Fundamentosde matemáticas Semestre 1
Fundamentos de matemáticas
Tabla de contenido Página
Introducción 1
Conceptos previos 1
Mapa conceptual 2
Logros 2
Expresiones algebraicas 2
Operaciones con polinomios 7
Adición de polinomios 7
Multiplicación de polinomios 8
División de polinomios 9
Cocientes y productos notables 11
Factorización 15
Actividad de trabajo colaborativo 20
Resumen 20
Bibliografía recomendada 21
Nexo 21
Seguimiento al autoaprendizaje 23
Créditos: 3 Tipo de asignatura: Teórica - Práctica.
Fundamentos de matemáticas
Semestre 1
Copyright©2008 FUNDICIÓN UNIVERSITARIA SAN MARTÍN Facultad de Universidad Abierta y a Distancia, “Educación a Través de Escenarios Múltiples”
Bogotá, D.C.
Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización por escrito del Presidente de la Fundación.
La redacción de este fascículo estuvo a cargo de
HERNÁN ALBERTO DÍAZ GONZÁLEZ Sede Bogotá, D.C.
Orientación a cargo de;
ELIZABETH RUIZ HERRERA Directora Nacional de Material Educativo.
Diseño gráfico y diagramación a cargo de
SANTIAGO BECERRA SÁENZ ORLANDO DÍAZ CÁRDENAS
Impreso en: GRÁFICAS SAN MARTÍN
Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825 Bogotá, D.C., Mayo de 2008
5 Fascículo No. 3 Semestre 1
Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Introducción El planteamiento, análisis y solución de situaciones cotidianas de diferentes
ciencias que involucran el manejo de variables, se facilita al enunciarlas
haciendo uso de un lenguaje adecuado, gracias a las expresiones
algebraicas. Por esta razón, otro conjunto que abordaremos es el conjunto
de las expresiones algebraicas y nos apoyaremos en éstas para el
desarrollo de las demás temáticas.
Introducimos el concepto de polinomio, como un caso especial de
expresión algebraica; también se define el concepto de término semejante y
revisamos algunas de las operaciones más importantes entre los
polinomios: adición, resta, producto y división.
Trataremos algunas multiplicaciones y divisiones especiales, en las cuales
se puede abreviar el proceso y dar la respuesta por simple inspección,
como es el caso de los productos y cocientes notables. Posteriormente, se
abordará la factorización como un proceso inverso de la multiplicación y por
último, se estudiarán algunas aplicaciones en el manejo operatorio con las
fracciones algebraicas.
Conceptos previos Para tener un manejo más apropiado de los conceptos relacionados con la
temática propuesta en este fascículo, se requiere que además de su auto -
motivación, buena disposición e interés personal recuerde lo siguiente:
1. ¿Qué son constantes y qué son variables?
2. ¿Cuándo se dice que dos cosas u objetos son semejantes?
3. Recuerde cómo se expresan las variables y las constantes
4. Efectúe: a) 333
2105,223,4 xxx +−
b) 09,12)11,26)(13,65( +− c) 12,256,256 −÷
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Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 3 Semestre 1
conforman se efectúan
como simplificando como los entre ellos inversamente como la por como
EXP. ALGEBRAICAS POLINOMIOS
OPERACIONES
SUMA RESTA
TÉRMINOS SEMEJANTES
MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN
FACTORIZACIÓN
P. NOTABLES
D. CUBOS
D. CUADRADOS
SUMA CUBOS
TRINOMIOS
DIVISIÓN SINTÉTICA
FACTOR COMÚN CUADRADO PERFECTO
NO CUADRADO PERFECTO
TÉRMINOS ALGEBRAICOS
Hernán A. Díaz G.
Mapa conceptual Fascículo 3
Al finalizar el estudio del fascículo, el estudiante: Identifica y simplifica términos semejantes. Realiza operaciones con polinomios. Aplica algunos conceptos algebraicos en situaciones contextuales. Identifica y expresa la factorización de diferentes expresiones
Expresiones algebraicas Una expresión en donde se combinan constantes y variables, las variables
afectadas por exponentes con las diferentes operaciones de suma, resta,
multiplicación, división, potenciación y radicación, recibe el nombre de
expresión algebraica; las constantes o parte numérica, están constituidas
por números reales y las variables o parte literal, por las últimas letras del
alfabeto.
