INTRODUCCIÓN

Los métodos numéricos constituyen técnicas mediante las cuales es

posible formular problemas matemáticos, de tal forma que puedan resolverse

utilizando operaciones aritméticas. Aunque existen muchos tipos de métodos

numéricos, éstos comparten una característica común: invariablemente

requieren de un buen número de tediosos cálculos aritméticos. No es raro que

con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y rápidas, el papel de los

métodos numéricos en la solución de problemas en ingeniería haya aumentado

de forma considerable en los últimos años.

En tal sentido, se abordará el concepto fundamental del error, así como

también el de las cifras significativas. Seguidamente se explican los Métodos

de Intervalos a saber, el Método de la Bisección y de la Falsa Posición o Regla

Falsa. También se comentarán los Métodos Abiertos entre ellos, el Método de

Newton-Raphson y el Método de la Secante, con sus respectivos ejemplos y

gráficos.

1

ERRORES:

Los errores numéricos surgen del uso de aproximaciones para

representar operaciones y cantidades matemáticas exactas. Éstas incluyen los

errores de truncamiento que resultan del empleo de aproximaciones como un

procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo que se producen

cuando se usan números que tienen un límite de cifras significativas para

representar números exactos. Para ambos tipos de errores, la relación entre el

resultado exacto, o verdadero, y el aproximado está dada por

Valor verdadero=Valor aproximado+error

Reordenando la ecuación se encuentra que el error numérico es igual a

la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, es decir

Et=valor verdade ro – valor aproximado

Donde Et se usa para denotar el valor exacto del error. El subíndice t

indica que se trata del error “verdadero” (true). Como ya se mencionó

brevemente, esto contrasta con los otros casos, donde se debe emplear una

estimación “aproximada” del error.

Una desventaja en esta definición es que no toma en consideración el

orden de la magnitud del valor que se estima. Por ejemplo, un error de un

centímetro es mucho más significativo si se está midiendo un remache en lugar

de un puente. Una manera de tomar en cuenta las magnitudes de las

cantidades que se evalúan consiste en normalizar el error respecto al valor

verdadero, es decir

Error relativo fraccional verdadero= error verdaderovalor verdadero

donde, como ya se mencionó en la ecuación,

Error=valor verdadero – valor aproximado.

2

El error relativo también se puede multiplicar por 100 % para expresarlo

como

ε t=error verdaderovalor verdadero

∗100 %

donde ε t denota el error relativo porcentual verdadero.

Ejemplo:

Suponga que se tiene que medir la longitud de un puente y la de un

remache, y se obtiene 9999 y 9cm, respectivamente. Si los valores verdaderos

son 10000 y 10cm, calcule: a) el error verdadero y b) el error relativo porcentual

verdadero en cada caso.

Solución:

a) El error en la medición del puente es

Et=10000 – 9999=1cm

y en la del remache es de

Et=10 – 9=1cm

b) El error relativo porcentual para el puente es 1

ε t=1

10000∗100 %=0.01 %

y para el remache es de

ε t=1

10100 %=10 %

Por lo tanto, aunque ambas medidas tienen un error de 1cm, el error

relativo porcentual del remache es mucho mayor. Se concluye entonces que se

ha hecho un buen trabajo en la medición del puente; mientras que la

estimación para el remache dejó mucho que desear.

Observamos que en las ecuaciones, E y ε tienen un subíndice t que

significa que el error ha sido normalizado al valor verdadero. En el ejemplo

3

anterior teníamos el valor verdadero. Sin embargo, en las situaciones reales a

veces es difícil contar con tal información. En los métodos numéricos, el valor

verdadero sólo se conocerá cuando se tengan funciones que se resuelvan

analíticamente. Éste comúnmente será el caso cuando se estudie el

comportamiento teórico de una técnica específica para sistemas simples.

Sin embargo, en muchas aplicaciones reales, no se conoce a priori la

respuesta verdadera. Entonces en dichos casos, una alternativa es normalizar

el error, usando la mejor estimación posible al valor verdadero; es decir, para la

aproximación misma, como en error aproximado

ε a=error aproximadovalor aproximado

∗100 %

valor aproximado

donde el subíndice a significa que el error está normalizado a un valor

aproximado. En aplicaciones reales la ecuación Et no se puede usar para

calcular el término del error de la ecuación ε a. Uno de los retos que enfrentan

los métodos numéricos es el de determinar estimaciones del error en ausencia

del conocimiento de los valores verdaderos. Por ejemplo, ciertos métodos

numéricos usan un método iterativo para calcular los resultados. En tales

métodos se hace una aproximación considerando la aproximación anterior.

