 1), f(0) 1. La ecuación de la recta tangente a f en x es :
y f´(x ).(x x ) f(x ). En este caso, x 0 , f(x ) f(0) 1; f´(x ) f´(0) 3.0 9 .0 6 6
La ecuación de la recta tangente a f en (0, 1) es : y 6.(x 0) 1 r
g : y 6x 1
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 16 -
39 De la función f se sabe que su función derivada es f´(x) = 3x2 – 8x + 5 a) Estudie la monotonía y la curvatura de f. b) Sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (1, 1), calcule la ecuación de la recta tangente en dicho punto. (Propuesto Selectividad Andalucía 2012)
Solución
5 5 5x 1 x 1 1 x x x
3 3 35
a)f´(x) 0 x 1, x f´(x) 0 03
f(x) mínimo
5 5f es creciente en( ,1) ( , ) y decreciente en (1, )
3 3
4 4 4x x x
3 3 34 4 4
f´´(x) 0 6x 8 0 x f´(x) 0 f es cóncava en( , ) y convexa en ( , )3 3 3
f(x)
ր ց ր
∪
0 0 0 0
0 0 0
tg
b) La ecuación de la recta tangente a f en x es : y f´(x ).(x x ) f(x )
En este caso, x 1 , f(x ) f(1) 1 ; f´(x ) f´(1) 0
La ecuación de la recta tangente a f en (1, 1) es : y 0.(x 1) 1 r : y 1
40 La gráfica de la función derivada de una función f es la parábola de vértice (0, 2) que corta al eje de abscisas en los puntos (−3, 0) y (3, 0). A partir de dicha gráfica, determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f.
(Propuesto PAU Andalucía 2006) Solución
x 3 x 3 3 x 3 x 3 x 3
f´(x) 0 x 3 , x 3 f´(x) 0 0
f(x) mínimo máximo
f es decreciente en ( , 3) (3, ) y creciente en ( 3, 3)
ց ր ց
∪
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 17 -
41 Estudie el crecimiento y decrecimiento de una función cuya función derivada viene dada gráficamente por la recta que pasa por los puntos (–1, 0) y (0, 1). (Propuesto PAU Andalucía 2000)
Solución
x 1 x 1 x 1
f´(x) 0 x 1 f´(x) 0 f es decreciente en ( , 1) y creciente en ( 1, )
f(x) mínimo
ց ր
42 Sea P(t) el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un cierto tipo de
enfermedad transcurrido un tiempo t, medido en meses:
2t , si 0 t 5P(t) 100t 250
, si t 5t 5
.
a) Estudie la derivabilidad de P en t =5. b) Estudie la monotonía de dicha función e interprete la evolución del porcentaje de células afectadas. (Propuesto PAU Andalucía 2012)
Solución
2
2
t 5 t 5
t 5t 5
t 5
2t , si 0 t 5
a) Para t 5, P(t) es derivable (y, por tanto, continua) y P´(t) 750, si t 5
(t 5)
lim P(t) lim t 25
100t 250lim P(t) lim 25 P es continua en t 5
t 5
100.5 250P(5) 25
5 5
lim P´(t) lim
t 5
2t 5t 5
(2t) 10
no coinciden las derivadas laterales en t 5750lim P´(t) lim 7,5
(t 5)
Luego, P(t) no es derivable en t 5.