LogrosLogrosLogros
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Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 3 Semestre 1
Son expresiones algebraicas:
252435 3 324332 ++− yxyxyx ,
yxyx
3553 32
++ , 7,4532 4432
2323 +−+ yxyxyx
Se ha repartido una suma de acciones entre tres personas; la segunda
recibió b acciones más que la primera, la tercera c acciones más que la
segunda. Expresar las acciones repartidas, siendo x la parte de las
acciones que recibió la primera.
Como x es la parte de acciones que recibió la primera persona y la segunda
persona recibió b acciones más que la primera, a la segunda le
corresponden: x + b acciones y como a la tercera persona le corresponden
c acciones más que a la segunda, entonces a la tercera persona le
corresponde: x + b + c acciones.
También son expresiones algebraicas la definición de la gran mayoría de
fórmulas que se utilizan en las diferentes ciencias.
La suma de los primeros n números naturales ( )2
1+xx
El interés simple que se obtiene por colocar un capital durante un cierto
tiempo 100
rtc ⋅⋅
El espacio recorrido por una partícula que se mueve con m.u.a (Movimiento
uniforme acelerado) 20 2
1 attv +⋅
La hipotenusa en un triángulo rectángulo 2
221 cc +
Cuando en una expresión algebraica reemplazamos cada una de las
variables por un valor particular, se crea una expresión numérica que tiene
como resultado un número real, entonces decimos que se ha obtenido el
valor numérico de la expresión.
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Fascículo No. 3 Semestre 1
2,512350608,064500060400002,08000008,05000)20(3)20(002,0)20(008,0 23 =+−=++⋅−⋅=++−
Polinomio: Una expresión que tenga más de dos términos recibe en general el nombre de polinomio. Los polinomios forman un subconjunto de las expresiones algebraicas.
Ejemplo A. Una empresa ha determinado que los costos totales para uno de sus
productos se calcula con la expresión 50003002,0008,0 23 ++− qqq , ¿cuál
es el costo de producir los primeros 20 artículos?.
Reemplazamos en la expresión q por 20, es decir hacemos q =20
Dentro de las expresiones algebraicas se encuentran aquellas expresiones
donde únicamente se combinan la multiplicación con la potenciación de las
variables afectadas por enteros positivos, llamadas términos o monomios.
La parte numérica recibe el nombre de coeficiente y las variables se
denominan parte literal.
Cuando formamos una expresión mediante la suma o resta de dos tér-
minos, le decimos binomio y si tiene tres términos se denomina trinomio.
nn xbxbxbbxP ++++= ...)( 2
210 , donde los coeficientes nbbb ,..., 10 son
números reales y los exponentes son enteros positivos. Esto es un
polinomio en la variable x y si 0≠nb el grado del polinomio es n. El grado
de un término es el exponente al cual se haya elevado la variable, si el
término tiene dos o más variables, el grado es la suma de los exponentes.
El grado del polinomio es el mayor de los grados entre los términos.
Ejemplo
7,4532 54322323 +−+ yxyxyx es un polinomio de cuatro términos en las
variables x e y de grado 9, tiene grado 4 con respecto a x y grado 5 con
respecto a y. Los dos primeros términos son de grado 5 y el cuarto término
es de grado cero.
xxx +− 34 2257 es un trinomio de grado 4
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Fascículo No. 3 Semestre 1
Cuando en un término sólo hay parte literal su coeficien-te es uno
2222 1 yxyx =
73224 2
3 5253 +−−zxzxzx no es un polinomio ya que los exponentes de las
variables no son enteros positivos.
814 −x es un binomio de grado 4, el segundo término se llama término
independiente.
Cuando dos términos tienen las mismas variables y afectadas por los mismos exponentes se dice que los términos son SEME-JANTES, usualmente si en una expresión existen términos que sean semejantes estos se deben simplificar, es decir, reducirlos a uno sólo.
Para simplificar términos semejantes efectuamos la suma o resta
indicada entre sus coeficientes.
El término 3272,5 nm es semejante con 32
43 nm− se recogen o simplifican
como 3297,4 nm .
