SEMESTRE ACADMICO 2015-I
Agosto 2010
Firmes en nuestro compromiso de alcanzar nuestra visin de ser competitivos e innovadores para tener
acreditacin internacional y contribuir al desarrollo
sostenido.
MATEMTICA
BSICA
EQUIVALENCIAS
LGICAS
CIRCUITOS LGICOS
1
INTRODUCCIN
2
Lee atentamente las siguientes proposiciones
Los refranes y
los mitos no
son
proposiciones
lgicas
Ambas proposiciones son
iguales?
No es cierto
que, los
refranes y los
mitos sean
proposiciones
lgicas.
3LOGRO DE LA SESIN
Al finalizar la sesin el estudiante halla
con eficacia proposiciones equivalentes,
as como elabora y simplifica circuitos
lgicos relacionadas con las ciencias de su
carrera aplicando las leyes lgicas, de
manera clara y ordenada.
CONTENIDOS
Equivalencias
Mtodos de solucin
Leyes de equivalencia
Simplificacin
4
Circuitos lgicos
5EQUIVALENCIAS LGICAS Dos frmulas o esquemas moleculares A y B son
equivalentes si:
Los valores de verdad de susmatrices principales son iguales
Al unirlos con una bicondicionalel resultado es una tautologa.
6MTODOS DE SOLUCIN
Tablas de verdad
Leyes de equivalencia
7TABLAS DE VERDAD
Ejemplo 1
Sea A: ( p q ) p B: p q
Verificar si A es equivalente a B
P q (p q) v ~p ~p v q
V V
V F
F V
F F
V V V V F
V F F F F
F V V V V
F V F V V
F V V
F F F
V V V
V V F
IGUALES
Solucin
FORMA 1
Por lo tanto, A es equivalente a B
8FORMA 2
P q [(p q) v ~p] (~p v q)
V V
V F
F V
F F
V V V V F
V F F F F
F V V V V
F V F V V
V
V
V
V
F V V
F F F
V V V
V V F
Tautologa
Por lo tanto, A es equivalente a B
9Ejemplo 2
Determinar mediante tabla si las siguientes frmulas son
equivalentes.
A: ( p q ) B: p q
A: ( p q ) p B: p ( q p )
1.
2.
10
LEYES DE EQUIVALENCIAS1. LEYES CONMUTATIVAS
a) A B B A
b) A B B A
c) A B B A
7. LEYES IMPLICATIVAS
a) A B A B
b) A B ( A B )
2. LEYES ASOCIATIVAS
a) ( A B ) C A ( B C )
b) ( A B ) C A ( B C )
c) ( A B ) C A ( B C )
8. LEYES DE LA BIIMPLICACIN
a) AB (A B ) (B A )
b) A B (A B ) ( A B )
3. LEYES DE IDEMPOTENCIA
a) ( A A ) A
b) ( A A ) A
9. LEYES DE DISYUNCION FUERTE
a) A B ( A B ) ( B A )
b) A B ( A B ) ( A B )
4. LEYES DISTRIBUTIVAS
a) A (B C ) (A B) (A C )
b) A (B C) (A B) (A C )
c) A(B C) (A B) (A C )
d) A (B C) (A B) (A C)
10. LEYES DE TRANSPOSICION
a) A B B A
b) A B B A
5. LEYES DE ABSORCION
a) A ( A B ) A
b) A ( A B ) A
c) A ( A B ) A B
d) A ( A B ) A B
11. LEYES ADICIONALES
a) A F A
b) A V V
c) A F F
d) A V A
e) A A F
f) A A V
6. LEYES DE MORGAN
a) ( A B ) A B
b) ( A B ) A B
c) A B ( A B )
d) A B ( A B )
12. LEYES DE DOBLE NEGACIN
a) ( A ) A
11
Ejemplo
1. Es imposible que Juan no estudie equivale a decir que:
Juan estudia
2. Si hoy llueve, estamos en invierno es equivalente a decir:
Jams llueve o estamos en invierno
~ ~p p (Doble negacin)
p q ~p v q (Ley implicativa)
12
3. Mi rendimiento acadmico es excelente demodo que obtengo una beca para estudiar.Es equivalente a decir:
Si no obtengo la beca, jams tuve un rendimientoexcelente
4. No es cierto que Julio canta y toca guitarra. Equivale a decir:
Julio no canta o incluso no toca guitarra
p q ~q ~ p (Ley de transposicin)
~ (p q) ~ p v ~ q (Ley De Morgan)
13
5. Determine cules de las alternativas son
equivalente a la proposicin dada.
