Los artículos manufacturados por una compañía se producen en 3 máquinas distintas manejadas por tres
operarios diferentes. El dueño desea saber si hay diferencia (a) entre los operarios y (b) entre las máquinas.
Se realiza un experimento para conocer el número de artículos producidos al día, con los resultados que
recoge la siguiente tabla. Establecer la deseada información al nivel de significación 0.05.
Formulación de hipótesis:
1) H0: A = B = C = D y no existen diferencias significativas entre las máquinas
H1: algún i j y existen diferencias significativas entre las máquinas
2) H0: 1 = 2 = 3 y no existe diferencia significativa entre los operadores
H1: algún i j y existe diferencia significativa entre los operadores
Operador
1 2 3
Máquina A
Máquina B
Máquina C
23 27 24
34 30 28
28 25 27
Solución:
Calculamos los totales de filas, de columnas, la media de columnas, la media de filas y la media total, como
se indica en el siguiente cuadro:
Operador total Media de
1 2 3 de fila fila
Máquina A
Máquina B
Máquina C
23 27 24
34 30 28
28 25 27
74
92
80
74/3
92/3
80/3
Total de columna 85 82 79 Total final = 246
Media de columna 85/3 82/3 79/3 Media total = 82/3
La variación de las medias de filas respecto de la media global es:
VR = 3[( 74/3 – 82/3 )2 + ( 92/3 – 82/3 )
2 + ( 80/3 – 82/3 )
2 ] = 56 ; VR = 56
La variación de las medias de columnas respecto de la media global es:
VC = 3[( 85/3 – 82/3 )2 + ( 82/3 – 82/3 )
2 + ( 79/3 – 82/3 )
2 ] = 6 ; VC = 6
La variación total es:
V = ( 23 – 82/3 )2 + ( 27 – 82/3 )
2 + ( 24 – 82/3 )
2 + ( 34 – 82/3 )
2 + ( 30 – 82/3 )
2 + ( 28 – 82/3 )
2 +( 28 –
82/3 )2 + ( 25 – 82/3 )
2 + ( 27 – 82/3 )
2 +] = 88 ; V = 88
La variación aleatoria es VE = V – ( VR + VC ) = 88 – ( 56 + 6 ) = 26 ; VE = 26
Con estos datos hacemos el análisis de varianza del siguiente cuadro:
Variación Grados de
libertad
Cuadrado
medio F
VR = 56 a – 1 = 2 ŜR2 = 56/2 = 28
ŜR2 / ŜE
2 = 4,31
con 2 y 4 G. L .
VC = 6 b – 1 = 2 ŜC2 = 6/2 = 3
ŜC2 / ŜE
2 = 0,46
con 2 y 4 G. L .
VE = 26 (a-1)(b-1) = 4 ŜE2 = 26/4 = 6,5
V = 88 a b – 1 = 8
de la tabla F para un nivel de significación 0,05 y con 2 y 4 G. L.: F.95 = 6,94
RESPUESTAS:
a) como 0,46 < 6,94 , para un nivel de significación 0,05 concluimos que no existe diferencia
significativa entre operarios.
b) como 4,31 < 6,94 , para un nivel de significación 0,05 concluimos que no existe diferencia
significativa entre maquinas.
Una empresa quiere comparar cuatro tipos de llantas: A, B, C y D. Sus vidas medias en rodaje (en miles de
millas) se dan en siguiente tabla, donde cada tipo ha sido probado en seis coches similares asignados al azar a
las llantas. Determinar si hay diferencia significativa al nivel de significación (a) 0.05 y (b) 0.01 entre las
llantas.
