Mecánica de Materiales Hibbeler 6ed

MECNICA DE MATERIALES

" MECANICA DE MATERIALES

SE XTA E DI C I N

R. C. Hibbeler

TRADUCCIN Jos de la Cera Alonso

Profesor Tilular, Universidad Autnoma Metropolitana

Virgilio Gonzlez y POZO Facultad de Qumica, Universidad Nacional Autnoma de Mxico

REVISIN TCNICA Alex Elas Zuiga

Ingenierio ["dl/slrial Mecnico IISI;11110 Tecnolgico lle Pacllll cG Maestra en Ingeniera Mecnica

In srirwo Tecllolgico y de Estudios Superiores de MOlllerrey Campus MOlllerrey

Doctorado de Ingeniera Mecnica University of Nebraska, Linco/n, EUA

Miembro del Sislema Nacional de II/vestigadores - SNI Director de l/gel/era Mecnica

I11$1i11110 Tecnolg ico y de Estudios SI/per iores de Monterrey Campus Afollle ,./"ey

PEARSON

Edueacin

Mxico' Argentina' Brasil ' ColombIa ' Costa Rln Chile ' Ecuador Espaiia Guatemala ' Panam Per Puerto Rico ' Uruguay ' Venezueb

R. C. Hlbbelcr

Mecnica de materiales

PEARSON EDUCACIN. M~xico. 2006 ISBN: 970260654-3

Fonnato: 20 x 25.5 cm Pginas: 896

Authorized translat ion from the English language edition entitled,Mechanicso[ Materials, by R. e, Hibbeler, publi-shed by Pearson Education. Inc. , publishing as PRENTICE HALL. INe., Copyr ight 2004. All rights reserved. ISBN O-13-19l345 X

Traduccin aulOrizada de la edicin en idioma ingls, titulada Mechanics o[ Materia/s. por R. C. 'bbe/er, publica-da por Pearson Education. l nc .. publicada como PRENTICE H ALL, Ne., Copyrigh t 2004. Todos los derechos reservados.

Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

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SEXTA EDICIN. 2006

Pablo Miguel Guerrero Rosas e-mail: [email protected] Esthela Gonzlcz Guerrero Enrique Treja Hernndez

D.R. 2006 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de c.Y. Atlacomulco 500, 50. piso Col. Industrial Atoto 535 19, Naucalpan de Jurez, Edo. de Mx.ico Email: [email protected]

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ISBN 970-26-0654-3

Impreso en MxicolPril!ted il! Mexico.

12 34567890- 080706

PEARSON

--E,IIH'a('ln

AL ESTUDIANTE Con el deseo de que esta obra estimular el inters en la ingeniera mecnica y servi r como una gua aceptable para su compresin.

El propsito principal de este libro es proporcionar al lector una presen-tacin cla ra y minuciosa de la teora y aplicaciones de la ingeniera mec-nica; para esto se basa en la explicacin del comportamiento fisico de los materiales sometidos a carga a fi n de realizar un modelo de este compor-tamiento que sea a su vez,el modelo de la teora. Se hace nfasis en la im-portancia de satisfacer los requisitos del eq uilibrio, de la compatibi lidad de la deformacin y del comportamien to del material.

Caractersticas del texto Las siguientes son las caractersticas ms importantes del texto.

Resumans. Las secciones "Procedimiento de an lisis" , "Punto!'; importantes" y "Repaso del captulo" proporcionan una gua para la resolucin de problemas y un resumen de los conceptos.

Fotografas. Se utilizan numerosas fotografas a lo largo de l libro pa ra explicar cmo se aplican los principios de la mecnica de ma-teriales a situaciones de l mundo real. En algunas secciones, se mues-tran cmo los materiales se deforman o fallan bajo carga para as proporcionar un entendimiento conceptual de los trminos y con-ceptos.

Problemas. Los problemas propuestos son de aplicacin fcil, me-dia y difcil. Algunos de ellos requieren de una solucin. con ayuda de la computadora. Se ha puesto un cuidado especial en la presen-tacin y en sus soluciones. Slas han sido revisadas en su total idad para garantizar su claridad y exactitud numrica.

Ilustraciones. En varias parles del libro se han agregado figuras y fotografas que proporcionan una cla ra referencia a la naturaleza tridimensional de la ingeniera. Hemos tratado de iluslrar concep-lO!'; com plicado!'; o ah!';tractos pa ra instruir y poder motivar a los lecto-res a travs de lo visual.

Contenido El libro est dividido en 14 captulos. El captulo 1 comienza con un repa-so de los conceptos importantes de la esttica. seguido por definiciones formales de los esfuer.lOS normales y cortantes, as como por un anlisis del esfuerzo normal en miembros cargados axialmente y del esfuerzo cor-tan te promedio causado por el cortan te directo.

En el ca ptu lo 2 se definen la deformacin unitaria normal y cort ante. yen el captulo 3 se presenta una descripcin de algunas de las propieda-des mecnicas de los materiales. Los captu los 4, 5 Y 6 contienen, respec-tivamente, explicaciones de la carga axial, la torsin y la flexin. En cada uno de esos captu los se considera el comportamiento tan 10 li neal-c lsti-

PREFACIO

vii

viii PREFACIO

Caractersticas especiales

ca como plstico. Tambin se induyen temas relacionados con concentra-ciones de esfuerzo y esfuerzo residual. El cortan te transversal se descri-be en el captulo 7, junto con una descripcin de los tubos con pared del -gada, flujo de cortante y del centro de cortante. El captulo 8 muestra un repaso parcial del material presentado en los captulos anteriores, y se des-cribe el estado de esfuerzos causados por cargas combinadas. En el cap-tulo 9 se presentan los conceplos de transformacin de estados de esfuer-zo mulliaxial. En forma parecida, el captulo 10 describe los mtodos de transformacin de deformacin unitaria, que incluyen la aplicacin de va-rias teoras de la falla. El captulo 11 es un resumen y repaso ms del ma-terial anterior, describiendo aplicaciones al diseo de vigas y ejes. En el captulo 12 se cubren varios mtodos para calcular deflexiones de vigas y ejes. Tambin se incluye una descripcin del clculo de las reacciones en esos miembros, cuando son estticamente indeterminados. El captulo 13 presenta una descripcin del pandeo en columnas y, por ltimo, en el ca-ptulo 14 se resean el problema del impacto y la aplicacin de varios m-lodos de energa para calcular detlexiones.

Las secciones del libro que contienen material ms avanzado se identi-fi can con un asterisco (*). Si el tiempo lo permite, se pueden incluir algu-nos de esos temas en el curso. Adems, este material es una referencia adecuada de los principios bsicos\ cuando se usen en otros cursos, y se puede usar como base para asignar proyectos especiales. Mtodo alternativo. Algunos profesores prefieren tratar primero las transformaciones de esfuerzos y deformaciones unitarias, antes de estu-diar las aplicaciones especficas de la carga axial, la torsin, la flexin, y la fuerza cortante. Una manera posible para hacerlo as es tratar primero el esfuerzo y sus transformaciones que se ven en los captulos 1 y 9, seguido por la deformacin unitaria y sus transformaciones que se ven en el cap-tulo 2 y en la primera parte del captulo 10. El anlisis y problemas de ejemplo en estos captulos se han formulado para hacer esto posible.Ade-ms, los conjuntos de problemas se han subdividido de manera que este material pueda ser cubierto sin un conocimiento previo de los captulos intermedios. Los captulos 3 al8 pueden ser entonces estudiados sin pr-dida de continuidad.

Organizacin y enfoque. El contenido de cada captulo est orga-nizado en secciones bien definidas que contienen una explicacin de temas especficos, problemas de ejemplo ilustrativos y un conjunto de proble-mas de tarea. Los temas de cada seccin estn agrupados en subgrupos definidos por ttulos. El propsito de esto es presentar un mtodo es-tructurado para introducir cada nueva definicin o concepto y hacer el libro conveniente para referencias y repasos posteriores.

Contenido de los captulos. Cada captulo comienza con una ilustra-cin que muestra una aplicacin del material del capitulo. Se proporcio-nan luego los "Objetivos del captulo" que proporcionan una vista gene-ral del tema que ser tratado.

Procedimientos de anlisis. Se presenta al final de varias secciones del libro con el objetivo de dar al lector una revisin o resumen del ma-terial, as como un mtodo lgico y ordenado a seguir en el momento de aplicar la teora. Los ejemplos se resuelven con el mtodo an tes descrito a fin de clarificar su aplicacin numrica. Sin embargo, se entiende que una vez que se tiene dominio de los principios relevantes y que se ha ob-tenido el juicio y la confianza suficientes, el estudiante podr desarrollar sus propios procedimientos para resolver problemas.

Fotografas. Se utilizan numerosas fotografas a lo largo de todo el li-bro para explicar cmo se aplican los principios de la mecnica a situacio-nes del mundo real.

Puntos importantes. Aqu se proporciona un repaso o resumen de los conceptos fundamentales de una seccin y se recalcan los temas me-dulares que deban tomarse en cuenta al aplicar la teora en la solucin de problemas.

Entendimiento conceptual. Por medio de fo tografas situadas a lo largo de todo el libro, se aplica la teora de una manera simplificada a fin de ilustrar algunas de las caracterst icas conceptuales ms importantes que aclaran el significado fs ico de muchos de los trminos usados en las ecuaciones. Estas aplicaciones simplificadas incrementan el inters en el tema y preparan mejor al lector para entender los ejemplos y a resolver los problemas.

Problemas de tarea. Mltiples problemas de este libro muestran si-tuaciones reales encontradas en la prctica de la ingeniera. Se espera que este realismo estimule el interfts por la ingeniera mecnica y proporcio-ne la habilidad de reducir cualquiera de tales problemas desde su descrip-cin fsica hasta el modelo O representacin simblica sobre los cuales se aplican los principios de la mecnica . A lo la rgo del texto existe aproxi-madamente igual nmero de problemas que utilizan tanto las unidades SI como las FPS. Adems, en cada conjunto de problemas se ha intenta-do presentar stos de acuerdo con el grado de dificultad en forma crecien-te. Las respuestas a todos los problemas, excepto cada cuatro, se encuen-tran listados al final del libro. Para advertir al lector de un problema cuya solucin no aparezca en la lista mencionada, se ha colocado un asterisco (*) antes del nmero del problema. Las respuestas estn dadas con tres cifras significativas. an cuando los datos de las propiedades del material se conozcan con una menor exactitud. Todos los problemas y sus solucio-nes se han revisado tres veces. Un smbolo "cuadrado" (. ) se usa para identificar problemas que requieren de un anlisis numrico o una apli-cacin de computadora.

Repaso del captulo. Los puntos clave de l capftulo resumen en las nuevas secciones de repaso, a menudo en listas con vietas.

Apndices. Contienen temas de repaso y lisias de datos tabulados. El apndice A proporciona informacin sobre centroides y momentos de inercia de reas. Los apndices B y C contienen datos tabulados de per-files estructurales y la deflexin y la pendiente de varios tipos de vigas y

PREfACIO ix

X PREfACIO

Reconocimientos

flechas. El apndice D, llamado " Repaso para el examen de fundamentos de ingeniera", contiene problemas tpicos junto con sus soluciones par-ciales comnmente usados en exmenes de ingenieros profesionales. Estos problemas tambin pueden usarse como prctica y repaso en la prepara-cin de exmenes de clase.

