INTRODUCCIÓN
Los métodos numéricos constituyen técnicas mediante las cuales es
posible formular problemas matemáticos, de tal forma que puedan resolverse
utilizando operaciones aritméticas. Aunque existen muchos tipos de métodos
numéricos, éstos comparten una característica común: invariablemente
requieren de un buen número de tediosos cálculos aritméticos. No es raro que
con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y rápidas, el papel de los
métodos numéricos en la solución de problemas en ingeniería haya aumentado
de forma considerable en los últimos años.
En tal sentido, se abordará el concepto fundamental del error, así como
también el de las cifras significativas. Seguidamente se explican los Métodos
de Intervalos a saber, el Método de la Bisección y de la Falsa Posición o Regla
Falsa. También se comentarán los Métodos Abiertos entre ellos, el Método de
Newton-Raphson y el Método de la Secante, con sus respectivos ejemplos y
gráficos.
1
ERRORES:
Los errores numéricos surgen del uso de aproximaciones para
representar operaciones y cantidades matemáticas exactas. Éstas incluyen los
errores de truncamiento que resultan del empleo de aproximaciones como un
procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo que se producen
cuando se usan números que tienen un límite de cifras significativas para
representar números exactos. Para ambos tipos de errores, la relación entre el
resultado exacto, o verdadero, y el aproximado está dada por
Valor verdadero=Valor aproximado+error
Reordenando la ecuación se encuentra que el error numérico es igual a
la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, es decir
Et=valor verdade ro – valor aproximado
Donde Et se usa para denotar el valor exacto del error. El subíndice t
indica que se trata del error “verdadero” (true). Como ya se mencionó
brevemente, esto contrasta con los otros casos, donde se debe emplear una
estimación “aproximada” del error.
Una desventaja en esta definición es que no toma en consideración el
orden de la magnitud del valor que se estima. Por ejemplo, un error de un
centímetro es mucho más significativo si se está midiendo un remache en lugar
de un puente. Una manera de tomar en cuenta las magnitudes de las
cantidades que se evalúan consiste en normalizar el error respecto al valor
verdadero, es decir
Error relativo fraccional verdadero= error verdaderovalor verdadero
donde, como ya se mencionó en la ecuación,
Error=valor verdadero – valor aproximado.
2
El error relativo también se puede multiplicar por 100 % para expresarlo
como
ε t=error verdaderovalor verdadero
∗100 %
donde ε t denota el error relativo porcentual verdadero.
Ejemplo:
Suponga que se tiene que medir la longitud de un puente y la de un
remache, y se obtiene 9999 y 9cm, respectivamente. Si los valores verdaderos
son 10000 y 10cm, calcule: a) el error verdadero y b) el error relativo porcentual
verdadero en cada caso.
Solución:
a) El error en la medición del puente es
Et=10000 – 9999=1cm
y en la del remache es de
Et=10 – 9=1cm
b) El error relativo porcentual para el puente es 1
ε t=1
10000∗100 %=0.01 %
y para el remache es de
ε t=1
10100 %=10 %
Por lo tanto, aunque ambas medidas tienen un error de 1cm, el error
relativo porcentual del remache es mucho mayor. Se concluye entonces que se
ha hecho un buen trabajo en la medición del puente; mientras que la
estimación para el remache dejó mucho que desear.
Observamos que en las ecuaciones, E y ε tienen un subíndice t que
significa que el error ha sido normalizado al valor verdadero. En el ejemplo
3
anterior teníamos el valor verdadero. Sin embargo, en las situaciones reales a
veces es difícil contar con tal información. En los métodos numéricos, el valor
verdadero sólo se conocerá cuando se tengan funciones que se resuelvan
analíticamente. Éste comúnmente será el caso cuando se estudie el
comportamiento teórico de una técnica específica para sistemas simples.
Sin embargo, en muchas aplicaciones reales, no se conoce a priori la
respuesta verdadera. Entonces en dichos casos, una alternativa es normalizar
el error, usando la mejor estimación posible al valor verdadero; es decir, para la
aproximación misma, como en error aproximado
ε a=error aproximadovalor aproximado
∗100 %
valor aproximado
donde el subíndice a significa que el error está normalizado a un valor
aproximado. En aplicaciones reales la ecuación Et no se puede usar para
calcular el término del error de la ecuación ε a. Uno de los retos que enfrentan
los métodos numéricos es el de determinar estimaciones del error en ausencia
del conocimiento de los valores verdaderos. Por ejemplo, ciertos métodos
numéricos usan un método iterativo para calcular los resultados. En tales
métodos se hace una aproximación considerando la aproximación anterior.