3424 ba no es semejante con el término 4325 ba ya que los exponentes
de las variables son diferentes
Utilizamos los signos de agrupación para enunciar como una sola expresión varios términos. El principio básico de la colocación de signos de agrupación es la propiedad distributiva de la multiplica-ción con respecto a la suma y la resta, y por ende la ley de signos. Para colocar u omitir un signo de agrupación precedido de signo menos (–) se cambian los signos de los términos agrupados y si está precedido de signo más (+) no cambian los signos de los términos agrupados.
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Fascículo No. 3 Semestre 1
Simplifiquemos los términos que sean semejantes:
A.- 113375
354 322232 −++−− yxxyxyyx = 16
327 232 −+ xyyx
323232 734 yxyxyx =+
222
32
37
35 xyxyxy =+−
16115 −=−−
B.-
nmnmnmnmnmnm 3322222323 13,413,53113224,542,17 ++−+− =
22323 3911,055,21 nmnmnm −−
nmnmnm 333 55,2113,442,17 =+ 323232 11,013,524,5 nmnmnm −=+−
222222 3931132 nmnmnm −=−
C.-
( )[ ] ( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] =−−+−−=+−−−+−−=+−−−+−− 3943892{}948474592{}91247592{ xxxxxxxxx
1153943892 +−=+−−−− xxxx
3.1
1. De un lote de producción de 32 artículos, se sacan primero x artículos y 3 más, la segunda vez se saca el doble de lo que se había sacado antes y 4 más. Escribir un polinomio en la forma más simple que exprese los artículos que quedan.
2. Encontrar el interés simple (I ) que paga un capital ( c ) de $ 200.000
a una tasa de (r) de 0.18 por un período (t ) de tres años usando la fórmula I = c.r.t
3. Simplifique o reduzca los términos que sean semejantes. x – {x – 1 – [x – 2 – (x – 3 – {x – 4 – [x – 5 – (x – 6)]})]}
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Fascículo No. 3 Semestre 1
Operaciones con polinomios Los polinomios, y las operaciones que realizamos con ellos, son los con-
ceptos más utilizados en el desarrollo de las matemáticas y su aplicación es
significativa frente a situaciones especiales en otras ciencias. Los principios
operatorios y las propiedades estudiadas en el conjunto de los números
reales, las aplicamos de forma generalizada en las operaciones con
polinomios.
Adición de polinomios El proceso de adición o suma de polinomios consiste en omitir los signos de
agrupación, si los hay, para posteriormente reducir o simplificar los términos
que sean semejantes.
Ejemplo
A. Efectuar: =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−− 222332222332 2
3153,07
31
415 yzyzyzyzyzyz
323232 275 yzyzyz −=−
2323232323 78,053,025,053,041 yzyzyzyzyz −=−−=−−
32
31
31
−=−−
222222 32 yzyzyz =+
El resultado es: 323278,0 223223 −+−− yzyzyz
B. De la suma de: 133253 23344 +−− wmmwmw con 727 233 −− wmmw
restar 11232 3344 ++ mwmw .
Cambiamos los signos de los términos de la expresión que hay que restar y
reducimos o simplificamos los términos semejantes.
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Fascículo No. 3 Semestre 1
444444 23 mwmwmw =− 33333333 2232725 mwmwmwmw −=−+
222 43 wmwmwm −=−−
511713 −=−−
El resultado es: 542 23344 −−− wmmwmw
Carina entra en una tienda y le dice al tendero que le venda la mitad de una cierta cantidad de huevos que éste tiene en unas cubetas más medio huevo más, el tendero atiende su pedido; luego, entra Camilo y le dice que le venda la mitad de los huevos que aún le quedan en las cubetas más medio huevo más, el tendero atiende su pedido, por último entra Heidy y ordena la mitad de los huevos que aún le quedan en las cubetas más medio huevo más, su pedido es atendido, sin embargo aún quedan 3 huevos. ¿Cuántos huevos había al comienzo en las cubetas?
Multiplicación de polinomios Multiplicar dos o más polinomios consiste en aplicar la propiedad dis-
tributiva del producto con respecto a la suma y resta, y de las bases con
respecto a los exponentes y viceversa. Por último, se simplifican los
términos que sean semejantes.