Revisin de la exactitud . Esta nueva edicin ha sido sometida a un riguroso escrutinio para garantizar la precisin del texto y de las pginas a las que se hace referencia. Adems de la revisin del autor de todas las figuras y material de texto, Scotl Hendricks del Instituto Politcnico de Virginia y Kurt Norlin de los Servicios Tcnicos Laurel, examinaron to-das las pginas de prueba as como todo el manual de soluciones.

Suplementos Manual de soluciones para el profesor. El autor prepar este ma-

nual cuya exactitud, tal como el texto del libro, fue verificada en tres ocasiones.

(ourse compass. Caurse compass es una solucin en lnea ideal para ayudarle a dirigir su clase y a preparar conferencias, cuestio-narios y exmenes. Con el uso de course compass, los profesores tienen un rpido acceso a los suplementos electrnicos que le penni-ten incluir ilustraciones completas e im genes para sus presentacio-nes en PowerPoint. Course compass hace accesibles las soluciones electrnicas (por segu ridad en archivos individua les), y ayuda a ex-hibir slo las soluciones que usted elige en el sitio Web. Por favor no difunda estas respuestas en niguna direccin electrnica no pro-tegida.

Para saber ms acerca de Course compass, visi te www,pearsoneduca-cion.netlcoursecompass o dirjase a su representante local de Peaeson Edu-cacin o enve un mail a [email protected]

A lo largo de los aos este texto ha incorporado muchas de las sugeren-cias y comentarios de mis colegas en la profesin docente. Su estmulo y buenos deseos de proporcionar una crtica constructiva son muy aprecia-dos y espero que acepten este reconocimiento annimo. Mi agradecimien-to se extiende tambin a los revisores de las varias ediciones previas.

B. Aa lam~ San Francisco State University R. Alvaeez, Hofstra University C. Ammerman, Colorado Scllool of Mines S. Biggers, C/emson University R. Case, Florida Atlantic University R. Cook , University ofWisconsiT/- MadisoT/ J. Easley, University of Kansas A. Gilat, O/io State University 1. Elishakof~ Florida Atlantic Universily H. Huntley, University of Michigan-Dearbom

1. Kayser, Lalayette Col/ege 1. Ligon, Michigan Technological University A. Marcus, University 01 Rhode lsland G. May, University 01 New Mexico D. Oglesby, University 01 Missouri-Rolla D. Quesnel, University 01 Rochester S. Schiff, Clemson University C. Tsai, Florida Atlantic University P. Kwon, Michigan State University C. Lissenden, Penn State University D. Liu, Michigan State University T. W. Wu, The University 01 Kentucky 1. Hashemi, Texas Tech University A. Pelegri, Rutgers-The State University 01 New Jersey W. Liddel, Allbllrn University at Montgomery

Quisiera dar las gracias particularmente a Scott Hendricks del Instituto Politcnico de Virginia quien revis minuciosamente el texto y el manual de soluciones de este libro. Tambin hago extensiva mi gratitud a todos mis alumnos que han usado la edicin previa y han hechos comentarios para mejorar su contenido.

Por ltimo quisiera agradecer la ayuda de mi esposa, Cornelie (Conny) durante todo el tiempo que me ha tomado preparar el manuscrito para su publicacin.

Apreciara mucho si usted en cualquier momento tiene comentarios o sugerencias respecto al contenido de esta edicin.

Russell Charles Hibbeler [email protected]

PREFACIO xi

CONTENIDO

1 Esfuerzo 3

1.1 Introduccin 3 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable 4 1.3 Esfuerzo 22 1.4 Esfuerzo normal promedio en una barra

cargada axialmente 24 1.5 Esfuerzo cortante promedio 32 1.6 Esfuerzo permisible 49

, r ". ~ . j r~ p,. "- .,' . .1 I ' .. .

2 Deformacin unitaria 69

2.1 Deformacin 69 2.2 Deformacin unitaria 70

3 .

Propiedades mecnicas de los materiales 85

3.1 Pruebas de tensin y compresin 85 3.2 El diagrama de esfuerzo-deformacin

unitaria 87 3.3 Comportamiento esfuerzo-deformacin

unitaria de materiales dctiles y frgiles 91 3.4 Ley de Hooke 94 3.5 Energa de deformacin 96 3.6 Relacin de Poisson 107 3.7 El diagrama de esfuerzo-deformacin unitaria

en cortante 109 3.8 Falla de materiales por flujo plstico y por

fatiga 112

4 Carga axial 121

4.1 Principio de Saint-Venant 121 4.2 Deformacin elstica de un miembro cargado

axia lmente 124

xiii

xiv . COf'ITENIOO

4.3 Principio de superposicin 138 4.4 Miembro estticamente indeterminado

ca rgado axialmente 139 4.5 Mtodo de las fuerzas para el anlisis

de miembros cargados axialmente 145 4.6 Esfuerzo trmico 154 4.7 Concentraciones de esfuerzos 162 "'4.8 Deformacin axial inelstica 168 "'4.9 Esfuer.lo residual 173

5 Torsin 185

5.1 Deformaciones por torsin de una flecha circular 185

5.2 La frmula de la torsin 188 5.3 Transmisin de potencia 197 5.4 ngulo de torsin 206 5.5 Miembros estticamente indeterminados

cargados con pares de torsin 221 "'5.6 Flechas slidas no circulares 228 "'5.7 Tubos de pared delgada con secciones

transversales cerradas 231 5.8 Concentracin de esfuerzos 242 "'5.9 Torsin inelstica 245 "'5.10 Esfuerzo residual 252

6 Flexin 263

6.1 Diagramas de fuerza cortante y momento flexionante 263

6.2 Mtodo grfico para construir diagramas de fuerza cortante y momento flexionante 272

6.3 Deformacin por flexin de un miembro recto 291

6.4 La frm ula de la flexin 295 6.5 Flexin asimtrica 313 "'6.6 Vigas compuestas 324 "'6.7 Vigas de concreto reforzado "'6.8 Vigas cu rvas 333 6.9 Concentraciones de esfuerzos "'6.10 Flexin inelstica 352 "'6.11 Esfuerzo residual 361

7 Esfuerzo cortante transversal 373

331

343

7.1 Esfuerzo cortante en miembros rectos 373 7.2 La f rmula del esfuerzo cortante 375 7.3 Esfuerzos cortantes en vigas 378 7.4 Flujo cortante en miembros compuestos 392 7.5 Flujo cortante en miembros de pared

delgada 401 "'7.6 Centro de cortante 406

8 Cargas combinadas 423

8.1 Recipientes de presin de pared delgada 423 8.2 Estado de esfuerzo causado por cargas

combinadas 429

9 Transformacin de esfuerzo 453

9.1 Transformacin del esfuerzo plano 453 9.2 Ecuaciones generales de la transformacin

de esfuerzo plano 458 9.3 Esfuerzos principales y esfuerzo cort ante

mximo en el plano 462 9.4 El cfrculo de Mohr (esfuerzo plano) 476 9.5 Esfuerzos en ejes, debidos a carga axial

y a torsin 485 9.6 Variaciones de esfuerzos a travs de una viga

prismtica 486 9.7 Esfuerzo cortan te mximo absoluto 492

10 Transformacin de deformcin unitaria 505

10.1 Deformacin unitaria plana 505 10.2 Ecuaciones generales de transformacin

de deformacin unitari a plana 507 *10.3 Cfrculo de Mohr (de formacin unitaria

plana) 514 *10.4 Deformacin unitaria cortante mxima

absoluta 522 10.5 Rosetas de deformacin 525 10.6 Relaciones de propiedades de los

materiales 530 10.7 Teoras de la falla 542

CONTENIDO xv

11 Diseo de vigas y ejes 557

11.1 Base para el diseo de vigas 557 11.2 Diseo de vigas prismticas 559 11.3 Vigas totalmen te esforzadas 573 llA Diseo de ejes 577

12 Deflexin de vigas y ejes 587

12.1 La curva elstica 587 12.2 Pendiente y desplazamien to por

integracin 591 12.3 Funciones de discontinuidad 609 12.4 Pendiente y desplazamiento por el mtodo

del momento de rea 620 12.5 Mtodo de superposicin 634 12.6 Vigas y ejes estticamente indeterminados 641 12.7 Vigas y ejes estticamente indeterminados

(mtodo de integracin) 642 12-8 Vigas y ejes estticamente indeterminados

(mtodo del momento de rea) 647 12.9 Vigas y ejes estticamente indetenninados

(mtodo de la superposicin) 653

xvi CONTENIDO

13 Pandeo de columnas 669

13.1 Carga crtica 669 13.2 Columna ideal con soportes articulados 672 13.3 Columnas con diversos tipos de apoyos 678 *13.4 La frmula de la secante 689 *13.5 Pandeo inelstico 697 * 13.6 Diseo de columnas para carga

concntrica 704 *13.7 Diseo de columnas por carga excntrica 716

14 Mtodos de energa 727

14.1 Trabajo externo y energa de deformacin 727

14.2 Energa de deformacin elstica para varias clases de carga 732

14.3 Conservacin de la energa 746 14.4 Carga de impacto 752 *14.5 Principio del trabajo virtual 762 *14.6 Mtodo de las fuerzas virtuales aplicado

a armaduras 766 *14.7 Mtodo de las fuer las virtuales aplicado

a vigas 774 *14.8 Teorema de Castigliano 784 *14.9 Teorema de Castigliano aplicado

a armaduras 786 *14.10 El teorema de Castigliano aplicado

a vigas 790

Apndices

A. Propiedades geomtricas de un rea 798 A.I Centroide de un rea 798 A.2 Momento de inercia de un rea 801 A.3 Producto de inercia de un rea 805 AA Momentos de inercia de un rea respecto

a ejes inclinados 807 A.5 El crculo de Mohr para momentos

de inercia 809 B. Propiedades geomtricas de los perfiles

estructurales 815 C. Pendientes y deflexiones en vigas 823 D. Repaso para el examen de fundamentos

de ingeniera 825 Respuestas 845 ndice 863

MECNICA DE MATERIALES

Los pernos usados para las conexiones de esta estructura de acero estn sometidos a esfuerzos_ En este capftulo veremos cmo los ingenieros diser'\an esas conexiones y sus sujetadores.

CAPiTULO

1 Esfuerzo

OBJETIVOS DEL CAPiTULO

En este captulo repasaremos algunos principios importantes de la esttica y mos-traremos cmo se usan para determinar las cargas internas resultantes en un cuer-po. Despus. presentaremos los conceptos de esfuerzo normal y esfuerzo cortan-te y se estudiarn las aplicaciones especficas del anlisis y diseo de los miembros sometidos a una carga axial o a un cortante directo.

1.1 Introduccin La mecnica de materiales es una fama de la mecnica que estudia las relaciones entre las cargas externas aplicadas a un cuerpo deformable y la intensidad de las fuerza in /e mas que actan dentro del cuerpo. Esta dis-cipli na de estudio implica tambin calcular las deformaciones del cuerpo y proveer un estudio de la estabilidad del mismo cuando est sometido a fuerzas externas.

En el diseo de cualquier estructura o mquina, es necesario primero, usar los principios de la esttica para determinar las fuerzas que actan sobre y dentro de los diversos miembros. El tamao de los miembros, sus detlexiones y su estabilidad dependen no slo de las cargas internas, sino tambin del tipo de material de que estn hechos. En consecuencia, una determinacin precisa y una compresin bsica del comportamiento del material ser de importancia vital para desarrollar las ecuaciones nece-sarias usadas en la mecnica de materiales. Debe ser claro que muchas frmulas y reglas de diseo, tal como se definen en los cdigos de inge-niera y usadas en la prctica, se basan en los fundamentos de la mecni-ca de materiales, y por esta razn es tan importante entender los princi-pios de esta disciplina.

