UNIDAD II: DIELECTRICOS CON CONDENSADORES, CORRIENTE CONTINUA
2.1) SEXTA Y SEPTIMA SESION DE APRENDIZAJE
2.1.1) CONDENSADORES ELECTRICOS
Un condensador (en inglés, capacitor, nombre por el cual se
le conoce frecuentemente en el ámbito de la electrónica y
otras ramas de la física aplicada), es un dispositivo pasivo,
utilizado en electricidad y electrónica, capaz de almacenar
energía sustentando un campo eléctrico. Está formado por un
par de superficies conductoras, generalmente en forma de
láminas o placas, en situación de influencia total (esto es,
que todas las líneas de campo eléctrico que parten de una van
a parar a la otra) separadas por un material dieléctrico o
por el vacío. Las placas, sometidas a una diferencia de
potencial, adquieren una determinada carga eléctrica,
positiva en una de ellas y negativa en la otra, siendo nula
la variación de carga total.
Aunque desde el punto de vista físico un condensador no
almacena carga ni corriente eléctrica, sino simplemente
energía mecánica latente; al ser introducido en un circuito
se comporta en la práctica como capaz de almacenar la energía
eléctrica que recibe durante la carga, a la vez que la cede
de igual forma durante la descarga.
Tipos de condensadores
Dentro de las ramas del estudio de la electricidad y la
electrónica, se ha hecho una adopción de facto del anglicismo
capacitor para designar al condensador, a pesar de que en
nuestra lengua existe ya el término Condensador (del latín
"condensare"), que tiene el mismo significado del término en
inglés para este mismo elemento, haciendo innecesaria la
adopción de un nuevo término para referirse al mismo
dispositivo.
La carga almacenada en una de las placas es proporcional a la
diferencia de potencial entre esta placa y la otra, siendo la
constante de proporcionalidad la llamada capacidad o
capacitancia. En el Sistema internacional de unidades se mide
en Faradios (F), siendo 1 faradio la capacidad de un
condensador en el que, sometidas sus armaduras a una
diferencia de potencial eléctrico de 1 voltio, estas
adquieren una carga eléctrica de 1 culombio.
La capacidad de 1 faradio es mucho más grande que la de la
mayoría de los condensadores, por lo que en la práctica se
suele indicar la capacidad en micro- µF = 10-6, nano- nF = 10
-
9 o pico- pF = 10
-12 -faradios. Los condensadores obtenidos a
partir de supercondensadores (EDLC) son la excepción. Están
hechos de carbón activado para conseguir una gran área
relativa y tienen una separación molecular entre las
"placas". Así se consiguen capacidades del orden de cientos o
miles de faradios. Uno de estos condensadores se incorpora en
el reloj Kinetic de Seiko, con una capacidad de 1/3 de
Faradio, haciendo innecesaria la pila. También se está
utilizando en los prototipos de automóviles eléctricos.
El valor de la capacidad de un condensador viene definido por
la siguiente fórmula:
En donde:
C: Capacitancia, (F)
Q1: Carga eléctrica almacenada en la placa 1, (C).
V1 – V2: Diferencia de potencial entre la placa 1 y la 2,
(V).
Nótese que en la definición de capacidad es indiferente que
se considere la carga de la placa positiva o la de la
negativa, ya que.
Aunque por convenio se suele considerar la carga de la placa
positiva.
En cuanto al aspecto constructivo, tanto la forma de las
placas o armaduras como la naturaleza del material
dieléctrico son sumamente variables. Existen condensadores
formados por placas, usualmente de aluminio, separadas por
aire, materiales cerámicos, mica, poliéster, papel o por una
capa de óxido de aluminio obtenido por medio de la
electrólisis.
2.1.2) ASOCIACION DE CONDENSADORES
Al igual que las resistencias, los condensadores pueden
asociarse en serie o en paralelo o en forma mixta..
Asociación en Serie.
En la asociación en serie la carga eléctrica que se polariza
en los condensadores toma el mismo valor y la suma de las
diferencias de potencial eléctrico entre sus bornes es
equivalente a la diferencia de potencial que alimenta al
circuito. De estas características resultan las siguientes
expresiones.
VN.....V3V2V1V
C1
Q.....
C3
Q
C2
Q
C1
QV
Si la capacidad equivalente del circuito de condensadores es
Q/V, resulta la siguiente expresión para la capacidad
equivalente de la asociación en serie en función de las
capacidades de los condensadores que la forman.
N
1i Ci
1
C1
1.....
C3
1
C2
1
C1
1
Ceq
1
Asociación en Paralelo.
En la asociación en paralelo la diferencia de potencial entre
los bornes de cada condensador es la misma e igual al
potencial de la fuente que alimenta al circuito, cada
condensador polariza su propia carga eléctrica en sus placas
V1
C2 C3 CN
+Q -Q +Q -Q +Q -Q +Q -Q
Asociación de condensadores en serie
V
C1
V2 V3 VN
+Q1
-Q1 V1
+Q2
+Q1
-Q1 V1
-Q2 V2
+Q3
+Q1
-Q1 V1
-Q3 V3
+QN
+Q1
-Q1 V1
-QN VN V
Asociación de condensadores en paralelo.
haciendo un total Q, que es la carga eléctrica del sistema.
De estas características resultan las siguientes expresiones.
QN.....Q3Q2Q1Q
Si la capacidad equivalente del sistema es igual Ceq = Q/V,
resulta.
CNV.....C3VC2VC1VCeqV
Resultando la expresión de la capacidad equivalente del
sistema asociado en paralelo, en función de las capacidades
de los condensadores que la forman.
N
1i
CiCN.....C3C2C1Ceq
2.1.3) ENERGIA ALMACENADA EN LOS CONDENSADORES
El condensador almacena carga eléctrica, debido a la
presencia de un campo eléctrico en su interior, cuando
aumenta la diferencia de potencial en sus terminales,
devolviéndola cuando ésta disminuye. La energía almacenada en
un condensador cargado se puede obtener a partir del trabajo
realizado para transportar la carga eléctrica desde una placa
a la otra venciendo la fuerza eléctrica que ejerce el campo
eléctrico.
El diferencial de energía para transportar una carga dq es
dado por.
C
dqqdqVdE
Integrando esta expresión obtenemos.
Q
0 C
dqqE
C
Q
2
1E
2
Aplicando la definición de capacidad eléctrica C = Q/V,
obtenemos las siguientes expresiones alternativas.
2VC2
1E
VQ2
1E
Este hecho es aprovechado para la fabricación de memorias, en
las que se aprovecha la capacidad que aparece entre la puerta
y el canal de los transistores MOS para ahorrar componentes.
Condensadores de placas paralelas.
Un diseño de condensador muy utilizado es el condensador de
placas paralelas, el cual consiste de dos placas conductoras
metálicas separadas una distancia d, cada borne va unido a
cada placa.
La capacidad eléctrica de este tipo de condensador se puede
evaluar del siguiente modo.
d
εA
dε
σ
Aσ
dE
Aσ
V
QC 0
0
Donde:
ε0: es la permitividad del vacío ≈ 8,854187817... × 10−12
F·m−1
A: es el área efectiva de las placas (m2).
d: es la distancia entre las placas o espesor del
dieléctrico (m).
d
A
Para tener un condensador variable hay que hacer que por lo
menos una de las tres características cambien de valor. De
este modo, se puede tener un condensador en el que una de las
placas sea móvil, por lo tanto varía d y la capacidad
dependerá de ese desplazamiento, lo cual podría ser
utilizado, por ejemplo, como sensor de desplazamiento.
Otro tipo de condensador variable se puede hacer variando su
área. Estos condensadores son característicos en los diales
de sintonía de las radios, como el el que se muestra en la
fotografía adjunta.
Condensador variable de una vieja radio AM.
EJERCICIO #05:
En la figura se representan cuatro condensadores C1, C2, C3,
C4, de placas paralelas. El material entre las placas para
todos los condensadores es el aire y poseen las
características indicadas en la tabla adjunta.