2
2t 0 , si 0 t 5
b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento : P´(t) 0 t 07500 , si t 5
(t 5)
Si t 0, P´(t) 0, luego P es creciente. Por tanto, el porcentaje de células
afectadas va aumentando con el tiempo
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 18 -
43 En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina. La superficie afectada, en 2km ,
viene dada por la función 11t 20
f(t)t 2
, siendo t el tiempo transcurrido desde que empezamos a
observarla. Estudie si la mancha crece o decrece con el tiempo. (Propuesto PAU Andalucía 2012) Solución
2 2
11.(t 2) (11t 20).1 2Como f´(t) 0 f es creciente. Luego, la mancha crece con el tiempo
(t 2) (t 2)
44 Tras un test realizado a un nuevo modelo de automóvil, se ha observado que el consumo de
gasolina, c(x), expresado en litros, viene dado por la función c(x) = 7.5 – 0.05x + 0.00025x2, siendo x la velocidad en km/h y 25 ≤ x ≤ 175 a) Determine el consumo de gasolina a las velocidades de 50 km/h y 150 km/h. b) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función c(x) c) ¿A qué velocidades de ese intervalo se obtiene el mínimo consumo y el máximo consumo y cuáles son éstos? (Propuesto PAU Andalucía 2011)
Solución
a) c(50) 5,625 c(150) 5,625. Luego, a ambas velocidades consume 5,625 litros
x 25 25 x 100 x 100 100 x 175 x 175
b) f´(x) 0 0,05 0,0005x 0 x 100 f´(x) 0
f(x) 6,40625 5 mínimo 6,40625
decreciente en (25, 100) y creciente en (100,175)
ց ց ր ր
c) A 100 km / h se obtiene el mínimo consumo (5 litros)
A 25 km / h y a 175 km / h el máximo consumo (6,40625 litros)
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 19 -
45 El beneficio, en miles de euros, alcanzado en una tienda de ropa el pasado año, viene dado por la
función B(t) expresada a continuación
21t t 5 , si 0 t 6
8B(t)
t 1, si 6 t 12
2
, t es el tiempo transcurrido en
meses. a) Estudie la derivabilidad de la función al cabo de 6 meses. b) ¿Cuándo fue mínimo el beneficio? ¿Cuál fue dicho beneficio? (Propuesto PAU Andalucía 2011)
Solución
2
t 6 t 6
t 6t 6
2
t 6 t
1t 1, si 0 t 6
4a) Para t 6, B(t) es derivable (y, por tanto, continua) y B´(t)
1, si 6 t 12
2
1 7lim B(t) lim ( t t 5)
8 2
t 1 7lim B(t) lim B es continua en t 6
2 2
1 7B(6) 6 6 5
8 2
lim B´(t) lim
6
t 6t 6
1 1( t 1)4 2
coinciden las derivadas laterales en t 61 1
lim B´(t) lim2 2
Luego, B(t) es derivable en t 6.
t 0 0 t 4 t 4 4 t 6 t 6 6 t 12 t 12
b) B´(t) 0 t 4 B´(t) 0
B(t) 5 3 (mínimo) 6,5
El beneficio fue mínimo a los 4 meses y fue de 3000 €
ց ց ր ր ր ր
46 Represente la gráfica de f(x) = – x2 + 2x – 1 y halle la ecuación de la recta tangente a esta gráfica en el punto de abscisa x = – 2. (Propuesto PAU Andalucía 2014)
Solución
2
0
0 0 0 0 0 0
tg
f(x) x 2x 1; f´(x) 2x 2. La ecuación de la recta tangente a f en x es :
y f´(x ).(x x ) f(x ). En este caso, x 2 , f(x ) f( 2) 9 ; f´(x ) f´( 2) 6
La ecuación de la recta tangente a f en x 2 es : y 6 .(x 2) 9 r : y 6x 3
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 20 -
47 Sean las funciones f(x) = x2 − 4x + 6 , g(x) = 2x − x2. a) Determine, para cada una de ellas, los puntos de corte con los ejes, el vértice y la curvatura. Represéntelas gráficamente. b) Determine el valor de x para el que se hace mínima la función h(x) = f(x) – g(x).
(Propuesto PAU Andalucía 2006) Solución
2Eje X : x 4x 6 0 (incompatible) No corta al eje Xa) Para f(x) : Puntos de corte con los ejes
Eje Y : punto (0, f(0)) (0, 6)
Vértice : f´(x) 0 2x 4 0 x 2 ; y f(2) 2. Luego,V(2, 2) ; Curvatura : f´´(x) 2 0 f es convexa