,

4 CApiTULO 1 Esfuerzo

Desarrollo histrico. El origen de la mecnica de materiales data de princi pios del siglo XVII, cuando Galileo llev a cabo experimentos para estudiar los efectos de las cargas en barras y vigas hechas de diversos ma-teriales. Sin embargo. para alcanzar un entendimiento apropiado de tales efectos fue necesario establecer descripciones experimentales precisas de las propiedades mecnicas de un material. Los mtodos para hacer esto fueron considerablemente mejorados a principios del siglo XVIII. En aquel tiempo el estudio tanto experimental como terico de esta materia fue emprend ido, pri ncipalmente en Francia, por pe rsonalidades como Saint-Venant, Poisson, Lam y Navier. Debido a que sus investigaciones se ba-saron en aplicaciones de la mecnica a los cuerpos materiales, llamaron a este estudio "resistencia de materiales". Sin embargo, hoy en da llamamos a lo mismo "mecnica de los cuerpos deformables" o simplemente, "me-cnica de materiales".

En el curso de los (los, y despus de que muchos de los problemas fun-damentales de la mecnica de materi ales han sido resueltos, fue necesa-rio usar m ... temticas avanzadas y tcnicas de computacin para resolve r problemas ms complejos. Como resultado. esta disciplina se extendi a otras reas de la mecnica moderna como la teora de la elasticidad y la teora de la plasticidatl. La investigacin en estos campos con ti na, no s-lo para satisfacer las demandas de solucin a prot>lemas de ingeniera de vanguardia, sino tambin para justificar ms el uso y las limitaciones en que se basa la teora fundamental de la mecnica de materiales.

1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable Idealizacin de

una fuena concentrad~''''''' __ ''''L

,

G

c~ t,

... (s)

Idealizacin de una carga lillCalmcme disuibuida

Fig.ll

-~ ---

~ =..; Fuerza - d.

Debido a que la est tica juega un papel ese ncial tanto en el desarro llo como en la aplicacin de la mecnica de materiales, es muy importan te tener un buen conocimiento de sus principios fundamentales. Por esta ra-zn repasaremos algunos de esos principios que sern usados a lo largo del texto.

Cargas externas . Un cuerpo puede estar sometido a diversos tipos de cargas externas; sin embargo, cualquiera de stas puede clasificarse co-mo fuerza de supe rfic ie o cmo fuerza de cuerpo. Vea la figura 1-1. Fuerzas de superficie. Como su nombre lo indica, las fuenas de super-ficie son causadas por el contacto directo de un cuerpo con la superficie de otro. En todos los casos, esas fuerzas estn distribuidas sobre el rea de contacto entre los cuerpos. En particular si esta rea es pequea en com-paracin con el rea tOlal del cuerpo, enlonces la fuerza superficial pue-de idealizarse como una sola fu ena concentrada, que es aplicada a un pI/litO sobre el cue rpo. Por ejemplo, esto podra hacerse para representar el efeclo del suelo sobre las ruedas de una bicicleta al estudiar la carga so-bre sta. Si la carga superfic ial es aplicada a lo largo de un rea estrecha, la carga puede idealizarse como una carga linealmente distribuida, w(s). Aq u la carga se mide como si tuviese una intensidad de fuerza/longitud a lo largo del rea y se represen ta grficamente por una serie de flechas a lo largo de la lnea s. Lafuena resultante FR de w(s) es equivalente al rea bajo la curva de carga distribuida, y esta resultante acta a travs del centroide e o celltro geomtrico de eSla rea. La carga a 10 largo de la longitud de una viga es un ejemplo tpico en el que es aplicada a menu-do esta idealizacin.

SeCCiN 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable 5

Fuerza de cuerpo. Una fuerza de cuerpo se desarrolla cuando un cuer-po ejerce una fuerza sobre otro cuerpo sin contacto fsico directo entre los cuerpos. Ejemplos de esto incluyen los efectos causados por la gravi-tacin de la TIerra o por su campo electromagntico. Aunque las fuer.las de cuerpo afectan cada una de las partculas que fo rman el cuerpo, esas fuerzas se representan normalmente por una sola fuerza concentrada ac-tuando sobre el cuerpo. En el caso de la gravitacin, esta fuerza se llama el peso dcl cuerpo y acta a travs del centro de gravedad del mismo.

Reacciones en los soportes. Las fuerzas de superficie que se desarro-llan en los soportes o puntos de contacto entre cuerpos se llaman reaccio-nes. En problemas bidimensionales, es decir, en cuerpos sometidos a sis-temas de fuerzas coplanares. los soportes ms comnmente encontrados se muestran en la tabla 1-1. Observe cuidadosamente el smbolo usado para representar cada soporte y el tipo de reacciones que ejerce en su miembro asociado. En genera l, siem pre puede determinarse el tipo de reaccin de soporte imaginando que el miembro unido a l se traslada O gira en una direccin parliculM. Si el soporre impide la tra...taciln en una direccin dada, entonces ""a fuerza debe desarrollarse sobre el miem-bro en esa direccin. Igualmeme, si se impide una rotacin, debe ejer-cerse un momento sobre el miembro. Por ejemplo, un soporte de rodillo slo puede impedir la traslacin en la direccin del contacto, perpendicu-lar o normal a la superficie. Por consiguiente, el rodillo ejerce una fuerza normal F sobre el miembro en el punto de contacto. Como el miembro puede girar libremente respecto al rodillo, no puede desarrollarse un mo-mento sobre el miembro.

TABLA 1-1

Muchos elementos de mquinas son conec-tados por pasadores para permitir la rota-cin librc en sus conexiones. Esos soportes ejercen una fuerl.a sobre un miembro, pero

no un momento.

Tipo de conexin Reaccin Tipo de conexin Reaccin

Cable Una incgnilll: F Pa.ador externo Dos incgnitas: F~. FJ

11 , F

Rodillo Una incgnila: F Pasador intemo Dus incgnitas: F r F,

F/,J '1"

Soporte liso Una incgnla: F Empotramiento Tres incgnilas: F~. F r M

6 CAPiTULO 1 Esfuerzo

Ecuaciones de equilibrio. El equilibrio de un miembro requiere un balance defuerzas para impedir que el cuerpo se traslade o tenga movi-miento acelerado a lo largo de una trayectoria recta o curva, y un bafance de momentos para impedir que el cuerpo gire. Estas condiciones pueden expresarse matemticamente con las dos ecuaciones vectoriales:

(1-1 )

Aqu, L F representa la suma de todas las fuerzas que actan sobre el cuer-po y Mo es la suma de los momentos de todas las fuerzas respecto a cualquier punto O sobre o fuera del cuerpo. Si se fija un sistema coorde-nado x, y , z con el origen en el punto O, los vectores fuerza y momento pueden resolverse en componentes a lo largo de los ejes coordenados y las dos ecuaciones anteriores pueden escribirse en forma escalar como seis ecuaciones, que son:

"LF ~ O , "LM = O y

( 1-2)

A menudo, en la prctica de la ingeniera la carga sobre un cuerpo pue-de representa rse como un sistema de fuerzas coplanares. Si es ste el ca-so y las fuerzas se encuentran en el plano x-y, entonces las condiciones para el equi librio del cuerpo pueden especificarse por medio de s6lo tres ecuaciones escalares de equilibrio; stas son:

l:Fx = O ~F = O y

'2.Mo = O (1-3)

En este caso, si el punto O es el origen de coordenadas., en tonces los mo-mentos estarn siempre dirigidos a lo largo del eje z, que es perpendicu-lar al plano que contiene las fuerzas.

La correcta aplicacin de las ecuaciones de equilibrio requiere la espe-cificacin completa de todas las fuerzas conocidas y desconocidas que ac-tan sobre el cuerpo. La mejor manera de tomar en cuenta esas fuerzas es dibujando el diagrama de cuerpo libre del cuerpo. Es obvio que si el diagrama de cuerpo libre est dibujado correctamente, los efectos de to-das las fuerzas y momentos aplicados sern tomados en cuenta cuando se escriban las ecuaciones de equilibrio.

SECCiN 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable 7

F,

L seccin

F,

(" (b)

Fig.1-2

Cargas internas resultantes. Una de las aplicaciones ms importan-tes de la esttica en el anlisis de problemas de la mecnica de materia-les es poder determinar la fuerza y momento resultantes que actan den-tro de un cuerpo y que son necesa rias para mantener unido al cuerpo' cuando ste est some tido a cargas exte rnas. Por ejemplo, considere el cuerpo mostrado en la figura 1-2a, que es mantenido en equilibrio por las cuatro fuerzas externas.* Para obtener las cargas internas que aclan sobre una regin especfica dentro del cuerpo es necesario usar el mto-do de las secciones. Esto requiere hacer una seccin im agina ria o hcorte" a travs de la regin donde van a determ inarse las cargas internas. Las dos partes del cuerpo son)eparadas y se dibuja un diagrama de cuerpo libre de una de las partes, figu ra 1-2b. Puede verse aqu que existe realmente una distribucin de la fuerza interna que acta sobre el rea "expuesta" de la seccin. Esas fuerzas representan los efectos del material de la par-te superior del cuerpo actuando sobre el material adyacente de la parte inferior. Aunque la distri bucin exacta de la carga interna puede ser des-conocida , podemos usar las ecuaciones de equilibrio para re lacionar las fuerzas externas sobre el cuerpo c0l11a fucr:.e:a y mumenfU r e:mlWl'lIes de Ip distribucin , FR y M Ro. en cualquier plinto especfico O sobre el rea seccionada, figura 1-2c.Al hacerlo as, note que F R acta a travs del pun-to O, aunq ue su valor calculado no depende de la localizacin de este punto. Por otra parte, MRo' s depende de esta localizacin, ya que los bra-zos de momento deben extenderse de O a la lnea de accin de cada fuerza externa sobre el diagrama de cuerpo libre. Se mostrar en partes poste-riores del texto que el punto O suele escogerse en el centroide del rea seccionada , y as lo consideraremos aqu a menos que se indique otra cosa. Adems, si un miembro es largo y delgado, como en el caso de una barra o una viga, la seccin por considerarse se loma generalmente perpelUlicu-far al eje longitudinal del miembro. A esta seccin se le llama seccin trans-versal.

EI peso del cuerpo no se muestra, ya que se supone que es muy pequeo y. por tanto. despreciable en comparacin con las otras cargas.

F, F,

("

8 CAP[TULO 1 Esfuerzo

F,

Momento de torsin T MRO,~~~~~~-----~l....... Fuernl

: '=~ normal ,~ Nr~~~~ : ~~~~~~ R , , . , ,

o , , : : Fuerta : ( ~ O : cortante

M ' Momento !y nexionante

F,

'o) (d) Fig. 1-2 (cont.)

Tres dimensiones. Veremos despus en este texto cmo relacionar las cargas resultantes, F R Y MRo' con la distribucin de fuerza sobre el rea sec-cionada y desarrollaremos ecuadones que puedan usarse para el anlisis y diseo del cuerpo. Sin embargo, para hacer esto deben considerarse las componentes de F R Y MRO' actuando normal o perpendicularmente al rea seccionada y dentro del plano del rea, figura 1-2d. Cuatro tipos diferen-tes de cargas resultantes pueden entonces definirse como sigue:

Fuerza normal, N. Esta fuerza acta perpendicularmente al rea. sta se desarrolla siempre que las fuerzas externas tienden a empujar o a jalar sobre los dos segmentos del cuerpo.