Este proceso se efectúa varias veces, o de forma iterativa, para calcular

en forma sucesiva, esperando cada vez mejores aproximaciones. En tales

casos, el error a menudo se calcula como la diferencia entre la aproximación

previa y la actual. Por lo tanto, el error relativo porcentual está dado por

aproximación actual – aproximación anterior

ε a=aproximaciónactual – aproximación anterior

aproximación actual∗100 %

Los signos de las ecuaciones Et a ε a pueden ser positivos o negativos. Si

la aproximación es mayor que el valor verdadero (o la aproximación previa es

mayor que la aproximación actual), el error es negativo; si la aproximación es

menor que el valor verdadero, el error es positivo. También en las ecuaciones

4

ε t a ε a, el denominador puede ser menor a cero, lo cual también llevaría a un

error negativo. A menudo, cuando se realizan cálculos, no importa mucho el

signo del error, sino más bien que su valor absoluto porcentual sea menor que

una tolerancia porcentual prefijada es. Por lo tanto, es útil emplear el valor

absoluto de las ecuaciones ε t a ε a. En tales casos, los cálculos se repiten hasta

que

¿ ε a∨¿ ε s

Si se cumple la relación anterior, entonces se considera que el resultado

obtenido está dentro del nivel aceptable fijado previamente ε s. Observe que en

el resto del texto en general emplearemos exclusivamente valores absolutos

cuando utilicemos errores relativos.

Es conveniente también relacionar estos errores con el número de cifras

significativas en la aproximación. Es posible demostrar que si el siguiente

criterio se cumple, se tendrá la seguridad que el resultado es correcto en al

menos n cifras significativas.

ε s=(0 ,5×102– n)%

Ejemplo:

En matemáticas con frecuencia las funciones se representan mediante

series infinitas. Por ejemplo, la función exponencial se calcula usando

ex=1+x+ x2

2!+ x3

3 !+…+ xn

n !

Así cuantos más términos se le agreguen a la serie, la aproximación

será cada vez más una mejor estimación del valor verdadero de ex. La

ecuación anterior se conoce como expansión en series de Maclaurin.

Empezando con el primer término ex=1 y agregando término por

término, estime el valor de e0,5. Después de agregar cada término, calcule los

errores: relativo porcentual verdadero y normalizado a un valor aproximado

usando las ecuaciones ε ty ε a, respectivamente. Veamos que el valor verdadero

es eo ,5=1 ,648721… Agreguemos términos hasta que el valor absoluto del error

5

aproximado ε a sea menor que un criterio de error preestablecido ε s con tres

cifras significativas.

Solución:

En primer lugar la ecuación ε s se emplea para determinar el criterio de

error que asegura que un resultado sea correcto en al menos tres cifras

significativas:

ε s=(0 ,5×102– n)%

Por lo tanto, se agregarán términos a la serie hasta que ε a sea menor

que este valor. La primera estimación es igual a la ecuación ex con un solo

término. Entonces, la primera estimación es igual a 1 . La segunda estimación

se obtiene agregando el segundo término, así:

ex=1+x

Para

x=0,5

eo ,5=1+0,5=1,5

Esto representa el error relativo porcentual verdadero de ε t

ε t=1,648721−1,5

1,648721∗100%=9,02 %

La ecuación ε t se utiliza para determinar una estimación aproximada del

error, dada por:

ε a=1,5−1

1,5∗100 %=33 ,3 %

Como ε a no es menor que el valor requerido ε s , se deben continuar los

cálculos agregando otro término x2

2!, repitiendo el cálculo del error. El proceso

6

continúa hasta que ε a<ε s . Todos los cálculos los vamos a resumir en la

siguiente tabla:

Términos Resultado ε t (% ) ε a ( %)1 1 39,32 1,5 9,02 33,33 1,625 1,44 7,694 1,645833333 0,175 1,275 1,648437500 0,0172 0,1586 1,648697917 0,00142 0,0158

Así, después de usar seis términos, el error aproximado es menor que

ε s=0.05 %, y el cálculo termina. Sin embargo, observe que, ¡el resultado es

exacto con cinco cifras significativas! en vez de tres cifras significativas. Esto se

debe a que, en este caso, las ecuaciones ε a y ε s son conservadoras. Es decir,

aseguran que el resultado es, por lo menos, tan bueno como lo especifican.

