7/18/2019 Guia 3ro Medio Numeros Complejos
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CCC
Guía de Refuerzo Nº 1 “NUMEROS COMPLEJOS”
Unidad: _NUMEROS _ Asignatura: Educación MatemáticaObjetivo Fundamenta: Com!render "ue os n#meros com!ejos constitu$en unconjunto num%rico en e "ue es !osibe resover !robemas "ue no tienen soución
en os n#meros reaes& $ reconocer su reación con os n#meros naturaes&n#meros enteros& n#meros racionaes $ n#meros reaes' A!icar !rocedimientosde cácuo de adiciones& sustracciones& muti!icaciones $ divisiones de n#meroscom!ejos& (ormuar conjeturas acerca de esos cácuos $ demostrar agunas desus !ro!iedades'Objetivo de a )u*a: Re(or+ar os contenidos $ ,abiidades obtenidasdurante a case'
Nombre: _________________________________ Curso: -° MEDIO A- Fec,a: __.__.___
/nstrucciones: 01e*das en siencio2 1ee atentamente esta gu*a' 3rabaja en (orma individua o gru!a&seg#n o indi"ue a !ro(esora' Res!onda en e es!acio "ue se indica&o en su cuadernio'
Una ve+ terminada& arc,ive a gu*a $ su desarroo en e !orta(oio dematemáticas'
Ejercicio 1: Marquen con una cruz todos los conjuntos numéricos a los cuales pertenecen lassoluciones de las ecuaciones:
Ecuación Resolución N Z Q I R
x – 3 !
x " # !
x $ # !
x% – # &
x% " ! &
'omo sa(emos) en R no podemos resol*er ra+ces cuadradas de n,meros ne-ati*os) como
!− ) .a que no existe nin-,n n,mero real cu.o cuadrado sea i-ual a –!$
/ara eso de0inimos el s+m(olo i para indicar un n,mero tal que: i² = – 1 ó i =
!−
1eniendo en cuenta la i-ualdad a partir de la cual lo de0inimos) . que este n,mero no es real)
podemos usarlo para expresar las soluciones que no son reales de al-unas ecuaciones$Ej: x% " ! & x% " # &
x% – ! x%
– #
x ! i x # – i x!
# i x # – # i
2a que: i% " ! & . –i4% " ! & 2a que: # i4% " # & . – # i4% " # &
Coegio 4aent*n 1eteierAsignatura: Matemática5ro(esora: 6ara Carrasco M'
!
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Ejercicio 2: 5tilicen el s+m(olo i para expresar las soluciones de las si-uientes ecuaciones:
a4 x% " 6 & (4 x% " 7 & c4 x% – !& # x%
d4 – x% – 8 & e4 8 x% " !9 & 04 x " 7 4% !& x
-4!!
6%
!=−
+ x 4 x – # 4 – x – # 4 #& i4 x – ; 4% – !9 x
j4 3 # – # x 4 x – 6 4 x – # 4 <4 # x% – ! 4% ! " # x 4 ! – # x 4 – !
Ejercicio 3: 'ompleten la si-uiente ta(la:
N,mero 'omplejoZ
/arte RealRe
z4/arte Ima-inaria
Imz4=es complejo) real o
ima-inario puro>
7 " 3 i
# ;
– 6 #?3
! –3
# – 3 i
7 i
& 6
6 &
& &
CONJUGADO Y OPUESTO ADITIVO DE UN NÚE!OCOP"EJO
@ partir de un n,mero complejo z a " (i) se de0inen los si-uientes:
#
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A El conju-ado de z es z = a – bi la parte real es i-ual . la parte ima-inaria es opuesta4
A El opuesto de z es – z = – a – bi la partBe real . la parte ima-inaria son opuestas4
Ejemplos:
! z – ! – # i ! z – ! " # i – ! z ! " # i
# z 6 i # z – 6 i – #
z – 6 i
3 z
9 3 z
9 –3 z
– 9
Ejercicio #: 'ompleten el si-uiente cuadro:
z z – z
C " D i
# – 9 i
– " 3 i
– 3
– 7 i
# – F i
OPE!ACIONES CON NÚE!OS COP"EJOS
En los si-uientes ejemplos pueden o(ser*ar cómo sumamos) restamos) multiplicamos .di*idimos n,meros complejos:
S$%&: # " 3 i 4 " ! – 7 i 4 # " ! 4 " 3 – 7 4 i 3 – # i
!e'(&: # " 3 i 4 – ! – 7 i 4 # – ! 4 " 3 ––74 i4 ! " ; i
$)(i*)ic&ció+: # " 3 i 4 $ ! – 7 i 4 # $ ! " # $ –7i4 " 3 i$! " 3i $–7i4 # – !& i " 3 i – !7 i% ! – i
recordar que i² = –14Di,i'ió+:/ara resol*er la di*isión de dos n,meros complejos) siendo el di*isor no nulo) multiplicamos a
am(os por el conju-ado del di*isor) del si-uiente modo:
i
i
7!