CONDENSADOR 1 2 3 4
AREA (m2) 3x10-3 1x10-3 2x10-4 5x10-4
DISTANCIA ENTRE
PLACAS (m)
1x10-4 5x10-4 3x10-4 5x10-4
1) Calcule la capacidad eléctrica de cada condensador.
2) Calcule la capacidad eléctrica equivalente, Ceq’, de la
asociación de condensadores C2 y C3.
3) Calcule la capacidad eléctrica equivalente, Ceq”, de la
asociación de condensadores C1 y C4.
4) Calcule la capacidad eléctrica equivalente, Ceq, del
sistema de condensadores.
5) Calcule las siguientes propiedades, para cada
condensador considerando los equivalentes.
a) carga eléctrica.
b) Diferencia de potencial entre placas.
c) Energía potencial electrostática acumulada.
Reportar los datos llenando la tabla adjunta.
Condensador C
(F)
Q
(C)
V
(V)
E
(J)
C1 25.626x10-12 0.74376x10-10 2.9024 1.0793x10-10
C2 1.7084x10-12 1.7164x10-11 10.047 2.4908x10-10
C3 5.6947x10-12 5.7215x10-11 10.047 2.8742x10-10
C4 0.8542x10-12 0.74376x10-10 87.061 3.2376x10-9
Ceq’ 7.4031x10-12 0.74376x10-10 10.047 3.7363x10-10
Ceq” 0.82683x10-12 0.74376x10-10 89.953 3.3452x10-9
Ceq 0.74376x10-12 0.74376x10-10 100 3.7188x10-9
Desarrollo:
5) La capacidad eléctrica de los condensadores C1, C2, C3 y C4 se calcula a continuación.
pF25.626Fx1025.626
m1x10
m
F0.8542x10m3x10
d
εAC1 12
4
12
2
3
1
o11
pF1.7084F1.7084x10
m5x10
m
F0.8542x10m1x10
d
εAC2 12
4
12
2
3-
2
o22
pF5.6947F5.6947x10
m3x10
m
F0.8542x10m2x10
d
εAC3 12
4
12
2
4-
3
o33
pF0.8542F0.8542x10
m5x10
m
F0.8542x10m5x10
d
εAC4 12
4
12
2
4-
4
o44
2) Los condensadores C2 y C3 están asociados en paralelo y su
capacidad equivalente, Ceq’, se obtiene del siguiente modo.
F7.4031x10F5.6947x10F1.7084x10C3C2Ceq' 121212
32
3) Los Condensadores C1 y C4 están asociados en serie y su
capacidad equivalente, Ceq”, se obtiene del siguiente modo.
F0.82683x10F0.8542x10F25.626x10
F0.8542x10F25.626x10
C4C1
C4C1Ceq" 12
1212
1212
4) La capacidad equivalente del sistema es la asociación en
serie de las capacidades Ceq’ y Ceq”, se obtiene del
siguiente modo.
F0.74376x10F0.82683x10F7.4031x10
F0.82683x10F7.4031x10
Ceq"Ceq'
Ceq"Ceq'Ceq 12
1212
1212
5.a y 5.b) La carga eléctrica, Q, del sistema de
condensadores se obtiene del modo siguiente.
C0.74376x10V100F0.74376x10VCeqQ 1012
- La carga de las capacidades equivalentes Ceq’ y Ceq” son
iguales a la carga del sistema por estar asociadas en serie.
Qeq’ = Qeq” = Q = 0.74376x10-10 (C).
- En vista que los condensadores de capacidad C1 y C4 están
en serie, sus cargas son iguales y equivalentes a la carga de
la capacidad en serie.
Q1 = Q4 = Qeq” = 0.74376x10-10 (C).
- La diferencia de potencial para el condensador de capacidad
equivalente Ceq’ es.
V10.047F7.4031x10
c0.74376x10
Ceq'
Qeq'Veq'
12
10
- La diferencia de potencial para el condensador de capacidad
equivalente Ceq” es.
V89.953F0.82683x10
c0.74376x10
Ceq"
Qeq"Veq"
12
10
- Los condensadores C2 y C3 están en paralelo y por lo tanto
tienen la misma diferencia de potencial, la cual es igual a
la diferencia de potencial de su capacidad equivalente, Veq’.
V2 = V3 = Veq’ = 10.047 (V)
- La carga del condensador C2 es dada por.
C1.7164x10V10.047F1.7084x10V2C2Q2 1112
- La carga del condensador C3 es dada por.
C5.7215x10V10.047F5.6947x10V3C3Q3 1112
- La diferencia de potencial para el condensador de capacidad
C1 es.
V2.9024F25.626x10
c0.74376x10
C1
Q1V1
12
10
- La diferencia de potencial para el condensador de capacidad
C4 es.
V87.061F0.8543x10
c0.74376x10
C4
Q4V4
12
10
- La diferencia de potencial para la capacidad equivalente
Ceq’, es.
V10.047F7.4031x10
c0.7437x10
Ceq'
Qeq'Veq'
12
10
- La diferencia de potencial para la capacidad equivalente
Ceq”, es.
V89.953F0.82683x10
c0.7437x10
Ceq"
Qeq"Veq"
12
10
5.c) La energía potencial electrostática de los condensadores
y de las capacidades equivalentes es dado por.
J1.0793x10
2
V2.9024C0.74376x10V1Q1
2
1EP1 10
10
Jx10
2
V2.9024C1.7164x10V2Q2
2
1EP2 11
11
4908.2
J2.8742x10
2
V10.047C5.7215x10V3Q3
2
1EP3 10
11
J3.2376x10
2
V87.061C0.74376x10V4Q4
2
1EP4
109
J3.7363x10
2
V10.047C0.74376x10Veq'Qeq'
2
1EPeq' 10
10
J3.3452x10
2
V89.953C0.74376x10Veq"Qeq"
2
1EPeq" 9
10
J3.7188x10
2
V100C0.74376x10VeqQeq
2
1EPeq 9
10
2.2) SEXTA SESION DE APRENDIZAJE
2.2.1) DIELECTRICOS
Se denomina dieléctrico al material mal conductor de
electricidad, por lo que puede ser utilizado como aislante
eléctrico, y además si es sometido a un campo eléctrico
externo, puede establecerse en él un campo eléctrico interno,
a diferencia de los materiales aislantes con los que suelen
confundirse. Todos los materiales dieléctricos son aislantes
pero no todos los materiales aislantes son dieléctricos.1
Algunos ejemplos de este tipo de materiales son el vidrio, la
cerámica, la goma, la mica, la cera, el papel, la madera
seca, la porcelana, algunas grasas para uso industrial y
electrónico y la baquelita. En cuanto a los gases se utilizan
como dieléctricos sobre todo el aire, el nitrógeno y el
hexafluoruro de azufre.
El término "dieléctrico" fue concebido por William Whewell
(del griego "dia" que significa "a través de") en respuesta a
una petición de Michael Faraday.
Los dieléctricos se utilizan en la fabricación de
condensadores, para que las cargas reaccionen. Cada material
dieléctrico posee una constante dieléctrica k. Tenemos k para
los siguiente dieléctricos.
Material k
Vacío 1
Aire 1.00058986 ± 0.00000050
(a STP, para 0.9 MHz)
Teflón 2.1
Polietileno 2.25
Poliamida 3.4
Polipropileno 2.2–2.36
Poliestireno 2.4–2.7
Disulfuro de carbono 2.6
Papel 3.85
Polímeros electro
activos 2–12
Dióxido de sílice 3.9
Concreto 4.5
Pyrex (vidrio) 4.7 (3.7–10)
Goma 7
Diamante 5.5–10
Sal 3–15
Grafito 10–15
Sílice 11.68
Amoniaco 26, 22, 20, 17
(−80, −40. 0, 20 °C)
Metanol 30
Glicol etileno 37
Furfural 42.0
Glicerol 41.2, 47, 42.5
(0, 20, 25 °C)
Agua
88, 80.1, 55.3, 34.5
(0, 20, 100, 200 °C)
para luz visible light: 1.77
Acido hidrofluorico 83.6 (0 °C)
Formamida 84.0 (20 °C)
Acido sulfúrico 84–100
(20–25 °C)
Peróxido de hidrógeno 128 aq–60
(−30–25 °C)
Acido hydrocianico 158.0–2.3
(0–21 °C)
Dióxido de titanio 86–173
Titanato de estroncio 310
Titanato de bario y estroncio 7500
Titanato de bario 1250–10,000
(20–120 °C)
Titanato de circonio y plomo 500–6000
Polímeros conjugados 1.8-6 up to 100,000[4]
Titanato de cobre y calcio >250,000[5]
Los dieléctricos más utilizados son el aire, el papel y la
goma. La introducción de un dieléctrico en un condensador
aislado de una batería, tiene las siguientes consecuencias:
Disminuye el campo eléctrico entre las placas del
condensador.
