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1 0 4 C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

3 . 5 El m é to d o de las secciones

Si s e d e b e n d e te r m in a r la s f u e r /a s s ó lo e n u n o s c u a n to s e le m e n to s d e u n a a rm a d u ra , p o r lo g e n e ra l e l m é to d o d e las se c c io n e s p ro p o rc io n a el m e d io m ás d ir e c to p a ra o b te n e r e s ta s fuercas . E l m é to d o d e la s secc iones c o n s is te e n h a c e r p a s a r u n a secc ión im a g in a r ia a tr a v é s d e la a rm a d u ra , d e m o d o q u e la c o r ta e n d o s p a r te s . S ie m p re q u e to d a la a rm a d u ra e s té e n e q u il ib r io .c a d a u n a d e la s d o s p a r t e s ta m b ié n d e b e e s ta r e n e q u il ib r io y. e n c o n se c u e n c ia , la s tre s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io p u e d e n a p lic a rs e a c u a lq u ie ra d e e s ta s d o s p a r te s p a ra d e te r m in a r la s fu e rz a s e n lo s e le m e n to s d e la " s e c c ió n c o r ta d a " .

C u a n d o s e e m p le a e l m é to d o d e la s secc iones p a ra d e te rm in a r la fu e rza e n u n e le m e n to e n p a r t ic u la r , d e b e to m a rs e u n a d ec is ió n s o b re la fo rm a d e “ c o r ta r " o s e c c io n a r la a rm a d u ra . C o m o s ó lo p u e d e n a p lic a rs e tres e c u a c io n e s in d e p e n d ie n te s d e e q u il ib r io ( 2 F t = 0 . 1 F y = 0 , I M o = 0 ) a la p a r te a is la d a d e la a rm a d u ra , t r a t e d e s e le c c io n a r u n a s e c c ió n q u e , e n g e n e ra l , n o p a se a t r a v é s d e m ás d e tres e le m e n to s e n los q u e la s fu e rz a s s e a n d e sc o n o c id a s . P o r e je m p lo .c o n s id e re la a rm a d u ra d e la fig u ra 3 -2 So. Si s e v a a d e te r m in a r la fu e r z a e n e l e le m e n to G C , la s e c c ió n aa se r ía a d e c u a d a . E n la s fig u ra s 3-25b y 3 -2 5 c se m u e s tra n lo s d ia g ra m a s d e c u e rp o lib re d e la s d o s p a r te s . E n p a r t ic u la r , te n g a e n c u e n ta q u e la lín e a d e a c c ió n d e c a d a fu e rz a e n u n e le m e n to se c c io n a d o s e e sp e c ific a a p a r t i r d e la geom etría d e la a rm a d u ra , p u e s to q u e la fuerza e n un e le m e n to p asa a lo la rg o d e l e j e d e l e le m e n to . A d e m á s , la s fu en -as d e u n e le m e n to q u e a c tú a n s o b r e u n a p a r te d e la a rm a d u ra s o n ig u a le s p e ro o p u e s ta s a las q u e a c tú a n s o b r e la o t r a p a r te , lo q u e s e d e b e a la te r c e ra le y d e N e w to n . C o m o p u e d e o b se rv a rse , los e le m e n to s q u e s u p u e s ta m e n te e s tá n e n te n s ió n ( B C y C G ) e s tá n s o m e tid o s a u n “ja ló n " , m ie n tra s q u e e l e le m e n to e n co m p res ió n (G F ) e s tá s o m e tid o a un “e m p u jó n " .

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3 . 5 E l M É T O D O D E LAS SECCIONES

L as tre s fu e rz a s d e e le m e n to d e s c o n o c id a s F a c , F q c y $ g f p u e d e n o b te n e r se m e d ia n te la a p lic a c ió n d e la s tre s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io a l d ia g ram a d e c u e rp o lib re d e la f ig u ra 3 -2 5 6 . S in e m b a rg o , s i s e c o n s id e ra e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e la fig u ra 3 -2 5 c , d e b e rá n d e te rm in a rs e e n p r im e r lu g a r la s tr e s re a c c io n e s d e s o p o r te !> ,, D 4, y E , . ¿ I\> r q u é ? (P o r s u p u e s to , e s to s e h ace d e la m a n e r a u su a l, c o n s id e ra n d o un d ia g r a m a d e c u e ip o lib re d e to d a la a r m a d u r a ). A l a p lic a r la s e c u a c io n e s d e e q u il i b rio , c o n s id e re la m a n e ra d e e s c r ib ir las e c u a c io n e s c o n e l fin d e o b te n e r u n a so lu c ió n d ire c ta p a ra c a d a u n a d e la s in có g n ita s , e n v ez d e te n e r q u e re so lv e r e c u a c io n e s s im u ltá n e a s . P o r e je m p lo , s i s e s u m a n m o m e n to s r e s p e c to a C e n la f ig u ra 3 -2 5 6 g e n e ra r ía u n a so lu c ió n d ir e c ta p a ra F g f p u e s to q u e F BC y F í ; c c re a n m o m e n to s c e ro a lr e d e d o r d e C . D e l m ism o m o d o . FflC p u e d e o b te n e rse d ire c ta m e n te a p a rtir d e u n a su m a to ria d e m om e n to s a lr e d e d o r d e G . P o r ú lt im o , Fc c p u e d e d e te rm in a rs e d i r e c ta m e n te a p a r t i r d e u n a s u m a to r ia d e fu e iz a s e n la d ire c c ió n v e rtic a l, d a d o q u e FC f y F K n o t ie n e n c o m p o n e n te s v e rtic a le s .

C o m o e n e l m é to d o d e los n u d o s , h a y d o s fo rm a s d e d e te r m in a r e l s e n tid o c o r r e c to d e u n a fu e rz a d e e le m e n to d e sc o n o c id a .

L S iem p re s u p o n g a q u e las fu e r z a s d e e le m e n to d e sco n o c id a s e n la s e c c ió n co rta d a e s tá n en ten s ió n , e s decir, "ja la n d o " e l e lem en to . D e e s ta m a n e ra , l a s o lu c ió n n u m é r ic a d e la s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io g e n e r a r á esca lares p o s i t iv o s p a ra lo s e le m e n to s e n te n s ió n y escalares n eg a tivo s p a ra lo s e le m e n to s e n c o m p re s ió n .

2. En m u c h o s casos, e l s e n t id o co rrec to d e u n a fu e r z a d e e le m e n to d e s c o n o c id a p u e d e d e te rm in a rse “p o r in s p e c c ió n ”. P o r e je m p lo . FBC es u n a fu e rz a d e te n s ió n c o m o s e re p re s e n ta e n la f ig u ra 3 -2 5 6 ,p u e s to q u e e l e q u il ib r io d e m o m e n to s re s p e c to a G re q u ie re q u e F flC c re e u n m o m e n to o p u e s to a l d e la fu e rz a d e 1000 N. A d e m á s . F GC es d e te n s ió n p o rq u e s u c o m p o n e n te v e r tic a l d e b e e q u i l ib r a r la fu e rz a d e 1000 N. E n c a so s m á s c o m p lic a d o s , e l s e n t id o d e u n a fu e rz a d e e le m e n to d e sc o n o c id a p u e d e su p o n e r se . S i la s o lu c ió n re s u l ta s e r u n e sc a la r neg a tivo , e s to in d ic a rá q u e e l s e n t id o d e la fu e rz a e s o p u esto a l m o s tra d o e n e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re . É s te e s e l m é to d o q u e s e u ti liz a rá e n los s ig u ie n te s p ro b le m a s d e e je m p lo .

E n e l n o r te d e C a l i f o r n ia s e c o n s t r u y e u n a a r m a d u r a d e p u e n te s o b re e l la g o S h a s ta .

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C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

E l s ig u ie n te p ro c e d im ie n to p ro p o rc io n a u n m e d io p a r a a p lic a r e l m é to d o d e las s e c c io n es a fin d e d e te r m in a r la s fu e rz a s e n lo s e le m e n to s d e u n a a rm a d u ra .

D ia g ra m a d e c u e r p o lib re

• T o m e u n a d e c is ió n s o b r e la fo rm a d e “c o r ta r " o s e c c io n a r la a rm a d u ra a tr a v é s d e los e le m e n to s e n lo s q u e d e b e n d e te r m in a rs e la s fu e rza s .

• A n te s d e a is la r la secc ió n a d e c u a d a , q u iz á s e re q u ie ra d e te r m in a r la s re a c c io n e s e x te r n a s d e la a rm a d u ra , d e m o d o q u e las tr e s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io s ó lo se u s e n p a ra e n c o n tra r la s fu e rz a s d e e le m e n to e n la secc ió n c o r ta d a .

• D ib u je e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e la p a r te d e la a rm a d u ra s e c c io n a d a q u e te n g a e l m e n o r n ú m e ro d e fu e rz a s e n e lla .

• U tilic e u n o d e lo s d o s m é to d o s d e sc r ito s a n te r io r m e n te p a ra e s ta b le c e r e l s e n t id o d e u n a fu e rz a d e sc o n o c id a .

E c u a c io n e s d e e q u il ib r io

• L os m o m e n to s d e b e n su m a rse a lr e d e d o r d e u n p u n to q u e s e e n c u e n t r e e n la in te r s e c c ión d e la s lín ea s d e a c c ió n d e d o s fu e rz a s d e sc o n o c id a s ; d e e s ta m a n e ra , la te r c e ra fu e rza d e sc o n o c id a s e d e te rm in a d ir e c ta m e n te a p a r t ir d e la e c u a c ió n .

• Si d o s d e la s fu e rz a s d e sc o n o c id a s s o n pa ra le la s , la s fu e rz a s p u e d e n s u m a rs e e n fo rm a p e rp e n d ic u la r a la d ire c c ió n d e e s ta s in c ó g n ita s a fin d e d e te r m in a r d irec ta m en te la t e r c e ra fu e rz a d e sc o n o c id a .

E je m p lo d e u n a a r m a d u r a W a r r e n ( c o n v e r tic a le s )

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3 . 5 E l M É T O D O D E LAS SECCIONES 107

D e te rm in e la fu e rz a e n lo s e le m e n to s G J y C O d e la a rm a d u ra d e lech o q u e s e m u e s tra e n la fo to g ra f ía . L as d im e n s io n e s y las c a rg a s se m u e s tra n e n la f ig u ra 3 -2 6 a . In d iq u e s i los e le m e n to s e s tá n e n te n s ió n o e n c o m p re s ió n . L as re a c c io n e s e n lo s s o p o r te s y a s e h a n ca lc u lad o .

5001b

3001b 300 Ib

3001b

300 Ib . \ 0 3001b

A , = 0

1501b 1501b

1159.3 Ib |*3 p ie s ' 3 p ie s 3 p ie s 3 p ie s 3 p ie s 3 p ie s 3 p ie s 3 p ie s 1 1159.3 Ib

(a)

Hgiira 3-26

SO L U C IÓ N

E le m e n to CF.

D ia g ra m a d e c u e rp o lib re . 1.a fu e r z a e n e l e le m e n to G J p u e d e o b te n e rse a l c o n s id e ra r la s e c c ió n aa d e la f ig u ra 3 - 2 6 a . E n la fig u ra 3 . 2 6 b s e m u e s tra e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e la p a r te d e re c h a d e e s ta secc ió n .

E cuaciones d e e q u il ib r io . A p lic a n d o £ A // ■ 0 s e p u e d e o b te n e r una s o lu c ió n d ir e c ta p a r a *V ;/ ¿ P o r q u é ? P a ra s im p lific a r, d e s lic e F<;j h ac ia e l p u n to G (p r in c ip io d e tra n sm is ib il id a d ) . fig u ra 3 - 2 6 6 . P o r lo ta n to . <b)

t + S M / = 0 ; - F Cj s e n 3 0 ° (6 ) + 3 0 0 (3 .4 6 4 ) = 0

f c , = 3 4 6 1 b ( C ) R esp.

E le m e n to G C

D ia g ra m a d e c u e rp o lib re . La fu e rz a e n C O p u e d e o b te n e r s e u s a n d o la s e c c ió n b b d e la f ig u ra 3 -2 6 a . E n la fig u ra 3-26c se m u e s tra el d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e la p a r t e iz q u ie rd a d e la secc ió n .