3#
−
+
i
i
i
i
7!
7!$
7!
3#
+
+
−
+
4%7%!
%!73!&#
i
iii
−
+++
#7!
!3!3
+
+− i
i
#
!
#
!+
Multiplicar por una 0racción de i-ual numerador . denominador es como multiplicar por !)
por lo tanto) la i-ualdad no se altera$
Ejercicio 1-: 'onsideren los complejos: ! z –# " i G # z 3 " 7 i G 3 z
6 – i .resuel*an las si-uientes operaciones:
a4 ! z " # z – 3
z (4 ! z " # z – 3 z
c4 ! z – 3 z d4 7$ 3 z
e4 ! z " # z 4$ 3 z
04 – ! z " # z 4$ ! z – 3 z
4 -4 ! z $ # z – 3
z 4 3 z
4%
Ejercicio 11: 'onsideren los complejos: ! z 3 – i G # z – 6 i G 3 z
" # i .
resuel*an las si-uientes di*isiones:
3
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a4
=
!
#
z
z
(4
=
3
!
z
z
c4
=
#
3
z
z
d4
=
3
#
z
z
e4 #
3$!9 z
z
04 !
!
z
Ejercicio 12: 'ompleten las potencias de i:
=&
i =!i =
#i =
3i
=6
i =7
i =9
i =E
i
=Qué re-ularidad o(ser*an>
Ejercicio13: 'alcular las si-uientes potencias:
a4 =!#Ei e4 =
86i i4 =
!!33 $ii
(4 =66
i 04 =6!# 4i j4 =
3#&## : ii
c4 =#6#
i -4 =73 4i <4 x " !
#Ei
d4 =98
i 4 =#8 4i l4 x – i
3−i
EJE!CITACI.N
1#/ A0ició+ S$'(r&cció+ 0e N%ero' Co%*)ejo':
a4 !& " 3 i 4 " ; " # i 4 " 6 " 7 i 4 R: ##) !&4
(4 " 7 i 4 – 3 – 6 i 4 – – 7 " # i 4 R: 8 ) 4
c4 ! " F i 4 " 3 – 3?# i 4 " – 6 " i 4 R: & 4
d4 – ; "4
7
3i
" –−++ 4
!&
E
6
Ei =− 4
!&
3
6
!i
R: – !& " i 4
e4 =−−+++−++ 4
#3
!7#;4
6!
!7#4
63
364
7# iiii
R: – i 4
04 =−+++−++ 4
#
#4
#
#4
##
34
##
3ii
ii
R: #3 + 4
14 $)(i*)ic&ció+ Di,i'ió+ 0e N%ero' Co%*)ejo':
a4 !& " # i 4 $ 3 " !7 i 4 R: !79 i 4
(4 – 7 " # i 4 $ 7 " # i 4 R: – #8 4
c4 – ! " i 4 $ – ! – i 4 R: # 4
d4 – =ii
3
6$
7
3
R: 6?74
e4 3# + i4 $ #3 + i 4 R: 7 i 4
04 =−++ 4
#
#4$6
3
#4$
#
#iii
R: ! " 9 i 4-4 – 6 " # i 4 : ! " i 4 R: – ! " 3 i 4
6
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4 – ! " i 4 : – ! – i 4 R: – i 4
i4 6 " # i 4 : i R: # – 6 i 4
j4 – =++ 4
6
!