Para g(x) : Puntos
2Eje X : 2x x 0 x 0, x 2 puntos : (0, 0) y (2, 0)de corte con los ejes
Eje Y : punto (0, g(0)) (0, 0)
Vértice : g´(x) 0 2 2x 0 x 1 ; y g(1) 1. Luego,V(1, 1) ; Curvatura : g´´(x) 2 0 g es cóncava
2 2 2 3b) h(x) x 4x 6 (2x x ) 2x 6x 6 . Si h(x) se hace mínima h´(x) 0 4x 6 0 x
2
3 3h´´(x) 4 ; h´´( ) 0 En x hay un mínimo
2 2
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 21 -
48 Sea la función 3 x
f(x)x 1
a) Determine su dominio y asíntotas. Estudie su continuidad y derivabilidad. b) Determine sus máximos y mínimos relativos, si los hubiere. Estudie su crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad. c) Represéntela gráficamente. (Propuesto PAU Andalucía 2003)
Solución
a) Si x 1 , 2
2f(1). Luego, D(f) R 1 . Para x 1, f es continua y derivable, con f´(x)
(x 1)
En x 1, no es continua (pues
x 1
x 1
x
f(1)) y tampoco derivable
2lim f(x)
0Como la A.V. es la recta de ecuación x 1
2lim f(x)
0
Como lim f(x) 1 la A.H. en es la recta de ecuación y 1
2
3
2b) f´(x) 0 f es decreciente. Luego, no tiene máximos ni mínimos relativos
(x 1)
x 1 x 1 x 14
f´´(x) 0 4 0 (imposible) f´´(x)(x 1)
f(x)
Es cóncava en ( , 1) y convexa en (1, )
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 22 -
49 Sea la función f definida mediante x 1
f(x)2x 1
a) Determine los puntos de corte con los ejes. b) Estudie su curvatura. c) Determine sus asíntotas. d) Represente la función. (Propuesto PAU Andalucía 2008)
Solución
x 1Eje X : 0 x 1 punto ( 1,0)
a) Puntos de corte con los ejes 2x 1
Eje Y : punto (0, f(0)) (0, 1)
2
2 2 4 4 3
1.(2x 1) (x 1).2 3 0.(2x 1) ( 3).2(2x 1).2 12(2x 1) 12b) f´(x) ;f´(x)
(2x 1) (2x 1) (2x 1) (2x 1) (2x 1)
1 1 1x x x
2 2 2
f´´(x) 0 (imposible) f´´(x)
f(x)
1 1f es cóncava en ( , ) y convexa en ( , )
2 2
x x x
1x
2
1x
21
x2
x 1 11
1 1x x xlim f(x) lim lim La A.H. en es la recta y2x 1 1 2 22x x x
1,5c) lim f(x)0
1,5 1lim f(x) La A.V. es la recta x
1,50 2lim f(x)
0
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 23 -
50 Sea la función 21
x 1 , si x 2f(x) 4
x 4 , si x 2
. Represente gráficamente la función y halle la ecuación de
la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = –1. (Propuesto PAU Andalucía 2016)
Solución
0 0 0 0
0 0 0
tg
1x , si x 2
Para x 2, f´(x) y la ecuación de la recta tangente a f en x es y f´(x ).(x x ) f(x ).2
1 , si x 2
5 1En este caso, x 1 , f(x ) f( 1) ; f´(x ) f´( 1)
4 2
1 5La ecuación de la recta tangente a f en x 1 es : y .(x 1) r :
2 4
1 3y x
2 4
51 Represente gráficamente la función
21,5x 2x , si x 2f(x) x
0,5, si x 22
(Propuesto PAU Andalucía 2012)
Solución
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 24 -
52 Sea la función
2(x 1) , si x 0
1f(x) , si 0 x 2
x
x, si x 2
4
. a) Represéntela gráficamente.
b) Calcule sus extremos relativos y asíntotas horizontales y verticales. (Propuesto PAU Andalucía 2003)
Solución
2
2(x 1) , si x 0
1b) f´(x) , si 0 x 2 ; f´(x) 0 x 1
x
1, si x 2
4
x 1 x 1 1 x 0 x 0 0 x 2 x 2 x 2
f´(x) 0
2
x x
x x
x 0
x 0
1f(x) 0 (mínimo) 1 (mínimo)
2
x 2x 1 1
Mínimo M( 1, 0) Mínimo N(2, )1y f( 1) 0 2y f(2)
2
lim f(x) lim (x 1) No hay A.H. en
xlim f(x) lim No hay A.H. en
4
lim f(x) 1
L1lim f(x)
0
ց ր ց ր
a A.V. es la recta x 0 (el eje Y)
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 25 -
53 Sea la función 2
2x 1 , si x 2f(x)
x 8x 17 , si x 2
a) Represéntela gráficamente y estudie su continuidad y derivabilidad. b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos. c) Los extremos hallados anteriormente, ¿son puntos donde f(x) = 0? Razone la respuesta.