Este proceso se efectúa varias veces, o de forma iterativa, para calcular
en forma sucesiva, esperando cada vez mejores aproximaciones. En tales
casos, el error a menudo se calcula como la diferencia entre la aproximación
previa y la actual. Por lo tanto, el error relativo porcentual está dado por
aproximación actual – aproximación anterior
ε a=aproximaciónactual – aproximación anterior
aproximación actual∗100 %
Los signos de las ecuaciones Et a ε a pueden ser positivos o negativos. Si
la aproximación es mayor que el valor verdadero (o la aproximación previa es
mayor que la aproximación actual), el error es negativo; si la aproximación es
menor que el valor verdadero, el error es positivo. También en las ecuaciones
4
ε t a ε a, el denominador puede ser menor a cero, lo cual también llevaría a un
error negativo. A menudo, cuando se realizan cálculos, no importa mucho el
signo del error, sino más bien que su valor absoluto porcentual sea menor que
una tolerancia porcentual prefijada es. Por lo tanto, es útil emplear el valor
absoluto de las ecuaciones ε t a ε a. En tales casos, los cálculos se repiten hasta
que
¿ ε a∨¿ ε s
Si se cumple la relación anterior, entonces se considera que el resultado
obtenido está dentro del nivel aceptable fijado previamente ε s. Observe que en
el resto del texto en general emplearemos exclusivamente valores absolutos
cuando utilicemos errores relativos.
Es conveniente también relacionar estos errores con el número de cifras
significativas en la aproximación. Es posible demostrar que si el siguiente
criterio se cumple, se tendrá la seguridad que el resultado es correcto en al
menos n cifras significativas.
ε s=(0 ,5×102– n)%
Ejemplo:
En matemáticas con frecuencia las funciones se representan mediante
series infinitas. Por ejemplo, la función exponencial se calcula usando
ex=1+x+ x2
2!+ x3
3 !+…+ xn
n !
Así cuantos más términos se le agreguen a la serie, la aproximación
será cada vez más una mejor estimación del valor verdadero de ex. La
ecuación anterior se conoce como expansión en series de Maclaurin.
Empezando con el primer término ex=1 y agregando término por
término, estime el valor de e0,5. Después de agregar cada término, calcule los
errores: relativo porcentual verdadero y normalizado a un valor aproximado
usando las ecuaciones ε ty ε a, respectivamente. Veamos que el valor verdadero
es eo ,5=1 ,648721… Agreguemos términos hasta que el valor absoluto del error
5
aproximado ε a sea menor que un criterio de error preestablecido ε s con tres
cifras significativas.
Solución:
En primer lugar la ecuación ε s se emplea para determinar el criterio de
error que asegura que un resultado sea correcto en al menos tres cifras
significativas:
ε s=(0 ,5×102– n)%
Por lo tanto, se agregarán términos a la serie hasta que ε a sea menor
que este valor. La primera estimación es igual a la ecuación ex con un solo
término. Entonces, la primera estimación es igual a 1 . La segunda estimación
se obtiene agregando el segundo término, así:
ex=1+x
Para
x=0,5
eo ,5=1+0,5=1,5
Esto representa el error relativo porcentual verdadero de ε t
ε t=1,648721−1,5
1,648721∗100%=9,02 %
La ecuación ε t se utiliza para determinar una estimación aproximada del
error, dada por:
ε a=1,5−1
1,5∗100 %=33 ,3 %
Como ε a no es menor que el valor requerido ε s , se deben continuar los
cálculos agregando otro término x2
2!, repitiendo el cálculo del error. El proceso
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continúa hasta que ε a<ε s . Todos los cálculos los vamos a resumir en la
siguiente tabla:
Términos Resultado ε t (% ) ε a ( %)1 1 39,32 1,5 9,02 33,33 1,625 1,44 7,694 1,645833333 0,175 1,275 1,648437500 0,0172 0,1586 1,648697917 0,00142 0,0158
Así, después de usar seis términos, el error aproximado es menor que
ε s=0.05 %, y el cálculo termina. Sin embargo, observe que, ¡el resultado es
exacto con cinco cifras significativas! en vez de tres cifras significativas. Esto se
debe a que, en este caso, las ecuaciones ε a y ε s son conservadoras. Es decir,
aseguran que el resultado es, por lo menos, tan bueno como lo especifican.