Aunque, éste no es siempre el caso al usar la ecuación ε a, que es verdadera en

la mayoría de las veces.

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Las aproximaciones se relacionan con el manejo de números. En

consecuencia, antes de analizar los errores asociados con los métodos

numéricos, es útil repasar algunos conceptos básicos referentes a la

representación aproximada de los números mismos.

Cuando se emplea un número para realizar un cálculo, debe haber

seguridad de que pueda usarse con confianza.

7

Por ejemplo, en la figura anterior, se presenta el velocímetro y un

odómetro (contador de kilometraje) de un automóvil. Con un simple vistazo al

velocímetro se observa que el vehículo viaja a una velocidad comprendida

entre 48 y 49 km /h.

Como la aguja está más allá de la mitad entre las marcas del indicador,

es posible asegurar que el automóvil viaja aproximadamente a 49 km /h.

Tenemos confianza en este resultado, ya que dos o más individuos que

hicieran esta lectura llegarían a la misma conclusión. Sin embargo,

supongamos que se desea obtener una cifra decimal en la estimación de la

velocidad. En tal caso, alguien podría decir 48 ,8, mientras que otra persona

podría decir 48 ,9 km /h. Por lo tanto, debido a los límites del instrumento,

únicamente se emplean con confianza los dos primeros dígitos. Para

estimaciones del tercer dígito (o más allá) sólo se considerarían

aproximaciones. Sería ridículo afirmar, considerando el velocímetro de la figura,

que el automóvil viaja a 48 ,8642138km /h. En contraste, el odómetro muestra

hasta seis dígitos confiables. En la figura anterior se concluye que el automóvil

ha recorrido un poco menos de 87 324 ,5km durante su uso. Aquí el séptimo

dígito (y los siguientes) resultan inciertos.

El concepto de cifras o dígitos significativos se ha desarrollado para

designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico. Las cifras

significativas de un número son aquellas que pueden utilizarse en forma

confiable. Se trata del número de dígitos que se ofrecen con certeza, más uno

8

estimado. Por ejemplo, el velocímetro y el odómetro de la figura muestran

lecturas de hasta tres y siete cifras significativas, respectivamente.

Para el velocímetro, los dos dígitos seguros son 48. Por convención al

dígito estimado se le da el valor de la mitad de la escala menor de división en el

instrumento de medición. Así, la lectura del velocímetro consistirá de las tres

cifras significativas: 48 ,5 . En forma similar, el odómetro dará una lectura con

siete cifras significativas, 87324 ,45 .

Aunque, por lo común, determinar las cifras significativas de un número

es un procedimiento sencillo, en algunos casos genera cierta confusión. Por

ejemplo, los ceros no siempre son cifras significativas, ya que pueden usarse

sólo para ubicar el punto decimal: los números 0 ,00001845 ;0 ,0001845 ; y

0 ,001845 tienen cuatro cifras significativas.

Asimismo, cuando se incluye ceros en números muy grandes, no queda

claro cuántos son significativos. Por ejemplo, el número 45300 puede tener tres,

cuatro o cinco dígitos significativos, dependiendo de si los ceros se conocen o

no con exactitud.

La incertidumbre se puede eliminar utilizando la notación científica,

donde 4 ,53×104 ;4 ,530×104 ;4 ,5300×104 muestran, respectivamente, que el

número tiene tres, cuatro y cinco cifras significativas.

El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes

en el estudio de los métodos numéricos.

1. Como se ha mencionado, los métodos numéricos dan resultados

aproximados. Por lo tanto, se deben desarrollar criterios para especificar qué

tan confiables son dichos resultados. Una manera de hacerlo es en términos de

cifras significativas. Por ejemplo, es posible afirmar que la aproximación es

aceptable siempre y cuando sea correcta con cuatro cifras significativas.