A 33 38 36 40 31 35
B 32 40 42 38 30 34
C 31 37 35 33 34 30
D 29 34 32 30 33 31
Solución : Formulación de hipótesis:
1) H0: A = B = C = D y no existen diferencias significativas entre los tipos de llantas
H1: algún i j y existen diferencias significativas entre algunos tipos de llantas
Calculamos los totales de filas, la media de filas y la media total, como se indica en el siguiente cuadro:
total de
fila
media de
fila
A 33 38 36 40 31 35 213 71/2
B 32 40 42 38 30 34 216 36
C 31 37 35 33 34 30 200 100/3
D 29 34 32 30 33 31 189 63/2
total = 818 Media total = 409/12
La variación de las medias de filas respecto de la media global es:
VB = 6 (71/2 – 409/12 )2 + ( 36 – 409/12 )
2 +( 100/3 – 409/12 )
2 +( 63/2 – 409/12 )
2 = 155/2 ; VB = 77,5
La variación total es:
V = ( 33 – 409/12 )2 +( 38 – 409/12 )
2 +( 36 – 409/12 )
2 +( 40 – 409/12 )
2 +( 31 – 409/12 )
2 +( 35 – 409/12 )
2
+ ( 32 – 409/12 )2 +( 40 – 409/12 )
2 +( 42 – 409/12 )
2 +( 38 – 409/12 )
2 +( 30 – 409/12 )
2 +( 34 – 409/12 )
2 +(
31 – 409/12 )2 +( 37 – 409/12 )
2 +( 35 – 409/12 )
2 +( 33 – 409/12 )
2 +( 34 – 409/12 )
2 +( 30 – 409/12 )
2 +( 29
– 409/12 )2 +( 34 – 409/12 )
2 +( 32 – 409/12 )
2 +( 30 – 409/12 )
2 +( 33 – 409/12 )
2 +( 31 – 409/12 )
2 = 1763/6
V = 293,83 La variación VW es: VW = V – VB = 1763/6 – 155/2 = 649/3 ; VW = 216,33
Con estos datos hacemos el análisis de varianza del siguiente cuadro:
Variación Grados de
libertad
Cuadrado
medio F
VB = 75,5 a – 1 = 3 ŜB
2 = 77,5/83 =
25,17
ŜB2 / ŜW
2 = 2.39
con 3 y 20 G. L .
VW = 216,33 a(b – 1) = 45 = 20 ŜW
2 = 216,33/20 =
10,82
V = 293,83 ab–1 = 46 – 1 = 23
de la tabla F para un nivel de significación 0,05; con 3 y 20 G. L.: F.95 = 3,10
de la tabla F para un nivel de significación 0,01; con 3 y 20 G. L.: F.99 = 4,94
RESPUESTAS:
a) como 2,33 < 3,10 , para un nivel de significación 0,05 concluimos que no existe diferencia
significativa entre las llantas.
b) como 2,33 < 4,94 , para un nivel de significación 0,01 concluimos que no existe diferencia
significativa entre las llantas.
Un empresario desea determinar la eficacia de cuatro tipos distintos de máquinas (A, B, C y D) en la
producción de tornillos. Para ello anota la cantidad de tornillos defectuosos producidos cada día de una
semana en dos turnos de trabajo, con los resultados que se muestra en la siguiente tabla. Determinar si existe
diferencia, al nivel de significación 0,05 entre: a) las máquinas b) los turnos
Maquina Primer turno Segundo turno
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
A 6 4 5 5 4 5 7 4 6 8
B 10 8 7 7 9 7 9 12 8 8
C 7 5 6 5 9 9 7 5 4 6
D 8 4 6 5 5 5 7 9 7 10
Solución:
Formulación de hipótesis:
1) H0: A = B = C = D y no existen diferencias significativas entre las máquinas
H1: algún i j y existen diferencias significativas entre las máquinas
2) H0: I = II y no existe diferencia significativa entre los turnos
H1: I II y existe diferencia significativa entre los turnos
3) H0: No existe interacción entre máquinas y turnos
H1: Existe interacción entre máquinas y turnos
Cálculo de la variación total (de la tabla dato):
4,15040
268107....5546V
2222222
Cálculo de la variación subtotal (de la segunda tabla):
6,6540
268
5
38
5
28
5
31
5
32
5
44
5
41
5
30
5
24V
222222222
S
Cálculo de la variación entre filas:
0,5140
268
10
66
10
63
10
85
10
54V
22222
F
Cálculo de la variación entre columnas:
1,840
268
20
143
20
125V
222
C
Cálculo de la variación debida a la interacción:
VI = VS – VF – VC = 65,6 – 51,0 – 8,1 = 6,5
Cálculo de la variación de error:
VE = V – (VI + VF + VC) = 150,4 – (6,5 + 51,0 + 8,1) = 84,8
Tabla ANOVA
Valores de F de tabla:
para las filas: F(3; 32; 5%) = 2,90
para las columnas: F(1; 32; 5%) = 4,15
para la interacción: F(3; 32; 5%) = 2,90
CONCLUSIONES:
Como Finteracción < F(3; 32; 5%) = 2,90, cae en
zona de aceptación, por lo que concluimos
que no existe interacción entre las máquinas y
los turnos.
