27
3Equacions i sistemes de segon grau
Equacions de segon grau. Resolució
1. a) L’àrea del pati d’una escola és quadrada i fa 20,25 m2. Per calcular el perímetre del pati segueix els passos següents:
• Escriu l’equació que planteja aquest problema:
• Quin grau té aquesta equació? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Quina és la longitud d’un dels costats del pati?
• Quin és el perímetre del pati?
Una equació de segon grau és una expressió del tipus ax bx c2 0+ + = en què a, b, i c són nombres reals i a ≠ 0. Si b ≠ 0 i c ≠ 0 es diu que l’equació és completa.
Vegem la resolució d’equacions de segon grau incompletes, és a dir, quan b = 0 o c = 0.
ax c ax c xc
a
c
a2 20
0
+ = ⇒ = − ⇒ = ±−
⇒
−>Si té dues solucioons
Si la solució és
Si no té so
.
.c x
c
a
= =−
<
0 0
0 llució.
ax bx x ax bx
ax b xb
a
21
2
0 00
0+ = ⇒ + = ⇒
=
+ = ⇒ =−
( )
sempre tenen dues solucions.
b) Resol les equacions següents:
4 196 02x − =
3
54 0
2xx− =
( ) ( )x x x− + + = +
1 3 2 37
32
8181_Mates4_Q_03.indd 27 27/02/12 17:10
28
Equacions i sistemes de segon grau 3
2. a) Considera l’equació de segon grau ( )x − =3 252 . Per resoldre aquesta equació segueix els passos següents:
• Extreu l’arrel quadrada en els dos termes.
• Has obtingut dues equacions de primer grau. Resol aquestes dues equacions.
• Comprova que les dues solucions trobades són solucions de l’equació inicial.
Resolució d’equacions de segon grau particulars.
( )( )
( )
( )
px r qx s
px r xr
p
qx s x
+ + = ⇒+ = ⇒ =
−
+ = ⇒ =−
0
0
0
1
2ss
q
sempre tenen dues solucions.
( )px r q px r q xr q
p
q o
+ = ⇒ + = ± ⇒ =− ±
⇒>
2
Si té dues solucioons.
Si té una solució doble.
Si no té soluci
q
q
=<
0
0 óó.
b) Resol les equacions següents:
( )( )5 3 2 1 0x x− + =
4 1
43
16
9
2x −+
=
2 3
4
5
16
3 1
84 0
x x x−−
−
−+
=
8181_Mates4_Q_03.indd 28 27/02/12 17:10
29
Equacions i sistemes de segon grau 3
3. a) Considera l’equació següent: ( )( )x x− + =2 3 6.
• Fes el producte del primer membre.
• Escriu una equació equivalent a la trobada amb el segon membre igual a zero.
• Quin grau té aquesta equació? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• És una equació completa o incompleta? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Per què? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vegem la resolució d’equacions de segon grau completa, és a dir, ax2 + bx + c = 0, a, b, c ≠ 0.
Aplicarem la fórmula general: xb b ac
a=
− ± −2 4
2.
El nombre de solucions d’una equació de segon grau depèn del signe del dis-criminant ∆∆ = −b ac2 4 .
Si ∆ > 0, l’equació té dues solucions diferents:
xb b ac
a1
2 4
2=
− + −
x
b b ac
a2
2 4
2=
− − −
Si ∆ = 0, l’equació té una solució doble: xb
a=
−2
.
Si ∆ < 0, l’equació no té solució.
b) Resol l’equació de segon grau obtinguda a l’apartat a).
c) Resol l'equació següent:
( ) ( )( )x x x x+ − + = − − −3 3 2 2 5 62
8181_Mates4_Q_03.indd 29 27/02/12 17:10
30
Equacions i sistemes de segon grau 3
Suma i producte de les solucions
4. a) Resol les equacions de segon grau següents i completa la taula.