E cuaciones d e e q u il ib r io . L os m o m e n to s s e s u m a rá n re s p e c to al p u n to A con e l fin d e e lim in a r la s in c ó g n ita s F OP y Fc 0 .

= 0; -3 0 0 (3 .4 6 4 ) + F c o { 6 )

Fc o = 173 Ib (T )

0

R esp. (c )

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S O L U C IÓ N

D ia g ra m a d e c u e rp o lib re . Se c o n s id e ra rá l a s e c c ió n aa d e la fig u ra 3 -27a . ¿ P o r q u é ? E n la f ig u ra 3 -2 7 b se m u e s tra e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re a l a d e re c h a d e e s ta se c c ió n . L a d is ta n c ia E O p u e d e d e te rm in a rs e m e d ia n te tr iá n g u lo s s e m e ja n te s o a l o b s e r v a r q u e e l e l e m e n to G E cae v e r t ic a lm e n te 4 .5 - 3 = 1.5 m e n 3 m , f ig u ra 3 -27a . P o r co n s ig u ie n te , p a ra c a e r 4 .5 m d e s d e G . la d is ta n c ia d e C a O (fcbe s e r d e 9 m . A d e m á s , lo s á n g u lo s q u e fo r m a n ¥ GD y ¥ GF c o n l a h o r iz o n ta l s o n t a n - ‘ (4 .5 /3) = 56.3° y ta n " '( 4 .5 /9 ) = 26 .6°, re sp e c tiv a m e n te .

E cuaciones d e e q u il ib r io . L a fu e rz a e n G F p u e d e d e te r m in a rs e d ire c ta m e n te a p lic a n d o 1 M D = 0. ¿ I\> r q u é ? P a ra e l c á lc u lo a p liq u e e l p r in c ip io d e tra n sm is ib il id a d y d e s lic e ¥ GF h a s ta e l p u n to O . P o r lo ta n to .

5,+ S A /„ = O. - F g f s e n 2 6 .6 ° (6 ) + 7 (3 ) = 0

F g f = 7.83 k N ( C ) Resp.

l a fu e rz a e n G D se d e te rm in a d ir e c ta m e n te a l a p lic a r 2íV/0 = 0 . P a ra s im p lifica r a p liq u e e l p rin c ip io d e transm isib ilidad y deslice ¥ Gn h a d a D. A sí,

l + I M o = 0; - 7 ( 3 ) + 2 (6 ) + E c o s e n 5 6 .3 ° (6 ) = 0

E g d = 1.80 k N ( C ) Resp.

D e te rm in e la fu e rz a e n lo s e le m e n to s G E y G D d e la a r m a d u r a q u e se m u e s tra e n la f ig u ra 3 -2 7 a . In d iq u e s i los e le m e n to s e s t á n e n te n s ió n o e n c o m p re s ió n . L as re a c c io n e s e n los s o p o r te s ya s e h a n ca lcu lad o .

Figura 3 -27

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3 . 5 E l M É T O D O D E IA S SECCIONES 1 0 9

D e te rm in e la fu e rz a e n lo s e le m e n to s B C y M C efe la a rm a d u ra K q u e se m u e s tra e n la f ig u ra 3-28 a . In d iq u e si los e le m e n to s e s tá n e n te n s ió n o e n c o m p re s ió n . Las re a c c io n e s e n lo s so p o r te s y a se h a n ca lc u lad o .

A , — 2900 Ib 12001b 15001b 18001b

(a)

SO L U C IÓ N

D ia g ra m a d e c u e rp o lib re . A u n q u e l a s e c c ió n aa q u e s e m u e s tra e n la f ig u ra 3 -2 8 a re a l i /a u n c o r te a tra v é s d e c u a tr o e le m e n to s , e s p o sib le d e s c o m p o n e r la fu e rz a e n e l e le m e n to B C u sa n d o e s ta se c c ió n . E n la f ig u ra 3-28¿> se m u e s tra e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e la p a r te izq u ie rd a d e la a rm a d u ra .

E cuaciones d e e q u il ib r io . L a su m a d e lo s m o m e n to s re s p e c to a l p o n to L e lim in a tres d e la s in c ó g n ita s , p o r lo q u e

= O, -2 9 0 0 ( 1 5 ) + F b c { 2 0 ) = 0

F b c = 2175 Ib ( T ) Resp.

D iag ram as d e c u e rp o lib re . L a fu e rz a e n M C p u e d e o b te n e r s e d e m a n e ra in d ire c ta a l o b te n e r p r im e ro la fu e rz a e n M B a p a r t ir d e l e q u il ib r io d e fu e iv a s v e r tic a le s e n la ju n ta B , f ig u ra 3 -2 8 c . e s d e c ir , FUfí = 1200 Ib (T ). E n to n c e s , c o n b a se e n e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e la f ig u ra 3-28¿>.

+ T = 0; 2 9 0 0 - 1200 + 1200 - F u l = 0

F = 2900 Ib (T )

E n la f ig u ra 3 -28d se m u e s tra e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e l a ju n ta A /.en e l c u a l se u s a n e s to s re su ltad o s .

E cuaciones d e e q u il ib r io .

X ? . F t = 0;

+ Í Z F y = 0;

F'm k = 0(vn)F"c (vb)2900 - 1200 - (w) F " c - 0

F „ k = L532 Ib ( C ) F m c = 1532 Ib ( T ) Resp.

E n o c a s io n e s , c o m o e n e s te e je m p lo , la a p lic a c ió n ta n to d e l m é to d o d e h s se c c io n e s c o m o d e l m é to d o d e los n u d o s c o n d u c e a u n a so lu c ió n m ás d ir e c ta d e l p ro b le m a .

T a m b ié n e s p o s ib le o b te n e r la fu e rz a e n M C u sa n d o e l re s u l ta d o de FflC. E n e s te c a so .s e p a sa una secc ió n v e rtic a l a tr a v é s d e I .K , M K .M C y B C , f ig u ra 3 -2 8 a . Se a ís la la s e c c ió n iz q u ie rd a y s e a p lic a 1 M K = 0 .

L iI**” F;.X

2 0 p ie s

\a

Fvl

F.va|m "

29001b 12001b

(b)

F UB

« F b c

12001b

( c )

29001b

12001b( d )

Figura 3 -28

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3 .6 Arm aduras compuestas

E n la secc ió n 3 -2 s e e s ta b le c ió q u e las a rm a d u ra s c o m p u e s ta s s e fo rm a n al c o n e c ta r e n tr e s í d o s o m ás a rm a d u ra s s im p le s , ya s e a m e d ia n te la s b a r ra s o la s ju n ta s . D e m a n e ra o c a s io n a l, e s te t ip o d e a rm a d u ra s e an a liz a d e u n a m e jo r m a n e r a s i s e a p l ic a n la n ío e l m é to d o d e lo s n u d o s c o m o e l d e la s secc io n es. C o n f r e c u e n c ia e s c o n v e n ie n te r e c o n o c e r a n te s e l tip o d e c o n s tru c c ió n ,s e g ú n la lis ta p re s e n ta d a e n la s e c c ió n 3 -2 , p a ra d e s p u é s re a liz a r e l an á lis is a p lic a n d o e l s ig u ie n te p ro c e d im ie n to .

EJEM PLO 3.8

na

4 s e n 60° m

5 kN 4 kN

<b)

3 .46 kN

5 kN 4 kN

(c)

H g u r a 3 - 2 9

2 kN

In d iq u e c ó m o a n a liz a r la a rm a d u ra c o m p u e s ta q u e s e m u e s tra e n la f ig u ra 3 -29a . L as re a c c io n e s e n los a p o y o s y a se h a n ca lc u lad o .

-4, = 0

4kN £ - 5 kN

S O L U C IÓ NL a a rm a d u ra e s c o m p u e s ta p u e s to q u e la s a rm a d u ra s s im p le s A C H y C E G e s tá n c o n e c ta d a s m e d ia n te e l p a s a d o r e n C y la b a r r a 1IG .

L a se c c ió n aa d e la f ig u ra 3 -2 9 a c o r ta la b a r r a H G y o tro s d o s e l e m e n to s q u e t ie n e n fu e rzas d e sc o n o c id a s . E n la f ig u ra 3 -29¿> se m u e s tra u n d ia g r a m a d e c u e rp o lib re d e l a p a r t e iz q u ie rd a . L a fu e rz a e n H G se d e te rm in a d e la m a n e ra s ig u ie n te :

t + Z A / c - O , - 5 ( 4 ) + 4 (2 ) + F //C ( 4 s e n 6 0 ° )

F HG = 3 .46 k N (C )

0

A h o ra s e p ro c e d e a d e te r m in a r la fu e rz a e n c a d a e le m e n to d e la s a rm a d u ra s s im p le s s ig u ie n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s . POr e je m p lo , el d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e A C H se m u e s tra e n la fig u ra 3 -2 9 c . L as ju n ta s d e e s ta a rm a d u ra p u e d e n a n a liz a rs e e n la s ig u ie n te se c u e n c ia :

Ju n ta A : D e te rm in e la fu e rz a e n A B y A l .J u m a H: D e te rm in e la fu e iv a e n H l y H J.J u n ta I : D e te rm in e la fu e rz a e n U e IB .Ju n ta B: D e te rm in e la fu e rz a e n B C y BJ.J u n ta J: D e te rm in e la fu e rz a e n JC .

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3 . 6 A r m a d u r a s c o m p u e s t a s 1 1 1

L as a rm a d u ra s d e te c h o c o m p u e s ta s s e u s a n e n u n v ivero , c o m o se m u e s tra e n la fo to g ra fía .T ie n e n las d im en sio n es y la c a rg a q u e s e m uestra n e n la f ig u ra 3-30a. In d iq u e la fo rm a d e a n a liz a r e s ta a rm a d u ra .

SO L U C IÓ NL a fu e rz a e n E F p u e d e o b te n e r s e u s a n d o la s e c c ió n a a d e la f ig u ra3 -3 0 a . E n la f ig u ra 3 -3 0 b se m u e s tra e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e l s g m e n t o d e la d e re c h a .

i + I M 0 = 0 ; - 1 ( 1 ) - 1 (2 ) - 1 (3 ) - 1 (4 ) - 1 (5 ) - 0 .5 (6 ) + 6 (6 ) F e f { 6 ta n 3 0 ° ) = 0

F e f = 5 .20 k N ( T ) Resp.

I b r in sp ecc ió n , o h se rv e q u e R T , E O y H J s o n e le m e n to s d e fu e rza c e ro p u e s to q u e + 1 2 F y = 0 e n la s ju n ta s R . E y H . re s p e c tiv a m e n te .T am b ién , p o r a p lic a c ió n + \ Z F y = 0 (p e rp e n d ic u la r a A O ) e n la s ju n ta s d e P . Q . S y T , p u e d e d e te rm in a rs e d ir e c ta m e n te la fu e rz a e n b s e le m e n to s P U ,Q U ,S C y T C , re sp e c tiv a m e n te .

(b)

fig u ra 3 -30

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In d iq u e c ó m o a n a liz a r la a rm a d u ra c o m p u e s ta q u e s e m u e s tra e n la f ig u ra 3-31<i. L a s re a c c io n e s e n los s o p o r te s ya s e h a n ca lcu lad o .

A D_

3k

12

• 4 5 °

6 DÍCS —

, ' -** y» 4 5 °

B

L— 6 d í c s —- - oics

4 5 ° \ j

E \— 6 d íc s — 1-— 6 ow l/ ,V J J

3 k F, = 3k

|— 6pies—|

12 pies

6 sen 45° pies

3 k 3 k

(c)

S O L U C IÓ NL a a rm a d u ra p u e d e c la s i f i c a r e c o m o c o m p u e s ta d e l tip o 2 , p u e s to q u e la s a rm a d u ra s s im p le s A B C D y F E H G e s tá n c o n e c ta d a s p o r tr e s b a r r a s q u e n o s o n p a ra le la s n i c o n c u r re n te s , a s a b e r , C E , B U y D G .