2. Aunque ciertas cantidades tales como π , e , o√7 representan

cantidades específicas, no se pueden expresar exactamente con un número

finito de dígitos. Por ejemplo, π=3.141592653589793238462643... hasta el

infinito. Como las computadoras retienen sólo un número finito de cifras

significativas, tales números jamás se podrán representar con exactitud. A la

omisión del resto de cifras significativas se le conoce como error de redondeo.

9

Los errores de redondeo y el uso de cifras significativas para expresar

nuestra confianza en un resultado numérico se estudiarán con mayor detalle en

las siguientes secciones.

Además, el concepto de cifras significativas tendrá mucha importancia

en la definición de exactitud y de precisión.

Exactitud precisión

Los errores en cálculos y medidas se pueden caracterizar con respecto a

su exactitud y su precisión. La exactitud se refiere a qué tan cercano está el

valor calculado o medido del valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan

cercanos se encuentran, unos de otros, diversos valores calculados o medidos.

Estos conceptos se ilustran gráficamente utilizando la analogía con una

diana en la práctica de tiro.

Los agujeros en cada blanco de la figura se consideran como las

predicciones con una técnica numérica; mientras que el centro del blanco

representa la verdad. La inexactitud (conocida también como sesgo) se define

como una desviación sistemática del valor verdadero. Por lo tanto, aunque los

disparos en la figura c están más juntos que los de la figura a, los dos casos

10

son igualmente inexactos, ya que ambos se centran en la esquina superior

izquierda del blanco. La imprecisión (también llamada incertidumbre), por otro

lado, se refiere a la magnitud en la dispersión de los disparos. Por

consiguiente, aunque las figuras b y d son igualmente exactas (esto es,

igualmente centradas respecto al blanco), la última es más precisa, pues los

disparos están agrupados en forma más compacta.

Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin

sesgo para satisfacer los requisitos de un problema particular de ingeniería.

También deben ser suficientemente precisos para ser adecuados en el diseño

de la ingeniería. En tal sentido se usa el término error para representar tanto la

inexactitud como la imprecisión en las predicciones. Con dichos conceptos

como antecedentes, ahora analizaremos los factores que contribuyen al error

en los cálculos numéricos.

MÉTODOS DE INTERVALOS

Método de la Bisección

Al analizar la siguiente gráfica, es preciso destacar que f (x) cambia de

signo a ambos lados de la raíz.

11

En general, sif (x) es real y continúa en el intervalo que va desde x i

hasta xu y f (x i) y f (xu) tienen signos opuestos, es decir,f (x i) f (xu )<0 entonces

hay al menos una raíz real entre x i y xu.

Los métodos de búsqueda incremental aprovechan esta característica

localizando un intervalo en el que la función cambie de signo. Entonces, la

localización del cambio de signo (y, en consecuencia, de la raíz) se logra con

más exactitud al dividir el intervalo en varios subintervalos. Se investiga cada

uno de estos subintervalos para encontrar el cambio de signo. El proceso se

repite y la aproximación a la raíz mejora cada vez más en la medida que los

subintervalos se dividen en intervalos cada vez más pequeños.

Veamos la siguiente orientación:

Paso 1: Elija valores iniciales inferior, x i , y superior, xu , que encierren la

raíz, de forma tal que la función cambie de signo en el intervalo. Esto se verifica

comprobando que f (x i) f (xu )<0.

Paso 2: Una aproximación de la raíz xr se determina mediante:

xr=x i+xu

2

Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en qué

subintervalo está la raíz:

a) Si f (x i) f ( xr)<0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo

inferior o izquierdo. Por lo tanto, haga f (xu)=xr y vuelva al paso 2.

b) Si f (x i ) f (xr )>0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo

superior o derecho. Por lo tanto, haga x i=xr y vuelva al paso 2.

c) Si f (x i ) f (xr )=0, la raíz es igual a xr; termina el cálculo.

El método de bisección, conocido también como de corte binario, de

partición de intervalos o de Bolzano, es un tipo de búsqueda incremental en el

que el intervalo se divide siempre a la mitad. Si la función cambia de signo

sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La

posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo,

dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener

una mejor aproximación. En la orientación inicial se presenta un algoritmo

12

sencillo para los cálculos de la bisección. En la siguiente figura se muestra una

representación gráfica del método.