Ejemplo A. Efectuar:
( ) 322322 5,706,704,2612322502,46 nmnnmmnmnmnm ++−=−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
( )( ) 32 1226 mmm =
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Fascículo No. 3 Semestre 1
La división consiste en deter-minar cuántas veces se pue-de restar del dividendo el di-visor, por eso en una división se resta sucesivamente.
( )( )( )( )
nmnmmmn
nmnm 22
22
04,2604,8202,4
1836−=
⎪⎭
⎪⎬⎫
−=−
−=−
( )( )( )( )
222
2
06,7525,2
06,12302,4mn
mnmnmnnmn
=⎪⎭
⎪⎬⎫
−=−
=−−
( )( ) 32 5,735,2 nnn =−−
B. ( )( ) 2624361223 22 −−=−−+=+− xxxxxxx
C. ( )( ) 149177491717 22 −=−−+=+− xxxxxx
División de polinomios La división está íntimamente relacionada con la multiplicación pues son
operaciones inversas. Al dividir un polinomio )(xP llamado Dividendo por
un polinomio )(xQ llamado Divisor se obtiene un polinomio )(xC llamado
Cociente tal que )()()()( xRxCxQxP +⋅= , (algoritmo de la división), donde
)(xR es el residuo.
Para dividir dos polinomios aplicamos la propiedad distributiva de la
división con respecto a la suma y resta, y de las bases con respecto a los
exponentes y viceversa; en el proceso se van simplificando los términos
que sean semejantes.
Ejemplo
A. 223223 725231417415 yxyxyxyxyyxx +−=+÷+++
yxyxyyxx 231417415 3223 ++++ 2223 7251015 yxyxyxx +−−−
22 176 xyyx +− 22 46 xyyx +
32 1421 yxy ++ 32 1421 yxy −−
La división es exacta y por lo tanto su residuo es cero.
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Fascículo No. 3 Semestre 1
B. 15245620 2 +=−÷−− xxxx
245620 2 −−− xxx
151020 2 ++− xxx
54 −x
24 +− x
3−
La división es inexacta su residuo es 3− .
Tomemos el polinomio en la variable )(xPx de grado byn un número real. Si 0)( =bP decimos que b es una solución de la ecuación polinómica 0)( =xP . También decimos entonces que
bx − es un factor o divisor de )(xP . Luego ( )bxxQxP −= )()( donde )(xQ es un polinomio de grado
1−n . Podemos escribir el polinomio )(xP en forma extendida mediante el algoritmo de la división.
( ) )()()( xRxQbxxP +−= . Si calculamos el polinomio en bx = tenemos
( ) )()()( xRxQbbbP +−= )()( xRbP =
Luego el residuo de dividir )(xP por ( )bx − se obtiene calculando )(xP en bx =
3.2
1. Halle el resultado de efectuar:
)753,2()5475,241()3,1237,3
43( 32322232 −++++−−−−+− mnnmmnnmmnmnmnnm 2
. De la suma de 433243 32 +−+− wzwwz con 174532 −+−− wzwwz
restar 32325,2 32 +−+ wzwwz .
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Fascículo No. 3 Semestre 1
3. Obtenga el producto : ( )( )wzwzwz 324211 22 −+− .
4. Efectúe: )1)(1( 2452
45 −− xx .
5. Hallar el área de una región cuadrangular que tiene de lado 78 2 +x 6.- Encuentre el área de una región rectangular de largo 25 +x y de
ancho 13 +x 7.- Efectúe el proceso de dividir 5211264 24 ++ xx entre 78 2 +x 8.- Determine el residuo de dividir el polinomio
13527)( 23 −+−= xxxxP entre 2−x . Cocientes notables Un cociente notable es una división donde podemos dar el resultado por
simple inspección, es decir abreviando el proceso. Tenemos los si-guientes:
A. Diferencia de potencias iguales: se presentan las opciones
i) Si las potencias son pares siempre son divisibles por la diferencia de
sus bases, como se observa a continuación:
122321 −−−−− +++++=−− nnnnn
nn
yxyyxyxxyxyx
K
Ejemplo
5432234566
mzmmzmzmzzmzmz
+++++=−−
ii) Si las potencias son pares siempre son divisibles por la suma de sus
bases.