Si s e u s a la s e c c ió n a a d e la f ig u ra 3 - 3 l a , es p o s ib le d e te r m in a r la fu e rz a e n c a d a b a r r a d e c o n e x ió n . E n la f ig u ra 3 -31 b se m u e s tra e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e la p a r te iz q u ie rd a d e e s ta secc ió n . P o r lo ta n to ,

= O, - 3 ( 6 ) - F p c i é se n 4 5 ° ) + F CEeo s 4 5 °(1 2 )

+ f ’C £ s e n 4 5 ° ( 6 ) = 0 (1 )

+ T 2 F , = 0 ; 3 - 3 - F r h s e n 4 5 ° + FC £ s e n 4 5 ° = 0 (2 )

Z F , = 0 ; — F b u eo s 4 5 ° + F ^ - F CEco s 4 5 ° = 0 (3 )

A p a r t i r d e la e c u a c ió n (2 ) , Ffín ■ FCú e n to n c e s , a l r e s o lv e r s im u ltá n e a m e n te la s e c u a c io n e s (1 ) y (3 ) s e o b tie n e

F Bh = F cf. = 2.68 k (C ) F n c = 3.78 k (T )

A h o ra p u e d e re a liz a rse e l a n á lis is d e c a d a a rm a d u ra s im p le c o n e c ta d a s ig u ie n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s P o r e je m p lo , c o n b a s e e n la fig u ra 3 -3 le , e s to p u e d e h a c e rs e e n la s ig u ie n te se c u e n c ia .

Ju n ta A : D e te rm in e la fu e rz a e n A B y A D . J u n ta D : D e te rm in e l a fu e rz a e n D C y D B . J u n ta C: D e te rm in e la fu e rz a e n C B .

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P R O B L E M A S F U N D A M E N T A L E S

F 3 - 7 . D e te r m in e la f u e rz a e n lo s e le m e n to s H G , I t G y B C

c in d iq u e s i e s tá n e n te n s ió n o e n c o m p r e s ió n .1 3 -1 0 . D e te rm in e la f u e rz a e n lo s e le m e n to s G F , C F y C D c in d iq u e s i e s tá n e n te n s ió n o e n c o m p r e s ió n .

4001b

1 3 - 8 . D e te r m in e la f u e rz a e n lo s e le m e n to s H G , H C y B C 1 3 -1 1 - D e te rm in e la fu e rz a e n lo s e le m e n to s F E , F C y B C

e in d iq u e s i e s tá n e n te n s ió n o e n c o m p r e s ió n . e in d iq u e s i e s tá n e n te n s ió n o e n c o m p r e s ió n .

4 kN

6 0 0 1 b 600 Ib 6001b 6001b 6001b

B

— 4 p ie s— — 4 pies -

1-3-8

1 3 - 9 . D e te rm in e la f u e rz a e n lo s e le m e n to s E D . B D y B C

c in d iq u e s i e s tá n e n te n s ió n o e n c o m p re s ió n .

2 kN 2 kN

3 m - 3 m

1 3 - 1 1

1 3 -1 2 . D e te rm in e la f u e r z a e n lo s e le m e n to s G F , C F y C D e in d iq u e s i e s t á e n te n s ió n o e n c o m p re s ió n .

D 6 kN

.3¡>U

— A l > -----J

y j

.— > r ,lp \— J*1 1 ’l p 1V.> 1r p ita

13-12

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P R O B L E M A S

3 - 1 8 . D e te rm in e la f u e rz a e n lo s e le m e n to s G F , F C y C D

d e la a r m a d u ra d e p u e n te . In d iq u e s i lo s e le m e n to s e s t á n e n te n s ió n o e n c o m p re s ió n . S u p o n g a q u e t o d o s lo s e le m e n to s e s tá n c o n e c ta d o s m e d ia n te p a s a d o re s .

I S k 10 k

P r o h . 3 - 1 8

3 - 1 9 . D e te r m in e la f u e r z a e n lo s e le m e n to s J K . J N y C D .

In d iq u e s i lo s e le m e n to s e s tá n e n te n s ió n o e n c o m p re s ió n . I d e n tif iq u e to d o s lo s e le m e n to s d e f u e rz a c e ro .

3 - 2 1 . L a a r m a d u r a H o w e e s tá s u j e ta a la c a r g a q u e se m u e s tra . D e te r m in e la s fu e rz a s e n lo s e le m e n to s G F , C D y G C . I n d iq u e s i lo s e le m e n to s e s tá n e n te n s ió n o e n c o m p r e s ió n . S u p o n g a q u e t o d o s lo s e le m e n to s e s t á n c o n e c ta d o s m e d ia n te p a s a d o re s .

P ro h . 3 - 1 9

P ro h . 3 - 2 1

3 - 2 2 . D e te r m in e la fu e rz a e n lo s e le m e n to s R G , H G y R C

d e la a r m a d u r a e in d iq u e s i lo s e le m e n to s e s tá n e n te n s ió n o e n c o m p re s ió n .

* 3 -2 0 . D e te r m in e la f u e rz a e n lo s e le m e n to s G F , F C y C D

d e la a r m a d u ra e n v o la d iz o . In d iq u e s i lo s e le m e n to s e s tá n e n te n s ió n o e n c o m p re s ió n . S u p o n g a q u e to d o s lo s e le m e n to s e s tá n c o n e c ta d o s m e d ia n te p a s a d o re s .

G

6 k N 7 kN 4 k N

--------------- 12 m .4 X 3 m -----------

P r o h . 3 - 2 0 P r o h . 3 - 2 2

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3 -2 3 . D eterm ine la fuerza e n los e lem en tos G F . C F y CD d e la a rm adura d e techo e indique si los e lem entos e s tán en tensión o e n com presión.

3-25. D eterm ine la fuerza e n los e lem en tos / / / . ID y CD d e la arm adura . Indique si los e lem entos están e n tensión o e n com presión. Suponga que to d o s los elem entos están c o nectados m ediante pasadores.

3-26. D eterm ine la fuerza e n los e lem en tos .//, IC y C D de la arm adura . Indique si los elem entos están e n tensión o en com presión. Suponga que to d o s los e lem entos e s tán conectados m ediante pasadores.

1 5 kN

Probs. 3-25/3-26

•3 -24 . D eterm ine la fuerza e n los e lem en tos G F, F B y BC de la a rm ad u ra F ink e indique si los elem entos están e n tensión o e n com presión.

3-27. D eterm ine las fuerzas en los e lem entos K J, C D y C l d e la arm adura . Indique si los e lem entos están e n tensión o e n compresión.

P roh . 3-24 P roh . 3 - 2 7

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C a p i t u l o 3 A n á l i s i s d e a r m a d u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

3 . 7 A rm a d u ra s com p le jas

L a s fu e rz a s e n lo s e le m e n to s d e u n a a rm a d u ra c o m p le ja p u e d e n d e te r m in a rse s ig u ie n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s ; s in e m b a rg o , la so lu c ió n r e q u e r i r á e sc r ib ir la s d o s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io p a ra c a d a u n a d e la s j ju n ta s d e la a rm a d u ra y d e s p u é s re s o lv e r e l c o n ju n to c o m p le to d e 2j e c u a c io n e s e n fo r m a s im u ltá n e a * E s te e n fo q u e p u e d e s e r p o c o p rá c tic o s i lo s c á lc u lo s s e re a l iz a n m a n u a lm e n te , e n e sp e c ia l c u a n d o la s a r m a d u ra s s o n m u y g ra n d e s . P o r e llo , a c o n tin u a c ió n se p r e s e n ta u n m é to d o m ás d ir e c to p a ra a n a liz a r u n a a r m a d u r a c o m p le ja .c o n o c id o c o m o e l m é to d o d e los e le m e n to s su b s titu to s .

P ro c e d im ie n to de a n á lis is

C b n re fe re n c ia a la a rm a d u ra d e la f ig u ra 3 -3 2 a .s e r e q u ie re n los s ig u ie n te s p a so s p a ra d e te rm in a r las fu e rz a s e n los e le m e n to s m e d ia n te e l m é to d o d e lo s e le m e n to s su s titu to s .

Fuerzas 5 / Fuerzas s,<b> (c )

f ig u ra 3 -32

• F s to p u e d e re a liz a rse fá c ilm e n te e m p le a n d o u n a c o m p u ta d o ra , c o m o se m u e s tra e n e l c a p i tu lo 14

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3 . 7 A r m a d u r a s c o m p l e j a s 117

R e d u c c ió n a u n a a rm a d u ra s im p le e s t a b le

D e te rm in e la s re a c c io n e s e n los s o p o r te s y c o m ie n c e p o r im a g in a r c ó m o a n a liz a r ía la a rm a d u ra a p lic a n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s , e s d e c ir , p a s a n d o d e u n a ju n ta a o t r a y re so lv ie n d o p a r a e n c o n tr a r c a d a fu e rz a d e e le m e n to . S i se lle g a a u n a j u n t a d o n d e h a y tres in có g n ita s , e lim in e u n o d e los e le m e n to s e n la a r t ic u la c ió n y re e m p lá c e lo p o r un e le m e n to im a g in a r io e n c u a lq u ie r o t r a p a r te d e la a rm a d u ra . D e e s ta m a n e ra , s e re c o n s tru y e la a rm a d u ra c o m o u n a a rm a d u ra s im p le e s ta b le .

ft>r e je m p lo , e n la f ig u ra 3 -3 2 a s e o b s e rv a q u e c a d a ju n ta te n d rá tr e s fu e rz a s d e e l e m e n to d esco n o c id a s a c tu a n d o s o b re e lla . ft>r lo t a n to .s e e l im in a rá e l e le m e n to / I D y se re e m p la z a rá c o n e l e le m e n to im a g in a r io C E , f ig u ra 3 -3 2 b . E s ta a rm a d u ra p u e d e a n a l i za rse a h o ra m e d ia n te e l m é to d o d e lo s n u d o s p a r a lo s d o s tip o s d e c a rg a q u e s ig u en .

C a rg a e x te r n a s o b r e u n a a rm a d u ra s im p le

C a rg u e la a rm a d u ra s im p le c o n la c a rg a r e a l P y d e s p u é s d e te rm in e la fu e rz a 5 / e n c a d a e le m e n to i. C u a n d o la s re a c c io n e s y a h a n s id o d e te r m in a d a s ,e n la f ig u ra 3 -3 2 6 * p u e d e c o m e n z a r e n la j u n t a A p a ra d e te r m in a r la s fu e rz a s e n A R y A F , d e s p u é s e n la j u n t a F p a ra d e te r m in a r la s fu e rz a s e n F E y F O , lu e g o e n la j u n t a D p a ra d e te r m in a r las fu e rz a s e n D E y D C ( la s c u a le s s o n ig u a le s a c e r o ) ; p o s te r io rm e n te , e n la j u n t a E p a ra e n c o n tr a r E R y E C , y f in a lm e n te la ju n ta B p a ra d e te r m in a r la fu e rz a e n B C ,

R etiro d e la c a r g a e x t e m a d e la a r m a d u r a s im p le

C o n s id e re la a rm a d u ra s im p le s in la c a rg a e x te r n a P . C o lo q u e cargas u n ita r ia s g u a le s p e ro o p u e s ta s a lin e a d a s s o b re l a a rm a d u ra e n la s d o s ju n ta s d e la s c u a le s s e r e t i r ó e l e le m e n to . S i e s ta s fu e rz a s d e s a r ro lla n u n a fu e rz a s, e n e l i-é s im o e le m e n to d e u n a a rm a d u ra , e n to n c e s p o r p ro p o rc ió n u n a fu e rz a x d e sc o n o c id a e n e l e le m e n to r e t i r a d o e je rc e r ía u n a fu e rz a d e x s ,e n e l í - é s im o e le m e n to .

C b n b a se e n la f ig u ra 3 -3 2 c ,la s c a rg a s u n ita r ia s ig u a le s p e r o o p u e s ta s n o crearán rea c c io n es e n A y C c u a n d o s e a p lic a n las e c u a c io n e s d e e q u il ib r io a to d a la a rm a d u ra . L a s fu e rz a s s , p u e d e n d e te r m in a rs e m e d ia n te u n an á lis is d e la s ju n t a s e n l a m ism a se c u e n c ia a n te r io r , e s d e c ir , p r im e ro la ju n ta A , lu e g o la s ju n ta s F . D . E y p o r ú lt im o la ju n ta B.