Aunque, éste no es siempre el caso al usar la ecuación ε a, que es verdadera en
la mayoría de las veces.
CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Las aproximaciones se relacionan con el manejo de números. En
consecuencia, antes de analizar los errores asociados con los métodos
numéricos, es útil repasar algunos conceptos básicos referentes a la
representación aproximada de los números mismos.
Cuando se emplea un número para realizar un cálculo, debe haber
seguridad de que pueda usarse con confianza.
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Por ejemplo, en la figura anterior, se presenta el velocímetro y un
odómetro (contador de kilometraje) de un automóvil. Con un simple vistazo al
velocímetro se observa que el vehículo viaja a una velocidad comprendida
entre 48 y 49 km /h.
Como la aguja está más allá de la mitad entre las marcas del indicador,
es posible asegurar que el automóvil viaja aproximadamente a 49 km /h.
Tenemos confianza en este resultado, ya que dos o más individuos que
hicieran esta lectura llegarían a la misma conclusión. Sin embargo,
supongamos que se desea obtener una cifra decimal en la estimación de la
velocidad. En tal caso, alguien podría decir 48 ,8, mientras que otra persona
podría decir 48 ,9 km /h. Por lo tanto, debido a los límites del instrumento,
únicamente se emplean con confianza los dos primeros dígitos. Para
estimaciones del tercer dígito (o más allá) sólo se considerarían
aproximaciones. Sería ridículo afirmar, considerando el velocímetro de la figura,
que el automóvil viaja a 48 ,8642138km /h. En contraste, el odómetro muestra
hasta seis dígitos confiables. En la figura anterior se concluye que el automóvil
ha recorrido un poco menos de 87 324 ,5km durante su uso. Aquí el séptimo
dígito (y los siguientes) resultan inciertos.
El concepto de cifras o dígitos significativos se ha desarrollado para
designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico. Las cifras
significativas de un número son aquellas que pueden utilizarse en forma
confiable. Se trata del número de dígitos que se ofrecen con certeza, más uno
8
estimado. Por ejemplo, el velocímetro y el odómetro de la figura muestran
lecturas de hasta tres y siete cifras significativas, respectivamente.
Para el velocímetro, los dos dígitos seguros son 48. Por convención al
dígito estimado se le da el valor de la mitad de la escala menor de división en el
instrumento de medición. Así, la lectura del velocímetro consistirá de las tres
cifras significativas: 48 ,5 . En forma similar, el odómetro dará una lectura con
siete cifras significativas, 87324 ,45 .
Aunque, por lo común, determinar las cifras significativas de un número
es un procedimiento sencillo, en algunos casos genera cierta confusión. Por
ejemplo, los ceros no siempre son cifras significativas, ya que pueden usarse
sólo para ubicar el punto decimal: los números 0 ,00001845 ;0 ,0001845 ; y
0 ,001845 tienen cuatro cifras significativas.
Asimismo, cuando se incluye ceros en números muy grandes, no queda
claro cuántos son significativos. Por ejemplo, el número 45300 puede tener tres,
cuatro o cinco dígitos significativos, dependiendo de si los ceros se conocen o
no con exactitud.
La incertidumbre se puede eliminar utilizando la notación científica,
donde 4 ,53×104 ;4 ,530×104 ;4 ,5300×104 muestran, respectivamente, que el
número tiene tres, cuatro y cinco cifras significativas.
El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes
en el estudio de los métodos numéricos.
1. Como se ha mencionado, los métodos numéricos dan resultados
aproximados. Por lo tanto, se deben desarrollar criterios para especificar qué
tan confiables son dichos resultados. Una manera de hacerlo es en términos de
cifras significativas. Por ejemplo, es posible afirmar que la aproximación es
aceptable siempre y cuando sea correcta con cuatro cifras significativas.