Como Ffilas > F(3; 32; 5%) = 2,90, cae en
zona de rechazo, por lo que concluimos que
existe diferencia significativa entre las
máquinas.
Como Fcolumnas < F(1; 32; 5%) = 4,15, cae en zona de aceptación, por lo que concluimos que no existe
diferencia significativa entre los turnos.
Criterio de corrección:
Formulación de hipótesis: 3 puntos
Cálculo de variaciones y de F: 3 puntos
Cálculo de F de tabla: 1 punto
Conclusión: 3 puntos
Máquina Primer
turno
Segundo
turno total
A 24 30 54
B 41 44 85
C 32 31 63
D 28 38 66
total 125 143 268
Variación Grados de
libertad
Cuadrado
medio F
Entre filas
(máquinas)
51,0
3 0,17S2F 42,6
65,2
0,17
Entre columnas
(turnos)
8,1
1 1,8S2c 06,3
65,2
1,8
Interacción
6,5 3
167,2S2I
817,0
65,2
167,2
Residual o aleatoria
84,8 32 65,2S2
E
Total
150,4 39
Total: 10 puntos
En un experimento llevado a cabo para determinar cual de tres sistemas de misiles es preferible, se midió el
promedio de consumo de los propulsores para 24 encendidos estáticos. Se utilizaron cuatro tipos diferentes
de propulsores. En el experimento se obtuvieron observaciones duplicadas de promedios de consumo en cada
combinación de tratamientos, según se muestra en la siguiente tabla.
A un nivel de significación 0,05, probar las hipótesis: a) no existe diferencia en las tasas medias de
consumo cuando se utilizan diferentes tipos de misiles; b) no existe diferencia en las tasas medias de
consumo de los cuatro tipos de propulsor; c) no existe interacción entre los diferentes tipos de misiles y los
diferentes tipos de propulsor.
Solución:
Formulación de hipótesis:
1) H0: a1 = a2 = a3 = a4 y no existen diferencias significativas entre sistemas de misiles
H1: a1 a2 a3 a4 y existen diferencias significativas entre sistemas de misiles
2) H0: b1 = b2 = b3 = b4 y no existe diferencia significativa entre los turnos
H1: b1 b2 b3 b4 y existe diferencia significativa entre los turnos
3) H0: No existe interacción entre sistemas de misiles y propulsores
H1: Existe interacción entre sistemas de misiles y propulsores
Tipo de propulsor
Sistema de
misiles b1 b2 b3 b4
a1 34,0
32,7
30,1
32,8
29,8
26,7
29,0
28,9
a2 32,0
33,2
30,2
29,8
28,7
28,1
27,6
27,8
a3 28,4
29,3
27,3
28,9
29,7
27,3
28,8
29,1
Solución:
Cálculo de totales en la tabla
b1 b2 b3 b4 Total
a1 66,7 62,9 56,5 57,9 244,0
a2 65,2 60,0 56,8 55,4 237,4
a3 27,7 56,2 57,.0 57,9 228,8
Total 189,6 179,1 170,3 171,2 710,2
SST = 34,02 + 32,7
2 + ... + 29,1
2 –
24
7102
=91,68
SSA = 52,1424
710
8
8,2284,2370,244 2222
SSB = 08,4024
710
6
2,1713,1701,1796,189 22222
SS(AB) = 17,2200,2101608,2105652,210302
9,57...2,657,66 222
SSE = 91,68 – 14,52 – 40,08 – 22,17 = 14,91
Con estos valores tenemos la siguiente tabla:
Fuente de
variación
Suma de
cuadrados
Grados de
libertad
Cuadrado medio f
calculada
Sistema de misiles 14,52 2 7,26 5,85
Tipo de propulsor 40,08 3 16,36 10,77
Interacción 22,17 6 3,70 2,98
Error 14,91 12 1,24
Total 91,68 23
Regiones críticas: f1 > 3,89 ; f2 > 3,49 ; f3 < 3,00
Con estos valores, se concluye que:
a) la interacción es insignificante al nivel 0,05.
b) sistemas diferentes de misiles implican diferentes tasas de promedio de consumo del propulsor
c) las tasas de promedio de consumo del propulsor no son las mismas para los cuatro tipos de propulsor.