Equació Solucions
x x2 7 10 0− + =
x1 = x2 =
x x1 2+ =
x x1 2· =
8 2 1 02x x− − =
x1 = x2 =
x x1 2+ =
x x1 2· =
x x2 2 8 0+ − =
x1 = x2 =
x x1 2+ =
x x1 2· =
La suma i el producte de les dues solucions x1 i x
2 d’una equació de segon grau
ax bx c2 0+ + = compleixen les propietats següents:
S x xb
a= + =
−1 2
P x x
c
a= =1 2·
b) Resol mentalment les equacions de segon grau següents:
Equació Solucions
x x2 2 15 0− − = x1 = x2 =
x x2 7 12 0+ + = x1 = x2 =
x x2 12 0− − = x1 = x2 =
x x2 12 0+ − = x1 = x2 =
c) Troba dos nombres tals que la seva suma sigui 13 i el seu producte 40.
8181_Mates4_Q_03.indd 30 27/02/12 17:10
31
Equacions i sistemes de segon grau 3
Sistemes d’equacions de segon grau
5. a) Resol aquest sistema d’equacions: x y
x y
+ =+ =
7
252 2 , seguint els passos indicats.
• Aïlla la variable x de la primera equació.
• Substitueix x en la segona equació.
• Resol l’equació de segon grau que has trobat.
• Substitueix aquests valors en l’expressió aïllada de x.
• Les solucions del sistema són: x1 = . . . . . . . . . . , y
1 = . . . . . . . . . . i x
2 = . . . . . . . . . , y
2 = . . . . . . . . .
Un sistema és un sistema d’equacions de segon grau quan, en aplicar algun mètode algèbric, ens porta a resoldre una equació de segon grau.
Per resoldre sistemes de segon grau utilitzarem qualsevol dels mètodes algèbrics: substitució, reducció o igualació.
b) Resol aquest sistema d’equacions: x y
x y
2 2
2 2
13
4 3 24
+ =− =
, seguint els passos indicats.
• Multiplica la primera equació per 3.
• Suma aquesta equació amb la segona equació del sistema.
• Resol l’equació de segon grau que has trobat.
• Substitueix aquests valors en la primera equació i resol les equacions de segon grau obtingudes.
• Les solucions del sistema són: x
1 = . . . . . . . , y
1 = . . . . . . . , x
2 = . . . . . . . ., y
2 = . . . . . . . x
3 = . . . . . . . , y
3 = . . . . . . . i x
4 = . . . . . . , y
4 = . . . . . . .
c) Quin mètode de resolució has fet servir en l’apartat a)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I en l’apartat b)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
8181_Mates4_Q_03.indd 31 27/02/12 17:10
32
Equacions i sistemes de segon grau 3
6. a) Resol aquest sistema d’equacions:
x y
x y
2 2 33
3
− = −+ = −
En general, el millor mètode algèbric per resoldre sistemes d’equacions de segon grau és el de substitució, encara que podem trobar-nos davant situacions par-ticulars en què resulta més ràpid utilitzar un dels altres dos mètodes.
b) Resol els sistemes d’equacions de segon grau següents:
x y
x y
+ =− + = −
3 5
7 2 32( )( )
2 103
4 677
2 2
2 2
x y
x y
− =+ =
( ) ( )
( ) ( )
x y
x y
− + − =− − + = −
4 3 8
4 3 8 5 84
2 2
8181_Mates4_Q_03.indd 32 27/02/12 17:10
33
Equacions i sistemes de segon grau 3
Equacions biquadrades
7. a) El producte de dos nombres és 75 i la diferència entre els seus quadrats és 616. Planteja el sistema per resoldre aquest problema:
• Aïlla la variable x de l’equació de primer grau i substitueix-la a l’equació de segon grau:
• Arregla l’equació obtinguda, eliminant el denominador i passant tots els termes al mateix costat de l’igual:
• L’equació obtinguda és de . . . . . . . . . . . . . grau, els exponents de la variable x són . . . . . . . . . . . . . . i . . . . . . . . . . . . . . .