Disminuye la diferencia de potencial entre las placas
del condensador, en una relación V/k.
Aumenta la diferencia de potencial máxima que el
condensador es capaz de resistir sin que salte una
chispa entre las placas (ruptura dieléctrica).
Aumento por tanto de la capacidad eléctrica del
condensador en k veces.
La carga no se ve afectada, ya que permanece la misma
que ha sido cargada cuando el condensador estuvo
sometido a un voltaje.
Normalmente un dieléctrico se vuelve conductor cuando se
sobrepasa el campo de ruptura del dieléctrico. Esta tensión
máxima se denomina rigidez dieléctrica. Es decir, si
aumentamos mucho el campo eléctrico que pasa por el
dieléctrico convertiremos dicho material en un conductor.
Tenemos que la capacitancia de un condensador de placas
paralelas con el espacio entre placas lleno con un
condensador de constante dieléctrica k es dada por la
expresión.
d
AεkC 0
Donde,
C: capacidad eléctrica del condensador, (F).
k: constante dieléctrica del material dieléctrico.
ε0: permitividad eléctrica del espacio vacío,(8,854187817×
10−12 F·m
−1).
A: área de la superficie de las placas, (m2).
d: distancia entre placas, (m).
2.2.2) POLARIZACION ELECTRICA
En el electromagnetismo clásico, la polarización eléctrica
(también llamada densidad de polarización o simplemente
polarización) es el campo vectorial que expresa la densidad
de los momentos eléctricos dipolares permanentes o inducidos
en un material dieléctrico. El vector de polarización P se
define como el momento dipolar por unidad de volumen. La
unidad de medida en el SI es el coulomb por metro cuadrado
(C/m2).
La polarización eléctrica es uno de los tres campos
eléctricos macroscópicos que describen el comportamiento de
los materiales. Los otros dos son el campo eléctrico E y el
desplazamiento eléctrico D.
Algunas sustancias, como por ejemplo el agua, presentan
moléculas denominadas moléculas polares. En ellas el centro
de las cargas positivas no coincide con el centro de las
cargas negativas y, por tanto, hay una asimetría en la
distribución de cargas en la molécula, como se ilustra en la
figura. Las sustancias cuyas moléculas poseen cargas
eléctricas distribuidas en forma simétrica se denominan
apolares.
Considérese un dieléctrico, no electrizado, cuyas moléculas
son polares y está alejado de influencias eléctricas
externas.
En estas condiciones, las moléculas de esta sustancia están
distribuidas al azar, como se representa en la figura A. Al
acercar a este dieléctrico un cuerpo electrizado (por
ejemplo, con carga positiva), la carga de este último actuará
sobre las moléculas del aislante, haciendo que se orienten y
alineen en la forma indicada en la figura B. Cuando esto
sucede, se dice que el dieléctrico está polarizado. La figura
C muestra que el efecto final de esta polarización consiste
en la aparición de cargas negativas y positivas distribuidas
tal como se ve en la ilustración. Obsérvese que aún cuando la
carga total del dieléctrico es nula, la polarización hace que
se manifiesten cargas eléctricas de signos opuestos de manera
similar a lo que sucede cuando se carga un conductor por
inducción.
Si el dieléctrico estuviese constituido por moléculas
apolares, se observaría el mismo efecto final, ya que con la
aproximación del cuerpo electrizado, las moléculas se
volverían polares y, por consiguiente, se alinearían como se
muestra en la figura B.
En general P es proporcional al campo eléctrico aplicado E.
Como P se mide en (C m/m3 = C/m
2), o carga eléctrica por
unidad de área, y ε0 E se mide también en (C/m2), se
acostumbra escribir.
EP 0e εχ
Donde,
P: polarización eléctrica del material, (C/m2).
χe: susceptibilidad eléctrica del material.
ε0: permitividad eléctrica del espacio vacío,(8,854187817×
10−12 F·m
−1).
E: intensidad de campo eléctrico externo, (N/C).
Si consideramos una porción de material de espesor L y
superficie S colocada perpendicularmente a un campo eléctrico
uniforme.
Siendo la polarización P paralela al campo eléctrico E, es
perpendicular también a la superficie S. El volumen de la
rebanada es LS, y por consiguiente su momento diplar
eléctrico es p = P (L S) = (P S) L. Pero L es precisamente la
separación entre las cargas positivas y negativas que
aparecen sobre las dos superficies. Como por definición el
momento dipolar eléctrico es igual a la carga multiplicada
por la distancia, concluimos que la carga eléctrica que
aparece sobre cada superficie es PS y por consiguiente, la
carga por unidad de área σP sobre las caras del material
polarizado es P, o σP = P. aunque este resultado se ha
obtenido para una geometría particular tiene validez general:
”La carga por unidad de área sobre la superficie de una
porción de materia polarizada es igual a la componente de la
polarización P en la dirección de la normal a la superficie
del cuerpo”.
Algunos materiales como la mayoría de los metales, contienen
electrones libres que pueden moverse a través del medio.
Estos materiales reciben el nombre de conductores. En
presencia de un campo eléctrico estos también se polarizan,
P
E
S
L
+ -
pero de un modo diferente al de los dieléctricos. Las cargas
eléctricas móviles (electrones) del conductor se acumulan
sobre una superficie dejando la superficie opuesta con carga
positiva, por el defecto de electrones que se produce en esa
superficie, esto ocurre hasta que el campo eléctrico que
produce la polarización anula a aquel del interior del
material conductor, produciendo el equilibrio. Además, el
campo eléctrico debe ser normal a la superficie del conductor
porque de existir una componente tangencial a la superficie
los electrones se moverían sobre ésta rompiendo el
equilibrio.
2.2.3) DESPLAZAMIENTO ELECTRICO
Consideremos una porción de material dieléctrico en forma de
paralelepípedo rectangular colocado entre dos placas
metálicas rectangulares cargadas con cantidades iguales de
carga eléctrica libre pero de signos opuestos.
La densidad de carga eléctrica superficial sobre la placa
izquierda es + σLIBRE y en la placa de la derecha es - σLIBRE.
Estas cargas producen un campo eléctrico E que polariza el
material de modo tal que aparecen cargas eléctricas de
polarización sobre cada superficie del mismo. Estas cargas de
polarización tienen signos opuestos a las de las cargas sobre
las placas cercanas. Por lo tanto las cargas de polarización
sobre las caras del dieléctrico equilibran parcialmente a las
cargas libres de las placas conductoras. La densidad de
carga eléctrica superficial en la cara izquierda del material
dieléctrico es – P, mientras que en la cara derecha será + P.
La densidad de carga superficial efectiva o neta a la
izquierda es.
Pσσ LIBRE
Con un resultado igual y de signo opuesto a la derecha. Estas
cargas superficiales netas dan lugar a un campo eléctrico
uniforme de magnitud.
+ + + +
-
-
+ +
----
E
P
0
LIBRE
0 ε
Pσ
ε
σE
Ó
PEεσ 0LIBRE
Expresión que da las cargas libres sobre la superficie de un
conductor rodeado por un material dieléctrico en función del
campo eléctrico en el interior del dieléctrico y de la
polarización del mismo.
Cuando observamos E y P son vectores en la misma dirección,
los resultados anteriores sugieren la conveniencia de
introducir un nuevo vector, llamado desplazamiento eléctrico,
definido por la expresión.