2. Aunque ciertas cantidades tales como π , e , o√7 representan
cantidades específicas, no se pueden expresar exactamente con un número
finito de dígitos. Por ejemplo, π=3.141592653589793238462643... hasta el
infinito. Como las computadoras retienen sólo un número finito de cifras
significativas, tales números jamás se podrán representar con exactitud. A la
omisión del resto de cifras significativas se le conoce como error de redondeo.
9
Los errores de redondeo y el uso de cifras significativas para expresar
nuestra confianza en un resultado numérico se estudiarán con mayor detalle en
las siguientes secciones.
Además, el concepto de cifras significativas tendrá mucha importancia
en la definición de exactitud y de precisión.
Exactitud precisión
Los errores en cálculos y medidas se pueden caracterizar con respecto a
su exactitud y su precisión. La exactitud se refiere a qué tan cercano está el
valor calculado o medido del valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan
cercanos se encuentran, unos de otros, diversos valores calculados o medidos.
Estos conceptos se ilustran gráficamente utilizando la analogía con una
diana en la práctica de tiro.
Los agujeros en cada blanco de la figura se consideran como las
predicciones con una técnica numérica; mientras que el centro del blanco
representa la verdad. La inexactitud (conocida también como sesgo) se define
como una desviación sistemática del valor verdadero. Por lo tanto, aunque los
disparos en la figura c están más juntos que los de la figura a, los dos casos
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son igualmente inexactos, ya que ambos se centran en la esquina superior
izquierda del blanco. La imprecisión (también llamada incertidumbre), por otro
lado, se refiere a la magnitud en la dispersión de los disparos. Por
consiguiente, aunque las figuras b y d son igualmente exactas (esto es,
igualmente centradas respecto al blanco), la última es más precisa, pues los
disparos están agrupados en forma más compacta.
Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin
sesgo para satisfacer los requisitos de un problema particular de ingeniería.
También deben ser suficientemente precisos para ser adecuados en el diseño
de la ingeniería. En tal sentido se usa el término error para representar tanto la
inexactitud como la imprecisión en las predicciones. Con dichos conceptos
como antecedentes, ahora analizaremos los factores que contribuyen al error
en los cálculos numéricos.
MÉTODOS DE INTERVALOS
Método de la Bisección
Al analizar la siguiente gráfica, es preciso destacar que f (x) cambia de
signo a ambos lados de la raíz.
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En general, sif (x) es real y continúa en el intervalo que va desde x i
hasta xu y f (x i) y f (xu) tienen signos opuestos, es decir,f (x i) f (xu )<0 entonces
hay al menos una raíz real entre x i y xu.
Los métodos de búsqueda incremental aprovechan esta característica
localizando un intervalo en el que la función cambie de signo. Entonces, la
localización del cambio de signo (y, en consecuencia, de la raíz) se logra con
más exactitud al dividir el intervalo en varios subintervalos. Se investiga cada
uno de estos subintervalos para encontrar el cambio de signo. El proceso se
repite y la aproximación a la raíz mejora cada vez más en la medida que los
subintervalos se dividen en intervalos cada vez más pequeños.
Veamos la siguiente orientación:
Paso 1: Elija valores iniciales inferior, x i , y superior, xu , que encierren la
raíz, de forma tal que la función cambie de signo en el intervalo. Esto se verifica
comprobando que f (x i) f (xu )<0.
Paso 2: Una aproximación de la raíz xr se determina mediante:
xr=x i+xu
2
Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en qué
subintervalo está la raíz:
a) Si f (x i) f ( xr)<0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo
inferior o izquierdo. Por lo tanto, haga f (xu)=xr y vuelva al paso 2.
b) Si f (x i ) f (xr )>0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo
superior o derecho. Por lo tanto, haga x i=xr y vuelva al paso 2.
c) Si f (x i ) f (xr )=0, la raíz es igual a xr; termina el cálculo.
El método de bisección, conocido también como de corte binario, de
partición de intervalos o de Bolzano, es un tipo de búsqueda incremental en el
que el intervalo se divide siempre a la mitad. Si la función cambia de signo
sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La
posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo,
dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener
una mejor aproximación. En la orientación inicial se presenta un algoritmo
12
sencillo para los cálculos de la bisección. En la siguiente figura se muestra una
representación gráfica del método.