Una equació de quart grau s’anomena biquadrada si té l’expressió algebraica:
ax bx c4 2 0+ + = , en què a, b i c són nombres reals i a ≠ 0.
Si fem el canvi d’incògnita x2 = t podem transformar aquesta equació biquadra-da en l’equació de segon grau at bt c2 0+ + = i ens permet resoldre l’equació.
tb b ac
at
b b ac
a1
2
2
24
2
4
2=
− + −=
− + −,
x t x t1 1 2 2= ± = ±,
b) Acaba de resoldre el sistema de l’apartat a):
c) Resol les equacions biquadrades següents:
x x4 24 3 0− + = ( ) ( ) ( )x x x2 23 1 1− = − +
8181_Mates4_Q_03.indd 33 27/02/12 17:11
34
Equacions i sistemes de segon grau 3
Equacions irracionals
8. a) Resol l’equació següent: x x− + =1 3 , seguint els passos indicats.
• Aïlla l’arrel en el primer membre:
• Per treure l’arrel eleva al quadrat els dos membres de la igualtat:
• Resol l’equació de segon grau obtinguda:
• Comprova si els valors obtinguts són solució de l’equació inicial:
• Dels dos valors obtinguts, el valor . . . . . . . . . . . . . és una solució real i el valor . . . . . . . . . . . . .és una solució fi ctícia, és a dir, no compleix la igualtat.
Les equacions irracionals són aquelles que tenen la incògnita sota el signe
radical. Per exemple: 1 25 2+ − =x x .
Per resoldre aquestes equacions hem d’aïllar primer l’arrel en un dels termes i després elevem els dos termes al quadrat. Resolem l’equació de segon grau obtinguda.
Al fi nal s’haurà d’esbrinar si les solucions obtingudes són solucions de l’equació irracional, ja que, a vegades, en elevar al quadrat els dos membres s’hi pot intro-duir una equació fi ctícia.
b) Resol les equacions irracionals següents. En aquest cas hauràs d’elevar al quadrat l'equació dues vegades:
4 1 2 5x x+ + + =
8181_Mates4_Q_03.indd 34 27/02/12 17:11
35
Equacions i sistemes de segon grau 3
Altres tipus d’equacions
9. a) Observa les equacions següents, digues de quin grau són i aplica els passos indicats per resoldre-les:
4 32 03x + =
Grau: . . . . . . . . . . . . . . .
Aïlla el terme amb x:
Aplica l’arrel cúbica als dos membres:
La solució és: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x 4 16 0− =
Grau: . . . . . . . . . . . . . . .
Aïlla el terme amb x:
Aplica l’arrel quarta als dos membres:
Les solucions són: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x x3 2 0− =
Grau: . . . . . . . . . . . . . . .
Extreu el factor comú x:
Iguala cada factor del producte a zero i resol:
Les solucions són: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x x4 216 5 405 0−( ) −( ) =
Grau: . . . . . . . . . . . . . . .
Iguala cada factor del producte a zero:
Soluciona cada equació obtinguda:
Les solucions són: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Per resoldre alguns tipus d’equacions que no són ni de primer ni de segon grau es poden utilitzar diferents mètodes algèbrics:
– Extracció de factor comú.
– Igualació dels factors d’un producte a zero.
– Aïllament i aplicació d’arrels.