PED 0ε
Obviamente, D se expresa en (C/m2), y σLIBRE = D, o sea que la
densidad de carga libre sobre la superficie del conductor es
igual a la polarización en el material dieléctrico. Este
resultado tiene validez general y puede aplicarse a
conductores de cualquier forma. Por consiguiente, “La
componente de D según la normal a la superficie de un
conductor embebido en un material dieléctrico da la densidad
de carga superficial en el conductor”.
Esto es.
NμD LIBREσ
También podemos escribir la siguiente expresión para el
desplazamiento.
EE1EED εεχχεε 0ee00
Donde el coeficiente.
0e εχ 1D
E
Se llama permitividad del medio y se expresa en las mismas
unidades que ε0 (F/m).
La constante dieléctrica k, se define por la expresión.
e
0
χ1ε
εk
Cuando la relación D = ε E se cumple para un medio, el efecto
del dieléctrico sobre el campo eléctrico E es reemplazar ε0 por ε si solo se consideran las cargas libres. Por lo tanto
el campo eléctrico y el potencial eléctrico producido por una
carga eléctrica puntual inmersa en un material dieléctrico
son dadas por las expresiones.
rμE2rεπ4
q
rεπ4
qU
El módulo de la fuerza de interacción eléctrica entre dos
cargas puntuales separadas una distancia d, inmersas en un
material dieléctrico, es dado por la expresión.
2
21
dεπ4
qqF
Como ε es generalmente mayor que ε0 la presencia del material
dieléctrico produce una reducción efectiva de la interacción
porque la polarización de las moléculas del dieléctrico hace
de pantalla.
2.2.4) RIGIDEZ DIELECTRICA
Cuando un campo eléctrico actúa sobre Los átomos en el
interior del material dieléctrico, los electrones de valencia
ligados al átomo experimentan una fuerza en sentido opuesto
al campo eléctrico, estos permanecen ligados al átomo
mientras el campo eléctrico no supere un valor límite
denominado rigidez dieléctrica, a partir del cual el
dieléctrico se convierte en conductor ocurriendo lo que se
denomina la ruptura del dieléctrico. A continuación damos
valores de rigidez dieléctrica para algunos materiales
típicos.
VALORES DE RIGIDEZ DIELECTRICA
DE MATERIALES TIPICOS 25 °C
MATERIAL RIGIDEZ
DIELECTRICA
(V/mm)
Aire 3000
Titanato de
estroncio y bario
4000
Vidrio 80000
Mica 200000
Papel 50000
Teflón 40000
EJERCICIO # 06:
Un condensador de placas paralelas, cada placa de Área A =
2x10-3 (m
2) y distancia entre placas d = 0.001 (m), se conecta
a una batería de 12 (V). En un primer experimento se rellena
el espacio entre placas con goma, cuya constante dieléctrica
es k = 7, manteniendo el condensador conectado a la batería.
1) Calcule la capacidad eléctrica del condensador, sin
dieléctrico.
a) sin dieléctrico entre placas.
F1.77x10m0.001
F·m 10 ×78,85418781m2x10
d
εAC 11
-1-12230
b) Con dieléctrico entre placas.
F1.24x10F7x1.77x10CKC' 1011
2) Calcule la carga eléctrica que se polariza en cada placa.
a) Sin dieléctrico entre placas.
C2.124x10V12F1.77x10VCQ 1011
b) Con dieléctrico entre placas.
C1.488x10V12F1.24x10VC'Q' 910
3) Calcule el campo eléctrico en la región entre placas.
a) Sin dieléctrico entre placas.
m
V1.1994x10
F·m 10 ×78,85418781m2x10
C2.124x10
εA
QE 4
1-12-23-
10
0
b) Con dieléctrico entre placas.
m
V1.7135x10
F·m 10 ×78,85418781m7x2x10
C2.124x10
εAK
QE' 3
1-12-23-
10
0
4) Calcule la susceptibilidad del dieléctrico.
6171Kχe
5) Calcule la polarización del medio dieléctrico.
2
8-312
0em
C9.103x10
m
V1.7135x10
m
F7x108.85418781xEεχP 6
6) Calcule el valor de la densidad superficial de carga
eléctrica en cada superficie del dieléctrico en contacto con
la placa positiva del condensador.
2.3) OCTAVA SESION DE APRENDIZAJE
2.3.1) CORRIENTE ELECTRICA DIRECTA
La corriente o intensidad eléctrica es el flujo de carga
eléctrica por unidad de tiempo que recorre un material. Se
debe al movimiento de iones en una solución o los electrones
en el interior del material conductor. En el Sistema
Internacional de Unidades la unidad de intensidad de
corriente eléctrica es el (C/s) (culombios sobre segundo),
unidad que se denomina amperio.
La corriente eléctrica está definida por convenio en
dirección contraria al desplazamiento de los electrones.
El instrumento usado para medir la intensidad de la corriente
eléctrica es el galvanómetro que, calibrado en amperios, se
llama amperímetro, colocado en serie con el conductor cuya
intensidad se desea medir.
Si la intensidad es constante en el tiempo, se dice que la
corriente es directa o continua; en caso contrario, se llama
variable. Si no se produce almacenamiento ni disminución de
carga en ningún punto del conductor, la corriente es
estacionaria.
La corriente continua o corriente directa (CC en español, en
inglés DC, de Direct Current) es el flujo continuo de
electrones a través de un conductor entre dos puntos de
Representación de la tensión en
corriente continua.
distinto potencial. A diferencia de la corriente alterna (CA
en español, AC en inglés), en la corriente continua las
cargas eléctricas circulan siempre en la misma dirección (es
decir, los terminales de mayor y de menor potencial son
siempre los mismos). Aunque comúnmente se identifica la
corriente continua con la corriente constante (por ejemplo la
suministrada por una batería), es continua toda corriente que
mantenga siempre la misma polaridad. También cuando los
electrones se mueven siempre en el mismo sentido, el flujo se
denomina corriente continua y va del polo positivo al
negativo.
Para obtener una corriente de 1 amperio, es necesario que 1
culombio de carga eléctrica por segundo esté atravesando un
plano imaginario trazado en el material conductor,
transversalmente a la dirección de la corriente eléctrica.
El valor I de la intensidad instantánea será:
2.3.2) LEY DE OHM
La ley de Ohm establece que la intensidad eléctrica que
circula entre dos puntos de un circuito eléctrico es
directamente proporcional a la tensión eléctrica entre dichos
Georg Ohm, creador de la ley de Ohm.
puntos, existiendo una constante de proporcionalidad entre
estas dos magnitudes. Dicha constante de proporcionalidad es
la conductancia eléctrica, que es inversa a la resistencia
eléctrica.
La ecuación matemática que describe esta relación es:
Donde, I es la corriente que pasa a través del objeto
expresada en amperios (A), V es la diferencia de potencial de
las terminales del objeto expresada en voltios (V), G es la
conductancia expresada en siemens (S) y R es la resistencia
eléctrica del material conductor expresada en ohmios (Ω).
Específicamente, la ley de Ohm dice que la resistencia
eléctrica R, en esta relación es constante,
independientemente de la corriente eléctrica.
Esta ley tiene el nombre del físico alemán Georg Ohm, que en
un tratado publicado en 1827, halló valores de tensión y
corriente que pasaban a través de unos circuitos eléctricos
simples que contenían una gran cantidad de cables. Él
presentó una ecuación un poco más compleja que la mencionada
anteriormente para explicar sus resultados experimentales. La
ecuación de arriba es la forma moderna de la ley de Ohm.
Esta ley se cumple para circuitos y tramos de circuitos
pasivos que, o bien no tienen cargas inductivas ni
capacitivas (únicamente tiene cargas resistivas), o bien han
alcanzado un régimen permanente (véase también «Circuito RLC»
y «Régimen transitorio (electrónica)»). También debe tenerse
en cuenta que el valor de la resistencia de un conductor
puede ser influido por la temperatura.
El conductor es el encargado de unir eléctricamente cada uno
de los componentes de un circuito. Dado que tiene resistencia
óhmica, puede ser considerado como otro componente más con
características similares a las de la resistencia eléctrica.