122321 −−−−− −+−+−=+− nnnnn
nn
yxyyxyxxyxyx
K
Ejemplo
322344
ahaahhahah
−+−=+−
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iii) Si las potencias son impares siempre son divisibles por la diferencia
de sus bases, así:
122321 −−−−− +++++=−− nnnnn
nn
yxyyxyxxyxyx
K
Ejemplo
43223455
wzwwzwzzwzwz
++++=−−
B. Suma de potencias iguales: se presentan las opciones.
i) Si las potencias son pares no es divisible ni por la suma, ni por la
diferencia de sus bases.
divisibleesnoyxyx nn
±+
ii) Si las potencias son impares es siempre divisible por la suma de sus
bases.
122321 −−−−− +−−+−=++ nnnnn
nn
yxyyxyxxyxyx
K
Ejemplo
2233
yxyxyxyx
+−=++
Los cocientes notables dan lugar a productos notables, al expresarlos como una multiplicación del divisor por el cociente.
Productos notables Algunas multiplicaciones especiales en las cuales el proceso se puede
abreviar, es decir cuyo resultado se puede dar por simple inspección,
reciben el nombre de productos notables. Entre ellos.
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A. Producto de binomios de los cuales los más destacados son:
i) Producto de binomios iguales. El producto de dos binomios iguales, es
decir, un binomio al cuadrado siempre es igual a un trinomio cuadrado
perfecto, el cual se abrevia como los cuadrados de los dos términos y el
doble producto dichos términos.
Ejemplo
( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) 222422222222 25401655424545454 ymyzmzyymzmzymzymzymz ++=++=+=++ ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) 42222222222 121198811111929119119119 yxyxyyxxyxyxyx +−=+−=−−=− ( ) 222 9424937 mwmwmw +−=−
ii) Producto de binomios conjugados. Dos binomios son conjugados
cuando sólo difieren en el signo que separa sus términos y su producto
se abrevia como la diferencia de sus cuadrados.
Ejemplo
( )( ) ( ) ( ) 4222222 16169413413413 mwmwmwmw −=−=−+
( )( ) ( ) ( ) 26222333 2516954
354354
3 pqhphqphqphq −=−=+−
( )( ) 1100110110 422 −=−+ zzz
iii) Producto de dos binomios de la forma ( )( )qnxpmx ++ , donde
qpnm ,,, , son enteros. Un producto de esta forma siempre tiene como
resultado un trinomio de la forma cbxax ++2 , donde
cqpbnpqmanm =⋅=⋅+⋅=⋅ ,)(,
Ejemplo
( )( ) 417154203151543 22 −+=−+−=−+ wwwwwww
( )( ) 1031142752 2 −−=+− xxxx , xxx 35431 −=− 6
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Puede suceder que 11 == nym
( )( ) 21437 2 −−=+− zzzz
( )( ) 24538 2422 −+=−+ yyyy
iv) Producto de la forma ( ) )( 122321 −−−−− +++++− nnnnn yxyyxyxxyx K . Un
producto de esta forma siempre tiene como resultado una diferencia de
potencias iguales impares nn yx − , siendo n impar.
Ejemplo
( )( ) 55432234 16807243240110294411898173 mzmzmmzmzzmz −=++++−
v) Producto de la forma ( ) )( 122321 −−−−− −+−+−+ nnnnn yxyyxyxxyx K . Un
producto de esta forma siempre tiene como resultado una suma de
potencias iguales impares nn yx + , siendo n impar
Ejemplo
( )( ) 81254102525 322 +=+−+ zvzvzvz
3.3
1.- Obtenga el producto por simple inspección:
i) ( )22117 2wmx −
ii) ( )( )11 3563
56 −+ nqnq
iii) ( )( )1213 +− zz iv) ( )( )1827 +− xx v) ( )( )nmnmnm 8364249 22 −++ vi) ( )( )25303656 2 +−+ xxx
2.- Hallar el área de una región cuadrangular que tiene de lado 147 2 −h
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3.- Obtenga el cociente por simple inspección: i) ( ) ( )3224332 5 −÷− zz ii) ( ) ( )mvmv 2516625 44 +÷− iii) ( ) ( )pxpx 278343 33 +÷+ 4.- Encuentre el área de una región rectangular de largo 7+m y de
ancho 1−m
Factorización Anteriormente aplicamos el principio para multiplicar dos o más expresio-
nes polinómicas, ahora desarrollaremos el proceso de devolvernos, es
decir, buscamos las expresiones que multiplicadas nos dan la expresión
inicial. Así pues, el proceso de hallar los factores de dicha expresión recibe
el nombre de factorización.