Se desea determinar si el rendimiento académico de un alumno de la FIUNA está condicionado al tipo de
carrera que cursa. Para ello se ha encuestado a 30 alumnos de las 6 carreras con que cuenta ésta casa de
estudios. Se trabajará con un nivel de significación del 5% y el rendimiento será medido a través de las notas
obtenidas en un examen general.
carreras
Ing. Civil 2 4 5 2 3
Ing. Industrial 2 3 4 5 5
Ing. Electromecánica 1 2 3 3 5
Ing. C. Geográficas 4 3 3 5 2
Ing. Electrónica 1 2 4 4 5
Ing. Mecánica 3 3 2 1 3
Solución:
Se formula las hipótesis
H0: 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 y no existe diferencia entre los diferentes niveles del factor CARRERA con
relación a la variable de respuesta RENDIMIENTO ACADEMICO
HA: 1 2 3 4 5 6 y existe diferencia entre los diferentes niveles del factor CARRERA con
relación a la variable de respuesta RENDIMIENTO ACADEMICO
carreras réplicas iX
1 2 4 5 2 3 16
2 2 3 4 5 5 19
3 1 2 3 3 5 14
4 4 3 3 5 2 17
5 1 2 4 4 5 16
6 3 3 2 1 3 12
94
87,530
94121617141916
5
1SC
2222222
carreras
47,4730
8836342
30
94312...542SC
2222222
total
Formulación de la tabla ANOVA
Valores de F de tabla: 2,62
Como Fcal = 0,68 < 2,62 = Ftabla, no se rechaza H0 y se concluye que no existe suficiente evidencia para
admitir que el factor CARRERA determina diferencias en el RENDIMIENTO ACADEMICO.
Fuente de variación
Grados de libertad
Suma de cuadrados
Cuadrado medio
Fcalc
carrera 5 5,87 1,17 0,68
error 24 41,6 1,73
Total 29 47,47
Una empresa quiere comparar cuatro tipos de llantas: A, B, C y D. Sus vidas medias en rodaje (en miles de
millas) se dan en siguiente tabla, donde cada tipo ha sido probado en seis coches similares asignados al azar a
las llantas. Formular el modelo ANOVA apropiado y determinar si existe diferencia significativa al nivel de
significación (a) 0.05 y (b) 0.01 entre las llantas.
A 33 38 36 40 31 35
B 32 40 42 38 30 34
C 31 37 35 33 34 30
D 29 34 32 30 33 31
Solución : Calculamos los totales de filas, la media de filas y la media total, como se indica en el siguiente cuadro:
Se formula las hipótesis
H0: A = B = C = D y no existe diferencia entre los
diferentes niveles del factor TIPO DE LLANTA con
relación a la variable de respuesta VIDA EN RODAJE
HA: A B C D y existe diferencia entre los
diferentes niveles del factor TIPO DE LLANTA con
relación a la variable de respuesta VIDA EN RODAJE
5,7724
818189200216213
6
1SC
22222
llantas
83,29324
66912428174
24
818)313340323429303433
353731343038424032353140363833(24
1SC
2222222222
222222222222222
total
Con estos datos hacemos el análisis de varianza del siguiente cuadro:
Valores de tabla:
de la tabla F para un nivel de significación 0,05; con 3 y 20 G. L.: F.95 = 3,10
de la tabla F para un nivel de significación 0,01; con 3 y 20 G. L.: F.99 = 4,94
RESPUESTAS:
a) como 2,39 < 3,10 , para un nivel de significación 0,05 concluimos que no existe evidencia para
admitir que el factor tipo de llantas determine diferencia significativa en la vida en rodaje de las
llantas.
b) como 2,39 < 4,94 , para un nivel de significación 0,01 concluimos que no existe evidencia para
admitir que el factor tipo de llantas determine diferencia significativa en la vida en rodaje de las
llantas.