De este modo, la resistencia de un conductor eléctrico es la
medida de la oposición que presenta al movimiento de los
electrones en su seno, es decir la oposición que presenta al
paso de la corriente eléctrica. Generalmente su valor es muy
pequeño y por ello se suele despreciar, esto es, se considera
que su resistencia es nula (conductor ideal), pero habrá
casos particulares en los que se deberá tener en cuenta su
resistencia (conductor real).
La resistencia de un conductor depende de la longitud L del
mismo en (m), de su sección S en (m²), del tipo de material y
de la temperatura. Si consideramos la temperatura constante
(20 ºC), la resistencia viene dada por la siguiente
expresión:
En la que ρ es la resistividad expresada en (Ω m)(una
característica propia de cada material).
La variación de la temperatura produce una variación en la
resistencia. En la mayoría de los metales aumenta su
resistencia al aumentar la temperatura, por el contrario, en
otros elementos, como el carbono o el germanio la resistencia
disminuye.
Resistividad de algunos materiales a 20 °C
Material Resistividad (Ω·m)
Plata 1,55 × 10–8
Cobre 1,70 × 10–8
Oro 2,22 × 10–8
Aluminio 2,82 × 10–8
Wolframio 5,65 × 10–8
Níquel 6,40 × 10–8
Hierro 8,90 × 10–8
Platino 10,60 × 10–8
Estaño 11,50 × 10–8
Acero inoxidable 301 72,00 × 10–8
Grafito 60,00x10-8
Como ya se comentó, en algunos materiales la resistencia
llega a desaparecer cuando la temperatura baja lo suficiente.
En este caso se habla de superconductores.
Experimentalmente se comprueba que para temperaturas no muy
elevadas, la resistencia a cierta temperatura R(T), viene
dada por la expresión.
Donde
Ro: resistencia de referencia a la temperatura To.
: coeficiente de temperatura. Para el cobre α =
0.00393 (°C-1).
To: temperatura de referencia en la cual se conoce Ro.
La ley de Ohm también la podemos expresar del siguiente modo.
ρLS
IRIV
ρS
I
L
V
La magnitud V/L es el vector intensidad de campo eléctrico E
en el conductor en (N/C).
I/S es el vector densidad de corriente eléctrica J, que
representa la intensidad de corriente eléctrica por unidad de
área que atraviesa la sección del conductor transversal a la
dirección de la corriente expresada en (A/m2).
La ley de Ohm puede expresarse también en la siguiente forma.
Eρ
1
J
El inverso de la conductividad eléctrica se conoce como
conductividad eléctrica g y se expresa en (S/m).
EgJ
2.3.3) ENERGIA DISIPADA EN UN CONDUCTOR DE CORRIENTE
Comúnmente, la potencia P invertida para conducir
electricidad a través de un material conductor o cualquier
otro dispositivo resistivo es dada por la expresión
siguiente.
Donde,
P: potencia invertida en mantener la corriente eléctrica a
través del conductor, (W).
V: diferencia de potencial eléctrico entre los extremos del
conductor, (V = J/C).
I: intensidad de corriente eléctrica que circula por el
conductor, (A = C/s).
Comprobamos dimensionalmente que V I equivale a potencia P,
dado que (J/C)(C/s)= (J/s=W).
Toda esta potencia entregada a los electrones de conducción
no incrementa su energía cinética sino que es entregada a la
red cristalina aumentando su energía vibratoria y por ende su
temperatura. La potencia se transforma en calor que es
irradiado por el conductor hacia el medio que lo rodea, este
fenómeno se conoce como Efecto Joule.
Para conductores óhmicos, la potencia disipada en forma de
calor por el conductor también se puede expresar del
siguiente modo.
R
VP
2
RIP 2
El fabricante de resistores dará como dato el valor en vatios
que puede disipar cada resistencia en cuestión. Este valor
puede estar escrito en el cuerpo del componente o se tiene
que deducir de comparar su tamaño con los tamaños estándar y
sus respectivas potencias. El tamaño de las resistencias
comunes, cuerpo cilíndrico con 2 terminales, que aparecen en
los aparatos eléctricos domésticos suelen ser de 1/4 W,
existiendo otros valores de potencias de comerciales de ½ W,
1 W, 2 W, etc.
EJERCICIO # 07:
En el circuito mostrado en el esquema, complete la tabla
adjunta.
I Ri
(Ω)
ΔUi
(V)
Ii
(A)
Poti
(W)
1 50 7.952 0.15904 1.2647
2 70 4.0484 0.057834 0.23414
3 40 4.0484 0.10121 0.40974
Eq’ 25.455 4.0484 0.15904 0.64386
eq 75,455 12 0.15904 1.90848
1) Calcule la resistencia equivalente Req’, de la asociación
en paralelo R2 y R3.
Ω25.455Ω40Ω70
Ω40Ω70
RR
RRReq'
32
32
2) Calcule la resistencia equivalente Req, de todo el
circuito.
Es equivalente a la asociación en serie R1 y Req’, por lo
tanto.
Ω75.455Ω25.455Ω50Req'R1Req
3) Calcule la intensidad de corriente eléctrica total que
circula por el circuito.
A0.1590475.455
V12
ReqI
ε=12(V)
R1= 50 (Ω)
R2= 70 (Ω) R2= 40 (Ω) +
-
I1
I2 I3
4) ¿Qué intensidad de corriente eléctrica circula por R1 y
Req’?
En vista que ambas están en serie con la fuente de fuerza
electromotriz, debe circular por ellas la corriente eléctrica
total del circuito.
A 0.15904IIeq'I1
5) ¿Qué diferencia de potencial eléctrico existe entre los
extremos de los resistores R2 y R3?
La diferencia de potencial entre sus extremos son iguales por
estar en paralelo y es igual a la diferencia de potencial
entre los extremos de su resistencia equivalente Req’.
V4.0484Ω25.455A0.15904Req'Ieq'Ueq'UU 32
6) ¿Qué diferencia de potencial eléctrico existe entre los
extremos de los resistores R1?
V7.952Ω50A0.15904RIU 111
7) ¿Qué intensidad de corriente eléctrica circula por el
resistor R2?
A0.057834Ω70
V4.0484
R
UI
2
22
8) ¿Qué intensidad de corriente eléctrica circula por el
resistor R3?
A0.10121Ω40
V4.0484
R
UI
3
33
9) Calcule la potencia de energía eléctrica disipada en cada
resistor y resistencias equivalentes.
W1.2647V7.952A0.15904UIPot 111
W0.23414V4.0484A0.057834UIPot 222
W0.40974V4.0484A0.10121UIPot 333
W0.64386V4.0484A0.15904Ueq'Ieq'Poteq'
W1.90848V12A0.15904UeqIeqPoteq
10) ¿Cuál es la potencia energética que entrega la fuente?
¿Qué opinión le merece?
W1.90848V12A0.15904IPot
La potencia de energía eléctrica que suministra la fuente de
fuerza electromotriz es igual a la suma de la potencia de
energía eléctrica disipada en forma de calor en los
resistores R1, R2 y R3.
2.4) SESION DE APRENDIZAJE
2.4.1) LEYES DE KIRCHHOFF
Las leyes de Kirchhoff son dos igualdades que se basan en la
conservación de la energía y la carga en los circuitos
eléctricos. Fueron descritas por primera vez en 1845 por
Gustav Kirchhoff.
Estas leyes son muy utilizadas en ingeniería eléctrica para
hallar corrientes y tensiones en cualquier punto de un
circuito eléctrico.
Ley de corrientes de Kirchhoff
La corriente que pasa por un nodo es igual a la corriente que
sale del mismo.
Esta ley también es llamada ley de las corrientes o primera
ley de Kirchhoff y es común que se use la sigla LCK para
referirse a esta ley. La ley de corrientes de Kirchhoff nos
dice que:
Si consideramos positivas las corrientes que ingresan al nodo
y negativas las que salen del mismo, la suma de todas las
corrientes que pasan por el nodo es igual a cero.
Esta fórmula es válida también para circuitos complejos.