Fuerza cortante, V. La fuerza cortante reside en el plano del rea y se desarrolla cuando las cargas externas tienden a ocasionar que los dos seg-mentos del cuerpo resbalen uno sobre el otro.

Momento torsionante o torca, T. Este efecto se desarrolla cuando las cargas externas tienden a torcer un segmento del cuerpo con respecto al otro.

Momento flexionante, M. El momen to flexionante es causado por las cargas externas que tienden a flexionar el cuerpo respecto a un eje que se encuentra dentro del plano del rea.

En este texto, advierta que la representacin de un momento o una tor-ca se muestra en tres dimensiones como un vector con una flecha curva asociada. Por la regla de la mano derecha, el pulgar da el sentido de la fle-cha del vector y los dedos recogidos indican la tendencia de rotacin (tor-sin O flexin). Usando un sistema coordenado x,y,z,cada una de las car-gas anteriores puede ser determinada directamente de las seis ecuaciones de equilibrio aplicadas a cualquier segmento del cuerpo.

SECCIN 1.2 Equ ilibrio de un cuerpo deformable 9

y FlIcr.w ..... ~ _____ II Vconnme

P1Q Momento seccin

F, F,

F,

~ nexiolllll1le O. ... - ., N -"~----_J F~= ~I

(. ) r ,

Fig. 13

Cargas coplanarcs. Si el cuerpo est sometido a un sistema de fuerzas caplanares, figura l3a. entonces slo existen en la seccin camponen-tes de fuerza normal, de fuerza cortanle y de momento flex ionante. figu-ra 1-3b. Si usamos los ejes coordenados X.y. . con origen en el pu nto O como se muestra en el segmento izquierdo. entonces una solucin direc-ta para N se puede obtener aplicando l: Fx = O. y V se puede obtener di-rectamente de r Fy = O. Finalmente. el momento flexionan te M o se pue-de determinar directamente sumando momentos respecto al punto O (el eje z),! Mo = 0, pa ra eliminar los momentos causados por las incgnitas NyV.

PUNTOS IMPORTANTES

La mecnica de materiales es un estudio de la relacin entre las cargas externas sobre un cuerpo y la intensidad de las cargas in-ternas dentro del cuerpo.

Las fuerzas externas pueden ser aplicadas a un cuerpo como car-gas distribuidas o cargas de superficie concemradas, o bien cuma fuerzas de cue/po que actan sobre todo el volumen del cuerpo.

Las cargas linealmente distribuidas producen una fuerza resflltan-te que tiene una magnitud igual al rea bajo el diagrama de car-ga y una posici6/l que pasa por el cemroide de esa rea.

Un soporte produce una fuerza en una direccin particular sobre su miembro correspondiente si sta impide Iraslaci6n del miembro en esa d ireccin y l produce un IIIOlllelltO de par sobre el miem-bro si l impide /lIIa rOlacin

Las ecuaciones de equilibrio ~ F = O Y ~ M = O deben ser satis-fechas para prevenir que un cuerpo se traslade con movimiento acelerado o que gire.

Al aplicar las ecuaciones de equ ilibrio. es importante d ibujar pri-mero el diagrama de cuerpo libre del cuerpo para poder tomar en cuenta todos los trm inos en las ecuaciones.

El mtodo de las secciones se usa para determinar las cargas internas resultantes que actan sobre la superficie del cuerpo sec-cionado. En general. esas resultantes consisten en una fuerza normal, una (uerza cortante. un momento torsionante y un mo-mento fIexionante.

(h)

Para disci"iar los miembros de este mar-co de edificio. es necesario primero en-contrar las cargas internas en varios pun-lOS a lo largo de su longitud.

10 CAPITULO 1 Esfuerzo

PROCEDIMIENTOS DE ANLISIS El mtodo de las secciones se usa para detenninar las cargas internas resultantes en un punto localizado sobre la seccin de un cuerpo. Pa-ra obtener esas resultantes, la aplicacin del mtodo de las secciones requiere considera r los sigu ientes pasos. Reacciones en los soportes. Decida primero qu segmento del cuerpo va a ser considerado.

Si el segmento tiene un soporte o conexin a otro cuerpo, enton-ces ames de que el cuerpo sea seccionado. es necesario determi-nar las reacciones que actan sobre el segmento escogido del cuerpo. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de todo el cuerpo y luego aplique las ecuaciones necesarias de equ ilibrio para obte-ner esas reacciones.

Diagrama de cuerpo libre. Mantenga todas las cargas distribuidas externas, los momentos de

flexin, los momentos de torsin y las fuerzas que aclan sobre el cuerpo en sus posiciones exactas, luego haga un corte imagina-rio por el cuerpo en el punto 'donde van a detenninarse las car-gas internas resultantes.

Si el cuerpo representa un miembro de una estructura o disposi-tivo mecn ico. la seccin es a menudo tomada perpendicularmen-te al eje longitudinal del miembro.

Dibuje un diagrama de cuerpo libre de uno de los segmentos "cor-tados" e indique las resultantes desconocidas N. V. M Y T en la seccin. Esas resultantes son usualmente colocadas en el punto que representa el cen tro geomtrico o centroide del rea seccio-nada.

Si el miembro est sometido a un sistema coplanar de fuerzas. s-lo N, V Y M actan en el centroide.

Establezca los ejes coordenados x, y, z con origen en el centroi-de y muestre las componentes resultantes que actan a lo largo de los ejes.

Ecuaciones de equilibrio. Los momentos deben sumarse en la seccin, respecto a cada uno

de los ejes coordenados donde actan las resultantes. Al hacerlo as se eliminan las fuerzas desconocidas N y V Y es posible en-tonces determinar directamente M (y T).

Si la solucin de las ecuaciones de equilibrio da un valor negati-vo para una resultante. el sentlo direccional supuesto de la re-sultante es 0p"esto al mostrado en el diagrama de cuerpo libre.

Los siguientes ejemplos ilustran numricamente este procedimiento y tambin proporcionan un repaso de algunos de los principios import an-tes de la esttica.


EJEMPLO

Determine las cargas internas resultantes que actan sobre la seccin transversal en C de la viga mostrada en la figura 1-4a.

A B

(., Fig.l-4

Solucin Reacciones en el soporte. Este problema puede ser resuelto de la ma-nera ms directa considerando el segmento CB de la viga, ya que en-tonces las reacciones en A no tienen que ser calculadas. Diagrama de cuerpo libre. Si hacemos un corte imaginario perpen-dicular al eje longitudinal de la viga, obtenemos el diagrama de cuer-po libre del segmento CB mostrado en la figura 1-4b. Es importante mantener la carga distribuida exactamente donde est sobre el seg-mento hasta despus que el corte se ha hecho. Slo entonces debe es-ta carga reemplazar~e por una sola fuerza resultante. Note que la in-tensidad de la carga distribuida en C se determina por tringulos semejantes, esto es. de la figura 1-4a, w /6 m = (270 N/ m) /9 m, w = 180 N/m. La magnitud de la carga distribuida es igual al rea bajo la curva de carga (tringulo) y acta a travs del centroide de esta rea. As. F = t (180 Nj m)(6 m) = 540 N, que acta a 1/3 (6 m) = 2 m de C, como se muestra en la figura 1-4b.

Ecuaciones de equilibrio. Aplicando las ecuaciones de equilibrio ob-tenemos

+1 L F, = O;

L+IMe=O;

-Ne = O Ne = O

Ve - 540N = O Ve = 540N

-Me - 540N(2m) = O Me = -lOSON'm

Resp.

Resp.

Resp.

El signo negativo indica que Me acta en direccin opuesta a la mos-trada en el diagrama de cuerpo libre. Trate de resolver este problema usando el segmento AC, obteniendo primero las reacciones en el so-porte A, que son dadas en la figura 1-4c.

540 N

----------

,b,

135 N 540 N oo,. (t-- - __

~-- - -=,,- 180N/m 1215N : i r\c

364SN.m( t LU"m~C+N, '., m'C:

0.5 !TI

12 CApITULO 1 Esfuerzo

EJEMPLO

800 N/m

Determ ine las cargas internas resultan tes que actan sobre la seccin transversal en C de la flecha de la mquina mostrada en la figura loSa. La flecha est soportada por chumaceras en A y B, que ejercen slo fuerzas verticales sobre la flecha.

225 N

! (800N/ m)(O.I50m)= J20N

f---t ----l , ,

225 N

'. D

, 8 I e 1-200 mm -+rl-:::-I.,-+-=---i -- 0.275 m --t-;O~.1~2

I I


EJEMPLO

El montacargas en la figura 1-60 consiste en la viga AB y e las poleas unidas a ella, en el cable y en el motor. Determine las cargas internas resultantes que actan sobre ta seccin transversal en e si el motor es-t levantando la carga W de 500 lb con velocidad constante. Desprecie el peso de las poleas y viga.

6 i

(. )

0.5 pie 500 lb A .

.... Ne

4,5 Pies----=-! M e

Ve

Hg. 1-6

500 lb (b)

Solucin La manera ms directa de resolver este problema es seccionar el cable y la viga en e y luego considerar todo el segmento izquierdo.

Diagrama de cuerpo libre. Vea la figura 1-6b.

Ecuaciones de equilibrio .

.. L F.r = O: +1 Fy ~ O; \+ Me ~ O;

500 lb + Nc = O Nc = - 500 lb Resp. -500 lb - Ve = O Ve = -500 lb Resp. 500 lb (4.5 pies) - 500 lb (0.5 pies) + M e = O Me = -2000 lb pie Resp.

Como ejercicio, trate de obtener esos mismos resultados consideran-do el segmento de viga AC, es decir, retire la polea en A de la viga y muestre las componentes de la fuerza de 500 lb de la polea actuando sobre el segmento de viga AC.

l

14 CAPTULO 1 Esfuerzo

EJEMPLO

(o)

B $ -+-6200 lb

/' ' t FBA = 7750 lb / FIJD =4650 lb

("

(d)

Fg.l-'

Determine las cargas internas resultantes que actan sobre la seccin transversal en G de la viga de madera mostrada en la figura 1-7a. Supon-ga que las juntas en A . B. C. D y E estn conectadas por pasadores.

Solucin

1500 lb i FSC :=6200lb

3 pies

1 Ex" 6200 lb

: _-,-- E, '" 2400 lb L : ------6 p;o> L-/--t~:-.o =4 p;,~ , !(6 piesX300 lb/pie)" 900 lb

(b)

Reacciones en IQs soportes. Consideraremos el segmento AG para el anlisis. Un diagrama de cuerpo libre de toda la estructura se muestra en la figura l-7b. Verifique las reacciones calculadas en E y C. En par-ticular, note que BC es un miembro de dos fuerzas ya que slo dos fuer-zas actan en l. Por esta razn la reaccin en C debe ser horizontal tal como se muestra.

Como BA y BD son tambin miembros de dos fuerzas, el diagrama de cuerpo libre de la junta B es como se muestra en la figura 1.7c. De nuevo, verifique las magnitudes de las fuerzas calculadas F 8.4 Y F oo. Diagrama de cuerpo libre. Usando el result ado para F 8.4, la seccin izquierda AC de la viga se muestra en la figura 1-7d. Ecuaciones de equilibrio. Aplicando las ecuaciones de equi librio al segmento AG, tenemos

..:G. F.r = O; 7750 lb (~) + NG = O Ne = - 6200 lb +t Fy = O; - 1500 lb + 7750Ib(i) - Ve = O

Resp.