8181_Mates4_Q_03.indd 35 27/02/12 17:11
36
Equacions i sistemes de segon grau 3
b) Resol les equacions següents:
x x x3 24 3 0− + = x x x5 35 14 0+ − =
1
1
3
3
2
x
x
−=
−
( )( )x x x2 5 4 3
3
40− − +
=
( ) ( )( )x x x x2 23 9 3 3− − = − + ( )x2 54 32− = −
8181_Mates4_Q_03.indd 36 27/02/12 17:11
37
Equacions i sistemes de segon grau 3
Resolució de problemes 10. a) El jardí de la Paula té forma de rectangle. Per tancar-lo ha utilitzat 14 m de fi lat i la dia-
gonal mesura 5 m. Quina és l’àrea del jardí? Per trobar-la segueix els passos següents:
• Fes un dibuix de la situació geomètrica que planteja el problema.
• Identifi ca les incògnites: x és la longitud de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y és la longitud de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Planteja l’equació que et proporciona la condició del perímetre:
• Planteja l’equació que et proporciona la condició de la diagonal:
• Resol el sistema de segon grau obtingut:
• L’àrea del jardí és . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A vegades per resoldre problemes s’ha de plantejar i resoldre una equació de segon grau, un sistema de segon grau o bé altres tipus d’equacions.
Els passos per resoldre aquests problemes són:
– Lectura comprensiva del text, identifi cació de les incògnites.
– Traducció del text al llenguatge algèbric i plantejament de les equacions o sistemes d’equacions.
– Resolució de les equacions o sistemes.
– Comprovació que les solucions són coherents amb l’enunciat.
b) En Miquel compra per als seus fi lls llibretes per valor de 30 €. Si cada llibreta hagués costat 50 cèntims menys, n’hauria pogut comprar 3 més. Quantes llibretes ha com-prat? Quin és el preu de cada llibreta?
8181_Mates4_Q_03.indd 37 27/02/12 17:11
38
Equacions i sistemes de segon grau 3
Activitats fi nals d’avaluació
1. Les solucions de l’equació 3
24 0
2xx− =
són:
a) 8
3i
8
3
−
b)
8
30i
c) −83
0i d) 4
3i 0
2. Els signes de les dues solucions de l’equació x x2 20 0+ − = són:
a) Tots dos positius.
b) Tots dos negatius.
c) Un positiu i l’altre negatiu.
3. L’equació 3 8 4 02x x− + = té:
a) Dues solucions.
b) Una solució doble.
c) No té solucions.
4. Les solucions de l’equació ( )x − =5 492 són:
a) 12 i –12 b) 2 i –2
c) 12 i –2 d) –12 i 2
5. El discriminant de l’equació − − + =4 15 2 02x x és:
a) ∆ = –193 b) ∆ = –257
c) ∆ = 193 d) ∆ = 257
6. L’equació que té com a solucions –4, 3, i 2 és:
a) x x2 5 6 0− + =
b) x x x3 25 6 0− + =
c) ( )( )( )x x x+ − − =4 3 2 0
d) ( )( )( )x x x− + + =4 3 2 0
7. Les solucions del sistema següent són:
xy
x y
=+ =
2
4 2 332 2
a) x y x y
x y
x y
1 1 2 2
3 3
4
1
24
1
24
2 22
2
2 2
= = − =−
=
= =−
= −
, ; ,
,
, 442
2=
b) x y x y
x y
x y
1 1 2 2
3 3
4 4
1
24
1
24
2 22
2
2 2
= = =−
= −
= =
= −
, ; ,
,
, ==− 2
2
8. Comprova si x = 20 és solució de les equacions següents:
Sí/no
x − − =4 5 1
13 4 5 4+ + + =x
3 2 9 5 48x x x− + = + +
9. Quina és l’àrea d’un rectangle si sabem que un dels costats mesura 1 cm més que l’altre i la diagonal fa 2 cm més que el costat petit?
a) 3 3+ cm2 b) 12 cm2
c) 14 cm2 d) 2 3 cm2
10. Si sumem una unitat a l’arrel d’un nom-bre obtenim la meitat del nombre menys tres unitats. Quin és aquest nombre?
a) 16 i 5 b) No té solució
c) –16 d) 16
8181_Mates4_Q_03.indd 38 27/02/12 17:11
Top Related