La ley se basa en el principio de la conservación de la carga
eléctrica, donde la intensidad de corriente es expresada en
amperios (A = C/s).
Esto es simplemente la ecuación de la conservación de la
carga.
Ley de tensiones de Kirchhoff
Según el circuito mostrado enj el esquema.
En este caso v4= v1+v2+v3. No se tiene en cuenta a v5 porque no
hace parte de la malla que estamos analizando.
Esta ley es llamada también Segunda ley de Kirchhoff, ley de
voltajes de Kirchhoff o ley de mallas de Kirchhoff y es común
que se use la sigla LVK para referirse a esta ley.
En un lazo cerrado, la suma de todas las caídas de tensión es
igual a la tensión total suministrada. De forma equivalente,
la suma algebraica de las diferencias de potencial eléctrico
en un lazo es igual a cero.
De igual manera que con la corriente, los voltajes también
pueden ser complejos, así.
Esta ley se basa en la conservación de la energía en un campo
conservativo de fuerzas que es el campo eléctrico. Dada una
diferencia de potencial, una carga que ha completado un lazo
cerrado no gana o pierde energía al regresar al punto de
partida.
Esta ley es cierta incluso cuando hay resistencia en el
circuito. La validez de esta ley puede explicarse al
considerar que una carga no regresa a su punto de partida,
debido a la disipación de energía. Una carga simplemente
terminará en el terminal negativo, en vez del positivo. Esto
significa que toda la energía dada por la diferencia de
potencial ha sido completamente consumida por la resistencia,
la cual la transformará en calor.
Es una ley que está relacionada con el campo eléctrico
generado por fuentes de tensión. En este campo eléctrico, sin
importar que componentes electrónicos estén presentes, la
ganancia o pérdida de la energía dada por el campo eléctrico
debe ser cero cuando una carga completa un lazo.
Bajo este concepto, la ley de tensión de Kirchhoff puede
verse como una consecuencia del principio de la
conservación de la energía. Considerando el campo
eléctrico, el trabajo que realiza sobre una carga
eléctrica que circula por un lazo cerrado es dado una
integral de línea sobre el campo eléctrico.
Que dice que la integral de línea del campo eléctrico
alrededor de un lazo cerrado es cero.
Considerando el circuito representado al comienzo, esta forma
puede dividirse en componentes de trayectoria incluyendo cada
una un componente.
0dlddddDACDC AB BC
ElElElElE
0VVV CDBCAB
Los cambios de tensión en cada resistor son negativos, dado
que la carga circulante pierde energía potencial eléctrica al
atravesarlos, estos elementos se denominan pasivos.
Cuando la carga eléctrica atraviesa la fuente (etapa DA) gana
energía potencial eléctrica para volver a circular, este
elemento es un elemento activo y se denomina fuente de fuerza
electromotriz ε, el cual cede continuamente energía al
circuito para mantener la circulación de la carga eléctrica.
2.4.2) ASOCIACION DE RESISTENCIAS ELECTRICAS
Resistencia equivalente: Se denomina resistencia equivalente
de una asociación respecto de dos puntos A y B, a aquella que
conectada a la misma diferencia de potencial, UAB, demanda la
misma intensidad, I (ver figura). Esto significa que ante
las mismas condiciones, la asociación y su resistencia
equivalente disipan la misma potencia.
Asociación en serie
Dos o más resistencias se encuentran conectadas en serie
cuando al aplicar al conjunto una diferencia de potencial,
todas ellas son recorridas por la misma corriente.
Para determinar la resistencia equivalente de una asociación
serie imaginaremos a partir de la figura anterior, que ambas
figuras a) y c), están conectadas a la misma diferencia de
potencial, UAB. Si aplicamos la segunda ley de Kirchhoff a la
asociación en serie tendremos.
Aplicando la ley de Ohm.
En la resistencia equivalente.
Asociaciones generales de resistencias: a) Serie
y b) Paralelo. c) Resistencia equivalente.
Finalmente, igualando ambas ecuaciones se obtiene que.
Y eliminando la intensidad I.
Por lo tanto, la resistencia equivalente a n resistencias
montadas en serie es igual a la sumatoria de dichas
resistencias.
Asociación en paralelo
Dos o más resistencias se encuentran en paralelo cuando
tienen dos terminales comunes de modo que al aplicar al
conjunto una diferencia de potencial, UAB, todas las
resistencias tienen la misma caída de tensión, UAB.
Para determinar la resistencia equivalente de una asociación
en paralelo imaginaremos que ambas, figuras b) y c), están
conectadas a la misma diferencia de potencial mencionada, UAB,
lo que originará una misma demanda de corriente eléctrica, I.
Esta corriente se repartirá en la asociación por cada una de
sus resistencias de acuerdo con la primera ley de Kirchhoff.
Aplicando la ley de Ohm.
En la resistencia equivalente se cumple.
Igualando ambas ecuaciones y eliminando la tensión UAB.
De donde:
Por lo que la resistencia equivalente de una asociación en
paralelo es igual a la inversa de la suma de las inversas de
cada una de las resistencias.
Existen dos casos particulares notables que suelen darse en
una asociación en paralelo.
1. Dos resistencia asociadas en paralelo: en este caso se
puede comprobar que la resistencia equivalente es igual al
producto dividido por la suma de sus valores, esto es.
2. k resistencias iguales asociadas en paralelo: su
equivalente resulta ser.
2.4.3) CIRCUITO RC (Carga y descarga)
Carga del condensador.
Al conectar un condensador en un circuito con una fuente de
fuerza electromotriz directa (batería), la corriente empieza
a circular por el mismo. A la vez, el condensador va
acumulando carga entre sus placas. Cuando el condensador se
encuentra totalmente cargado, deja de circular corriente por
el circuito.
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff, obtenemos la ecuación.
RiC
q(t)ε
Reemplazando la intensidad de corriente eléctrica por su
equivalente i = dq/dt, obtenemos la ecuación diferencial
siguiente.
dt
tdqRtq
C
1ε
+ -
I
ε +q(t)
-q(t) C
R
Resolviendo esta ecuación con la condición inicial para t=0
q(t) = 0, la carga en el condensador en función del tiempo
es.
RC
t
e1Cεq(t)
Dividiendo la expresión para la carga eléctrica entre la
capacidad C, obtenemos la diferencia de potencial entre las
placas del condensador.
RC
t
e1εV(t)
Derivando respecto al tiempo la expresión para la carga
eléctrica del condensador obtenemos la corriente eléctrica
que circula por el circuito.
La magnitud τ = RC posee unidades de tiempo, se le denomina
tiempo de relajación.
CR
t
eR
εi(t)
Descarga del condensador.
Cuando se trata de la descarga del condensador, se desconecta
la fuente manteniendo la resistencia en serie con el
condensador, bajo la condición inicial q(t) = ε C cuando t = 0.
t t t
q(t) V(t) I(t)
ε C ε
ε /R
C R
+ -
I
ε +q(t)
-q(t)
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff, obtenemos la ecuación.
dt
tdqRtq
C
10
Cuya solución para la carga eléctrica del condensador es.
RC
t
eCεtq
Dividiendo la expresión para la carga eléctrica entre la
capacidad C, obtenemos la diferencia de potencial entre las
placas del condensador.
RC
t
eεtV
Derivando respecto al tiempo la expresión para la carga
eléctrica del condensador, obtenemos la corriente eléctrica
que circula por el circuito.
RC
t
eR
εti
EJERCICIO # 08:
En el circuito mostrado en el esquema, ε = 16 (V), R = 2000
(Ω), C = 2x10-9 (F)
q(t) V(t) I(t)
ε C ε
-(ε /R) t t
t
C R
ε +
-
1) Calcule el tiempo de relajación τ.
s4x10F2x10Ω2000CRτ 69
2) Obtenga la expresión para obtener el tiempo en que el
voltaje y la carga eléctrica del condensador se reducen a la
mitad durante una descarga, denominado tiempo de reducción a
la mitad T1/2. Durante la carga, cada vez que transcurre este
tiempo el voltaje y la carga eléctrica del condensador se
aproximan a la mitad de lo que falta para alcanzar los
valores de saturación. Calcule el valor de T1/2 para el
circuito.