Ve = 3150 lb Resp.

1+ Me = O; Me - (7750 Ib)(i) (2 pies) + 1500 Ib(2 pies) = O Me =: 6300 lb pie Resp.

Como ejercicio, calcule esos mismos resultados usando el segmen-to CE.


EJEMPLO

Determine las cargas internas resultantes que actan sobre la seccin transversal en B de l tubo mostrado en la figura 1-&1. El lubo tiene una masa de 2 kg /m y est sometido a una fuerza vertical de 50 N Y a un par de momento de 70 N . ro en su extremo A . El tubo est empotra-do en la pared en C.

So lucin El problema se puede resolver considerando el segmento AB. que no implica las reacciones del soporte en C.

Diagrama de cuerpo libre. Los ejes x, y, Z se fijan en B y el diagra-ma de cuerpo libre del segmento AB se muestra en la figura 1-8b. Las componentes de fuerza y momento resultantes en la seccin se supo-ne que actan en las direcciones coordenadas positivas y que pasan por el cefllroidedel rea transversal en B. El peso de cada segmento de tu-bo se calcula como sigue:

W' D = (2 kgfm )( O.5 m)(9.81 N/ kg) = 9.81 N WAD = (2 kgfm )(1.25 m )(9.81 N/kg) = 24.525 N

Estas fuerzas actan por el centro de gravedad de cad

16 CApITULO 1 Esfuerzo

PROBLEMAS

1-1. Determine la fuerza normal interna resullanle que acta sobre la sect:in transversal por el punto A en cada columna. En (a),el segmento BC pesa ISO lb/pie y el seg-mento CD pesa 250 lb/ pie. En (b). la columna tiene una masa de 200 kg/m.

5 klb 'kN 200 mm F1 6kN f 6 kN

3m

200 mm 4.5 kN

1-3. Determine el par interno resultante que acta sobre las secciones transversales por los puntos B y C.

Prob.I-3

- 1-4. Determine la fuerza normal y cortante internas re-sultantes en el miembro en (a) la seccin a'a y (b) la seco cin bb, cada una de las cuales pasa por el punto A. La carga de 500 lb est aplicada a lo largo del eje centroidal

I m del miembro. !

(.) (b)

Prob.!-I

12. Determine el par interno resul tante que acta sobre las secciones transversales por los puntos e y D. los co-jinetes de soporte en A y B permiten el libre giro de la necha.

IS0 mm

Prob.I2

5OOlb .... -1'-r-----I

I b

b JO" /

, ,

Probo 1-4

- -+ 500lb

1-5. Determine las cargas internas resultantes que ac-tan sobre la seccin transversal a travs del punto D del miembroAB.

50mm 50mm [-'-\ 11-'-1/1- ------1--1- - 300 mm I .150mm 8

70N'm

Prob.I_5

-"'-del

16. La viga AB est articu lada por un pasador en A y soportada por un cable BG. Determine las cargas internas resultantes que actan sobre la seccin transversal en el punto D.

1-7. Resuelva el problema 1-6 para las cargas imemas re-sultantes que actan en el punto E.

e

AB

1 8 pies

1200 lb D~es I 1-4pies-l-6Pies~

Probs. 1-617

- 1-8. La viga AB est empotrada en la pared y tiene un peso uniforme de 80 lb/ pie. Si el gancho soporta una car-ga de 1500 lb, determine las cargas inlemas resultantes que actan sobre las secciones transversales por los puntos CyD.

A

-,~-::--,---20 pies - ----+-- l0 PiCS~ S pies.., ,~==~Ir.:;I=_~ B

C~ D

1500 lb

Prob. 1-8

PROBLEMAS 17

1-9. Determine las cargas internas resultantes que actan sobre [a seccin transversal por el punto C. La unidad en-friadora tiene un peso total de 52 klb Y su centro de gra-vedad en G.

F

D.~~~~;;;;;;~:;::::::::::~~E O.2Pi~~ A e B 1---3 pies - -+--3 pies- -,

Prob.l9

110. Determine las cargas internas resultantes que ac-tan sobre las secciones transversales por los puntos D y E de la estructura. .

111. Determine las cargas in ternas resultantes que ac-tan sobre las secciones transversales por los puntos F y G de la estructura.

T I

..... D lB I~E ~2 pies-l:-::+-2 pies 1 pie 1 pie

Probs. 1-10111

G 1 pi

150 lb


*1-1Z. Detennine las cargas internas resultantes que ac-tan sobre (a) la seccin a-a y (b) la seccin bobo Cada scc-cin pasa por el centroide en C.

Probo 1-12

1-13. Determine las cargas internas resultantes que ac-tan sobre la seccin trallsvers.11 pol"'el punto e en la vi-ga. La carga D tiene una masa de 300 kg Y est siendo i7.a-da por el LUotor M con velocidad constante.

114. Determine las cargas internas resultantes que ac-tan sobre la seccin transversal por el punto E de la viga en el problema 1-13.

f-- 2m - +--2m-+-- 2mi

Probs.l-J3I14

1-15. La carga de 800 lb est siendo izada a velocidad constante usando el motor M que tiene un peso de 90 lb. Determine las cargas inlernas resultantcs que actan so-bre la seccin transversal por el punto B en la viga. La viga tiene un peso de 40 Ib/pie y est empotrada en la pa-red en A.

*116. Determine las cargas internas resultantes que ac-tan sobre la seccin t ransversal por los puntos e y D en el problema 1-15.

A~~~ 1-" ,;".--1-4 ,;,,-1-3 ,;;'"+-3,;,,+--4

0.25 pie

Probs. 115116

1-17_ Determine las cargas internas resul tantes que ac-tan sobre la seccin transversal en el punto B.

60 lb/ pie

A

I 8 3 pies+--- --12 pies------I

Probo 1-17

----....-

:idad )() lb. .,0-!l. La a pa-

le ac-,.

e ac-

lile

W

118. La viga soporta la carga distribuida mostrada. De-termine las cargas internas resultantes que actan sobre la seccin transversal por el punto C. Suponga que las reac-ciones en los soportes A y B son verticales. 119. Determine las cargas internas resultantes que ac tan sobre la seccin transversal por el punto D en el pro-blema 118.

1.5 kN/m

'n J 1 j AJL ~~ JL B

~3m 3m 3 m~ Probs. J.l.8119

120. La charola de servicio T usada en un avin est soportada en cada {l/do por un brazo. La charola est co-nectada por un pasador al brazo en A. y en B tiene un pa-sador liso. (El pasador puede moverse dentro de la ranu-ra en los braws para poder plegar la charola con tra el asiento del pasajero al frente cuando aq uella no est en uso.) Determine las cargas internas resultantes que actan sobre la seccin tran"sversal por el punto C del brazo cuan-do el brazo de la charola soporta las cargas mostradas.

12" 'N

ISO mm

T

.,

Prob.I-20

PROBLEMAS 19

1-21. La perforadora de vstago metlico est sometida a una fuerza de 120 N en su mango. Determine la magni tud de la fuerza reactiva en el pasador A yen el eslabn corto Be. Determine tambin las cargas internas resultan tes que actan sobre la seccin transversal que pasa por D en el mango.

1-22. Resuelva el problema 121 para las cargas internas resultantes sobre la seccin transversal que pasa por E y en una seccin transversal del eslabn corto Be.

300

Probs. .2lJZ2

123. El tubo tiene una masa de 12 kg/ m. Considerando que est empotrado en la pared en A. determi ne las car-gas internas resultantes que actan sobre la seccin trans-versal en B. Desprecie el peso de la palanca CD.

Probo 123


. 1-24. La viga principalAB soporta la carga sobre el ala del avin. Las cargas consisten en la reaccin de la rueda de 35 000 lb en e, el peso de 1200 lb de combustible en el tanque del ala, con centro de gravedad en D y el peso de 400 lb del ala con centro de gravedad en E. Si est empo-trada al fuselaje en A, determine las cargas internas resul-tantes sobre la viga en este punto. Suponga que el ala no transmite ninguna de las cargas al fuselaje, excepto a tra-vs de la viga.

Probo 1-24

1-25. Determine las cargas internas resultantes que ac-tan sobre la seccin transversal por el punto B delletre-ro. El poste est empGlrado en el suelo y una presin uni-forme de 7 lb/piel acta perpendicularmente sobre la cara del letrero.

J'

Probo )25

1-26. La fl echa est soportada en sus extremos por dos cojinetes A y B Y est sometida a las fuerzas aplicadas a las poleas fijas a la flecha. Determine las cargas internas resultantes que actan sobre [a seccin transversal en el punto C. Las fuerzas de 300 N actan en la direccin - z y las fuerzas de 500 N actan en la direccin +x. Los cojine tes en A y B ejercen slo componentes.\' y z de fuerza so-bre la flecha .

x

y Prob. I-26

1-27. Una manivela de prensa tiene las dimensiones mos-tradas. Determine las cargas internas resultantes que ac-tan sobre la seccin transversal en A si se aplica una fuer-zn vertical de 50 lb a la manivela como se muestra. Suponga que la manivela est empotrada a la flecha en B.

Probo 127

00-

"'1 -28. Determine las cargas internas resultantes que ac-tan sobre la seccin transversal por los puntos F y G de la estructura. El contacto en E es liso.

8

I Probo -zg

129. El vstago del perno est sometido a una tensin de 80 lb. Determine las cargas internas resultantes que ac-tan sobre la seccin transversal en el punto C.

8

Probo 1-29

130. Determine las cargas internas resultantes que ac-tan sobre la seccin transversal en los puntos B y e del miembro curvo.

A

""'b

Prob.I-30

PROBLEMAS 21

131. La barra curva AD de radio r tiene un peso w por unidad de longitud. Si sta se encuentra en un plano ver-tical, determine las carg2S internas resultantes que aclan sobre la seccin transversal por el punto B. SI/gerencia: la distancia del centroide e del segmento A 8 al punto O es OC - [2r sen(8f2)J/ 8.

8 A

D

Probo l-31

- J-32. La barra curva AD de radio r tiene un peso IV por unidad de longiiud. Si sta se encuentra en un plano hori-zontal. determine las cargas internas resultanles que ac-lan sobre la seccin transversal por el pUnlO 8. SI/geren-cia: la distancia del centroidc e del segmenlo A 8 al punto O es CO = 0.9745r.

Probo )32

) -33. Se muestra en la figura un elemento diferencial tomado de una barra curva. Demuestre que dN/dO "" V, dV/dO= - N, dM/d8 '" - TydT/d8=M.

T+dT )

22 CApiTULO 1 Esfuerzo

1.3 Esfuerzo

,./ ,

(,)

Fig.I-9

F,

F,

En la seccin l.2 mostramos que la fuerza y el momento que actan en un punto especfico sobre el rea seccionada de un cuerpo, figura }-9. representan los efectos resultantes de la distribllcin de fllerza verdadera que acta sobre el rea seccionada. figura 1-9b. La obten-cin de esta distribucin de carga interna es de importancia primor-dial en la mecnica de materiales. Para resolver este problema es ne-cesario establecer el concepto de esfuerzo.