S u p e rp o s ic ió nSi los e fe c to s d e las d o s c a rg a s a n te r io r e s s e c o m b in a n , la fu e rz a e n e l i-é s im o e le m e n to d e la a rm a d u ra s e rá

S , = s ; + *5, (1 )

E n p a r t ic u la r , p a r a e l e le m e n to s u s ti tu id o E C e n la f ig u ra 3 -3 2 b la fu e rz a S EC ■ S 'c c + x s FC. C ó m o e l e le m e n to E C e n r e a l id a d no ex is te e n la a rm a d u ra o r ig in a l , se e le g irá x co n u n a m a g n itu d ta l q u e p ro d u z c a u n a fu e r z a c e ro e n E C .P o r co n s ig u ie n te ,

S'EC + x s EC = O (2 )

o x = -S 'E c fs E c - v e z q u e se h a d e te r m in a d o e l v a lo r d e x , las fu e rz a s e n lo s o t r o s e le m e n to s i d e la a rm a d u ra c o m p le ja p u e d e n d e te r m in a rs e a p a r t i r d e la e c u a c ió n (1 ).

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EJEM PLO 3.11

D e te rm in e la fu e iz a e n c a d a e le m e n to d e la a rm a d u ra c o m p le ja q u e s e m u e s tra e n la f ig u ra 3 -33a . S u p o n g a q u e la s ju n t a s B , F y D x e n c u e n tra n e n la m ism a línea h o r iz o n ta l . In d iq u e s i lo s e le m e n to s e s tá n e n te n s ió n o e n c o m p re s ió n .

8 p ie s

(a)

F ig u ra 3 - 3 3

S O L U C IÓ N

Reducción a una armadura simple estable. ft>r in sp ecc ió n , c ad a ju n ta tie n e tre s fu e rz a s d e e le m e n to d esco n o c id as. E l aná lis is d e la s ju n ta s p u e d e re a liz a rse e n fo rm a m a n u a l s i . p o r e je m p lo , s e e lim in a e l e le m e n to C E y s e s u s titu y e p o r e l e le m e n to D E . f ig u ra 3 -33b . L a a rm a d u ra re s u lta n te e s e s ta b le y n o c o la p sa rá .

Carga externa sobre la armadura simple. C o m o s e m u e s tra e n la f ig u ra 3-33¿>,se h a n d e te rm in a d o la s re a c c io n e s e n los so p o r te s d e la a r m a d u ra . A p lic a n d o e l m é to d o d e los n u d o s , p r im e ro p u e d e an a liz a rse la ju n ta C p a ra e n c o n tr a r las fu e rzas e n lo s e le m e n to s C B y C D \ lu e g o la ju n ta F, d o n d e s e o b se rv a q u e F A y F E so n e le m e n to s d e fu e rz a ce ro ; d e s p u é s la j u n t a E p a ra d e te r m in a r la s fu e r z a s e n lo s e le m e n to s E B y E D \ p o s te r io rm e n te , l a ju n ta D p a ra d e te rm in a r las fu e rz a s e n D A y D B ,y p o r ú ltim o la ju n ta B p a ra d e te rm in a r la fu e rz a e n B A . E stas fu e rzas 5¡ se re g is tra n e n la c o lu m n a 2 d e la ta b la 1, d o n d e s e c o n s id e ra a la te n s ió n c o m o p o sitiv a y a la c o m p re s ió n c o m o negativa .

í4375 k

(b)

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3 . 7 A r m a d u r a s c o m p l e j a s 119

(c)

R e tiro d e la c a rg a e x te m a d e la a rm a d u ra s im p le . E n la fig u ra3-33c s e m u e s tra l a c a rg a u n ita r ia q u e a c tú a s o b r e la a rm a d u ra . E s ta s tu e rz a s ig u a les p e ro o p u e s ta s n o c r e a n re a c c io n e s e x te m a s s o b re la a rm a d u ra . E l an á lis is d e ju n ta s s ig u e la m ism a se c u e n c ia in d ic a d a a n te r io rm e n te ; e s d e c ir , s e a n a liz a n la s ju n t a s C , F ,E ,D y B . L o s re s u lta d o s d e l an á lis is d e fu e rz a s s, s e r e g is tr a n e n la c o lu m n a 3 d e la ta b la 1.

S u p e rp o s ic ió n . Se re q u ie re

S d b = S'd b + x s d b = 0

A l su s titu ir los d a to s e n S 'DB y sDB,d o n d e S ’DB es n e g a tiv a p u e s to q u e h fu e rz a e s d e c o m p re s ió n ,s e tie n e

- 2 .5 0 + x (1 .1 6 7 ) = 0 x = 2.143

L os v a lo re s d e xs¡ s e r e g is tr a n e n l a c o lu m n a 4 d e la ta b la 1. y la s fu e r zas d e e le m e n to re a le s S ,= S ¡ + xs¡ se e n lis ta n e n la c o lu m n a 5.

TA B LA 1 jS e m e n tó s¡ * ** s.

CB 3.54 -0 .707 -1 .5 2 2.02 (T)CD -3 .5 4 -0 .707 -L 5 2 5.05 (C)FA 0 0.833 1.79 1.79 (T)FE 0 0.833 1.79 1.79 (T)EB 0 -0 .712 -1 .5 3 1.53 (C)F.D -4 .3 8 -0 2 5 0 -0 5 3 6 4.91 (C )D A 534 -0 .712 -1 .5 3 3.81 (T)D B -2 .5 0 1.167 250 0BA 2.50 -0 .250 - 0 5 3 6 1.96 (T)CB 2 1 4 (T)

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p

E l l e c h o d e e s l e p a b e l ló n s e s o s t i e n e m e d ia n te u n s is te m a d e a r m a d u r a s e s p a c ia le s .

3 . 8 A rm a d u ra s espacia les

U n a arm adura espacia l consis te e n e le m e n to s q u e e s tá n u n id o s e n tr e s i p o r s u s e x tre m o s p a ra fo rm ar u n a e s tru c tu ra tr id im en sio n a l e s tab le . E n la secc ió n 3-2 s e d e m o s tró q u e la fo rm a m ás s im p le d e u n a a rm a d u ra b id im en- s io n a l e s ta b le s e c o m p o n e d e e le m e n to s d isp u es to s e n fo rm a d e un tr ián g u lo . D e sp u é s s e c o n s tru y ó u n a a rm a d u ra p la n a s im p le c o n b ase en e s te e le m e n to tr ian g u la r, a ñ a d ie n d o d o s e le m e n to s a la v ez p a r a fo rm a r n u e v o s m ie m b ro s D e m a n e ra s im ila r, e l m ie m b ro m ás s im p le d e u n a a rm a d u ra espac ia l e s tab le es u n te traedro , fo rm a d o p o r l a c o n ex ió n d e se is e le m e n to s m e d ia n te c u a tro ju n ta s c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 3-34. T o d o s los e le m e n to s ad ic io n a les añ a d id o s a e s te e le m e n to básico se r ía n re d u n d a n te s p a ra so p o r ta r la fu e rza P. U n a a rm a d u ra espac ia l s im p le p u e d e co n stru irse a p a r t i r d e e s te m ie m b ro te tra é d r ic o básico , a g re g a n d o tre s n u e v o s e le m e n to s y o t r a ju n ta p a ra a s í fo rm a r te tra e d ro s m ulticonectados.

Determinación y estabilidad. A l o b s e rv a r q u e e n tr e s d im e n s io n e s h a y tr e s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io p a ra c a d a ju n ta ( 2 / r, = 0 , 2 F V = 0 . 2 F . = 0 ) . e n to n c e s p a r a u n a a rm a d u ra e sp ac ia l c o n u n n ú m e r o j d e ju n ta s , h a y 3j e cu ac io n es d isp o n ib le s . Si la a rm a d u ra t ie n e u n n ú m e r o b d e b a r r a s y u n n ú m e r o r d e re a c c io n e s , c o m o es e l c a so d e u n a a rm a d u ra p la n a (e c u a c io n e s 3-1 y 3 -2 ) . es p o s ib le e sc r ib ir

b + r < 3 j a rm a d u ra in e s ta b le b + r = 3 j e s tá tic a m e n te d e te r m in a d a - c o m p ro b a r

e s ta b il id a db + r > 3 / e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a - c o m p r o b a r

e s ta b il id a d

(3 -3 )

L a estab ilidad externa d e la a rm a d u ra e sp ac ia l re q u ie re q u e las reacciones e n los so p o r te s m a n te n g a n la a rm a d u ra e n e q u il ib r io d e fu e rz a s y m o m en to s r e s p e c to d e c u a le sq u ie r e jes . E n o c a s io n e s e s to p u e d e c o m p ro b a rse p o r in sp ecc ió n , p e ro s i la a rm a d u ra e s in e s ta b le u n a s o lu c ió n d e las e c u a c io n e s d e e q u il ib r io d a rá r e s u lta d o s in co n s is ten te s . L a e sta b ilid a d in terna p u e d e c o m p ro b a rse a v e c e s m e d ia n te una in sp ecc ió n c u id a d o s a de h d isp o s ic ió n d e los e le m e n to s . S ie m p re q u e c a d a ju n ta s e m a n te n g a fija p o r su s so p o r te s o e le m e n to s co n ec tad o s , d e m o d o q u e n o p u e d a m o v erse c o n re s p e c to a la s d e m á s ju n ta s , l a e s tru c tu ra p u e d e c las ifica rse c o m o e s tab le in te rn a m e n te . A d e m á s .s i s e h ace un aná lis is d e fu e rz a s d e la a rm a d u ra y s e o b tie n e n re s u lta d o s in c o n s is te n te s , e n to n c e s la c o n fig u ra c ió n de la a rm a d u ra s e rá in e s ta b le o te n d rá u n a “ fo rm a c r í tic a ” .

Supuestos para el diseño. L os e le m e n to s d e u n a a rm a d u ra e sp a cia l p u e d e n tr a ta r s e co m o e le m e n to s d e fu e rz a ax ia l, s ie m p re q u e la ca rg a e x te m a se a p liq u e e n la s ju n ta s y é s ta s s e fo rm e n m e d ia n te c o n e x io n e s de ró tu la . E s te su p u e s to se ju s tif ic a su p o n ie n d o q u e lo s e le m e n to s u n id o s p o r u n a c o n e x ió n se c ru c e n e n u n p u n to co m ú n y e l p e s o d e los e lem en to s p u e d a igno rarse . E n lo s caso s e n q u e e l p e so d e u n e le m e n to s e in c lu y a en e l análisis, p o r lo g en e ra l re su lta sa tisfac to rio ap lic a rlo c o m o u n a fuerza vertica l, con la m ita d d e su m ag n itu d ap licad a a c ad a ex trem o d e l e lem en to .

P a ra e l an á lis is d e fuerzas , lo s s o p o r te s d e u n a a r m a d u r a e sp a c ia l s u e le n m o d e la rse c o m o u n e s la b ó n c o rto , u n a ju n ta d e ro d illo s p la n a , u n a ju n ta d e ro d illo s r a n u r a d a o u n a ju n ta d e ró tu la . E n la ta b la 3-1 s e m u e s tr a c a d a u n o d e e s to s s o p o r te s y su s c o m p o n e n te s d e fu e r z a re a c tiv a .

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3 . 8 A r m a d u r a s e s p a c i a l e s

TABLA 3 - 1 S o p o r t e s y s u s c o m p o n e n t e s d e f u e r z a r e a c t iv a

(2)

ro d illo

( 3 )

V -ro d illo ra n u n id o re s tr in g id o

e n u n c il in d ro

(4 )

F,

/r .