Si tenemos las expresiones )(),(),( xRxQxP donde )()()( xRxQxP ⋅= se dice
que )()( xRyxQ son factores de )(xP y )()( xRxQ ⋅ su factorización. Por ser la
factorización un proceso inverso a la multiplicación cada producto notable
da lugar a un caso.
i) Factorización por factor común: consiste en devolvernos en la
propiedad distributiva, hallamos el factor común como primer factor y
luego la expresión por la cual hay que multiplicar el factor común para
que de cada término de la expresión inicial.
Ejemplo Factorizar la expresión:
)1354)(7(7213528 22222332334 −+−=−+− wmwmwmwmwmwmwmw 34222 28)4)(7( mwmwmw = ; 2322 35)5)(7( mwwmw −=− ; 3322 21)3)(7( mwwmmw = ;
2222 7)1)(7( mwmw −=−
ii) Factorización de una diferencia de cuadrados: consiste en devolver-
nos en el producto de dos binomios conjugados, hallamos las raíces de
20
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cada uno de los cuadrados y en un factor se escribe un binomio y en el
otro su conjugado.
Ejemplo
Expresar en factores: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=− ymymym
3213
3213
94169 22
iii) Factorización de trinomios cuadrados perfectos: consiste en
devolvernos en el producto de dos binomios iguales. Inicialmente se
comprueba si es un Trinomio Cuadrado Perfecto (dos cuadrados
diferentes y el doble producto de sus bases), luego se establece como el
producto de dos binomios iguales, es decir un binomio al cuadrado.
Ejemplo Descomponer en factores la expresión:
x ( )( ) ( )22222224242 5757572514049 zxyzxyzxyzxyzyx −=−−=+−
4222 49)7( yxxy = ; ( ) 422 255 zz =− ; ( )( )[ ] 2222 140257 zxyzxy −=−
iv) Factorización de trinomios de la forma cbxax ++2 , donde cba ,, son
números enteros: consiste en devolvernos en el producto de dos
binomios de la forma ( )( )qnxpmx ++ .
Expresamos el trinomio ( )( )a
qaxpaxcbxax ++=++2 , se multiplicó
inicialmente por a pero a su vez, se divide por a , el signo de b se coloca
en el primer paréntesis y en el segundo, se ubica el signo del producto, del
signo de b por el de c , buscando luego dos números enteros qyp donde
su producto sea igual cpora , es decir caqp ⋅=⋅ y su suma o resta igual a
b ,es decir bqp =± , por último se simplifica.
Ejemplo
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Los cocientes notables dan lugar a casos de factoriza-ción, al expresarlos como una multiplicación del divisor por el cociente.
Expresar en factores:
( )( )( )( )
( )( )125332
36106
666576 2 +−=
⋅
+−
=+−
=−− xx
xxxxxx terceramitad
32143421
Descomponer: ( )( ) ( )( )571113522 +−=
+−=−− mmmmmm donde 1=a
v) Factorización de diferencias de potencias iguales impares nn yx − ,
siendo n impar: consiste en devolvernos en el producto de la
forma ( ) )( 122321 −−−−− +++++− nnnnn yxyyxyxxyx K .Hallamos la diferencia
de las raíces ésimasn − como primer factor y con ellas obtenemos el otro
factor.
Ejemplo
Factorizar: ( )( )41449278343 242263 ++−=− mwwmmwwm
23 63 7343 mwwm = ; 283 = ; ( ) 4222 497 wmmw = ; 422 = ; ( )( ) 22 1427 mwmw =
vi) Factorización de sumas de potencias iguales impares nn yx + ,
siendo n impar: consiste en devolvernos en el producto de la forma
( ) )( 122321 −−−−− −+−+−+ nnnnn yxyyxyxxyx K .Hallamos la suma de las raíces
ésimasn − como primer factor y con ellas obtenemos el otro factor.