Consideremos el rea seccionada como subdividida en pequeas reas, tal como el rea sombreada de AA mostrada en la figura 1-IOa. Al reducir AA a un tamao cada vez ms pequeo. debemos hacer dos hiptesis respecto a las propiedades del material. Considerare-mos que el material es cOlltilluo. esto cs. que consiste en una distri-bucin uniforme de materia que no contiene huecos. en vez de estar compuesto de un nmero finito de molculas o tomos distintOS.Ade-ms, el material debe ser cohesivo, es decir. que todas sus partes es-tn unidas entre s, en vez de tener fracturas, grietas o separaciones. Una fuerza tpica finita pero muy pequea ~F. actuando sobre su rea asociada AA. se muestra en la figura l-lOil. Esta fuerza como todas las otras. tendr una direccin nic

an ura rza

ten-0'-ne-

nas lOa. ~acer rare-listri-estar Ade-s es-

IOnes. rea odas

n ge-'be la ) que

- ,.

Esfuerzo normal. La intensidad de fuerzl, o fuerza por rea un itaria, actuando normalmente a aA se define como el esfu erzo normal, u(sigma) . Como 6.F= es nom1al al rea. entonces.

6.F~ u _= lm

- ~A-O 6.A (1-4)

Si la fue rza o esfuerzo normal "jala" al elemento de rea /lA como se muestra en la figura l-lOa. se le llama esfuerzo de tellsill , mientras que si "empuja" a dA se le llama esfuerzo de eompresilI.

Esfuerzo cortante. La intensidad de fuerza. o fuerza por rea unita-ria, act uando tangente a 6.A se llama esfu erzo cortante, T (tau). Aqu te-nemos las componentes de esfuerzo cortante.

_ /l Fr T z.r = hm -;--

..I.A-O '-loA

r 6.F, T : y = ..I.~~O /lA (1-5)

El subndice z en u; se usa para indicar la llireccin de la lnea normal hacia fue ra, que especifica la orientacin del rea /l A figu ra 1- 11. Para las componentes del esfuerzo cortante, T,.r Y Tw se usa n dos subndices. El eje z especifica la orientacin del rea. y x y y se refieren a los ejes coor-denados en cuya direccin actan los esfuerzos cortantes.

Estado general de esfuerzo. Si el cuerpo es adicionalmente seccio-nado por planos paralelos ll plano x-z, figura l-lOb, y al plano yz. figura l-lOc. pode mos entonces "separa r" un elemento cbico de volumen de material que represen ta el estado de esfuerzo que acta alrededor del pun-to escogido en el cuerpo. figura 1-12. Este estado de esfuerzo es caracte ri-zado por tres componentes que actan sobre cada cara de l elemento. Esas componentes de esfuerLo describen el estado de esfuerzo en el pu nto s-lo pa ra el elemento orientado a lo largo de los ejesx, y, z. Si el cuerpo fue-se seccionado en un cubo con otra orientacin. el estado de esfuerzo se definira usando un conjunto diferente de componentes de esfuerzo.

Unidades. En el sislema SI. las magnitudes de los esfuerzos normal y cortante se especi[ican en las unidades bsicas de newlons por met ro cuadrado (N /m2). Esta unidad, llamada pascal (1 Pa = 1 N/ mI) es algo pequea y en trabajos de ingenie ra se usan prefijos como kilo- (103). sim-bolizado por, mega- (106), simbolizado por M o giga- (109), simbolizado por G, pa ra representar valores mayores del esfuerzo.'" De la misma ma-nera. en el sistema ingls de ul1idades. los ingenieros por lo regular expre-san el esfuerzo en libras por pulgada cuadrada (psi) o en kilolibras por pulgada cuadrada (ksi). donde 1 kilolibra (kip) = 1000 lb.

-Algunas \ 'ece5 el esfuerzo se expresa en unidades de N/ mmz. donde I mm .. 10-) m. Sin embargo, en el sistema SI no se permiten prefijos en el denominador de una (raccin y por tanto es mejor usar el equi>'alente t N/ mm) "" 1 MN/ ml : t MPa.

SECCiN 1 .3 Esfuerzo 23

Fig.I-11

,.

Fig. t 12


1.4 Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialmente

p

l

* p

' o)

p

p

' o)

Fig.H3

p

t Fuerza interna 11'- rea de la seccin

~ transversal

Fuerza externa p

(b)

Regin de dcfonnacin unifonne de la barra

Con frecuencia , los miembros estructurales o mecnicos se fabrican lar-gos y delgados. Asimismo, son sometidos a cargas axiales que normalmen-te se aplican a los extremos del miembro. Miembros de armaduras, barras colgantes y pernos son ejemplos tpicos. En esta seccin determinaremos la distribucin del esfuerzo promedio que acta sobre la seccin transver-sal de una barra cargada axialmente como la mostrada en la figura 1-13a, que tiene una forma general. Esta seccin define el rea de la seccJ6n trallsversal de la barra y como todas esas secciones transversales son igua-les, a la barra se le llama barra prismtica. Si despreciamos el peso de la barra y la seccionamos como se indica en la figura 1-13b, entonces, por equilibrio del segmento inferior, la fuerza interna resultante que acta so-bre la seccin transversal debe ser igual en magnitud, opuesta en sentido y coli neal con la fuerza externa que acta en el fondo de la barra.

Suposiciones. Antes de determinar la distribucin de esfuerzo prome-dio que acta sobre el rea transversal de la barra, es necesario hacer dos hiptesis simplificatorias relativas a la descripcin del material y a la apli-cacin especfica de la carga.

1. Es necesario que la barra permanezca recta antes y despus de que se aplica la carga, y tambin , la seccin transversal debe permane-cer plana durante la deformacin, esto es, durante el tiempo que la barra cambia de volumen y forma. Si esto ocurre, entonces las lneas horizontales y verticales de una retcula inscrita sobre la barra se deformarn uniformememe cuando la barra est sometida a la carga, figura 1-13c. No consideraremos aqu regiones cercanas a los extre-mos de la barra, donde la aplicacin de las cargas externas puede ocasionar distorsiolles localizadas. En cambio. nos fijaremos slo en la distribucin del esfuerzo dentro de la porcin media de la barra.

2. Para que la barra experimente I/IJa (Ieformacin I/niforme, es nece-sario que P se aplique a lo largo del eje centroida! de la seccin transversal y que el material sea homogneo e isotrpico. Un ma-terial homogneo tiene las mismas propiedades risicas y mecnicas en todo su volumen, y un material isotrpico tiene esas mismas propiedades en todas direcciones. Muchos materiales de la ingenie-ra pueden considerarse homogneos e isotrpicos. Por ejemplo, el acero contiene miles de cristales orientados al azar en cada milme-tro cbico de su volumen, y como en la mayora de las aplicaciones este material tiene un tamao fsico que es mucho mayor que un solo cristal, la suposicin anterior relativa a la composicin del ma-terial es bastante realista. Sin embargo, debe mencionarse que el acero puede volverse anisotrpico por medio del laminado en fro, esto es, laminado o forjado a temperaturas subcrticas. Los mate-riales anisotrpicos tienen propiedades diferentes en direcciones diferentes, y aunque ste sea el caso. si la anisotropa se orienta a lo largo del eje de la barra, entonces la barra se deformar unifor-memente cuando sea sometida a una carga axial. Por ejemplo, la madera, debido a sus granos o fibras, es un material que es homo-gneo y anisotrpico, por lo que es adecuado para el siguiente an-lisis.

I I I I e I

I

neao lar nnalmen-ras. barras tina remos I transver-pra 1-130, a seccin - son gua-peso de la onces, por e acta so-h sentido rra.

o prome-hacer dos ya la apli-

us de que permane-po que la

:s las lneas la barra se I a la carga, a los extre-mas puede F.0s slo en tte la barra.

re. es nece- la seccin co. Un ma-f mec~nicas ras nusmas : la ingenie-ejemplo, el

ada miJme lplicaciones ",or que un :in del ma-tarse que el lado en fro, . Los mate-direcciones

se orienta a nar uni for-

ejemplo. la ue es horno-guiente an-

SECCiN 1.4 Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialmente 25

Distribucin del esfuerzo normal promedio. Suponiendo que la barra est sometida a una deformacin uniforme constante, entonces esta deformacin es causada por un esfuerzo normal UCOlIsumle, figura 1-13d. En consecuencia, cada rea M sobre la seccin transversal est someti-da a una fuerza!:lF = u M,y la suma de esas fuerzas actuando sobre toda el rea transversal debe ser equivalente a la fuerza interna resultante P en la seccin. Si hacemos que M """'* dA Y por tanto tlF ~ dF, entonces co-mo u es COflSlanle. tenemos

Donde,

k= JUdA A

P=aA

(1-6)

a esfuerzo noona l promedio en cualquier punto sobre el rea de la seccin transversal

P fuerza normal interna resultante, aplicada en el celllroide del rea de la seccin transversal. P se determina usando e l mtodo de las secciones y las ecuaciones de equilibrio

A = rea de la seccin transversal de la barra

La carga interna P debe pasar por el centroide de la seccin transver-sal ya que la distribucin del esfuerzo uniforme genera r momentos nu-los respecto a cualqu ie; eje x o y que pase por este punto, figura }-13d. Cuando esto ocurre.

0= f ydF= f YUdA =af ydA A A A

o=-f XdF=-f xadA=-af xdA A A A

Estas ecuaciones se satisfacen. ya que por definic in del centroidc. f y dA = O y f x dA = O. (Vea el apndice A.) Equilibrio. Debera ser aparente que slo existe un esfuerzo normal en cualquier elemen to de volumen de material localizado en cada punto so-bre la seccin transversal de una barra cargada axialmente. Si conside ra-mos el equ ilibrio vertical del elemento. figura 1-14. entonces al apl icar la ecuacin de equili brio de fue rzas.

u(~A) - u' (aA ) = O a = a'

En otras palabras. las dos componentes de esfuerzo normal sobre el ele-mento deben ser iguales en magnitud pero opuestas en direccin. A ste se le llama esfllerzo IlIIillxiaf.

p

p

(d)

Fig. 113 (conl.)

a

l'


Esta barra dc accro se usa para suspen-der una porcin d~ una escalera. y por ello est sometida a un csfuerlO de tensin.

p

9 9U ~ t p

p Tensin Compresin

Fig. I-15

El anlisis previo se aplica a miembros sometidos a tensin o a compre-sin, como se muestra en la figura 1-15. Como interpretacin grfica, la magnitud de la fuerza interna resultante P es equivalente al volumen ba-jo el diagrama de esfuerzo; es decir, P = u A (volumen = altura x base) . Adems.. como consecuencia del equilibrio de momentos, esta resultan te pasa por el centroide de este volumen.

Aunque hemos desarro llado este anlisis para barras prismticas, esta suposicin puede ampliarse para incluir barras que tengan un peque/lo alw samiento. Po r ejemplo, puede demost rarse, usando un anlisis ms exacto de la teora de la elast icidad. que para una barra ahusada de sec-cin transversa l recta ngular,en la cual el ngulo entre dos lados adyacen-tes es de ISO, el esfuerzo normal promedio. calculado segn u = P/A , es slo 2.2% menor que el valor calculado con la teora de la elasticidad.