(Propuesto PAU Andalucía 2000) Solución
x 2 x 2
2
x 2x 2
2
x 2 x 2
x 2
2 , si x 2a) Si x 2, f es derivable (y por tanto, continua) y f´(x)
2x 8 , si x 2
lim f(x) lim (2x 1) 5
Para x 2, lim f(x) lim (x 8x 17) 5 es continua
f(2) 2 8.2 17 5
lim f´(x) lim 2 2
lim f´(x)
x 2
no coinciden las derivadas lateraleslim (2x 8) 4
Luego, f no es derivable en x 2
x 2 x 2 2 x 4 x 4 x 4
b) f´(x) 0 2x 8 0 (x 2) x 4 f´(x) 0
f(x) 5 (máximo) 1 (mínimo)
creciente en ( , 2) (4, ) ; decreciente en (2, 4)
x 2 x 4Máximo M(2, 5) Mínimo N(4, 1)
y f(2) 5 y f(4) 1
ր ց ր
∪
c) No, pues f(2) 5 0 y f(4) 1 0
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 26 -
54 Dada la función 2
3, si x 1
2 xf(x)
4x x , si x 1
. Represéntela gráficamente, determinando previamente:
cortes con los ejes, crecimiento, extremos y asíntotas. (Propuesto PAU Andalucía 1998) Solución
2
30 , si x 1
2 xEje X : x 4 punto (4,0)
Puntos de corte con los ejes 4x x 0 , si x 1
3Eje Y : punto (0, f(0)) (0, )
2
2
x x
3, si x 1
Para x 1, f´(x) ; f´(x) 0 4 2x (x 1) x 2(2 x)
4 2x , si x 1
x 1 x 1 1 x 2 x 2 x 2
f´(x) 0
f(x) 3 4 (máximo)
x 2creciente en ( , 2) ; decreciente en (2, ) ; Máximo M(2, 4)
y f(2) 4
3lim f(x) lim 0 A.H
2 x
ր ր ր ց
2
x x
. en : y 0
lim f(x) lim (4x x ) No hay A.H. en
Observamos que f es continua No hay A.V.
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 27 -
55 Sea la función 2
2
x 2x 3 , si x 1f(x)
x 6x 5 , si x 1
Represente su gráfica y, a la vista de ella, indique su monotonía y las coordenadas de sus extremos locales.
(Propuesto PAU Andalucía 2010) Solución
Creciente en ( , 1) (3, ) ; decreciente en el intervalo ( 1, 3)
Máximo (relativo) para x 1, y 4 (V( 1, 4)) ; mínimo (relativo) para x 3, y 4 (V´(3, 4))
∪
56 Sea la función
2x , si x 1
1f(x) , si 1 x 2
x
x 1, si x 2
2
. Represéntela gráficamente.
(Propuesto PAU Andalucía 2003) Solución
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 28 -
57 Sea la función
2
2
x, si x 2
2
f(x) x 4 , si 2 x 4
(x 4) , si x 4
a) Represéntela gráficamente. b) Halle sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. (Propuesto PAU Andalucía 2000)
Solución
b) Creciente en (0, 2) (4, ) ; decreciente en ( , 0) (2, 4) ∪ ∪
58 El beneficio de una empresa viene dado por la función
f(x) = (225/2) + 20x – (1/2)x2 donde x representa el gasto en publicidad. a) Calcule el gasto x a partir del cual la empresa no obtiene beneficios. b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de esa función. c) Represente gráficamente la función f. d) Calcule el valor de x que produce máximo beneficio. ¿Cuánto es ese beneficio máximo?
(Propuesto PAU Andalucía 2000) Solución
como x 02
x 0 0 x 45 x 45 x 45225 1
a) f(x) 0 20x x 0 x 45 225f(x) 02 2
2
Luego, a partir de x 45 la empresa no obtiene beneficios
x 0 0 x 20 x 20 x 20
b) f´(x) 0 20 x 0 x 20 f´(x) 0
f(x) máximo
creciente en (0, 20) y decreciente en (20, )
ր ր ց
d) x 20, con un beneficio de 312,5
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 29 -
59 Una empresa de automóviles ha estimado que su beneficio B, en millones de pesetas, depende del tiempo t, en minutos, que dedica diariamente a publicidad, según la función
B(t) = –1,5t2 + 168t – 954 a) Calcule los minutos diarios que debe, dedicar a publicidad para obtener un beneficio máximo. ¿Cuál es ese beneficio? b) Calcule en qué intervalo debe estar comprendido el tiempo diario dedicado a publicidad para que la empresa obtenga beneficio positivo. c) Dibuje la gráfica de la función B(t). (Propuesto PAU Andalucía 1998)
Solución
a) B´(t) 0 3t 168 0 t 56. B´´(t) 3. B´´(56) 3 0 (en t 56 hay un máximo).