Ejemplo:
Determine las raíces reales de f (x)=– 0.5 x2+2.5x+4.5
a) Gráficamente
b) Empleando la fórmula cuadrática
c) Usando el método de bisección con tres iteraciones para determinar la
raíz más grande. Emplee como valores iniciales x i=5 y xu=10. Calcule el error
estimado ε a y el error verdadero ε t para cada iteración.
Solución:
a) Una gráfica indica que las raíces se presentan aproximadamente en:
x1=−1,4∧ x2=6,4
13
14
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-22-21-20-19-18-17-16-15-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789
b)
Usando la fórmula general, tenemos que:
x=−b±√b2−4ac2a
x=−2 .5±√(2. 5 )2−4(−0 .5)( 4 .5 )
2 (−0 . 5)=
−1 .40512
6 . 40512
Luego las soluciones son:
x1=−1,40512
x2=6,40512
c)
Primera iteración:
xr=5+10
2=7 .5
ε t=|6 . 40512−7 . 56 .40512
|×100 %=17 . 09 % ε a=|10−510+5
|×100 %=33 . 33 %
f (5) f (7 . 5 )=4 .5(−4 .875 )=−21. 9375
Por lo tanto el soporte es x i=5 y xu=7,5
15
Ejemplo Método de la Bisección
Segunda iteración:
xr=5+7 .5
2=6 .25
En consecuencia el nuevo soporte es x i = 6.25 y xu= 7.5.
Tercera iteración:
xr=6 .25+7. 5
2=6 . 875
ε t=|6 . 40512−6 .8756 .40512
|×100 %=7 . 34 %
ε a=|7 .5−6 .257 .5+6. 25
|×100%=9 .09%
Método de la falsa posición
Aun cuando la bisección es una técnica perfectamente válida para
determinar raíces, su método de aproximación por “fuerza bruta” es
relativamente ineficiente. La falsa posición es una alternativa basada en una
visualización gráfica.
Un inconveniente del método de bisección es que al dividir el intervalo
de x i a xu en mitades iguales, no se toman en consideración las magnitudes de
f (x i)y f (xu). Por ejemplo, si x i está mucho más cercana a cero que f (xu), es
lógico que la raíz se encuentre más cerca de x i que de xu.
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%42.2%10040512.6
25.640512.6
t %00.20%100
55.7
55.7
a
672.2)59375.0(5.4)25.6()5( ff
Un método alternativo que aprovecha esta visualización gráfica consiste
en unir f (x i) y f (xu)con una línea recta. La intersección de esta línea con el eje
de las x representa una mejor aproximación de la raíz. El hecho de que se
reemplace la curva por una línea recta da una “falsa posición” de la raíz; de
aquí el nombre de método de la falsa posición, o en latín, regula falsi. También
se le conoce como método de interpolación lineal.
Usando triángulos semejantes, la intersección de la línea recta con el eje
de las x se estima mediante
f (x i)xr−x i
=f (xu)
xr−f ( xu)
en la cual se despeja xr
xr=xu−f (xu) (x i−xu )f (xi )−f (xu)
Ésta es la fórmula de la falsa posición. El valor de xr calculado con la
ecuación, reemplazará, después, a cualquiera de los dos valores iniciales, x i o
xu, y da un valor de la función con el mismo signo de f (xr). De esta manera, los
valores f (x i) y xu siempre encierran la verdadera raíz. El proceso se repite
hasta que la aproximación a la raíz sea adecuada. El algoritmo es idéntico al de
la bisección, excepto en que la ecuación (xr) se usa en el paso 2. Además, se
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usa el mismo criterio de terminación, con la siguiente ecuación, para concluir
los cálculos
ε a=|xrnuevo−xranterior
xrnuevo |∗100%
Donde
xrnuevo
Es la raíz en iteración actual, y
xranterior
Es el valor de la raíz en la iteración anterior. Se utiliza el valor absoluto,
ya que por lo general importa sólo la magnitud de ε a sin considerar su signo.
Cuando ε a es menor que un valor previamente fijado ε s, termina el cálculo.
Ejemplo:
Calcule las raíces reales de f (x)=– 12– 21 x+18 x2– 2.75 x3
a) Gráficamente
b) Empleando el método de la falsa posición con un valor es
correspondiente a tres cifras significativas para determinar la raíz más
pequeña.