Ejemplo
Factorizar: ( )( )23 6481815121 yyyy +−−=−
( ) yyyyyy 881;648;11;8512;11 2223 33 =⋅====
3.4
1.- Descomponer en factores: i) 22233344 5101525 wmwmwmwm −+− ii) 1625 4 −m
iii) 2224 49182169 znzmnm +− iv) 3512 2 −− zz
22
Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 3 Semestre 1
v) 2024 −−ww 2.- Halle los factores de: i) 33 100064 zy + ii) 1729 6 −x 3.- Una región cuadrangular tiene de área 1816 2 +− xx ¿cuál es la
longitud que tiene de lado?. 4.- El área de una región rectangular es 6322 −+ mm ¿cuál es su largo
y su ancho respectivamente?.
Aplicaciones Podemos hacer algunas aplicaciones de lo anterior para realizar opera-
ciones con fracciones algebraicas como suma, multiplicación y división.
También se pueden efectuar aplicaciones en la potenciación y radicación;
dentro de la radicación existe una aplicación llamada racionalización.
Ejemplos
A. ( ) 3333
393
344532
344
353
32
=−−
=−−
=−
−+−−=
−−
+−+
−− x
xxx
xxxx
xx
xx
xx
B.
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) =
+−+−−−
=+−
++−−=
+−+
−−
+=
−+
−−
+ 11133
111113
111
113
11
113 22
2 xxxxxx
xxxxxx
xxxx
xx
xxx
xx
1142
2
2
−+−
xxx
C. ( )( )[ ]( )( )[ ]
( )( )[ ]( )( )[ ]
( )( )[ ]( ) =+−
+−⋅
+++−+
⋅+++−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
−46933
2346923
32322
4699
65827
61134
2
2
2
2
2
3
2
2
xxxx
xxxxx
xxxx
xxx
xxx
xxx
( )( )
( )332
+−−
xxx
D.
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 3 Semestre 1
( )( )[ ]( )( )[ ]
( )( )[ ]( )( )[ ]
( )( )( )( )12
11511511
121515
1145
23125
2
2
2
2
++−+
=+−+−
⋅+++−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−+÷⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−
wwww
wwww
wwww
www
www
Racionalizar el numerador o el denominador de una expresión donde
aparecen radicales, es hallar una expresión equivalente donde ya no
aparecen radicales (cantidades irracionales), para ello se multiplica tanto el
numerador como el denominador por una expresión apropiada.
E. Racionalizar el denominador: xx
xx
xx
xx 23
23
23
23 3 2
3 3
3 2
3 2
3 2
33==⋅=
F. Racionalizar el numerador: ( )( )( )( ) ( )32
932
332
3+
−=
++−
=−
xxx
xxxx
xx
Reúnete con tu equipo de trabajo y resuelvan: 1. El área de una región rectangular es 1272 +− ww ¿cuál es el largo y el ancho
de dicha región?. 2. Factorizar 21314 2 −− xx . 3. Si la expresión que modela el precio de un artículo para un productor
es: 2513 2 +q , ¿cuál es la expresión que representa el ingreso para el producto de ese fabricante?
4. Construir o crear una situación problémica propia del ámbito de la economía y
la administración en donde se apliquen los fundamentos algebraicos. Otro de los tantos conjuntos importantes a los que podemos hacer alusión,
24
Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 3 Semestre 1
es el conjunto de las expresiones algebraicas con las cuales iniciamos este
fascículo.
Una expresión algebraica es la combinación de constantes y variables
(afectadas de exponentes) con las operaciones más conocidas. Dentro de
las expresiones algebraicas están los polinomios, los cuales de acuerdo al
número de términos pueden ser: monomios, binomios, trinomios,
tetranomios etc.
Se trataron los términos semejantes y su reducción o simplificación,
posteriormente, con los polinomios realizamos las operaciones de suma y
resta, para las cuales basta con omitir los signos de agrupación y simplificar
los términos que sean semejantes. La multiplicación y la división de
polinomios se basan en la propiedad distributiva y la simplificación de
términos semejantes.