iX
A 33 38 36 40 31 35 213
B 32 40 42 38 30 34 216
C 31 37 35 33 34 30 200
D 29 34 32 30 33 31 189
total = 818
Fuente de variación
Grados de libertad
Suma de cuadrados
Cuadrado medio
Fcalc
llanta a – 1 = 3 77,5 25,83 2,39
error a(b – 1) = 45 = 20 216,33 10,82
Total ab–1 = 46 – 1 = 23 293,83
Una corporación muy grande tiene un grupo de individuos encargados de la mayoría de los trabajos
relacionado con el procesamiento de textos. A fin de proporcionar una atmósfera placentera y productiva, la
compañía pone música grabada durante la jornada laboral. Algunos individuos se quejan de que la música se
convierte en ocasiones en un factor de distracción. Como experimento, se permite grupos de muestra de 16
operadores tengan un grado de control variable sobre el volumen de la música (este va de 1 = ningún control
a 4 = control absoluto). Para cada individuo se obtiene una calificación de eficiencia
Grado de Control EFICIENCIA
1 42 57 52 37 58 58 56 57 41 49 53 55 53 42 48 48
2 55 50 65 22 65 56 63 58 65 57 52 61 64 57 65 66
3 63 57 55 24 64 56 61 60 63 64 67 66 66 52 47 65
4 66 63 64 49 64 60 62 62 58 54 65 60 63 64 57 61
Asegúrese de identificar el o los factor(es); escribir el modelo matemático y establézcase la(s) hipótesis por
probar. Utilizando las informaciones precedentes probar si existe o no diferencias respecto a las hipótesis
formuladas
Solución:
HIPOTESIS:
H0: 1 = 2 = 3 = 4 y no existe diferencia entre los diferentes niveles del grado de control con relación a
la variable de respuesta
H1: 1 2 3 4 y existe diferencia entre los diferentes niveles del grado de control con relación a la
variable de respuesta
G. de Control EFICIENCIA xi ix
1 42 57 52 37 58 58 56 57 41 49 53 55 53 42 48 48 806 50,375
2 55 50 65 22 65 56 63 58 65 57 52 61 64 57 65 66 921 57,5625
3 63 57 55 24 64 56 61 60 63 64 67 66 66 52 47 65 930 58,125
4 66 63 64 49 64 60 62 62 58 54 65 60 63 64 57 61 972 60,75
Total 3629 56,703
359,539564
3629211171
N
xx)total(SCC
22a
1i
b
1j
2
ji
Como el valor de Fcalculada (4,26) cae en zona de rechazo, rechazamos H0 y aceptamos HA y concluimos
que existe diferencia entre los diferentes niveles del factor grado de control con relación a la variable de
respuesta
Fuente de variación
Grados de libertad
Suma de cuadrados
Cuadrado medio
Fcalc
Grado de control a – 1 = 3 946,92 315,64 4,26
error a(b – 1) = 415 = 60 4448,437 74,14
Total ab–1 = 416 – 1 = 63 5396,359
F de tabla
922,94664
3629972930921806
16
1
ba
xx
b
1)fila(SCA
22222
2b
1i
2
i
i
Los artículos manufacturados por una compañía se producen en 3 máquinas distintas manejadas por tres
operarios diferentes. El dueño desea saber si hay diferencia (a) entre los operarios y (b) entre las máquinas.
Se realiza un experimento para conocer el número de artículos producidos al día, con los resultados que
recoge la siguiente tabla. Formular el modelo ANOVA adecuado y establecer si existe diferencias
significativa entre a) los operarios y b) entre las máquinas, al nivel de significación 0.05.
Operador
1 2 3
Máquina A
Máquina B
Máquina C
23 27 24
34 30 28
28 25 27
Solución: Modelo: dos factores sin réplicas, donde los factores son las máquinas y los operadores; y la variable de
respuesta la cantidad de artículos producidos.
Calculamos los totales de filas, de columnas, la media de columnas, la media de filas y la media total, como
se indica en el siguiente cuadro:
Operador
iX 1 2 3
Máquina A
Máquina B
Máquina C
23 27 24
34 30 28
28 25 27
74
92
80
jX 85 82 79 Total: 246
569
60516
3
20340
9
246809274
3
1SC
2222
maquinas
69
60516
3
20190
9
246798285
3
1SC
2222
operadores
889
605166812
9
246272528283034242723SC
2222222222
total
Con estos datos hacemos el análisis de varianza del siguiente cuadro:
de la tabla F para un nivel de significación 0,05 y con 2 y 4 G. L.: F.95 = 6,94
RESPUESTAS:
a) como 0,46 < 6,94 , para un nivel de significación 0,05 concluimos que no existe evidencia para
admitir que el factor operarios determine diferencia significativa en la cantidad de artículos
producidos.
b) como 4,31 < 6,94 , para un nivel de significación 0,05 concluimos que no existe evidencia para
admitir que el factor máquinas determine diferencia significativa en la cantidad de artículos
producidos.