Esfuerzo normal promedio mximo. En el anlisis anterior, tanto la fue rza interna P como el rea de la seccin transversal se consideraron cOllstantes a lo largo del eje longitudinal de la barra y por tanto se obtu-vo un esfuerzo normal q = P/A tambin constante. Si n embargo. en oca-siones la barra puede estar sometida a varias cargas externas a lo largo de su eje o puede presentarse un cambio en su rea de seccin transversal. En consecuencia. el esfuerzo normal dentro de la barra puede ser dife-rente de seccin a seccin, y si debe calcularse el esfuerzo normal prome-dio mximo, tendr que determinarse la posicin en que la razn P /A sea mxima. Para esto es necesario determinar la fuerza interna P en varias secciones a lo largo de la barra, lo que se consigue dibujando un diagra-ma deJuerza normal o axial. Especficamente, este diagrama es una gr~ fica de la fuerza normal P cont ra su posicin x a lo largo de la longitud de la barra. P se considerar positiva si causa tensin en el miembro y nega-tiva si causa compresin. Una vez conocida la carga interna en toda la barra podr identificarse la razn mxima de P/A


PUNTOS IMPORTANTES Cuando un cuerpo que est sometido a una carga externa es sec-

cionado. hay una distribucin de fuerza que acta sobre el rea seccionada que mantiene cada segmento del cuerpo en equilibrio. La intemidad de esta fuerza interna en un punto del cuerpo se denomina esfuerzo.

El esfueT7.o es el valor lmite de la fuerza por rea uni taria. al ten-der a cero el rea. Para esta definicin, el material en el punto se considero continuo y cohesivo.

En general, hay seis componentes independientes de esfuerzo en cada punto en el cuerpo, que son los esfuerzos lIormales, erx a,., a z y los esfuerzos cortal1les, Txy- TyZ' TxZ

La magnitud de esas componentes depende del tipo de carga que acta sobre el cuerpo y de la orientacin del elemento en el punto.

Cuando una barra prismtica est hecha de material homogneo e isotrpico. y est sometida a una fuerla axial que acta por el centroide del rea de la seccin transversa l, entonces el material dentro de la barra est sometido slo a esfuerzo normal. Este es-fuer lO se supone uniforme o promediado sobre el rea de la sec-cin transversal.

PROCEDIMIENTO DE ANALlSIS La ecuacin a = P lA da el esfuerzo normal promedio en el rea transversal de un miembro cuando la seccin est sometida a una fuerza normal interna resultante P. Para miembros axialmente car-gados, la aplicacin de esta ecuacin requiere los siguien tes pasos. Carga interna. Seccione el miembro perpendicularmente a su eje longitudinal en

el punto donde el esfuerzo normal va a ser determinado y use el diagrama de cuerpo libre y la ecuacin de equilibrio de fuerza necesarios para obtener la fuerza axial interna P en la seccin.

Esfuerzo normal promedio. Determine el rea transversal del miembro en la seccin y calcu-

le el esfuerzo normal promedio a = PIA. Se sugiere que ase muestre actuando sobre un pequeo elemento

de volumen del material localizado en un punto sobre la seccin donde el esfuerzo es calculado. Para hacer esto, primero dibuje a sobre la cara del elemento que coincide CaD el rea seccionada A. Aqu, q acta en la misma direccin que la fuerza interna P ya que todos los esfuerzos normales sobre la seccin transversal actao en esta direccin para desarrollar esta resultante. El es-fuerzo normal a que acta sobre la cara opuesta del elemento puede ser dibujada en su direccin apropiada.


EJEMPLO

~ - 30kN 35rnm~ (d)

Fi~.116

La barra en la figura 116a tiene un ancho constante de 35 mm yun es-pesor de 10 mm. Determine el esfuerzo normal promedio mximo en la barra cuando ella est sometida a las cargas mostradas.

8 9kN e 12kN

4kN D 22kN ,...-+

9kN 4kN 35 mm

(,)

12 leN P"'B; 12 kN

9kN 12 kN I)c ; 30 kN

9kN

PCD ; 22 leN 22 leN

P{kN) (b)

~ t , ,

(o)

Solucin

Carga interna. Por inspeccin, las fuerzas axiales internas en las re-giones AB, BC y CD son todas constantes pero tienen dife rentes mag-nitudes. Usando el mtodo de las secciones, esas cargas son determina-das en la figura 1-16b; y el diagrama de fuerza normal que representa esos resultados grficamente se muestra en la figura 1-16c. Por inspec-cin, la carga mxima est en la regin BC, donde PBC = 30 kN. Como el rea transversal de la barra es constante, el esfuerzo normal mximo promedio tambin ocurre dentro de esta regin de la barra. Esfuerzo normal promedio. Aplicando la ecuacin 1-6, obtenemos

30(10' )N (0.035 m)(O.OlO m) ~ 85.7 MPa Resp.

La distribucin de los esfuerzos que actan sobre una seccin trans-versal arbitraria de la barra dentro de la regin BC se muestra en la figura 1-16d. Grficamente el volumen (o "bloque") representado por esta distribucin de esfuerzos es equivalente a la carga de 30 kN;o sea, 30 kN ~ (85.7 MPa)(35 mm)(lO mm) .


EJEMPLO La lmpara de 80 kg est soportada por dos barras AB y Be como se muestra en la figura 117a. Si AB tiene un dimetro de 10 mm y Be tie-ne un dimetro de 8 mm, determine el esfuerzo normal promedio en cada barra.

(.)

Fig. 1.7

Solucin Carga interna. Debemos primero determinar la fuerza axial en cada ba rra. En la figu ra 1 ~17b se muestra un diagrama de cuerpo libre de la lmpara. Aplicando las ecuaciones de equillbrio de fuerzas. obtenemos

';'LF=O' , , +)LF=O' , '

FBC(~) - FBA COS 60 = O F8C(!) + FBA sen60o -784.8N = O

F BC = 395.2 N, F BA = 632.4 N

Por la tercera ley de Newton, la accin es igua l pero opuesta a la reac-cin, estas fue rzas someten a las barras a tensin en toda su longitud.

Esfuerzo normal promedio. Fse (T BC = -- ~ Ase

Aplicando la ecuacin 16, tenemos

395.2 N = 7.86 MPa Resp. 1T(O.OO4 m)2

(T BA = _F_BA_ = 632.4 N = 8.05 MPa ABA 1T(0.OO5 m)2 Resp.

La distribucin del esfuerzo normal promedio que acta sobre una seccin transversal de la barra AH se muestra en la figura l-17c, y en un punto sobre esta seccin transversal , un elemento de material est esforzado como se muestra en la figura 1.17d.

J

---'--if1.'--------.,

80(9.81) '" 784.8 N (b)

8.05 MPa 8.05 MPa

~ (d)

632.4 N

(,)

1


EJEMPLO

A

(a)

La pieza fundida mostrada en la figura 1-18a est hecha de acero con peso especfico de Yac = 490 Ibj pie3 Determine el esfuerzo de compre-sin promedio que acta en los puntos A y B.

w.

1 1 ::r

2.75 pies

p~ 8 9 ~ 0.75 pie A , P 9.361b/pulg2 (b) )

Fig. !-l8

Solucin

Carga interna. En la figura l-18b se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento superior de la pieza fundida donde la seccin pasa porlos puntos A y B. El peso de este segmento es Wac = YacVac ' La fuer-za axial interna P en la seccin es entonces

+jLF=O; P - Wac=O P - (490 Ibj pie3)(2.75 pies)1f(0.75 pief = O

P ~ 2381 lb

Esfuerzo de compresi6n promedio. El rea transversal en la seccin es A = 1T(O.75 pie)2. y e l es fuerzo de compresin promedio es en-tonces

P 2381 lb (T = - =

A 1T (O.75 pie)2 = 1347.5Ibj pie2 = I347.5lbj pie2 (1 pie2j l44 pulg2) = 9.36lbjpulg2 Resp.

El esfuerzo mostrado en el elemento de vol umen de material en la figura l-18e es representativo de las condiciones en A o B. Note que este esfuerzo acta hacia arriba sobre el fondo O cara sombreada del elemento ya que esta cara forma parte del rea de la superficie del fon-do de la seccin cortada, y sobre esta superficie, la fuerza interna re-sultante P empuja hacia arriba .

SECCiN 1.4 Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axial mente 31

EJEMPLO El miembro AC mostrado en la figura 1-19a est sometido a una fuer-za vertical de 3 kN. Determine la posicin x de esta fuerza de modo que el esfuerzo de compresin promedio en el soporte liso e sea igual al esfuerzo de tensin promedio en el tirante AB. El tirante tiene un rea en su seccin transversal de 400 mm2 y el rea de contacto en C es de 650mm2.

B

3 kN

A A

(' j Fig.1-19

Solucin Carga inlema. Las fuerzas en A y C pueden ser relacionadas consi-derando el diagrama de cuerpo libre del miembro AC, figura 1-19b. Se tienen tres incgnitas que son FAS, Fe Y x. En la solucin de este pro-blema usaremos uniddes de newtons y milmetros.

+tZFy =O; 1+ M A = O;

FAB + Fe - 3000 N = O -3000 N(x ) + Fc(200 mm) ~ O

(1) (2)

Esfuerzo normal promedio. Puede escribirse una tercera ecuacin necesaria que requiere que el esfuerzo de tensin en la barra AB y el esfuerzo de compresin en e sean equivalentes, es decir,

FAS Fe a ~

400 mm2 650 mm2 Fe = 1.625FAS

Sustituyendo esto en la ecuacin 1, despejando FAB y Fe, obtenemos FAB = 1143 N

Fe "" 1857 N

La posicin de la carga aplicada se determina con la ecuacin 2,

x = 124 mm

Note que O < x < 200 mm, tal como se requiere.

Resp.

3kN

(b) Fe


1.5 Esfuerzo cortante promedio

,.,

v v

'b'

F

,,'

Fig. 120

El esfuerzo cortante se defini en la seccin 1.3 como la componente del esfuerzo que acta en el plano del rea seccionada. Para mostrar cmo se desarrolla este esfuerzo, consideraremos el efecto de aplicar una fuerza F a la barra mostrada en la figura 1-20a. Si los soportes se consideran rgi dos y F es suficientemente grande, sta ocasionar que el material de la barra se deforme y falle a lo largo de los planosAB y CD. Un diagrama de cuerpo libre del segmento central no soportado de la barra, figura 120b, indica que una fuerza cortante V = Ff2 debe aplicarse a cada seccin pa ra mantener el segmento en equilibrio. El esfuerzo corlante promedio dis tribuido sobre cada rea seccionada que desarrolla esta fuerza se define por:

(1-7)

Donde,

Tprom = esfuerzo cortante promedio en la seccin; se supone que es el mis mo en todo punto localizado sobre la seccin

V = fuerza cortante interna resultante en la seccin; se determina con las ecuaciones de equilibrio

A = rea en la seccin

La distribucin del esfuerzo cortante promedio se muestra actuando so bre la seccin derecha en la figu ra 12Oc. Observe que 'rprom tiene la mis ma direccin que V, ya que el esfuerzo cortante debe crear fuerzas aso-ciadas que contribuyen en conjunto a generarla fuerza interna resultante V en la seccin.

El caso de carga analizado en la figura 1-20 es un ejemplo de cortante simp le o corlante directo, ya que el cortante es causado por la accin di recta de la carga aplicada F. Este tipo de cartante suele ocurrir en varios tipos de conexiones simples que usan pernos, pasadores, soldadura, etc. Sin embargo, en todos esos casos, la aplicacin de la ecuacin 1-7 es s610 aproximada. Una investigacin ms precisa de la distribucin del esfuer-zo cortante sobre la seccin crtica revela que esfuerzos cortan tes mucho mayores ocurren en el material que los predichos por esta ecuacin. Si bien ste puede ser el caso, la aplicacin de la ecuacin 17 es generalmen-te aceptable para muchos problemas de anlisis y diseo. Por ejemplo, los manuales de ingeniera permiten su uso al considerar tamaos de diseo para sujetadores como pernos o para obtener la resistencia por adheren-cia de juntas sometidas a cargas cortantes. Con respecto a esto, ocurren en la prctica dos tipos de cortante, que merecen tratamientos separados.