En t = 0 (s) el voltaje es V(t) = ε, cuando el tiempo t = T1/2 el voltaje será V(t) = ε/2. En la expresión para V(t)
tenemos.
1/2T
eε2
ε
Sacando logaritmo natural a ambos miembros de la expresión y
despejando T1/2, obtenemos.
τ2lnT1/2
Su valor es.
s2.7726x10s4x102lnT -66
1/2
3) El circuito inicia su carga en t = o (s), continúa su
carga hasta t = 2 T1/2, posteriormente el conmutador cambia de
posición y comienza la descarga. Confeccione una gráfica para
V(t) y q(t) hasta t = 4 T1/2.
Aplicando el concepto de T1/2, obtenemos los siguientes
datos.
Q = ε C = 2.4x10-8 (C)
ε = 16 (V)
T
(s)
q(t)
(C)
V(t)
(V)
0 0 0
T1/2 Q/2 ε/2
2 T1/2 Q/2+Q/4 = 3Q/4 ε/2+ ε/4 = 3ε/4
3 T1/2 (3Q/4)/2 = 3Q/8 (3ε/4)/2 = 3ε/8
4 T1/2 (3Q/8)/2 = 3Q/16 (3ε/8)/2 = 3ε/16
5 T1/2 (3Q/16)/2 = 3Q/32 (3ε/16)/2 = 3ε/32
V(t) [V] q(t) [C]
0
5
10
15
20 4x10-8
3x10-8
2x10-8
1x10-8
0 0 T1/2 2T1/2 3T1/2 4T1/2 5T1/2 6T1/2
V(t)
q(t)
Voltaje de saturación
Carga eléctrica de saturaciónturación
2.5) EJERCICIOS SOBRE CONDENSADORES, DIELECTRICOS Y CORRIENTE
ELECTRICA DIRECTA
2.1 Dos placas conductoras paralelas e infinitas, separadas
una distancia d están a potenciales 0 y V0 respectivamente.
A) ¿Cómo es la distribución de potencial entre las placas si
entre ellas existe una densidad de carga dada por =0(x/d),
siendo x la distancia a la placa de potencial cero?
B) ¿Cuánto valen las densidades de carga en las placas?
2.2 Se tiene una esfera de radio R con una densidad de carga
dada por = 0 - Ar2, siendo 0 y A constantes, averiguar el
trabajo necesario para llevar una carga q desde la superficie
de la esfera hasta el centro. Tómese R=1m, 0= 6 C m-3 y A =
20Cm-5
2.2 Un plano conductor infinito se conecta al polo negativo
de una pila de f.e.m. V0 inagotable, adquiriendo por ello una
densidad superficial de carga uniforme y constante. Algunos electrones se desprenden del plano por efecto termoiónico
cuando se calienta este y tienden a separarse de él formando
una distribución de carga dada por = 0 e-x/a
, donde 0 y a son constantes. Calcular el valor del campo eléctrico y el
potencial electrostático a una distancia x del plano.
2.3 Supóngase un medio dieléctrico esférico, isótropo y
homogéneo que contiene una carga q en su centro. El medio es
lineal y se puede caracterizar por una constante dieléctrica
de valor k. Encontrar el valor del campo en dicho medio, así
como la polarización y las densidades de carga de
polarización.
2.4 Una varilla delgada de dieléctrico, de sección A, se
extiende a lo largo del eje X, desde x=0 a x= L. La varilla
tiene una polarización P = (ax3+b) ux.
A) Hallar la densidad de carga de polarización en volumen y
en superficie.
B) Demostrar explícitamente que la carga total es cero.
2.5 Una esfera dieléctrica de radio a y constante dieléctrica
K tiene una densidad uniforme de carga libre 0 en todo su
volumen. Hallar:
A) Los vectores E y D en todos los puntos del espacio
B) La carga de polarización en volumen y en superficie
C) El potencial electrostático dentro y fuera de la esfera.
Datos: a= 1cm, =30, 0= 10-6Cm
-3.
2.6 A) Hacer una representación gráfica esquemática del
potencial y el campo eléctrico en función de la distancia r
al centro de la figura, suponiendo que hay una carga Q
situada en él centro y que la corteza esférica es metálica.
B) Repetir las gráficas para una corteza dieléctrica con
constante =20
2.7 Un cilindro metálico infinito de radio a tiene una
densidad lineal de carga . Si se introduce en un medio de
permitividad dieléctrica, averiguar.
A) El campo eléctrico en el exterior del cilindro.
B) la densidad de volumen de carga de polarización en el
dieléctrico.
C) La densidad superficial de carga de polarización sobre
la superficie del cilindro.
D) Comparar este último resultado con el obtenido del
apartado A).
2.8 En un condensador esférico de radios R1 y R2 se introduce
una capa dieléctrica concéntrica de radios a<b y permitividad
eléctrica . Obtener el nuevo valor de la capacidad del
condensador y las cargas de polarización que aparecen.
2.9 Dos placas rectangulares paralelas de área A, separadas
una distancia d, con dieléctricos en serie de espesor d1 y
permitividad ε1 y espesor d2 y permitividad ε2, tal y como
se indica en la figura. Las placas son conductoras y tienen
repartida sobre ellas cargas eléctricas Q y -Q,
respectivamente.
averiguar cuanto vale la carga de polarización en la frontera
entre los dos dieléctricos. Despréciense los efectos de
borde.
2.13 Una esfera conductora de radio R flota sumergida hasta
la mitad en un líquido dieléctrico de permitividad 1. La
región por encima del líquido dieléctrico está ocupada por un
gas de constante 2. La esfera tiene una carga libre Q.
Determinar si existe un campo eléctrico radial, proporcional
a la inversa del cuadrado de la distancia al centro de la
esfera, que satisfaga todas las condiciones de frontera y, en
caso afirmativo, determinar la densidad de carga libre, de
carga de polarización y de carga total en cada punto de la
superficie de la esfera.
1
2
2.14 El espacio entre dos cilindros conductores concéntricos
de longitud L y de radios R1 y R2 se rellena hasta la mitad
con un dieléctrico con una permitividad , como se muestra en
la figura. A los cilindros se les aplica una ddp de valor V.
a) Hallar los vectores E y D en el aire y en el dieléctrico
entre los cilindros; b) Hallar la densidad superficial de
carga libre en el cilindro interior, en las partes de
contacto con el aire y con el dieléctrico; c) Hallar la
capacidad del sistema.
L
2.15 Un haz de protones se acelera mediante una ddp de 5000 V
formando una haz cilíndrico de sección 1cm2. La corriente que
representa es de 2 mA y está uniformemente repartida en el
haz. Hallar la densidad de protones después de la aceleración
y el valor del campo eléctrico dentro y fuera del haz.
2.16 Un medio conductor está formado por una red cúbica de
átomos equidistantes, tal y como se muestra en la figura.
Suponiendo que los electrones se mueven hacia la derecha bajo
el impulso de un campo eléctrico exterior E0, y que chocan
con todos los átomos que encuentran, de modo que se frenan
totalmente al llegar a cada plano vertical de átomos y se
aceleran uniformemente entre dos planos sucesivos, averiguar
la conductividad eléctrica del conductor. Supóngase que hay
1023 electrones por cm
3 y E0= 10
3 V/m.
2.17 Un trozo de cobre es recorrido por una corriente
eléctrica de densidad 103Acm
-2. Sabiendo que el cobre metálico
es monovalente, que su densidad es 8.92 g/cm3, y su peso
atómico 63.5, calcular la velocidad de arrastre de los
electrones en el cobre y su tiempo medio entre colisiones. La
resistividad del cobre vale 1.69 x 10-8 m.
2.18 Un cilindro de vidrio de 1 m de longitud, con tapas
metálicas de 10 cm de radio contiene aire en condiciones
normales. Un haz de rayos X ioniza parte del gas, y al
aplicar una tensión de 10 KV entre las tapas se origina una
corriente de 1.5 A. Calcular: a)La conductividad del gas; b)
el tiempo medio de colisión, sabiendo que la velocidad media
de los iones es 1.2 x 106 m s
-1; c) Si hay el mismo número de
iones positivos y negativos, y todos son monovalentes, la
fracción de átomos ionizados. Tómese la masa de los iones
igual a 103 me.