Los refranes y los mitos no son proposiciones lgicas.
No es cierto que, los refranes y los mitos sean
proposiciones lgicas.
No es cierto que, los refranes o los mitos sean
proposiciones lgicas.
No es cierto que, los refranes son proposiciones lgicas
ya que los mitos no son proposiciones lgicas.
a)
b)
c)
14
Obtienes buenas calificaciones y estudias puesto que
apruebas el curso.
6. Determine cules de las alternativas son
equivalente a la proposicin dada.
Si estudias y obtienes buenas calificaciones, apruebasel curso
Si apruebas el curso, entonces estudias y obtienes buenas
calificaciones
Apruebas el curso o no es cierto que, estudias y obtienes
buenas calificaciones
No obtienes buenas calificaciones o incluso no estudias, salvo
que apruebas el curso.
a)
b)
c)
d)
15
SIMPLIFICACIN DE PROPOSICCIONES
Las leyes del lgebra de proposiciones nos permiten
reemplazar una proposicin con otra ms simple que
lgicamente es equivalente
Ejemplo 1Simplificar P (q p)
P (q p) P ( q p)
P ( p q)
(P p) q
F q
F
Ley de Morgan
Ley Conmutativa
Ley Asociativa
Ley de Complemento
Ley de Identidad
16
Ejemplo 2
Simplificar {[P (q p)] p} q
{[P (q p)] p} q {[P (p q)] p} q
(p p) q
V q
q
Ley Conmutativa
Ley de Absorcin
Ley de complemento
Ley de identidad
17
Ejemplo 3
Simplificar las siguientes frmulas
(p q) q
( p q) p
p ( p q)
1.
2.
3.
18
CIRCUITOS LGICOSCuando comparamos interruptores abiertos o cerrados
con proposiciones estamos estableciendo un circuito
lgico.
A un interruptor se le puede representar por medio
de una proposicin p y viceversa
De modo que:
El valor de verdad V de la proposicin seidentifique con el paso de corriente,
El valor es F cuando el interruptor estabierto.
19
Grficamente representaremos:
Circuito cerrado pasa corriente (1)
p p
Circuito abierto no pasa corriente (0)
Circuitos en serieLa tabla de conduccin de los interruptores conectados en
serie coincide con la tabla de verdad de la conjuncin.
p q Circula corriente
p q No Circula corriente
p q No Circula corriente
p q No Circula corriente
20
Circuitos en paraleloLa tabla de conduccin delos interruptores conectados
en paralelo coincide con la tabla de verdad de la
disyuncin.
Circula corriente
p
q
p
q
p
q
p
q
Circula corriente
Circula corriente
No circula corriente
21
La negacin lgica
La negacin lgica tiene como equivalente el
cambio de estado de un circuito del estado
conductor a no conductor o viceversa.
p p
Conduce a no conduce
p ~p
1 0
0 1
p p
No conduce a conduce
22
Construir el circuito que est expresado mediante
Solucin:
Utilizando las leyes del lgebra proposicional hallamos la
expresin equivalente a la implicacin
p
q
p q
p q p q
23
Construir el circuito que est expresado mediante
Solucin:
Utilizando las leyes del lgebra proposicional hallamos la
expresin equivalente a la implicacin
( )q p q
24
Construir el circuito que est expresado mediante
( ) ( )p q q p q
25
Simplificacin de circuitos
Considerando la identificacin de los circuitos
en serie y en paralelo con las proposiciones
bsicas de conjuncin y disyuncin, as como
las leyes del lgebra de proposiciones podemos
efectuar la simplificacin de circuitos; para
ello, en primer lugar, se representa el circuito
en su forma proposicional, en segundo lugar, se
simplifica y por ltimo se dibuja el nuevo
circuito utilizando la proposicin simplificada.
26
Ejemplos:
Simbolizar y simplificar los circuitos siguientes:
p
q
p q
a)
b)
q
q
q
p
p
27
q
qp
p
p
s
s
r
c)
28
TRABAJO EN EQUIPO
TALLER
Bibliografa Consultada
Acua, E., Castillo, M., DOnofrio, S., Galarza,B.,Guzman, A., Lastres, P., Rosales, D., & Villanueva, E.
(2014). Lgica y Epistemologa. Lima: PUCP.
Acua, C., Briceo,R. (2011). Lgica y matemtica,departamento de formacin general. Trujillo: UCV.
29