— y

ró tu la

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F ig u ra 3 - 3 5

C o m po nentes de fuerza X, y , z. C ó m o e l an á lis is d e u n a a rm a d u ra e sp a c ia l e s tr id im e n s io n a l, a m e n u d o s e r á n e c e sa r io d e s c o m p o n e r la fu e rz a F d e u n e le m e n to e n lo s c o m p o n e n te s q u e a c tú a n a lo la rg o d e los e je s x , y , z . P o r e je m p lo , e n la f ig u ra 3 -35 e l e le m e n to A B t ie n e u n a lo n g itu d / y p ro y e c c io n e s c o n o c id a s x , y , z a lo la rg o d e lo s e je s c o o rd e n a d o s . E s ta s p ro y e c c io n e s p u e d e n re la c io n a rs e c o n la lo n g itu d d e l e le m e n to

v m e d ia n te la e c u a c ió n

D e b id o a s u e f ic ie n c ia d e c o s to s , las t o r r e s d e e s t e t ip o s e u s a n p a r a s o s t e n e r v a r ia s lin e a s d e t r a n s m is ió n e lé c tr ic a .

i = V ? T 7 T ? (3 -4 )

C o m o la fu e rz a F ac tú a a lo la r g o d e l e je d e l e le m e n to , la s c o m p o n e n te s d e F p u e d e n d e te rm in a rs e p o r p ro p o r c ió n d e la s ig u ie n te m a n e ra :

* - < f ) - Í l ) (3-5)

T en g a e n c u e n ta q u e e s to re q u ie re

f = V f T T F i + (3 -6 )

E l u so d e e s ta s e c u a c io n e s s e ilu s t ra rá e n e l e je m p lo 3-12.

Elem entos d e fuerza ce ro . E n a lg u n o s ca so s , e l an á lis is d e las ju n ta s d e u n a a rm a d u ra p u e d e s im p lific a rse s i e s p o s ib le d e te c ta r lo s e l e m e n to s d e fu e rz a c e ro a l re c o n o c e r d o s c a so s c o m u n e s e n la g e o m e tr ía d e las ju n ta s .

C a so 1 . Si to d o s lo s e le m e n to s c o n e c ta d o s a u n a a rm a d u ra m e n o s u n o e s tá n e n e l m ism o p la n o y s ie m p re q u e n in g u n a c a rg a e x te rn a a c tú e s o b re la ju n ta , e l e le m e n to q u e n o s e e n c u e n tra e n e l p la n o d e lo s d e m á s e le m e n to s d e b e e s ta r s o m e tid o a u n a fu e rz a c e ro . I-a p ru e b a d e e s ta a f i r m a c ió n s e m u e s tra e n la f ig u ra 3 -3 6 ,d o n d e los e le m e n to s A , f í y C e s tá n e n e l p la n o x -y . C o m o la c o m p o n e n te z d e F „ d e b e s e r c e ro p a ra s a t is f a c e r - 0 , e l e le m e n to D d e b e s e r u n e le m e n to d e fu e rz a c e ro . P o r el m ism o ra z o n a m ie n to , e l e le m e n to D s o p o r ta rá u n a c a rg a q u e p u e d e d e te rm in a rs e a p a r t i r d e 1 F . = O si u n a fu e rz a e x te r n a a c tú a s o b r e la ju n ta y t ie n e u n a c o m p o n e n te q u e a c tú a a k» la r g o d e l e je z.

H gura 3-36

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3 . 8 A r m a d u r a s e s p a c i a l e s 1 2 3

C a so 2 . S i s e h a d e te rm in a d o q u e to d o s m e n o s d o s d e v a rio s e le m e n to s c o n e c ta d o s a u n a ju n ta s o p o r ta n fu e rz a c e ro , lo s d o s e le m e n to s r e s ta n te s ta m b ié n d e b e n s o p o r ta r fu e rz a c e ro , s ie m p re q u e n o s e e n c u e n t ra n a lo la rg o d e la m ism a línea . E s ta s itu a c ió n s e ilu s tra e n la f ig u ra 3 -37, d o n d e s e s a b e q u e A y C so n e le m e n to s d e fu e r z a c e ro . C o m o F D es c o lin e a l c o n e l e je y , e n to n c e s la a p lic a c ió n d e I F , = 0 o 1 F . = 0 re q u ie re q u e la s c o m p o n e n te s x o z d e Ffl s e a n c e ro . E n c o n se c u e n c ia , F fí = 0. Si é s te e s el c a so , F „ = 0 p u e s to q u e Z F y = 0.

F ig u ra 3 - 3 7

D e b e p re s ta r s e a te n c ió n e sp ec ia l a lo s d o s c a so s a n te r io r e s d e c a rg a y g e o m e tr ía d e la s ju n ta s , p u e s to q u e e l an á lis is d e u n a a rm a d u ra e sp a c ia l p u e d e s im p lifica rse c o n s id e ra b le m e n te s i se d e te c ta n p r im e ro lo s e l e m e n to s d e fu e rz a c e ro .

P ro c e d im ie n to d e a n á lis is

P a ra d e te r m in a r la s fu e rz a s d e s a r ro lla d a s e n lo s e le m e n to s d e u n a a rm a d u ra e sp a c ia l p u e d e u sa rse e l m é to d o d e la s se c c io n e s o e l m é to d o d e los n u d o s .

M é to d o d e la s s e c c io n e s

Si s ó lo d e b e n d e te r m in a rs e algunas fu e iz a s d e e le m e n to , p u e d e u sa rse e l m é to d o d e las se c c io n e s C u a n d o s e p a s a u n a s e c c ió n im a g in a r ia a tr a v é s d e u n a a rm a d u ra y é s t a se d iv id e e n d o s p a r te s , e l s is te m a d e fu e rz a q u e a c tú a e n c a d a u n a d e las p a r te s d e b e s a tis fa c e r la s s e is e c u a c io n e s e sc a la re s d e e q u il ib r io : Z F , = 0 , Z F r = 0 , Z f . = 0 ,

Z A f , = 0 , Z A /y = 0 , Z A f . = 0 . M e d ia n te la e le c c ió n a d e c u a d a d e la s e c c ió n y los e je s p a ra s u m a r fu e rz a s y m o m e n to s .e s p o s ib le c a lc u la r d ir e c ta m e n te m u c h a s d e la s fu e rz a s d e e le m e n to d e sc o n o c id a s e n u n a a rm a d u ra e sp a c ia l, e m p le a n d o u n a s o la e c u a c ió n d e e q u ilib r io . A e s te re sp e c to , re c u e r d e q u e e l m o m e n to d e u n a fu e rz a re s p e c to a u n e je es cero s ie m p re q u e la fu e r z a sea p a ra le la a l eje o s u lín ea d e a cc ió n p a s e a tra v é s d e u n p u n to e n e l eje.

M é to d o d e lo s n u d o s

E n g e n e ra l , s i d e b e n d e te r m in a r s e la s fu e rz a s e n lo d o s los e le m e n to s d e la a rm a d u ra , e l m é to d o d e lo s n u d o s es e l m ás a d e c u a d o p a r a re a l iz a r e l an á lis is . C u a n d o s e u ti liz a e l m é to d o d e los n u d o s , es n e c e s a r io re s o lv e r las tr e s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io e sc a la re s Z Fx = 0 , Z Fy = 0 , Z F. = 0 e n c a d a ju n ta . C o m o e s r e la tiv a m e n te fác il d ib u ja r los d ia g ra m a s d e c u e rp o lib re y a p lic a r la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , e l m é to d o d e lo s n u d o s es m u y c o n s is te n te e n s u ap lic a c ió n .

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EJEM PLO 3 .1 2

D e te rm in e la fu e rz a e n c a d a e le m e n to d e la a rm a d u ra e sp a c ia l q u e se m u e s tra e n la f ig u ra 3 -3 8 a . L a a rm a d u ra e s tá s o p o r ta d a p o r u n a ju n ta d e ró tu la e n A , u n a ju n ta d e ro d illo ra n u ra d o e n B y u n c a b le e n C.

Figura 3 -38

S O L U C IÓ N

L a a rm a d u ra e s e s tá tic a m e n te d e te r m in a d a p u e s to q u e b + r = 3 ; o b ie n 9 + 6 = 3 (5 ) , f ig u ra 3 -386 .

R eacciones e n lo s s o p o rte s . E s p o s ib le o b te n e r la s re a c c io n e s e n los s o p o r te s a p a r t i r d e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e to d a la a rm a d u ra . fig u ra 3 -3 8 6 ,d e l a s ig u ie n te m a n e ra :

Z M y = 0; - 6 0 0 ( 4 ) + B ,( S ) = 0 ñ , = 300 Ib

SA Z. = 0 ; C y = 0

2 M , = 0 ; B y{8 ) - 6 0 0 (8 ) = 0 B , = 600 Ib

l F t = 0 ; 3 0 0 - A , = 0 A , = 3 0 0 Ib

Z F y = 0 ; < 4 , - 6 0 0 - 0 <4, = 600 Ib

Z F . = 0 ; <4. - 600 = 0 <4. = 600 Ib

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3 . 8 A r m a d u r a s e s p a c i a l e s 1 2 5

6001b

J u n ta B. E l m é to d o d e lo s n u d o s p u e d e e m p e z a r e n B , p u e s to q u e hay tr e s fu e rz a s d e e le m e n to d e sc o n o c id a s e n e s ta ju n ta , f ig u ra 3 -38c. L as c o m p o n e n te s d e Ffl£ p u e d e n d e t e r m i n a r e p o r p ro p o rc ió n a la b n g i tu d d e l e le m e n to S E , c o m o se in d ic a e n la s e c u a c io n e s 3 -5 . Se tiene q u e

l F y = O. - 6 0 0 + E fl£(& ) = 0 F b e = 9 0 0 Ib ( T ) Resp.

S E , = 0 ; 300 - F b c - 9 0 0 ( £ ) = 0 F BC = 0 Resp.

S E , = 0 ; F b a - 9 0 0 ( g ) = 0 F RA = 600 Ib ( C ) Resp.

J u n ta A . U sa n d o e l re s u lta d o p a ra F ^ ■ 600 Ib ( C ) .e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e la j u n t a A s e m u e s tra e n la f ig u ra 3 -3 8 d . Se tie n e

S E , = 0 ;

S E V = 0;

S E , = 0;

6 0 0 - 6 0 0 + E ^ c s e n 45

F a c = 0

0

- E r f í f o ) + 600 - 0

F a e = 670.8 Ib (C )

- 3 0 0 + F a d + 6 7 0 . 8 ( ^ ) = 0

F a d = 0

Resp.

Resp.

Resp.

AK

J u n ta D. Pbr in sp e c c ió n , los e le m e n to s e n la ju n ta D , f ig u ra 3 -3 8 a , s o p o r ta n fu e iz a c e ro , y a q u e l a d isp o sic ió n d e lo s e le m e n to s e s s im ila r a c u a lq u ie ra d e los d o s caso s an a liz a d o s e n re fe re n c ia a la s figu ras 3 -36 y 3-37. A d e m á s , a p a r t i r d e l a f ig u ra 3 -3 8 e .

S E ,

S E ,

0 ;

0;F DE

F n c

Resp.

Resp.

J u n ta C . l\> r o b s e rv a c ió n d e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re , f ig u ra 3 -38 f

F'c e = 0 R esp.

0 0 F t *

(f)

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EJEM PLO 3 .1 3

D e te rm in e lo s e le m e n to s d e fu e rz a c e ro d e l a a rm a d u ra q u e s e m u e s tr a e n la f ig u ra 3 -3 9 a . L os so p o r te s e je rc e n la s c o m p o n e n te s d e re a c c ión e n la a r m a d u r a c o m o s e in d ic a e n la figu ra .

<«)

f i g u r a 3 - 3 9

S O L U C IÓ NE l d ia g r a m a d e c u e rp o lib re , f ig u ra 3 -3 9 a , in d ic a q u e h a y o c h o re a c c io n es d e sc o n o c id a s p a ra cuya s o lu c ió n só lo hay d is p o n ib le s s e is e c u a c io n e s d e e q u ilib r io . A u n q u e é s te s e a e l c a so , la s re a c c io n e s p u e d e n d e te rm in a rs e , p u e s to q u e 6 + r = 3 / o l 6 + 8 = 3(8).