Ejemplo:

Determine las raíces reales de f (x)=– 0.5 x2+2.5x+4.5

a) Gráficamente

b) Empleando la fórmula cuadrática

c) Usando el método de bisección con tres iteraciones para determinar la

raíz más grande. Emplee como valores iniciales x i=5 y xu=10. Calcule el error

estimado ε a y el error verdadero ε t para cada iteración.

Solución:

a) Una gráfica indica que las raíces se presentan aproximadamente en:

x1=−1,4∧ x2=6,4

13

14

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-22-21-20-19-18-17-16-15-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789

b)

Usando la fórmula general, tenemos que:

x=−b±√b2−4ac2a

x=−2 .5±√(2. 5 )2−4(−0 .5)( 4 .5 )

2 (−0 . 5)=

−1 .40512

6 . 40512

Luego las soluciones son:

x1=−1,40512

x2=6,40512

c)

Primera iteración:

xr=5+10

2=7 .5

ε t=|6 . 40512−7 . 56 .40512

|×100 %=17 . 09 % ε a=|10−510+5

|×100 %=33 . 33 %

f (5) f (7 . 5 )=4 .5(−4 .875 )=−21. 9375

Por lo tanto el soporte es x i=5 y xu=7,5

15

Ejemplo Método de la Bisección

Segunda iteración:

xr=5+7 .5

2=6 .25

En consecuencia el nuevo soporte es x i = 6.25 y xu= 7.5.

Tercera iteración:

xr=6 .25+7. 5

2=6 . 875

ε t=|6 . 40512−6 .8756 .40512

|×100 %=7 . 34 %

ε a=|7 .5−6 .257 .5+6. 25

|×100%=9 .09%

Método de la falsa posición

Aun cuando la bisección es una técnica perfectamente válida para

determinar raíces, su método de aproximación por “fuerza bruta” es

relativamente ineficiente. La falsa posición es una alternativa basada en una

visualización gráfica.

Un inconveniente del método de bisección es que al dividir el intervalo

de x i a xu en mitades iguales, no se toman en consideración las magnitudes de

f (x i)y f (xu). Por ejemplo, si x i está mucho más cercana a cero que f (xu), es

lógico que la raíz se encuentre más cerca de x i que de xu.

16

%42.2%10040512.6

25.640512.6

t %00.20%100

55.7

55.7

a

672.2)59375.0(5.4)25.6()5( ff

Un método alternativo que aprovecha esta visualización gráfica consiste

en unir f (x i) y f (xu)con una línea recta. La intersección de esta línea con el eje

de las x representa una mejor aproximación de la raíz. El hecho de que se

reemplace la curva por una línea recta da una “falsa posición” de la raíz; de

aquí el nombre de método de la falsa posición, o en latín, regula falsi. También

se le conoce como método de interpolación lineal.

Usando triángulos semejantes, la intersección de la línea recta con el eje

de las x se estima mediante

f (x i)xr−x i

=f (xu)

xr−f ( xu)

en la cual se despeja xr

xr=xu−f (xu) (x i−xu )f (xi )−f (xu)

Ésta es la fórmula de la falsa posición. El valor de xr calculado con la

ecuación, reemplazará, después, a cualquiera de los dos valores iniciales, x i o

xu, y da un valor de la función con el mismo signo de f (xr). De esta manera, los

valores f (x i) y xu siempre encierran la verdadera raíz. El proceso se repite

hasta que la aproximación a la raíz sea adecuada. El algoritmo es idéntico al de

la bisección, excepto en que la ecuación (xr) se usa en el paso 2. Además, se

17

usa el mismo criterio de terminación, con la siguiente ecuación, para concluir

los cálculos

ε a=|xrnuevo−xranterior

xrnuevo |∗100%

Donde

xrnuevo

Es la raíz en iteración actual, y

xranterior

Es el valor de la raíz en la iteración anterior. Se utiliza el valor absoluto,

ya que por lo general importa sólo la magnitud de ε a sin considerar su signo.

Cuando ε a es menor que un valor previamente fijado ε s, termina el cálculo.

Ejemplo:

Calcule las raíces reales de f (x)=– 12– 21 x+18 x2– 2.75 x3

a) Gráficamente

b) Empleando el método de la falsa posición con un valor es

correspondiente a tres cifras significativas para determinar la raíz más

pequeña.