2.19 En un cristal cúbico de NaCl de 1 cm de arista hay una
concentración de vacantes de sodio y de cloro de 3 x 1015 cm
-
3. Las movilidades de ambas vacantes son 7.0 x 10
-4 cm
2 s
-1 V
-1
y 5.5 x 10-4 cm
2 s
-1 V
-1 respectivamente. Calcular la
conductividad de este cristal y la intensidad de corriente
que lo atraviesa al someterlo a una ddp de 10 KV entre dos
caras opuestas.
2.20 Un condensador esférico de radio interior 1 m y radio
exterior 2 m tiene conectada una pila de 10 V entre las
armaduras. El medio material que hay entre ellas tiene una
conductividad de 3 -1 m
-1. r la resistencia eléctrica del
sistema y la potencia proporcionada por la pila.
2.21 Una esfera de radio R tiene permitividad eléctrica y
conductividad inicialmente nula. En su volumen hay una
densidad de carga 0 uniformemente distribuida. En un
instante determinado (t=0) la esfera se vuelve conductora con
conductividad g. Determinar a partir de ese instante como
cambia la distribución de carga en la esfera en función del
tiempo, tanto en el interior como en la superficie.
2.22 Demostrar que la energía almacenada en un condensador
cargado se disipa íntegramente en una resistencia cuando esta
se conecta en serie con el condensador.
2.23 Un condensador plano infinito tiene una de sus placas a
potencial cero y la otra a potencial V0. Una de las placas
emite electrones con velocidad inicial nula. Estos electrones
son atraídos hacia la otra placa de modo que la distribución
de potencial en el interior del condensador es V(x) = V0
(x/a)4/3
, siendo x la distancia a la placa de potencial 0 y a
la distancia entre las placas. Calcular la velocidad de los
electrones en función de la distancia x y la densidad de
corriente en el interior del condensador.
2.24 Dos láminas infinitas de espesores 3 cm y 2 cm
respectivamente tienen permitividades eléctricas 60 y 30 y
conductividades de 1x 10-6 -1
cm-1 y 4 x 10
-6 -1
cm-1
respectivamente. Con ellas se forma un condensador plano como
el de la figura, y se le aplica una tensión de 800 V.
Determinar la densidad de carga y el potencial eléctrico en
la frontera de separación entre ambas láminas. Despreciar los
efectos de borde y de carga espacial.
PRACTICA DE LABORATORIO # 02: LEY DE OMH
1.- OBJETIVO GENERAL
Verificar experimentalmente la Ley de Ohm, hallando
la relación que existe entre la diferencia de
potencial aplicada a un circuito simple y la
intensidad de corriente que pasa por ella.
2.- FUNDAMENTO TEORICO
En electricidad existen dos conceptos que son básicos
para todos los estudios. Ellos son diferencia de
potencial (voltaje) e intensidad de corriente eléctrica
(amperios). El primero se refiere al trabajo necesario
para mover una unidad positiva de carga de un punto a
otro; el segundo se refiere a la corriente (cantidad de
carga eléctrica transportada por segundo entre los puntos
en cuestión).
Diferentes efectos de la corriente, tales como el
calentamiento del conductor, los efectos magnéticos y
químicos, dependen de la intensidad de la corriente.
Variando esta magnitud en el circuito, dichos efectos
pueden ser regulados. Pero para poder controlar la
corriente en el circuito, hay que saber de que depende en
él la intensidad de la corriente.
Como sabemos, la corriente eléctrica en el circuito es el
movimiento ordenado de partículas cargadas en el campo
eléctrico. Mientras mayor es la acción de éste sobre
dichas partículas, mayor será la intensidad de la
corriente en el circuito.
Pero la acción del campo se caracteriza por la diferencia
de potencial. Por lo tanto podemos decir que la
intensidad de la corriente depende de la diferencia de
potencial (tensión).
PROBLEMA
¿Cuál es la relación entre la diferencia de potencial y
la intensidad de corriente eléctrica, en un circuito
simple?
3.- HIPÓTESIS GENERAL
La relación entre la diferencia de potencial y la
intensidad de corriente eléctrica, en un circuito simple
nos permite hallar la resistencia que ofrece el circuito
al paso de la corriente eléctrica.
4.- VARIABLES
Variable independiente (X)
Intensidad de corriente eléctrica.
Variable Dependiente (Y)
Diferencia de potencial.
5.- DISEÑO DEL EXPERIMENTO
5.1 Equipos y Materiales
Una fuente de energía de 6 a 12 volt.
Un voltímetro.
Un Amperímetro.
Un reóstato.
Un interruptor y alambres conectores.
Una resistencia de valor no conocido.
5.2 Procedimiento
Instale el circuito que se muestra en la figura,
colocando en serie la fuente, la resistencia R y el
amperímetro A. El voltímetro V se conecta en paralelo
con la resistencia objeto de estudio.
Después de la Instalación del circuito que se muestra
en la figura. No encienda la fuente, hasta que el
profesor verifique las instalaciones. En el circuito, la
conexión de los aparatos de medición debe considerar que
el borne positivo (+) de cada instrumento debe ser
conectado al lado positivo (+) de la fuente.
Antes de efectuar una medición, debe colocarse el
instrumento de medición en su rango máximo con ayuda del
selector del instrumento; luego se baja gradualmente el
rango hasta que la deflexión de la aguja llegue o esté
próxima a la mitad del valor máximo de la escala, siendo
esta la lectura final de la medición.
Con la resistencia variable en su valor máximo, encender
la fuente, asegurándose de que el amperímetro deje pasar
sin peligro la corriente. Ahora mover gradualmente el
selector del potenciómetro, para variar la corriente I
que circula por la resistencia desconocida (R) y la
diferencia de potencial (V) entre los extremos de la
misma. Tome unas seis lecturas de la diferencia de
potencial entre los extremos de la resistencia R y de la
corriente a través de ella a medida que se disminuye la
resistencia variable. Nótese que aunque el voltaje de la
fuente es constante, la diferencia de potencial a través
de R cambia. Anote los valores de V e I en la tabla de
datos.
Finalmente descubra la resistencia incógnita y anote el
valor según el código de colores.
En forma referencial, mida la resistencia incógnita con
el ohmímetro y anote el valor.
+
-
A
V R
Tabla de Datos
I Vi
(V)
Ii (A) Ri = Vi/Ii (Ω)
Vi Ii
(V A)
Ii2
(A2)
1
2
3
4
5
6
7
5.3 Gráficos
Representar en papel milimetrado, Voltaje vs Intensidad,
trazando la recta de mejor ajuste, utilice para ello los
mínimos cuadrados.
6.- RESULTADOS
Desarrolle los mínimos cuadrados.
Exprese la relación matemática hallada en función a las
variables utilizadas (I, V).
La pendiente de la recta es el valor de la resistencia
incógnita utilizada en la experiencia, indíquela con su
respectivo margen de error
7.- CONCLUSIONES
Diga si se cumplió con el objetivo de la experiencia
8.- PREGUNTAS
8.1 Diga Ud. la función que cumple el potenciómetro
del circuito
8.2 Qué sucedería si por equivocación Ud. cambia la
polaridad de los instrumentos
8.3 Compare el valor experimental obtenido para la
resistencia incógnita con el valor del código de colores
del mismo.
8.4 Compare el valor experimental obtenido para la
resistencia incógnita con la lectura que hizo del mismo
utilizando el ohmímetro.
8.5 Después de resolver las preguntas 9.3 y 9.4, a qué
conclusión llega
9.- BIBLIOGRAFIA
9.1 Serway, Raymond A.: Física, vol II, Edit. McGraw-
Hill Interamericana, s.a. México, 2005.
9.2 Sears, W. F.; Zemansky H. D. y otros: Física
Universitaria. Vol II, edit. Addison-Wesley- Lougman.
México 2003.
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