Solución:
a) La gráfica indica que las raíces se encuentran aproximadamente en
x1=−0,4 ; x2=2,25 ; x3=4,7
18
19
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
b)
Usando la bisección, la primera iteración es:
xr=−1+0
2=−0 . 5
f (−1 ) f (−0 .5 )=29 .75(3 .34375 )=99 . 47656
Por lo tanto, la raíz está en el Segundo intervalo y la conjetura inferior
se define como x i=– 0.5.
Segunda iteración
xr=−0 .5+0
2=−0 . 25
ε a=|−0 .25−(−0 .5 )
−0 .25|100%=100%
f (−0.5 ) f (−0.25 )=3 . 34375(−5 .5820313)=−18 .66492
En consecuencia, la raíz está en el primer intervalo y la conjetura
superior se redefine como xu=−0,25. Todas las iteraciones se muestran en la
siguiente tabla:
i x i f (x i) xu f (xu) xr f (xr) ε a
1 1 29.75 0 12 0.5 3.343752 0.5 3.34375 0 12 0.25 5.5820313 100.00%3 0.5 3.34375 0.25 5.5820313 0.375 1.4487305 33.33%4 0.5 3.34375 0.375 1.4487305 0.4375 0.8630981 14.29%5 0.4375 0.863098 0.375 1.4487305 0.40625 0.3136673 7.69%6 0.4375 0.863098 0.40625 0.3136673 0.421875 0.2694712 3.70%
20
Ejemplo del Método de la Falsa Posición
7 0.42188 0.269471 0.40625 0.3136673 0.414063 0.0234052 1.89%8 0.42188 0.269471 0.41406 0.0234052 0.417969 0.1227057 0.93%
Por tanto, después de ocho iteraciones, se obtiene una estimación de la
raíz de -0,417969 con un error aproximado de 0,93%, lo que está por debajo
del criterio de parada de 1%.
c)
Usando la falsa posición, la primera iteración
xr=0−−12(−1−0 )
29 .75−(−12)=−0 .287425
f (−1 ) f (−0 .287425 )=29 . 75(−4 .4117349)=−131. 2491
Por lo tanto, la raíz es en el primer intervalo y la conjetura superior se
redefine como xu=– 0.287425. La segunda iteración es:
xr=−0 . 287425−−4 .4117349(−1−(−0. 287425 ))29 . 75−(−4 . 4117349)
=−0 . 3794489
ε a=|−0 .3794489−(−0 .2874251 )
−0 .3794489|100 %=24 . 25 %
f (−1 ) f (−0 .3794489 )=29 .75(−1. 2896639)=−38 .3675
En consecuencia, la raíz está en el primer intervalo y la conjetura
superior se redefine como xu=−0,379449. Todas las iteraciones se muestran en
la siguiente tabla:
i x i f (x i) xu f (xu) xr f (xr) ε a
1 1 29.75 0 12 0.287425 4.41173492 1 29.75 0.28743 4.4117349 0.379449 1.2896639 24.25%3 1 29.75 0.37945 1.2896639 0.405232 0.3512929 6.36%4 1 29.75 0.40523 0.3512929 0.412173 0.0938358 1.68%5 1 29.75 0.41217 0.0938358 0.414022 0.0249338 0.45%
21
Por lo tanto, después de cinco iteraciones se obtiene una estimación de
la raíz de −0,414022 con un error aproximado de 0,45 %, lo que está por debajo
del criterio de parada de 1 %.
MÉTODOS ABIERTOS
Método Newton-Raphson
Tal vez, de las fórmulas para localizar raíces, la fórmula de Newton-
Raphson sea la más ampliamente utilizada.
Si el valor inicial para la raíz es x i, entonces se puede trazar una
tangente desde el punto [ xi , f ( xi)] de la curva. Por lo común, el punto donde
esta tangente cruza al eje x representa una aproximación mejorada de la raíz.
El método de Newton-Raphson se deduce a partir de esta interpretación
geométrica (un método alternativo basado en la serie de Taylor se describe
después del primer ejemplo). De la figura, se tiene que la primera derivada en x
es equivalente a la pendiente:
f ´ (x i )=f ( xi )−0
xi−xi+1
La cual arreglamos para obtener
x i+1=x i−f (x i )f ´ (x i )
22
La cual se conoce como la fórmula de Newton-Raphson.