P a ra d e te c ta r los e le m e n to s d e fu e rz a c e ro , e s n e c e sa r io c o m p a r a r la s c o n d ic io n e s d e la g e o m e tr ía d e las ju n ta s y la c a rg a c o n la s in c lu id a s e n la s fig u ra s 3 -36 y 3-37. C o n s id e re la ju n ta F , f ig u ra 3 -39b . C o m o lo s e le m e n to s F C , F D y F E se e n c u e n t ra n e n e l p la n o x ' y ' y F G no e s tá e n e s te p la n o , F G es u n e le m e n to d e fu e rz a c e r a ( D e b e s a tis fa c e r s e "LF.• = 0 .) D e l a m is m a m a n e r a , a p a r t i r d e la j u n t a E , f ig u ra3-39c. E F e s u n e le m e n to d e fu e r z a c e ro , p u e s to q u e n o se e n c u e n tra e n e l p la n o y '- z ' . ( D e b e s a t is fa c e rse E / y = 0 .) V o lv ien d o a l a ju n ta F , fig u ra 3 -39b , p u e d e o b se rv a rse q u e F fd = F p c = 0 p u e s to q u e F f f = F f c = 0 ,y n o h a y fu e rz a s e x te rn a s q u e a c tú e n s o b re la ju n ta . U se e s te p ro c e d im ie n to p a r a d e m o s tra r q u e A B es u n e le m e n to d e fu e rz a c e ro .

E l an á lis is n u m é ric o d e fu e rz a s e n la s ju n ta s p u e d e p ro c e d e r a h o ra a a n a liz a r la ju n ta G (F g f = 0 ) p a ra d e te r m in a r la s fu e rz a s e n G H , G B , G C , D e sp u é s s e a n a liz a la ju n ta H p a ra d e te rm in a r la s fu e rz a s e n H E , H B y H A -,la ju n ta E p a ra d e te r m in a r la s fu e rz a s e n E A , E D \ la ju n ta zl p a ra d e te rm in a r la s fu e rz a s e n A B . A D y / l r ;la ju n ta B p a ra d e te rm in a r la fu e rz a e n B C y B „ B ¡\ la ju n ta D p a ra d e te rm in a r la fu e rz a e n D C y D y, D z y. p o r ú ltim o , la ju n ta C p a ra d e te r m in a r C „ C y, C z.

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3 - 8 PROBLEM AS 1 2 7

P R O B L E M A S

•3 -28 . D eterm ine las fuerzas e n todos los elem entos d e la arm adura co m p le ja Ind ique s i los elem entos están en te n sión o e n com presión. Sugerencia: Sustituya A l ) por un elemento ubicado en tre E y C.

3-30. D eterm ine la fuerza e n cad a e lem ento e indique si los e lem entos e s tán e n tensión o e n com presión.

P roh . 3-28

Proh . 3 -30

>-29. D eterm ine las fuerzas e n todos los e lem entos d e la arm adura (com pleja) e n form a d e red. Ind ique si los elementos están e n tensión o e n com presión. Sugerencia: Sustituya J E por un e lem ento ub icado en tre K y F.

3-31. D eterm ine la fuerza e n to d o s los e lem en tos d e la arm adura com ple ja Ind ique si los elem entos están e n tensión o e n compresión.

P roh . 3 -31

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*3-32. D eterm ine la fuerza desarrollada e n cada e le mento de la a rm adura espacial e indique si los e lem entos están e n tensión o e n com presión . L a caja tiene un peso de 150 Ib.

P rob .3 -32

3-33. D eterm ine la fuerza e n cada e lem ento d e la arm adura espacial e indique s i los elem entos están e n tensión o en com presión. Sugerencia: La reacción d e l soporte e n E actúa a lo largo del e lem en to £ /? .¿F o r qué?

Proh. 3 -33

3-34. D eterm ine la fuerza e n cada elem ento d e la a rm adura espacial e indique si los elem entos están e n tensión o en com presión. La a rm adura se sostiene m ediante articu laciones de ró tu la e n C .D .E y G . Ñola: A pesar d e q u e esta arm adura e s indeterm inada de p rim er grado, es posible una solución debido a la sim etría de la carga y la geom etría.

Probs. 3-35/3-36

3-35. D eterm ine la fuerza e n los e lem entos F E y F.D de la a rm adura espacial e indique si los e lem entos están e n te n sión o e n com presión. La arm adura se sostiene m ediante una articulación d e ró tu la e n C y eslabones cortos c n A y B .

*3-36. D eterm ine la fuerza e n los e lem entos G D , G E y F D de la arm adura espacial e indique si los e lem entos están en tensión o en com presión.

5001b

2001b

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PfOBl EMAS D E PROVECTO 1 2 9

3-37. D eterm ine la fuerza e n cada e lem ento d e la arm adura espacial. Ind ique s i los e lem entos están e n tensión o en compresión.

3-38. D eterm ine la fuerza e n los e lem entos B E . B E y BC d e la arm adura espacial c indique si los e lem entos están en tensión o e n com presión.

3-39. D eterm ine la fuerza en los e lem en tos C D , FD y CF d e la arm adura espacial e indique si los elem entos están en tensión o e n compresión.

P rob . 3 -37 Probs. 3-38/3-39

P R O B L E M A S DE P R O Y E C T O

3-1P. Las arm aduras Pratt d e techo e s tán espaciadas uniform em ente a cada 15 pies. l a cubierta, e l m ateria l del techo y los largueros tienen un peso prom edio d e 5.6 Ib/pie7. E l edificio está situado e n N ueva Y ork, donde la carga d e nieve prevista es d e 20 lb/pic2 y la carga d e hielo pronosticada e s d e 8 Ib/pie7. Estas cargas se producen e n el área horizon tal p royectada d e l techo. D eterm ine la fuerza en cada e lem ento deb ida a la carga m uerta y a las cargas de la n ieve y el hielo. D esprecie e l peso d e los e lem entos d e la arm adura y suponga q u e A es una articulación y q u e F e s un rodillo. Problem a d e proyecto 3 -1 P

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r e p a s o d e l c a p í t u l o

Las arm aduras se com ponen de e lem entos delgados unidos e n sus ex trem as p ara fo rm ar una serie d e triángulos.

Para e l análisis se supone que los e lem entos están conectados m ediante pasadores y que las cargas se aplican en las juntas. P o r lo tan to , los e lem entos estarán e n tensión o en com presión.

Las arm aduras pueden clasificarse e n tres form as:

l a s armaduras sim ples se form an com enzando con un e lem en to triangular inicial.después se conecta a dos e lem entos m ás y una ju n ta para a s í form ar un segundo triángulo, etcétera.

Las armaduras com puestas se form an al conectar en tre s í d o s o m ás arm aduras sim ples usando u n a jun ta com ún y/o un e le m ento adicional.

Las arm aduras com plejas son aquellas que no pueden clasificarse com o sim ples o com puestas

a r m a d u r a s

a r m a d u r a s im p l e a rm a d u ra c o m p u e s ta

a rm a d u ra c o m p le ja

Si e l núm ero d e b a rras o e lem entos d e una a rm adura es b ,se tienen r reacciones y hay j juntas, en tonces si

b + r = 2/. la arm adura e s estáticam ente determ inada

b + r > 2/ la a rm adura es está ticam ente indeterm inada

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R e p a s o d e l c a p i t u l o 1 3 1

La arm adura será inestable ex ternam ente si las reacciones so n concurrentes o paralelas.

I a estabilidad in terna puede verificarse al co n ta r e l núm ero de b a rras b . las reacciones r y las ju n ta s j.

Si b + r < 2j, la a rm adura es inestable.

Si b + r a 2 / b a rm adura aún puede se r inestable, p o r lo que es necesario inspeccionarla y buscar arreg los d e b a rras que form en un m ecanism o paralelo , sin form ar un e lem ento triangular.

in c s ia b le -re a c c io n e s p a ra le la s

in e s tab le in te rn a m e n te

l a s arm aduras p lanas pueden analizarse p o r el m étodo d t lo s nudos. E sto se hace seleccionando cada ju n ta e n se- cucncia.de m odo q u e tenga com o m áxim o una fuerza c o nocida y a l m enos d o s incógnitas. Se construye el diagram a d e cuerpo libre de cada ju n ta y se escriben y resuelven dos ecuaciones d e equilibrio d e fuerzas, E F , = 0 y E F , = 0, a fin d e determ inar las fuerzas d e elem ento desconocidas.

E n e l m étodo d e las secciones es necesario p asar una sección a través d e la arm adura y después dibujar u n d ia gram a de cuerpo libre d e una de sus partes seccionadas. D espués se de te rm inan las fuerzas d e elem ento co rtadas p o r la sección a partir d e las tres ecuaciones d e equilibrio. N orm alm ente puede encontrarse una so la incógnita si se sum an los m om entos respecto a un pun to q u e elim ine las otras dos fuerzas.

l a s arm aduras com puestas y com plejas tam bién puc- cfcn analizarse p o r e l m étodo de los nodos y el m étodo de las secciones. Para o b tener una solución d irec ta d e la fuerza en un e lem ento particu lar d e una a rm adura com pleja puede em plearse e l "m étodo d e los e lem entos sustitutos” .

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Las vigas y tr a b e s sim p lem en te ap o y ad as q u e form an la estructu ra d e e s te edificio fueron d iseñ ad as p ara resistir la fuerza co rtan te y el m om ento in ternos q u e actúan e n toda su lo n g itu d

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Cargas internas desarrolladas en elementos estructurales

A n te s d e d e te rm in a r la s p ro p o rc io n e s d e u n e le m e n to e s tru c tu ra l, es

n e ce s a rio c o n o c e r la fu e rz a y e l m o m e n to q u e a c tú a n e n su in te r io r . En

e s te c a p ítu lo se d e s a rro lla rá n lo s m é to d o s p a ra h a lla r e s ta s c a rg a s en

p u n to s e s p e c íf ic o s a lo la rg o d e l e je d e u n e le m e n to , y p a ra m o s tra r

g rá fic a m e n te la v a r ia c ió n u til iz a n d o lo s d ia g ra m a s d e fu e rza c o r ta n te y

d e m o m e n to . Se p re s e n ta rá n a p lica c io n e s ta n to pa ra v ig a s c o m o pa ra

m arcos.

4 .1 C argas in te rn a s en un p u n to e sp e c ífico

C ó m o s e e s tu d ió e n la secc ió n 2 -3 , la c a rg a in te rn a e n u n p u n to e s p e c ífico d e u n e le m e n to p u e d e d e te r m in a rs e a p lic a n d o e l m é to d o d e la s s e c c io n es . E n g e n e ra l , e s ta c a rg a p a r a u n a e s t ru c tu ra c o p la n a r c o n s is tirá e n u n a fu e rz a n o rm a l N . u n a fu e rz a c o r ta n te V y u n m o m e n to f le x io n a n te M * S in e m b a rg o , d e b e te n e r s e e n c u e n ta q u e e s ta s c a rg a s r e p re s e n ta n e n re a l id a d la s resu lta n tes efe la d is tr ib u c ió n d e e s fu e r z o s q u e a c tú a so b re e l á re a t r a n s v e rs a l d e l e le m e n to e n la s e c c ió n c o r ta d a . U n a v ez q u e s e c o n o c e n la s c a rg a s in te rn a s re s u lta n te s , la m a g n itu d d e l e s fu e rz o p u e d e d e te rm in a rs e s ie m p re q u e se su p o n g a u n a d is tr ib u c ió n d e e s fu e rz o s so b re e l á r e a d e la s e c c ió n tra n sv e rs a l e sp ec ífic a .

• L o s m a rc o s tr id im e n s io n a le s ta m b ié n p u e d e e s ta r s o m e tid o s a u n m o m en to d e to n ió n , q u e t ie n d e a d o b la r e l e le m e n to re s p e c to d e s u eje .