.

SECCiN 1.5 Esfuerzo cortante promedio 33

(,) (b) F (,)

Fig. 1-21

Cortante simple. Las juntas de acero y madera mostradas en las figu-ras 1-21a y 1-21c, respectivamente, son ejemplos de conexiones en cortan-te simple y se conocen como juntas traslapadas. Supondremos aqu que los miembros son delgados y que la tuerca en la figura 1-210 no est de-masiado apretada de modo que la friccin entre los miembros puede des-preciarse. Pasando una seccin entre los miembros se obtienen los diagra-mas de cuerpo libre mostrados en las figuras 1-21b y 1-21d. Como los miembros son delgados, podemos despreciar el momento generado por la fuerza F. Entonces, por equilibrio, el rea de la seccin transversal del perno en la figura 1-21b y la superficie de contacto entre los miembros en la figura 1-21d estn sometidos slo a unafuen.a cortante V "" F. Esta fuer-za se usa en la ecuacin 1-7 para determinar el esfuerzo cortante prome-dio que acta en la seccin de la figura 1-21d.

Cortante doble. Cuando la junta se construye como se muestra en la figura 1-22a o 1-22c, deben considerarse dos superficies cortantes. Ese ti-po de conexiones se llaman juntas traslapadas dobles. Si pasamos una sec-cin entre cada uno de los miembros, los diagramas de cuerpo libre del miembro central son como se muestra en las figuras 1-22b y 1-22d. Tene-mos aqu una condicin de cortante doble. En consecuencia, una fuerza cortante V "" F fl. acta sobre cada rea seccionada y esta fuerza cortan-te debe considerarse al aplicar Tpenn "" V lA.

(d)

El pasador en este tractor est sometido a cortante doble.

SECCIN 1.5 Esfuerzo cortante promedio 33

(.) (b) F (,)

Ag. 1-21

Cortante simple. Las juntas de acero y madera mostradas en las figu-ras 1-21a y 1-21c, respectivamente, son ejemplos de conexiones en cortan-te simple y se conocen como juntos traslapadas. Supondremos aqu que los miembros son delgados y que la tuerca en la figura 1-21a no est de-masiado apretada de modo que la fri ccin entre los miembros puede des-preciarse. Pasando una seccin entre los miembros se obtienen los diagra-mas de cuerpo libre mostrados en las figuras 1-21b y 1-21d. Como los miem bros son delgados, podemos despreciar el momento generado por la fuerza F. Entonces, por equilibrio, el rea de la seccin transversal del perno en la figura 1-21b y la superficie de contacto en tre los miembros en la figura 1-21d estn sometidos slo a unafuerl.a cortante V "" F. Esta fuer-za se usa en la ecuacin 1-7 para determinar el esfuerzo cortante prome-dio que acta en la seccin de la figura 121d.

Cortante doble. Cuando la junta se construye como se muestra en la figura 1220 o 122c, deben considerarse dos superficies cortantes. Ese ti-po de conexiones se llaman juntas traslapadas dobles. Si pasamos una sec-cin entre cada uno de los mi embros, los diagramas de cuerpo libre del miembro central son como se muestra en las figuras 1-22b y 1-22d. Tene-mos aqu una condicin de cortante doble. En consecuencia, una fue rza cortante V = Ffl acta sobre cada rea seccionada y esta fuerza cortan-te debe considerarse al aplicar Tperm "" V lA.

Ag. J 22

(d)

El pasador en este tractor est sometido a cortante doble.


Conante puro Fig.I2J

Equilibrio. Consideremos un elemento de volumen de material toma-do en un punto localizado sobre la superficie de cualquier rea seccionada sobre la que acta el esfuerzo cortante promedio, figura 1-230. Si consi-deramos el equilibrio de fuerzas en la direccin y , entonces

M esfrzo~

'T"z,(~X ~y) - 'T"~y ~x h.y = O 'TZy = 'T ~y

De manera similar, el equ ilibrio de fuerzas en la direccin z nos da 'T"yz = r,;z. Finalmente, tomando momentos respecto al eje x,

momenlO ,----,

por lo que 'T zy = 'T"~y = 'Tyz = 'T"~: = 'T

En otras palabras, el equilibrio de fuerzas y momentos requiere que el esfuerzo cortante que acta sobre la cara superior del elemento, est acom-paado por esfuerzos cortantes actuando sobre las otras tres caras, figu-ra 1-23b. Aquf, todos los cuatro esfuerzos cortantes deben tener igual magnitud y estar dirigidos hacia o alejndose uno de otro en caras con un borde comn. A esto se le llama propiedad complementaria del cortan-te , y bajo las condiciones mostradas en la figura 1-23, el material est so-metido a cortante puro.

Aunque hemos considerado aqu un caso de cortante simple causado por la accin directa de una carga, en eapftulos posteriores veremos que el esfuerzo cortan te puede tambin generarse indirectamente por la ac-cin de otros tipos de cargas.

SeCCiN 1.5 Esfuerzo cortante promedio 35

PUNTOS IMPORTANTES Si dos partes delgadas o pequeas se unen entre s, las cargas apli-

cadas pueden causar cortante del material con flexin desprecia-ble. Si ste es el caso, es generalmente conveniente en el anlisis suponer que un esfuerzo cortallle promedio acta sobre el rea de la seccin transversal.

A menudo los sujetadores, como clavos y pernos.. estn someti-dos a cargas cortantes. La magnitud de una fuerza conante sobr~ el sujetador es mxima a lo largo de un plano que pasa por las superficies que son conectadas. Un diagrama de cuerpo libre cui-dadosamente dibujado de un segmento del sujetador pennitir obtener la magnitud y direccin de esta fuerza.

PROCEDIMIENTO DE ANLISIS La ecuacin 'l'prom = V l A se usa para calcular slo el esfuerzo cortan-te promedio en el material. Su aplicacin requiere dar los siguientes pasos.

Cortante interno. Seccione el miembro en el punto donde el esfuerzo cortante pro

medio va a ser determinado. Dibuje el diagrama de cuerpo libre necesario y calcule la fuerza

cortante interna y que acta en la seccin que es necesaria para mantener la parte en equilibrio.

Esfuerzo cortante promedio. Determine el rea seccionada A, y calcule el esfuerzo cortante

promedio "'prom = V l A. Se sugiere que "'prom sea mostrado sobre un pequeo elemento de

volumen de mate rial localizado en un punto sobre la seccin don-de l es determinado. Para hacer esto, dibuje primero 'l'prom sobre la cara del elemento que coincide con el rea seccionada A. Este esfuerzo cortante acta en la misma direccin que V. Los esfuer-zos cortantes que actan sobre los tres planos adyacentes pueden entonces ser dibujados en sus direcciones apropiadas siguiendo el esquema mostrado en la figura 1-23.

36 cAPfr UlO 1 Esfuerzo

EJEMPLO La barra mostrada en la fig ura 1-240 tiene una seccin transversal cua drada de 40 mm. Si se aplica una fuerza axial de 800 N a lo largo del eje centroidal del rea transversal de la barra , determine el esfuerLo normal promedio y el esfuerzo cortante promedio que actan sobre el material a lo largo (a) del plano aa y (b) del plano bb.

800 N

(.,

800 N ... ----1~I__--;.~ p '" 800 l'\ ~

Solucin

Parte (a)

Fig. 124

(o,

Carga intem a. La barra es seccionada, fig ura 124b, y la carga inter na resultan te consiste slo en una fuerza axial P = 800 N.

Esf uerzo promedio. El esfuerLo normal promedio se determina con la ecuacin 1-6.

P BOON a = - = 500 kPa Resp.

A (0.04 m)(O.04 q

No existe esfuerzo cortante sobre la seccin, ya que la fuerza cortante en la seccin es cero.

Tprom = O Resp.

La distribucin del esfuerzo normal promedio sobre la seccin transo versal se muestra en la figural-24c.

cu,-

SECCiN 1.5 Esfuerzo cortante promedio 37

~, r

800 N 800 N

(d)

Parte (b) Carga inrerna. Si la barra es seccionada a lo largo de b-b, el diagra-ma de cuerpo libre del segmento izquierdo es como se muestra en la figura 1-24d. Aqu actan una fue rza normal (N) y una fuerza cortan-te (V) sobre el rea seccionada. Usando ejes x, y, se requiere

+1 ~ F ~ o , ' -800 N + Nsen60o + Vcos60 = O Vsen6Qo - Ncos60 = O

o ms directamente, usando ejes X, y: +'\ Fr = O: +.l' F,. = O;

N - 800 N cos30 = O V - 800 N sen 30 = O

Resolviendo cualquier conjunto de ecuaciones, N ~ 692.8 N

V~400N

Esfuerzos promedio. En este caso el rea seccionada tiene un espe-sor de 40 mm y una profundidad de 40 mm/ sen 60 = 46.19, respecti vamen te, figura 1-24a. El esfuerzo noonal promedio es entonces

N 692.8 N " ~ A ~ ""(0"'.04:C-m",)oo(0"'.0c;460':1-=9-m"C) ~ 375 kP, Resp.

y el esfuerl.O cortante promedio es

V 400 N Tp,~ ~ A ~ (0.04 m)(0.04619 m) ~ 217 \


EJEMPLO

fuena del puntal sobre la barra

5kN (.)

'Jr (b)

V~2 . .5kN 2 . .5 kN

fuena de la barra sobre el puntal

'kN ~ (e)

El puntal de madera mostrado en la figura 1-25a est suspendido de una barra de acero de dimetro de 10 mm , que est empotrada a la pa-red. Si el punta l soporta una carga vertical de 5 kN, calcule el esfuerzo cortante promedio en la barra en la pared y a lo largo de los dos pla-nos sombreados del punta l. uno de los cuales est indicado como abcd.

Solucin

Cortanle interno. Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre en la figura 1-25b, la barra resiste una fuerza cortante de 5 kN donde ella est empotrada a la pared. En la figura 1-25c se muestra un diagra-ma de cuerpo libre del segmento seccionado del puntal que est en con-tacto con la barra. Aqu la fuerza cortante que acta a lo largo de ca-da plano sombreado es de 2.5 kN. Esfuerzo cortante promedio. Para la barra,

v 5000N = 63.7 MPa "Tprom = A = rr(O.OO5 m)2 Resp.

Para el puntal,

V Tprom = A = 2500 N ~312MP (0.04 m)(0.02 m) . . a Resp.

La distribucin del esfuerzo cortante promedio sobre la barra sec-cionada y el segmento de puntal se muest ran en las figuras 1-25d y }-25e, respectivamente. Se muestra tambin con esas figuras un ele-mento de volumen tpico del material en un punto localizado sobre la superficie de cada seccin. Observe cuidadosamente cmo el esfuerzo cortante debe actuar sobre cada cara sombreada de esos elementos y sobre las caras adyacentes de los mismos.

, kN

~ 63.7 MPa (d) (,)

Fig. 1-25

do de la pa-uerzo

oS pla-abcd.

, libre londe iagra-1 con-

1e ca-

Resp.

Resp.

11 sec-

25d y n ele-bre la uerzo

]tos y

SECCiN 1.5 Esiuerzo cortante promedio 39

EJEMPLO

El miembro inclinado en la figura 1-200 est sometido a una fuera de compresin de 600 lb. Determine el esfuerzo de compresin promedio a lo largo de las reas lisas de contacto definidas por AB y BC, y el es-fuerzo cortante prome

Mecánica de Materiales Hibbeler 6ed

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