Solución:

a) La gráfica indica que las raíces se encuentran aproximadamente en

x1=−0,4 ; x2=2,25 ; x3=4,7

18

19

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

b)

Usando la bisección, la primera iteración es:

xr=−1+0

2=−0 . 5

f (−1 ) f (−0 .5 )=29 .75(3 .34375 )=99 . 47656

Por lo tanto, la raíz está en el Segundo intervalo y la conjetura inferior

se define como x i=– 0.5.

Segunda iteración

xr=−0 .5+0

2=−0 . 25

ε a=|−0 .25−(−0 .5 )

−0 .25|100%=100%

f (−0.5 ) f (−0.25 )=3 . 34375(−5 .5820313)=−18 .66492

En consecuencia, la raíz está en el primer intervalo y la conjetura

superior se redefine como xu=−0,25. Todas las iteraciones se muestran en la

siguiente tabla:

i x i f (x i) xu f (xu) xr f (xr) ε a

1 1 29.75 0 12 0.5 3.343752 0.5 3.34375 0 12 0.25 5.5820313 100.00%3 0.5 3.34375 0.25 5.5820313 0.375 1.4487305 33.33%4 0.5 3.34375 0.375 1.4487305 0.4375 0.8630981 14.29%5 0.4375 0.863098 0.375 1.4487305 0.40625 0.3136673 7.69%6 0.4375 0.863098 0.40625 0.3136673 0.421875 0.2694712 3.70%

20

Ejemplo del Método de la Falsa Posición

7 0.42188 0.269471 0.40625 0.3136673 0.414063 0.0234052 1.89%8 0.42188 0.269471 0.41406 0.0234052 0.417969 0.1227057 0.93%

Por tanto, después de ocho iteraciones, se obtiene una estimación de la

raíz de -0,417969 con un error aproximado de 0,93%, lo que está por debajo

del criterio de parada de 1%.

c)

Usando la falsa posición, la primera iteración

xr=0−−12(−1−0 )

29 .75−(−12)=−0 .287425

f (−1 ) f (−0 .287425 )=29 . 75(−4 .4117349)=−131. 2491

Por lo tanto, la raíz es en el primer intervalo y la conjetura superior se

redefine como xu=– 0.287425. La segunda iteración es:

xr=−0 . 287425−−4 .4117349(−1−(−0. 287425 ))29 . 75−(−4 . 4117349)

=−0 . 3794489

ε a=|−0 .3794489−(−0 .2874251 )

−0 .3794489|100 %=24 . 25 %

f (−1 ) f (−0 .3794489 )=29 .75(−1. 2896639)=−38 .3675

En consecuencia, la raíz está en el primer intervalo y la conjetura

superior se redefine como xu=−0,379449. Todas las iteraciones se muestran en

la siguiente tabla:

i x i f (x i) xu f (xu) xr f (xr) ε a

1 1 29.75 0 12 0.287425 4.41173492 1 29.75 0.28743 4.4117349 0.379449 1.2896639 24.25%3 1 29.75 0.37945 1.2896639 0.405232 0.3512929 6.36%4 1 29.75 0.40523 0.3512929 0.412173 0.0938358 1.68%5 1 29.75 0.41217 0.0938358 0.414022 0.0249338 0.45%

21

Por lo tanto, después de cinco iteraciones se obtiene una estimación de

la raíz de −0,414022 con un error aproximado de 0,45 %, lo que está por debajo

del criterio de parada de 1 %.

MÉTODOS ABIERTOS

Método Newton-Raphson

Tal vez, de las fórmulas para localizar raíces, la fórmula de Newton-

Raphson sea la más ampliamente utilizada.

Si el valor inicial para la raíz es x i, entonces se puede trazar una

tangente desde el punto [ xi , f ( xi)] de la curva. Por lo común, el punto donde

esta tangente cruza al eje x representa una aproximación mejorada de la raíz.

El método de Newton-Raphson se deduce a partir de esta interpretación

geométrica (un método alternativo basado en la serie de Taylor se describe

después del primer ejemplo). De la figura, se tiene que la primera derivada en x

es equivalente a la pendiente:

f ´ (x i )=f ( xi )−0

xi−xi+1

La cual arreglamos para obtener

x i+1=x i−f (x i )f ´ (x i )

22

La cual se conoce como la fórmula de Newton-Raphson.

