Ecuaciones DiferencialesPRACTICO 3
1. Calcular la transformada de Laplace de las siguientes funciones:a) t, b) tn, n ∈ N, c) eat cos(bt), eatsen(bt), d) sin(at) cos(bt).
2. Cuales de las siguientes funciones es de orden exponencial? Justificar.a) tn, b) sin(at), c) e
√t, d) et
2, e)
√t.
3. Calcular L{√t}. Sugerencia: usar el hecho que
∫ +∞0
e−x2dx =
√π2
.
4. Sea F (t) =∫ t0f(x)dx, con f de orden exponencial en [0,+∞). Calcular L{F}(s).
5. Demostrar:a) Si F = L{f}, entonces F ′(s) = −L{tf(t)}(s).b) Si f(t) es de orden exponencial, entonces F (s) = L{f}(s) tiende a cero paraRe(s)→+∞.
6. Hallar la transformada de Laplace inversa de las siguientes funciones:a) 1
s(s2+4), b) s
(s+a)2+b2, c) s
s2−3s−12 .
Solucion 6b: Sabemos que L{cos(bt)} = ss2+b2
. Ademas sabemos que se cumple lasiguiente propiedad:
L{ectf(t)} = F (s− c), L{f} = F.
Luego
L{e−at cos(t)} =s+ a
(s+ a)2 + b2.
Por otra parte como L{ab
sin(bt)} = as2+b2
, resulta
L{e−atab
sin(t)} =a
(s+ a)2 + b2.
FinalmenteL{e−at(cos(t)− a
bsin(t))} =
s
(s+ a)2 + b2.
7. Resolver los siguientes problemas no-homogeneos de segundo orden:a) y′′ − 5y + 4y = e2t, y(0) = 1, y′(0) = −1,b) y′′ + y′ + y = t2, y(0) = 2, y′(0) = 0.
8. Mediante la substitucion φ(t) = y(t+ t0), resolver el problema,
y′′ − 3y′ + 2y = e−t, y(t0) = 1, y′(t0) = 0
9. a) Mostrar que L{f ′′′}(s) = s3F (s)− s2f(0)− sf ′(0)− f ′′(0), con F = L{f}.b) Resolver el siguiente problema,
y′′′ − 6y′′ + 11y′ − 6y = e4t, y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0.
1
10. Resolver los siguientes problemas:a) y′′ + y = sent, y(0) = 1, y′(0) = 2,b) y′′ − 2y′ + y = tet, y(0) = 0, y′(0) = 0.
11. Determinar la transformada de Laplace inversa de las siguientes funciones: a) e−ss−2,b) e−3s
s2−2s−3 . Ayuda: probar que L{12
sinh 2t} = 1s2−22 .
c) 3s(s+1)4
, d) 1(s2+a2)(s2+b2)
, e) 1s(s+4)2
, f) 1(s2+1)2
.
Solucion 11b: Seguramente el ejercicio sale usando la ayuda. Una forma alternativamas simple es la siguiente:Primero descomponer en fr. simples:
1
s2 − 2s− 3=
14
s− 3−
14
s+ 1.
Luego recordar la propiedad: L{Hc(t)f(t−c)} = e−ctF (s), donde F = L{f}. Entonces,
L{H3(t)e3(t−3)} =
e−3s
s− 3, L{H3(t)e
−(t−3)} =e−3s
s+ 1.
Finalmente,
L{H3(t)1
4(e3(t−3) − e−(t−3))} =
e−3s
s2 − 2s− 3.
Ahora usando la ayuda:Completando cuadrados resulta,
e−3s
s2 − 2s− 3=
e−3s
(s− 1)2 − 4
Usando que L{ectf(t)} = F (s− c), con c = 1 y L{f} = F , resulta
L{et12senh(2t)} =
1
(s− 1)2 − 4.
Finalmente usando la propiedad L{Hc(t)f(t − c)} = e−ctF (s), aplicada a la funcionf(t) = et 1
2senh(2t), para c = 3, resulta:
L{H3(t)et−31
2senh(2(t− 3))} =
e−3s
(s− 1)2 − 4=
e−3s
s2 − 2s− 3.
Otra forma alternativa: Como e−3s = L{δ(t − 3)} y L{et 12senh(2t)} = 1
(s2−2s−3) , porel teorema de convolucion resulta:
L{δ3(t) ? et1
2senh(2t)} =
e−3s
s2 − 2s− 3.
Pero (δ3 ? G)(t) =∫ t0G(t− u)δ3(u)du, donde G(t) = et 1
2senh(2t). Entonces:
(δ3 ? G)(t) =
{G(t− 3), si 0 ≤ t < 3,0, caso contrario
= H3(t)et−31
2senh(2(t− 3)).
2
12. Resolver los siguientes problemas de valores iniciales:
a) y′′ + 2y′ + y = 2(t− 3)H3(t), y(0) = 2, y′(0) = 1.
b) y′′ + y′ + y = Hπ(t)−H2π(t), y(0) = 1, y′(0) = 0.
c) y′′ + y = f(t), y(0) = 1, y′(0) = 0, donde f(t) =
{sin(t), 0 ≤ t < π,cos(t), π ≤ t < +∞.
13. Calcular la convolucion de los siguientes pares de funciones:a) eat, ebt, a = b , a 6= b, b) cos(at), cos(bt), c) sin(at), sin(bt),d) t sin(t).
14. Usar la formula de la transf. de la convolucion para hallar la transf. de Laplace inversade las siguientes funciones:a) 1
s2(s2+1), b) s
(s+1)(s2+4), c) 1
s2(s+1)2.
15. Resolver las siguientes ecuaciones integrales mediante transf. de Laplace:a) y(t) = 4t− 3
∫ t0y(u) sin(t− u)du,
b) y(t) = 4t2 −∫ t0y(u)e−(t−u)du.
16. Calcular: a)∫ 3
0(1 + e−t)δ2(t)dt, b)
∫ 1
−2(1 + e−t)δ2(t)dt.
17. Dar una demostracion del siguiente hecho: L{δt0}(s) = e−st0 , ∀t0 ≥ 0, donde δt0 es laDelta de Dirac centrada en t0.
18. Resolver por transf. de Laplace:a) y′ + y = eiωt, u(0) = 1,b) y′ − iωy = δ(t), u(0) = 0,c) my′′ + cy′ + ky = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0, m, c, k constantes no negativas.
19. Resolver los siguientes problemas:a) y′′ + y = sin t+ δπ(t), y(0) = 0, y′(0) = 0.b) y′′ + y′ = e−t + 3δ3(t), y(0) = 1, y′(0) = 0.
20. Sea f(t) = 12, para t > t0, y f(t) = −1
2, para t < t0. Considerar el funcional K(φ) =∫∞
−∞ φ(t)f(t)dt. Mostrar que K ′(φ) = K(−φ′) = φ(t0). Concluir que δt0 = f ′.
21. Resolver por transf. de Laplace:a) y′ + y = eiωt, u(0) = 1,b) y′ − iωy = δ0(t), u(0) = 0,c) my′′ + cy′ + ky = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0, m, c, k constantes no negativas.
22. Resolver los siguientes problemas:a) y′′ + y = sin t+ δπ(t), y(0) = 0, y′(0) = 0.b) y′′ + y′ = e−t + 3δ3(t), y(0) = 1, y′(0) = 0.
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