Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal, y las longitudes de latangente, normal, subtangente y subnormal, para la hipérbola3x2 � 2y2 + 3x� 4y � 12 = 0en el punto de contacto (2;�3).Solución:a) La tangente.La recta esy + 3 = m (x� 2) =) y = mx� 2m� 3Se sustituye en la ecuación de la hipérbola3x2 � 2 (mx� 2m� 3)2 + 3x� 4 (mx� 2m� 3)� 12 = 0�2m2x2 + 8m2x� 8m2 + 8mx� 16m+ 3x2 + 3x� 18 = 0El discriminante de esta ecuación es�8m2 + 8m+ 3

�2 � 4 ��2m2 + 3� ��8m2 � 16m� 18

�= 0

que se reduce a64m2 + 240m+ 225 = 0

y cuya solución es m = �158.

Así quey + 3 = m (x� 2)y + 3 +

15

8(x� 2) = 0

y + 3 +15

8(x� 2) = 15

8x+ y � 3

4La ecuación de la tangente es 15x+ 8y � 6 = 0

b) La normal.Para sacar la ecuación de la normal recordemos que su pendiente es reciproca

y de signo contrario de la de la normal, así que

mn =8

15y como pasa por el mismo punto su ecuación es

y + 3 =

�8

15

�(x� 2)

La ecuación de la normal es 8x� 15y � 61 = 0

c) La longitud de la tangenteTenemosLongitud de la tangente=

y1m

p1 +m2

como y1 = �3 y m = �158

Longitud de la tangente=�3��158

�s1 + ��158

�2=17

5= 3: 4

d) Longitud de la normalTenemos queLongitud de la normal= y1

p1 +m2, así que

1

Longitud de la normal= (�3)

s1 +

��158

�2= �51

8= �6:4

e) Longitud de la subtangenteTenemosLongitud de la subtangente=

y1my por lo tanto

Longitud de la subtangente=�3

�158

=8

5= 1: 6

f) Longitud de la subnormalTenemosLongitud de la subnormal= my1 y por lo tanto

Longitud de la subnormal=��158

�(�3) = 45

8= 5: 6

­1 1 2 3

­5

­4

­3

­2

­1

1

x

y

2