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134 C a p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s

C o n v e n c ió n d e s ig n o s . A n te s d e p r e s e n ta r u n m é to d o p a r a e n c o n tr a r la fu e rz a in te rn a n o rm a l, la fu e rz a c o r ta n te y e l m o m e n to flex io - n a n te . e s n e c e sa r io e s ta b le c e r u n a c o n v e n c ió n d e s ig n o s p a r a d e f in ir su s v a lo re s “p o s i t iv o " y “ n e g a tiv o ” .* Si b ie n l a e le c c ió n e s a rb i tr a r ia , la c o n v e n c ió n d e s ig n o s q u e s e a d o p ta r á a q u í h a s id o a m p lia m e n te a c e p ta d a e n la p rá c t ic a d e l a in g e n ie r ía e s t ru c tu ra l y s e ilu s tra e n la f ig u ra 4 - l a . E n la cara iz q u ie rd a d e l e le m e n to c o r ta d o , la fu e rz a n o rm a l N ac tú a h a c ia la d e re c h a , la fu e rz a c o r ta n te in te rn a V ac tú a h acia a b a jo y e l m o m e n to M a c tú a e n s e n t id o in v e rso a l d e la s m a n e c illa s d e l re lo j ( a n t ih o ra r io ) . D e a c u e rd o c o n la te r c e ra ley d e N e w to n . u n a fu e rz a n o rm a l, u n a fu e rz a c o r ta n te y u n m o m e n to f le x io n a n te ig u a les p e r o o p u e s to s , d e b e n a c tu a r e n la c a ra d e re c h a d e l e le m e n to e n la se c c ió n . Q u izá s u n a m a n e ra fác il d e re c o rd a r e s ta c o n v e n c ió n d e s ig n o s s e a a is la r u n p e q u e ñ o se g m e n to d e l e le m e n to y r e c o r d a r q u e u n a fu e r z a n o r m a l p o s itiv a tien d e a a la rg a r e l se g m e n to , f ig u ra 4-l¿>; q u e u n a fu e r z a co r ta n te p o s i t iv a tie n d e a h a c e r g ira r e l s e g m e n to e n e l s e n tid o d e la s m a nec illa s d e l re lo j (h o r a r io ) , fig u ra4 - l e , y q u e u n m o m e n to f le x io n a n te p o s i t iv o tie n d e a d o b la r e l se g m e n to e n fo r m a c ó n c a v a h a c ia a r r ib a ,a m a n e ra d e u n “ re c ip ie n te p a r a a g u a ," fig u ra 4-1 d.

M

<c>

I (f i g u r a 4 - 1

M

)(d )

•Esto será de utilidad posteriormente en las secciones 4-2 y 4-3,donde V y M x expresarán en función de x y después se representarán gráficamente. El hecho de tener una convención de signos es semejante a asignar direcciones coordenadas positivas hacia la derecha para x, y positivas hacia arriba para y al momento de trazar una función y = f[x).

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4.1 C a r g a s i n t e r n a s e n u n p u n t o e s p e c I e i c o

P ro c e d im ie n to d e a n á lis is

E l s ig u ie n te p ro c e d im ie n to o f r e c e u n m e d io d e a p lic a r e l m é to d o d e la s se c c io n e s p a rad e te r m in a r la fu e rz a n o rm a l in te rn a , la fu e rz a c o r ta n te y e l m o m e n to f le x io n a n te e n u n au b ic a c ió n e sp e c íf ic a d e u n e le m e n to e s tru c tu ra l .

R e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s

• A n te s d e “c o r ta r " o s e c c io n a r e l e le m e n to , p u e d e s e r n e c e sa r io d e te r m in a r la s r e a c c io n es e n su s s o p o r te s d e m o d o q u e la s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io s ó lo s e u ti lic e n p a r a r e so lv e r la s c a rg a s in te rn a s c u a n d o s e secc io n e e l e le m e n to .

• Si e l e le m e n to e s p a r te d e u n a e s t ru c tu ra a r t ic u la d a , la s re a c c io n e s e n la s a r t ic u la c io n es p u e d e n d e te r m in a rs e m e d ia n te lo s m é to d o s d e la s e c c ió n 2.5.

D ia g ra m a d e c u e r p o lib re

• M a n te n g a to d a s la s c a rg a s d is tr ib u id a s . lo s m o m e n to s d e p a r , y la s fu e rz a s q u e a c tú a n s o b re e l e le m e n to e n s u u b ica c ió n exacta', d e sp u é s p a s e u n a s e c c ió n im a g in a r ia a tra v é s d e l e le m e n to , q u e s e a p e rp e n d ic u la r a s u e je e n e l p u n to d o n d e s e d e s e a d e t e r m in a r l a c a rg a in te rn a .

• D e sp u é s d e h a c e r la se c c ió n , d ib u je u n d ia g r a m a d e c u e rp o lib re d e l s e g m e n to s o b r e el q u e a c tú e e l m e n o r n ú m e ro d e c a rg a s . E n la se c c ió n , in d iq u e la s in c ó g n ita s re s u lta n te s Ñ , V y M d e m o d o q u e a c tú e n e n su s e n t id o p o s i t iv o ( f ig u ra 4 - la ) .

E c u a c io n e s d e e q u il ib r io

• L o s m o m e n to s d e b e n su m a rse e n la secc ió n re s p e c to a lo s e je s q u e p a s a n a tr a v é s d e l c e n tro id e d e la s e c c ió n tra n sv e rs a l d e l e le m e n to , c o n e l f in d e e lim in a r la s in c ó g n ita s N y V .p a r a a s í o b te n e r u n a so lu c ió n d i r e c ta d e M .

• Si la so lu c ió n d e la s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io e s u n a c a n tid a d c o n m a g n itu d n eg a tiv a , e l s e n t id o d ire c c io n a l s u p u e s to d e la c a n tid a d e s o p u e s to a l q u e s e m u e s tra e n e l d ia g ram a d e c u e rp o lib re .

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1 3 6 C a p i t u l o 4 C a r g a s i n t e r n a s d e s a r r o l l a d a s e n e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s

EJEM PLO 4.1

3 .6 kN 1 2 k N ^ 1 2 ) M

(c)

Figura 4 -2

E l te c h o d e l e d if ic io q u e s e m u e s tra e n la fo to g ra fía t ie n e u n p e so d e 1.8 k N /m 2 y s e s o s t ie n e s o b r e v igas s im p le m e n te a p o y a d a s d e 8 m d e la r g o .e n tr e las c u a le s h a y u n a s e p a ra c ió n d e 1 m .C a d a v ig a , q u e se m u e s tra e n la f ig u ra 4-2b , t r a n s m ite su c a rg a a d o s tr a b e s , u b ic a d a s e n la p a r te d e la n te r a y tr a s e ra d e l ed ific io . D e te rm in e la f u e r /a c o r ta n te y e l m o m e n to in te rn o s d e la v iga f ro n ta l e n e l p u n to C .f ig u ra 4 -2 a . N o to m e e n c u e n ta e l p e s o d e lo s e lem en to s .

3 .6 kN 1 2 k N ^ 1 2 k N - ^ ^ = ■12 kN 3 .6 kN

S O L U C IÓ N

R eacciones e n lo s s o p o rte s . L a c a rg a d e l te c h o s e tr a n s m ite a c a d a v iga c o m o u n a lo sa d e un s o lo s e n t id o ( L 2/ L x = K m /1 m = 8 > 2). I\> r lo ta n to , la c a rg a t r ib u ta r ia e n c a d a v iga in te r io r e s (1 .8 k N /m 2) (1 m ) - 1.8 k N /m . (L a s d o s v igas d e l b o rd e s o p o r ta n 0 .9 k N /m .) D e la f ig u ra 4-2¿>. la re a c c ió n d e c a d a v iga in te r io r s o b re la t r a b e e s (1 .8 k N /m ) ( 8 m ) /2 = 7.2 kN.

1.8 k N /m

v ig a - 0.5 m

I I I I I I 1 I I Itrab e

t7 m

T0 .5 m

7 .2 kN 7 .2 kN(b )

D ia g ra m a d e c u e rp o lib re . E n la f ig u ra 4 -2 a s e m u e s tra e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e la v iga . T e n g a e n c u e n ta q u e la re a c c ió n d e cad a c o lu m n a es

[{2(3 .6 k N ) + 1 1 (7 .2 k N ) [ /2 = 4 3 .2 kN

E l d ia g ra m a d e c u e ip o lib re d e l s e g m e n to iz q u ie rd o d e la tr a b e se m u e s tra e n la fig u ra 4 -2c . A q u í s e s u p o n e q u e la s c a rg a s in te rn a s a c tú a n e n s u s e n t id o p o sitiv o .

E cuaciones d e e q u il ib r io

0 ; 43 .2 - 3 .6 - 2 (7 .2 ) - V c = 0 V c = 25 .2 k N R esp .+ Í 2 F ,

M c + 7 .2 (0 .4 ) + 7 .2 (1 .4 ) + 3 .6 (2 .4 ) - 4 3 .2 (1 .2 ) = 0 M c = 30.2 k N • m Resp.

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4.1 C a r g a s i n t e r n a s e n u n p u n t o e s p e c í f i c o 1 3 7

D e te rm in e la fu e rz a c o r ta n te y e l m o m e n to in te rn o s q u e a c tú a n e n u n a secc ió n q u e p asa p o r e l p u n to C de la v iga q u e se m u e s tra e n la fig u ra 4 -3a .

R eacciones e n lo s s o p o rte s . A l s u s t i tu ir la c a rg a d is tr ib u id a p o r su fu e rz a re s u lta n te y c a lc u la r la s re acc io n es , s e o b t ie n e n lo s r e s u l ta d o s q u e s e m u e s tra n e n l a f ig u ra 4 -3 6 .

D ia g ra m a d e c u e r p o l ib r e . Se c o n s id e ra rá e l s e g m e n to A C p u e s to q u e p ro d u c e la so lu c ió n m ás s e n c if la , f ig u ra 4 -3c . L a in te n s id a d d e la c a rg a d is tr ib u id a e n C se c a lc u la p o r p ro p o rc ió n , e s d e c ir .

L s te p ro b le m a ilu s tra la im p o rta n c ia d e m a n te n e r la c a rg a d is tr i -

4 -3 6 se s e c c io n a ra e n C .e l e f e c to d e la c a rg a d is tr ib u id a s o b re e l s e g m e n to A C no se r e c o n o c e r ía .y e l re s u l ta d o V c = 9 k y M c = 54 k • p ie

i L 27 k

4

Figura 4 -3

SO L U C IÓ N

w c = (6 p i e s / 18 p ie s ) (3 k /p ie ) = 1 k /p ie

E c u a c io n e s d e e q u i l ib r io .

+ f 2 F y = 0 . 9 - 3 - V c = 0 V c - 6 k Resp.

5,+S M c = 0 . - 9 ( 6 ) + 3 (2 ) + M c = 0 M c = 48 k - p ie Resp. 3 |k

b u id a s o b re la v iga h a s ta d esp u és d e s e c c io n a ría . S i la v iga d e la f ig u ra

se r ta e r ró n e o .

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EJEM PLO 4 .3

E l p a n e l d e p is o D E s o p o r ta la fu e rz a d e 9 k q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 4 -4 u ,e l c u a l a s u vez e s tá s im p le m e n te a p o y a d o e n su s e x tre m o s p o r v igas d e p is o . E s ta s v igas tra n s m ite n su s c a rg a s a la t r a b e s im p le m e n te a p o y a d a A B . D e te rm in e l a fu e rz a c o r ta n te y e l m o m e n to in te r n o s q u e a c tú a n e n e l p u n to C d e la tr a b e .

9 kFigura 4 -4

6 k

- i -

3 k6 k

| 12 p ie s - • p ie s — j

3.75 k

2 4 p ie s -

(b)

| 12 P * '

J_c," ,

3'p ie s - Ve

5.25 k 3.75 k(c)

S O L U C IÓ N

R eacciones e n lo s s o p o rte s , fin la f ig u ra 4-4¿> se m u e s tra n e l e q u i- S b rio d e l p a n e l d e p iso , la s v igas d e p is o y la tr a b e . S e re c o m ie n d a v e rifica r e s to s re s u lta d o s .

D iagram a d e c u e rp o lib re . Se u tiliza e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e l se g m e n to -4C p o rq u e c o n d u c e a la s o lu c ió n m ás sen c illa , f ig u ra 4 -4c . T en g a e n c u e n ta q u e A C n o so p o r ta ca rg a s s o b re la s v igas d e p iso .

Ecuaciones d e e q u il ib r io .

+ f 2 F y = 0 ; 3 .7 5 - 6 - V c = 0 V c = - 2 .2 5 k Resp.

S,+ £ M C = 0 ; - 3 .7 5 ( 1 5 ) + 6 ( 3 ) + M c = 0 M c = 38 .25 k - p ie Resp.