Ejemplo:
Utilice el método de Newton-Raphson para calcular la raíz de
f (x)=e−x – x
empleando como valor inicial x0=0.
Solución:
23
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Ejemplo del Método Newton-Raphson
La primera derivada de la función es
ƒ '(x )=– e−x – 1
que se sustituye, junto con la función original en la ecuación
x i+1=x i−f (x i )f ´ (x i )
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Para obtener
x i+1=x i−e− x i−xi−e
− xi−1
Empezando con un valor inicial x0=0, se aplica esta ecuación iterativa
para calcular:
i x i ε t (% )0 0 1001 0,500000000 11,82 0,566311003 0,1473 O,567143165 0,00002204 0,567143290 <10−8
Así el método converge rápidamente a la raíz verdadera. Se puede
apreciar que el error relativo porcentual verdadero en cada iteración disminuye
mucho más rápido que con la iteración simple de punto fijo.
Método de la secante
Un problema potencial en la implementación del método de Newton-
Raphson es la evaluación de la derivada. Aunque esto no es un inconveniente
para los polinomios ni para muchas otras funciones, existen algunas funciones
cuyas derivadas en ocasiones resultan muy difíciles de calcular. En dichos
casos, la derivada se puede aproximar mediante una diferencia finita dividida
hacia atrás, como en la siguiente figura
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Matemáticamente, esto es:
f ´ (x i )≅f (x i−1 )−f ( xi )
x i−1−x i
Esta aproximación se sustituye en la ecuación
x i+1=x i−f (x i )f ´ (x i )
para obtener la siguiente ecuación iterativa:
x i+1=x i−f (x i ) (x i−1−x i )f (x i−1 )−f (x i )
La ecuación anterior es la fórmula para el método de la secante. Se
puede apreciar que el método requiere de dos valores iniciales de x. Sin
embargo, debido a que no se necesita que f ( x ) cambie de signo entre los
valores dados, este método no se clasifica como un método cerrado.
Ejemplo:
Con el método de la secante, calcule la raíz de la función
f ( x )=e−x−x
Comenzando con los valores iniciales:
x−1=0∧ x0=1,0
Solución:
Recordemos que con base en el ejercicio anterior pudimos determinar
que la raíz real es 0,56714329
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Primera iteración:
x−1=0 ; f (x−1 )=e0−0=1,00000
x0=1 ; f (x−1 )=e−1−1=−0,63212
x1=1−−0,63212 (0−1 )1−(−0,63212 )
ε t=8,0 %
Segunda iteración:
x0=1 f (x0 )=−0,63212
x1=0,61270 f (x1 )=−0,07081
Es importante observar que ambas aproximaciones se encuentran del
mismo lado de la raíz.
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-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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Ejemplo del Método de la Secante
x2=0,61270−−0,07081 (1−0,61270 )−0,63212−(0,07081 )
=0,56384
ε t=0,58 %
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Tercera iteración:
x1=0,61270 f (x1 )=−0,07081
x2=0,56384 f (x2)=0,00518
x3=0,56384−0,00518 (0,61270−0,56384 )
−0,07081−(−0,00518 )=0,56717
ε t=0,0048 %
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CONCLUSIÓN
En la actualidad, las computadoras y los métodos numéricos ofrecen una
alternativa para los cálculos complicados. Al usar la potencia de la
computadora se obtienen soluciones directamente, de esta manera se pueden
aproximar los cálculos sin tener que recurrir a consideraciones de simplificación
o a técnicas muy lentas.
Aunque las soluciones analíticas aún son muy valiosas, tanto para
resolver problemas como para brindar una mayor comprensión, los métodos
numéricos representan opciones que aumentan, en forma considerable, la
capacidad para enfrentar y resolver los problemas; como resultado, se dispone
de más tiempo para aprovechar las habilidades creativas personales.
En consecuencia, es posible dar más importancia a la formulación de un
problema y a la interpretación de la solución, así como a su incorporación al
sistema total, o conciencia “holística”
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BIBLIOGRAFÍA
Nieves Antonio y Domínguez Federico. Métodos Numéricos Aplicados a
la Ingeniería. México. 2006. CECSA. 2 ed. 600 pp.
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