Como B(56) 3748, el beneficio máximo es 3748 € y se obtiene dedicando diariamente 56 min a publicidad
2b) Observa que B(t) 0 1,5t 168t 954 0 t 6, t 106
0 t 6 t 6 6 t 106 t 106 t 106Luego, la respuesta es : en el intervalo (6, 106)
B(t) 0 0
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 30 -
60 El beneficio en euros que obtiene una empresa al vender x unidades de un artículo viene dado
por la función B(x) = −x2 + 360x – 18000 , 50 ≤ x ≤ 350 . a) ¿Cuál es el beneficio obtenido si vende 100 unidades? ¿Cuántas unidades debe vender para obtener un beneficio de 13 500 €? b) ¿Cuál es el número de unidades que debe vender para que el beneficio sea máximo? ¿A cuánto asciende ese beneficio? c) Represente gráficamente la función y determine cuántas unidades hay que vender para no obtener pérdidas. (Propuesto PAU Andalucía 2017)
Solución 2 2a) x 100 B(100) 8 000 € ; B(x) 13500 x 360x 18000 13500 x 360x 31500 0
x 150 , x 210. Luego, vendiendo 150 unidades ó 210 unidades el beneficio es de 13500 €
b) Si B(x) es máximo B´(x) 0 2x 360 0 x 180 , B(180) 14 400
x 50 50 x 180 x 180 180 x 350 x 350
B´(x) 0
B(x) 2500 14 400 (máximo) 14500
Luego, vendiendo 180 unidades se obtiene el beneficio máximo de 14 400 €
ր ց
c) Para no obtener pérdidas debe ser B(x) 0. Como B(x) 0 x 150, x 210
x 50 50 x 150 x 150 150 x 210 x 210 210 x 350 x 350
B(x) 2500 0 0 14500
Luego, para no tener pérdidas se deben vender entre 150 y 210 unidades
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 31 -
61 Los ingresos I(x) y los costes anuales C(x), en millones de pesetas, de una fábrica de bolígrafos, dependen del precio de venta x de cada bolígrafo (en pesetas) según las funciones:
I(x) = 4x – 9 y C(x) = 0,01x2 + 3x. El beneficio anual es B(x) = I(x) – C(x). a) ¿Cuál debe ser el precio de venta para obtener el máximo beneficio? b) ¿Cuál es ese beneficio máximo? c) Represente gráficamente la función beneficio. d) Razone (sobre la gráfica o con la función B(x)) para qué precios de venta tendría perdidas esta empresa. (Propuesto PAU Andalucía 1999)
Solución 2 2a) B(x) 4x 9 (0,01x 3x) 0,01x x 9 ; B´(x) 0 0,02x 1 0 x 50
Como B´´(x) 0,02 , B´´(50) 0,02 0 x 50 es un máximo. Luego, el precio debe ser 50 ptas
b) B(50) 16 ptas de beneficio máximo
2d) B(x) 0 0,01x x 9 0 ; como B(x) 0 x 10 , x 90
x 10 x 10 10 x 90 x 90 x 90
B(x) 0 0
Luego, para precios menores de 10 ptas o mayores de 90 ptas habría pérdidas
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 32 -
62 El beneficio, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado
por: f(t) = −t2 + 12t – 31 , 4 ≤ t ≤ 7 a) Represente la gráfica de la función f. b) ¿Para qué valor de t alcanza la empresa su beneficio máximo y a cuánto asciende? ¿Para qué valor de t alcanza su beneficio mínimo y cuál es este? (Propuesto PAU Andalucía 2005)
Solución
6 (a los 6 años)
y asciende a 5 millones de €
4 (a los 4 años)
y 1millón de €
Alcanza su máximo beneficio para t
Su mínimo beneficio se alcanza para t
es de
63 El beneficio obtenido por la producción y venta de x kilogramos de un artículo viene dado por la
función: B(x) = 0.01x2 + 3.6x 180. a) Represente gráficamente esta función. b) Determine el número de kilogramos que hay que producir y vender para que el beneficio sea máximo. c) Determine cuántos kilogramos se deben producir y vender, como máximo, para que la empresa no tenga pérdidas. (Propuesto PAU Andalucía 2002)
Solución
) 180 ( , 144 €)
) 300 kg como máximo (y 60 kg como mínimo)
b kg beneficio máximo
c
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Página 33 -
64 Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba de modo que la altura “h” (en metros) a la que se
encuentra en cada instante “t” (en segundos) viene dada por la expresión: h(t) = –5t2 + 40t a) ¿En qué instante alcanza la altura máxima? ¿Cuál es esa altura? b) Represente gráficamente la función h(t). c) ¿En qué momento de su caída se encuentra el objeto a 60 metros de altura? d) ¿En qué instante llega al suelo?
(Propuesto Selectividad Andalucía 2001) Solución
4 , 80
6 (está ) 60
8 , 0
A los s alcanza la altura máxima m
A los s cayendo alcanza una altura de m
A los s llega al suelo pues la altura es