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4 . 2 F u n c i o n e s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o 1 3 9

4 . 2 F unciones de fu e rz a c o rta n te y d e m o m e n to

E l d is e ñ o d e u n a v iga re q u ie re u n c o n o c im ie n to d e ta l la d o d e la s variac io n es d e la fu e rz a c o r ta n te V y e l m o m e n to M in te rn o s q u e a c tú a n e n c a d a p u n to a lo la rg o d e l e j e d e la v iga . P o r lo g e n e ra l , la fu e rz a n o rm a l in te rn a n o s e c o n s id e ra p o r d o s ra z o n e s : (1 ) e n la m a y o r ía d e lo s c a so s la s c a rg a s a p lic a d a s a u n a viga a c tú a n e n fo rm a p e rp e n d ic u la r a s u e je y, p o r lo ta n to ,s ó lo p ro d u c e n u n a fu e rz a in te rn a c o r ta n te y u n m o m e n to flex io - n a n te ;(2 ) y p a ra f in e s d e d is e ñ o , la re s is te n c ia a la fu e rz a c o r ta n te d e la viga y, e n p a r t ic u la r , a la f le x ió n , e s m ás im p o r ta n te q u e s u c a p a c id a d p a ra r e s is t ir la fu e r z a n o rm a l. S in e m b a rg o , h a y u n a e x c e p c ió n im p o rta n te a e s to c u a n d o la s v ig a s e s tá n so m e tid a s a fu e rz a s ax ia le s d e c o m p re s ió n , p u e s to q u e d e b e n in v e s tig a rse e l p a n d e o o la in e s ta b i l id a d q u e p u d ie ra n o c u rr ir .

L as v a r ia c io n e s d e V y M e n fu n c ió n d e la p o s ic ió n x d e u n p u n to a r b itra r io a lo la rg o d e l e je d e la v iga p u e d e n o b te n e r s e m e d ia n te e l m é to d o d e la s se c c io n e s a n a liz a d o e n la secc ió n 4 -1 . S in e m b a rg o , a q u í e s n e c e sa rio lo c a liz a r la s e c c ió n im a g in a r ia o c o r ta r a u n a d is ta n c ia a rb i t r a r ia x d e sd e u n e x tr e m o d e la v iga e n v ez d e e n u n p u n to específico .

E n g e n e ra l , la s fu n c io n e s d e la fu e rz a c o r ta n te y d e l m o m e n to in te rn o s se rá n d is c o n tin u a s , o s u p e n d ie n te s e r á d is c o n tin u a , e n lo s p u n to s d o n d e d tip o o l a m a g n itu d d e la c a rg a d is tr ib u id a c a m b ia ,o b ie n d o n d e s e a p liq u e n la s fu e rz a s c o n c e n tra d a s o lo s m o m e n to s d e p a r. D e b id o a e s to , la s fu n c io n es d e la fu e rz a c o r ta n te y d e l m o m e n to d e b e n d e te r m in a rs e p a ra c a d a reg ió n d e la v iga lo c a liz a d a en tre c u a lq u ie ra d e la s d o s d is c o n tin u id a d e s d e ca rg a . P b r e je m p lo , la s c o o rd e n a d a s .t i , *2 y xy d e b e rá n u sa rse p a ra d e s c r ib ir la v a ria c ió n d e V y M e n to d a la lo n g itu d d e l a v iga e n la fig u ra 4-5a . E s ta s c o o rd e n a d a s s e r á n v á lid a s s ó lo d e n tr o d e la s re g io n e s d e s d e A h a s ta B p a ra x , . d e B a C p a ra x 2. y d e C a D p a ra x 3. A u n q u e c a d a u n a d e e s ta s c o o rd e n a d a s t ie n e e l m ism o o r ig e n , c o m o s e h a s e ñ a la d o a q u í, é s te n o t ie n e p o r q u é s e r e l caso . D e h e c h o , p u e d e s e r m ás fác il d e s a r ro l la r las fu n c io n e s d e fu e rz a c o r ta n te y d e m o m e n to , e m p le a n d o las c o o rd e n a d a s X |,x 2,x 3 q u e t ie n e n o r íg e n e s e n A , B y D c o m o s e m u e s tr a e n la f ig u ra 4-5/>. A q u í x i y x 2 so n p o s itiv a s h a d a la d e re c h a y x ¡ e s p o s itiv a h a d a la iz q u ie rd a .

E l r e f u e r z o a d ic io n a l q u e p r o p o r c io n a n las p la c a s v e r t ic a le s l la m a d a s c o s ti l la s s e u tiliz a e n lo s s o p o r te s a r t ic u la d » » y d e o s c i la d o r e n e s ta s t r a b e s d e p u e n te . A q u í , la s r e a c c io n e s c a u s a r á n g r a n d e s f u e r z a s c o r ta n te s e n las t r a b e s y lo s r e f u e r z o s e v i ta r á n p a n d e o s lo c a liz a d o s e n las a la s o e l a lm a d e la t r a b e . A d e m á s , te n g a e n c u e n t a l a in c l in a c ió n d e l s o p o r te d e o s c i l a d o r c a u s a d a p o r la e x p a n s ió n té r m ic a d e la c u b ie r t a d e l p u e n te .

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w ni %»_ _

CD

— x ,

(a) (b )

F i g u r a 4 - 5

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P ro c e d im ie n to de a n á lis is

E l s ig u ie n te p ro c e d im ie n to o f r e c e u n m é to d o p a ra d e te r m in a r la v a riac ió n d e la fu e rz ac o r ta n te y e l m o m e n to e n u n a v iga e n fu n c ió n d e la p o s ic ió n x.

R e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s

• D e te rm in e la s re a c c io n e s e n lo s s o p o r te s d e la v iga y d e s c o m p o n g a to d a s la s fu e rz a s e x te rn a s e n su s c o m p o n e n te s q u e a c tú a n e n fo rm a p e rp e n d ic u la r y p a ra le la a l e je d e la v iga .

F u n c io n e s d e fu e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to

• E sp e c if iq u e p o r s e p a r a d o la s c o o rd e n a d a s x y su s o r íg e n e s a so c ia d o s , e x te n d ié n d o s e a las re g io n e s d e la v ig a e n t r e la s fu e rz a s c o n c e n tra d a s y / o m o m e n to s d e p a r . o d o n d e h aya u n a d is c o n tin u id a d d e la c a rg a d is tr ib u id a .

• S ecc ione la v iga e n fo rm a p e rp e n d ic u la r a su e je a c a d a d is ta n c ia x , y c o n b a se e n el d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e u n o d e los s e g m e n to s d e te rm in e las in c ó g n ita s V y M en la s e c c ió n c o r ta d a e n fu n c ió n d e x . E n e l d ia g ra m a d e c u e rp o l ib re , V y M d e b e n m o stra rse a c tu a n d o e n su s d irecc io n es p o s i t iv a s , d e a c u e rd o c o n la c o n v e n c ió n d e signos d a d a e n la f ig u ra 4-1.

• V se o b t ie n e d e l.F y = 0 y M se o b t ie n e a l s u m a r m o m e n to s c o n re s p e c to a l p u n to 5 u b icad o e n la s e c c ió n c o r ta d a , 'L M s = 0 .

• L os re s u lta d o s p u e d e n c o m p ro b a rs e o b s e rv a n d o q u e d M /d x - V y q u e d V Id x = w , d o n d e w e s p o s i t iv a c u a n d o a c tú a h a c ia a r r ib a , a le já n d o se d e l a v iga . E s ta s re la c io n e s se d e s a r ro lla n e n la s e c c ió n 4-3.

I^as v ig u e ta s , v ig a s y t r a b e s q u e s e u s a n p a r a s o s t e n e r e s t e p is o p u e d e n d is e ñ a r s e u n a v e z q u e s e c o n o c e n la f u e r z a c o r t a n t e y e l m o m e n to e n t o d a s u lo n g i tu d .

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4 . 2 F u n c i o n e s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o 1 4 1

E J E M P L O

P ara la v iga q u e s e m u e s tra e n la f ig u ra 4 -6 a .d e te rm in e l a fu e rz a c o r ta n te y e l m o m e n to c o m o u n a fu n c ió n d e *.

2 k/p*c

^ ttttttTí TTT [ ] l

Figura 4 -6

SO L U C IÓ N

R eacciones e n lo s s o p o rte s . C o n e l fin d e c a lc u la r la s re a c c io n e s e n lo s so p o r te s . la c a rg a d is tr ib u id a s e s u s titu y e p o r s u fu e rz a re su lta n te d e 3 0 k . f ig u ra 4-6¿>. S in e m b a rg o , e s im p o r ta n te r e c o r d a r q u e e s ta r e s u l ta n te n o e s la c a rg a r e a l e n la viga.

3 0 k

3 0 k

íte:6 0 0 k • p ie 2 0 p ies

(b )

F unc iones d e fu e rz a c o r ta n te y d e m o m e n to . E n la f ig u ra 4 -6c se m u e s tra u n d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e l s e g m e n to d e v iga c o n lo n g itu d x . T en g a e n c u e n ta q u e la in te n s id a d d e la c a rg a tr ia n g u la r e n la secc ió n s e e n c u e n tra p o r p ro p o rc ió n ; es d e c i r , w / x = 2 /3 0 o w = * /1 5 . C o n la in te n s id a d d e c a rg a c o n o c id a , la r e s u l ta n te d e la c a rg a d is tr i b u id a se e n c u e n t r a d e la m a n e ra u su a l c o m o s e m u e s tra e n la figu ra . R>r lo ta n to .

+ T SFV = 0; 30 0

{,+ l M s = 0 ; 600 - 3 0 * + - —

-Ks>-V = 3 0 — 0 .0 3 3 3 * 2

K é> ]- 6 0 0 + 3 0 * - 0.01 I I * 3

R esp .

o

M

O b se rv e q u e d M / d x = V y q u e d V / d x = - * /1 5 c o m o u n a v e rif ic a c ió n d e lo s re s u lta d o s .

R esp.

w , lo c u a l s irve

3 0 k

t600

k - p ie

h ? 5 > ‘

HH f(c)

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E JE M P LO

P a ra la v iga q u e s e m u e s tra e n la f ig u ra 4 -7 a , d e te rm in e l a fu e rz a c o r ta n te y e l m o m e n to e n fu n c ió n d e x .

60 k

. , 1 4k/pie1 . , 1l l l i l l i l i l !

— *3-11 M H

— — -T

4| t|108 k

ti1588 k pá«

1

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M

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(a) (c)

108 k r

t—1588 k - p ie |— 6 p ie s ■

6 0 k 4 8 k

14 p ie s¡ “

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Figura 4 -7

S O L U C IÓ N

R eacciones e n lo s s o p o rte s . l a s re a c c io n e s e n e l s o p o r te f ijo so n V = 108 K y M - 1588 k . p e . f ig u ra 4 -7 b .

F unciones d e fu e rz a c o r ta n te y d e m o m e n to . D a d o q u e h a y u n ad is c o n tin u id a d d e la c a rg a d is tr ib u id a e n x ■ 12 p ies , d e b e n c o n s id e ra rse d o s re g io n e s d e x c o n e l f in d e d e sc r ib ir la s fu n c io n e s d e c o r ta n te y d e m o m e n to p a ra to d a la v iga . A q u í x \ es a p ro p ia d o p a ra los 12 p ie s d e la iz q u ie rd a y x2 p u e d e u sa rse p a r a e l s e g m e n to re s ta n te .

0 s x 12 p ies . O b se rv e q u e V y M s e m u e s tra n e n la d ire c c ió n p o s itiv a . f ig u ra 4 -7c .

+ 1 2 F y - 0 ; 108 - 4 x , - V = 0 . V = 108 - 4 x , Resp.

5 ,+ 2 A /* = 0 ; 1588 - 108*, + 4 x , ( y ) + M = 0

M = - 1 5 8 8 + 108*, - 2 x \ Resp.

12 p ie s s x2 s 20 p ies , f ig u ra 4-7d .

+ t Y .F y = 0 ; 108 - 4 8 - V = 0 , V = 6 0 Resp.

í + Z M s = 0 ; 1588 - 108*2 + 4 8 (* 2 - 6 ) + M = 0

M = 6Q*2 - 1300 Resp.

E s to s re s u lta d o s p u e d e n v e rif ic a rse e n fo rm a p a rc ia l s i s e t ie n e e n c u e n ta q u e c u a n d o x2 = 20 p ies, e n to n c e s l ' = 6 0 k y A Í = - 1 0 0 k . p ie. A d e m á s .o b s e rv e q u e d M / d x = V y d V / d x = w .

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