A continuación, se presentaron una serie de divisiones y multiplicaciones en
las cuales se puede abreviar el proceso de desarrollo, llamado cocientes y
productos notables. Posteriormente, como proceso inverso de la
multiplicación, se abordó la factorización y algunas aplicaciones en
operaciones con fracciones algebraicas, como suma, resta, multiplicación,
división y racionalización.
Haeussler, Ernest F. Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias
Sociales y de la Vida. Editorial Prentice Hall. Octava Edición, 2001.
Soo tang tan. Matemáticas para administración y economía. Internacional
THOMPSON. 1999
Smith Charles Dossey Keedy Bittinger. Álgebra. Editorial Addison Wesley
Iberoamericana.1992
Laurence D Hoffmann, Gerald L. Bradley. Cálculo para Administración,
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 3 Semestre 1
Economía y Ciencias sociales. Editorial Mc Graw Hill. Septima edición.2001
Francisco Soler, Reinaldo Nuñez, Moisés Aranda. Fundamentos de
cálculo. ECOE ediciones. Segunda edición.2002
Bittinger. Cálculo para ciencias económico-administrativas. Editorial
addison Wesley. Septima edición
Frank S. Budnick. Matemáticas aplicadas para Administración, economía y
ciencias sociales. Editorial Mc Graw Hill. Tercera edición.1998
En el siguiente fascículo estudiaremos las ecuaciones lineales y los
sistemas de ecuaciones lineales. Se determinarán las condiciones para su
solución y se definirán los sistemas consistentes e inconsistentes. Se
presentarán los métodos usuales de solución de los sistemas, en donde el
estudiante debe emplear claramente los principios operatorios con las
expresiones algebraicas y los polinomios.
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 3 Semestre 1
Seguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizaje
Fundamentos de Matemáticas - Fascículo 3 Nombre______________________________________________________
_
Apellidos _______________________________ Fecha:
_________________
Ciudad_________________________________ Semestre:
_______________
1. El costo de operación de un automóvil a una velocidad v, está dado en forma
aproximada por el polinomio 1035.0005.0 2 +− vv (costo en miles por kilómetro, velocidad (v) en km / h ). Encontrar el costo de operación de un automóvil a 50 km / h
2. Una caja con fondo cuadrado está hecha de una pieza cuadrada de cartón de
12 pulgadas de lado. Se cortan cuadrados de lado x en las esquinas, y los lados se doblan hacia arriba. Hallar una expresión algebraica para el volumen y otra para el área superficial de la caja.
3. Al efectuar el producto ( )( )422 2510452 yxyxyx +−+ por simple inspección se
tiene:
A. 33 306 yx + B. ( )3252 yx − C. 63 1258 yx + D. ( )2252 yx + 4. Si el largo de una región rectangular es 35 +w y su ancho 53 −w , ¿cuál es el
área de la región?. Preguntas de selección múltiple con respuesta múltiple
Este tipo de pregunta consta de un enunciado y cuatro opciones de respuesta identificadas con las letras a, b, c, d. Sólo dos de estas opciones responden correctamente el enunciado.
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 3 Semestre 1
Si a y b son correctas, marca la respuesta A Si b y c son correctas, marca la respuesta B Si c y d son correctas, marca la respuesta C Si b y d son correctas, marca la respuesta D
5. El área de una región rectangular es de 4925 2 −a y se tienen las expresiones: a. 7−a b. 75 +a c. 4925 +a d. 75 −a ¿El largo y el ancho que corresponden respectivamente a la región son ?
A. B. C. D.
6. Factorizar xyzzyxyx −−+ 22 7. El área de una región cuadrangular es: 25204 2 +− xx ¿Cuánto tiene de lado
dicha región?.
8. Efectuar: i) 543
519
57
−−
+−−
−− x
xxx
xx
ii) 31
651
232
2 −+
−+−
+−−
xx
xxxx
9. Efectuar: ( )( )
( )( )
( )( )1525
77125
11
11252
2
22
3
++−
⋅−
+⋅
−−
xxxx
xx
xx
10. Efectuar: ( )
152110
22593 2
2
2
−++
÷−+
xxx
xxx
11. Racionalizar nm −
1