7
#:4
7
#
6
!ii
R: i 4
<4 3# + i4 : 3# − i 4 R: – i7
9#
7
!+
4
14/ Po(e+ci& 0e N%ero' Co%*)ejo':
a4 i9&
(4 i9&#
c4 i
EE d4 i
!&6
e4 – i 4#7
04 – i 4!3
-4 ! " i 4% R: #i4 4 6 – 3 i4% R: – #6 i4
i4 i
#
!
7
#+
4% R: – i
7
#
!&&
8+
4 j4 i
7
3
E
#+
4% R: – i
37
!#
!##7
36!+
4
15/ Ejercicio' co%6i+&0o' e+ C:
a4 4#4#34%$#! 6E
ii
ii
+−−
+
R:i
#
3
#
!+
4 d4 i
i
i
i
−
−+
−
−
!
#
3
H##7
(4 4#4#6
4#34#3#73
ii
iii
+−++
−−+−
R: !3
7 i+−
4 e4
=+
+
− i
i
i
i
#
4%!
4%!
#
c4
=
−
++ −
4#3$
4%#$4#38
!
ii
ii
R: !3
6E i+−
4 04 i
i
−
+
!
4%#
#
#
#
17/ Ec$&cio+e' e+ C: 8&))&r e) ,&)or 0e 9:
a4 z $ # – 3 i 4 " – # – i 4 3 – # i R: ! " i 4
(4 – ! ) – # 4 – z ! ) – ! 4 R: –#) –!4
c4 # ) – 3 4 " z –! ) # 4 R: – 3 ) 7 4
d4 – # ) # 4 " z – # ) 3 # 4 – z R: & ) # 4
e4 ! – i 4 $ z – ! " i R: – ! 4
04 4#)#
4!)#
−
−+ z
# ) # 4 R: 9 ) ! 4-4 # ) – # 4 $ z – ; ) – # 4 & ) # 4 R: # ) # 4
4 z
43)3 −
" ! ) & 4 3 " ! ) 3 4 R: & ) – ! 4
7
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i4 # i " z 3 – i R: 3 – 3 i 4
j4 # – 3 i 4 $ z # " 3 i 4 $ i R: – i
!3
7
!3
!#−
4<4 # " i " 3 z # – i R: – #?3i4
l4 z
i+!
– ! " # i 4 i R:
47
!
7
#i−
ll4i
z
z +=
−
+#
!
!
R: # – i4
m4i
i z
zi#!+=
+ R:4
#
3
#
! i−
n4i
z
i#!
!
#+=
−
−
R: ! – i 4
o4#
#=
−
+
i z
i z
i R: # 4
!EP!ESENTACI.N G!;ICA DE UN N< COP"EJOEjercicio : Representar los si-uientes n,meros complejos:
! z
– ! – i
# z – 3
" # i
3 z # –
3i
Ejercicio 4: ado i z 37−= ) -ra0icar z z z z −− ))) $ =Qué relación existe entreellos>
.DU"O Y A!GUENTO
Ejercicio 5: Jallar el módulo . el ar-umento de los si-uientes complejos . -ra0icarlos:
a4 7 – # i (4 –3 " F i c4 C " i d4 – ! – i
9
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;O!AS DE !EP!ESENTA! UN NÚE!O COP"EJO> ;or%& ?i+ó%ic&: 9 = 2 @ 3 i
> ;or%& C&r(e'i&+&: 9 = 2 B 3 /
> ;or%& Po)&r: 9 = 9 / 0o+0e 9 e' e) %ó0$)o e) &r$%e+(o
KzK %3%# + = !3 G L arct-3?#4 79!;37
z !3 79!;374
A ;or%& Trio+o%F(ric&: 9 = 9 co' @ i 'e+ / 9 %ó0$)o &r$%e+(o
z !3 $cos 79!;37 " i sen 79!;374
Oeri0icamos : z 3)9&7 $ &)776 " i &);3#4
z !)888P$ " #)888Pi aprox # " 3i4
Ejercicio 7: Expresar los si-uientes complejos en 0orma polar:
a4 z – 3 i (4 z – # – 7 i c4 z ( )#G #− −
d4 z ( )3)3
Ejercicio H: Expresar en 0orma tri-onométrica los n complejos del ej ;