Hallar la tangente y la normal a una hiperbola

2
Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal, y las longitudes de la tangente, normal, subtangente y subnormal, para la hipØrbola 3x 2 2y 2 +3x 4y 12 = 0 en el punto de contacto (2; 3). Solucin: a) La tangente. La recta es y +3= m (x 2) = ) y = mx 2m 3 Se sustituye en la ecuacin de la hipØrbola 3x 2 2(mx 2m 3) 2 +3x 4(mx 2m 3) 12 = 0 2m 2 x 2 +8m 2 x 8m 2 +8mx 16m +3x 2 +3x 18 = 0 El discriminante de esta ecuacin es 8m 2 +8m +3 2 4 2m 2 +3 8m 2 16m 18 =0 que se reduce a 64m 2 + 240m + 225 = 0 y cuya solucin es m = 15 8 . As que y +3= m (x 2) y +3+ 15 8 (x 2) = 0 y +3+ 15 8 (x 2) = 15 8 x + y 3 4 La ecuacin de la tangente es 15x +8y 6=0 b) La normal. Para sacar la ecuacin de la normal recordemos que su pendiente es reciproca y de signo contrario de la de la normal, as que m n = 8 15 y como pasa por el mismo punto su ecuacin es y +3= 8 15 (x 2) La ecuacin de la normal es 8x 15y 61 = 0 c) La longitud de la tangente Tenemos Longitud de la tangente= y 1 m p 1+ m 2 como y 1 = 3 y m = 15 8 Longitud de la tangente= 3 15 8 s 1+ 15 8 2 = 17 5 =3: 4 d) Longitud de la normal Tenemos que Longitud de la normal= y 1 p 1+ m 2 , as que 1

Transcript of Hallar la tangente y la normal a una hiperbola

Page 1: Hallar la tangente y la normal a una hiperbola

Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal, y las longitudes de latangente, normal, subtangente y subnormal, para la hipérbola3x2 � 2y2 + 3x� 4y � 12 = 0en el punto de contacto (2;�3).Solución:a) La tangente.La recta esy + 3 = m (x� 2) =) y = mx� 2m� 3Se sustituye en la ecuación de la hipérbola3x2 � 2 (mx� 2m� 3)2 + 3x� 4 (mx� 2m� 3)� 12 = 0�2m2x2 + 8m2x� 8m2 + 8mx� 16m+ 3x2 + 3x� 18 = 0El discriminante de esta ecuación es�8m2 + 8m+ 3

�2 � 4 ��2m2 + 3� ��8m2 � 16m� 18

�= 0

que se reduce a64m2 + 240m+ 225 = 0

y cuya solución es m = �158.

Así quey + 3 = m (x� 2)y + 3 +

15

8(x� 2) = 0

y + 3 +15

8(x� 2) = 15

8x+ y � 3

4La ecuación de la tangente es 15x+ 8y � 6 = 0

b) La normal.Para sacar la ecuación de la normal recordemos que su pendiente es reciproca

y de signo contrario de la de la normal, así que

mn =8

15y como pasa por el mismo punto su ecuación es

y + 3 =

�8

15

�(x� 2)

La ecuación de la normal es 8x� 15y � 61 = 0

c) La longitud de la tangenteTenemosLongitud de la tangente=

y1m

p1 +m2

como y1 = �3 y m = �158

Longitud de la tangente=�3��158

�s1 + ��158

�2=17

5= 3: 4

d) Longitud de la normalTenemos queLongitud de la normal= y1

p1 +m2, así que

1

Page 2: Hallar la tangente y la normal a una hiperbola

Longitud de la normal= (�3)

s1 +

��158

�2= �51

8= �6:4

e) Longitud de la subtangenteTenemosLongitud de la subtangente=

y1my por lo tanto

Longitud de la subtangente=�3

�158

=8

5= 1: 6

f) Longitud de la subnormalTenemosLongitud de la subnormal= my1 y por lo tanto

Longitud de la subnormal=��158

�(�3) = 45

8= 5: 6

­1 1 2 3

­5

­4

­3

­2

­1

1

x

y

2