Ejemplo:

Utilice el método de Newton-Raphson para calcular la raíz de

f (x)=e−x – x

empleando como valor inicial x0=0.

Solución:

23

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Ejemplo del Método Newton-Raphson

La primera derivada de la función es

ƒ '(x )=– e−x – 1

que se sustituye, junto con la función original en la ecuación

x i+1=x i−f (x i )f ´ (x i )

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Para obtener

x i+1=x i−e− x i−xi−e

− xi−1

Empezando con un valor inicial x0=0, se aplica esta ecuación iterativa

para calcular:

i x i ε t (% )0 0 1001 0,500000000 11,82 0,566311003 0,1473 O,567143165 0,00002204 0,567143290 <10−8

Así el método converge rápidamente a la raíz verdadera. Se puede

apreciar que el error relativo porcentual verdadero en cada iteración disminuye

mucho más rápido que con la iteración simple de punto fijo.

Método de la secante

Un problema potencial en la implementación del método de Newton-

Raphson es la evaluación de la derivada. Aunque esto no es un inconveniente

para los polinomios ni para muchas otras funciones, existen algunas funciones

cuyas derivadas en ocasiones resultan muy difíciles de calcular. En dichos

casos, la derivada se puede aproximar mediante una diferencia finita dividida

hacia atrás, como en la siguiente figura

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Matemáticamente, esto es:

f ´ (x i )≅f (x i−1 )−f ( xi )

x i−1−x i

Esta aproximación se sustituye en la ecuación

x i+1=x i−f (x i )f ´ (x i )

para obtener la siguiente ecuación iterativa:

x i+1=x i−f (x i ) (x i−1−x i )f (x i−1 )−f (x i )

La ecuación anterior es la fórmula para el método de la secante. Se

puede apreciar que el método requiere de dos valores iniciales de x. Sin

embargo, debido a que no se necesita que f ( x ) cambie de signo entre los

valores dados, este método no se clasifica como un método cerrado.

Ejemplo:

Con el método de la secante, calcule la raíz de la función

f ( x )=e−x−x

Comenzando con los valores iniciales:

x−1=0∧ x0=1,0

Solución:

Recordemos que con base en el ejercicio anterior pudimos determinar

que la raíz real es 0,56714329

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Primera iteración:

x−1=0 ; f (x−1 )=e0−0=1,00000

x0=1 ; f (x−1 )=e−1−1=−0,63212

x1=1−−0,63212 (0−1 )1−(−0,63212 )

ε t=8,0 %

Segunda iteración:

x0=1 f (x0 )=−0,63212

x1=0,61270 f (x1 )=−0,07081

Es importante observar que ambas aproximaciones se encuentran del

mismo lado de la raíz.

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-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Ejemplo del Método de la Secante

x2=0,61270−−0,07081 (1−0,61270 )−0,63212−(0,07081 )

=0,56384

ε t=0,58 %

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Tercera iteración:

x1=0,61270 f (x1 )=−0,07081

x2=0,56384 f (x2)=0,00518

x3=0,56384−0,00518 (0,61270−0,56384 )

−0,07081−(−0,00518 )=0,56717

ε t=0,0048 %

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CONCLUSIÓN

En la actualidad, las computadoras y los métodos numéricos ofrecen una

alternativa para los cálculos complicados. Al usar la potencia de la

computadora se obtienen soluciones directamente, de esta manera se pueden

aproximar los cálculos sin tener que recurrir a consideraciones de simplificación

o a técnicas muy lentas.

Aunque las soluciones analíticas aún son muy valiosas, tanto para

resolver problemas como para brindar una mayor comprensión, los métodos

numéricos representan opciones que aumentan, en forma considerable, la

capacidad para enfrentar y resolver los problemas; como resultado, se dispone

de más tiempo para aprovechar las habilidades creativas personales.

En consecuencia, es posible dar más importancia a la formulación de un

problema y a la interpretación de la solución, así como a su incorporación al

sistema total, o conciencia “holística”

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BIBLIOGRAFÍA

Nieves Antonio y Domínguez Federico. Métodos Numéricos Aplicados a

la Ingeniería. México. 2006. CECSA. 2 ed. 600 pp.

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