Fuente de variación
Grados de libertad
Suma de cuadrados
Cuadrado medio
Fcalc
máquinas a – 1 = 2 56 28 4,31
operadores b – 1 = 2 6 3 0,46
error (a–1)(b–1) = 22 = 4 26 6,5
Total ab–1 = 33 – 1 = 8 88
La siguiente tabla muestra el número de artículos producidos por 4 trabajadores en dos máquinas distintas, I
y II, en diferentes días de la semana. Determinar si existe diferencia, al nivel de significación 0,05 entre: a)
los operadores b) las máquinas.
Operador Máquina I Máquina II
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
A 15 18 17 20 12 14 16 18 17 15
B 12 16 14 18 11 11 15 12 16 12
C 14 17 18 16 13 12 14 16 14 11
D 19 16 21 23 18 17 15 18 20 17
Solución:
Formulación de hipótesis:
1) H0: A = B = C = D y no existen diferencias significativas entre los operadores
H1: A B C D y existen diferencias significativas entre los operadores
2) H0: I = II y no existe diferencia significativa entre las máquinas.
H1: I II y existe diferencia significativa entre las máquinas.
3) H0: No existe interacción entre operadores y máquinas
H1: Existe interacción entre operadores y máquinas
Cálculo de la variación total (de la tabla dato):
4,32840
6281720....20171815V
2222222
Cálculo de la variación subtotal (de la segunda tabla):
8,15440
628
5
87
5
97
5
67
5
78
5
66
5
71
5
80
5
82V
222222222
S
Cálculo de la variación entre filas:
8,12940
628
10
184
10
145
10
137
10
162V
22222
F
Cálculo de la variación entre columnas:
6,1940
628
20
300
20
328V
222
C
Cálculo de la variación debida a la interacción:
VI = VS – VF – VC = 154,8 –129,8 – 19,6 = 5,4
Cálculo de la variación de error:
VE = V – (VI + VF + VC) = 328,4 – (5,4 + 129,8 + 19,6) = 173,6
Tabla ANOVA
Valores de F de tabla:
para las filas: F(3; 32; 5%) = 2,90
para las columnas: F(1; 32; 5%) = 4,15
para la interacción: F(3; 32; 5%) = 2,90
CONCLUSIONES:
Como Finteracción < F(3; 32; 5%) = 2,90, cae en
zona de aceptación, por lo que concluimos
que no existe interacción entre los operarios y
las máquinas.
Como Ffilas = 7,97 > F(3; 32; 5%) = 2,90, cae
en zona de rechazo, por lo que concluimos
que existe diferencia significativa entre los
operarios.
Como Fcolumnas = 3,61 < F(1; 32; 5%) = 4,15, cae en zona de aceptación, por lo que concluimos que no existe
diferencia significativa entre las máquinas.
Criterio de corrección:
Formulación de hipótesis: 3 puntos
Cálculo de variaciones y de F: 3 puntos
Cálculo de F de tabla: 1 punto
Conclusión: 3 puntos
Total: 10 puntos
Operador Máquina
I
Máquina
II total
A 82 80 162
B 71 66 137
C 78 67 145
D 97 87 184
total 328 300 628
Variación Grados de
libertad
Cuadrado
medio F
Entre filas
(operarios)
129,8
3 27,43S2
F
97,7
43,5
27,43
Entre columnas
(máquinas)
19,6
1 6,19S2
c 61,343,5
6,19
Interacción
5,4 3 8,1S2
I 33,043,5
8,1
Residual o aleatoria
173,6 32 43,5S2
E
Total
328,4 39
Un empresario desea determinar la eficacia de cuatro tipos distintos de máquinas (A, B, C y D) en la
producción de tornillos. Para ello anota la cantidad de tornillos defectuosos producidos cada día de una
semana en dos turnos de trabajo, con los resultados que se muestra en la siguiente tabla. Determinar si existe
diferencia, al nivel de significación 0,05 entre: a) las máquinas b) los días
Maquina Primer turno Segundo turno
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
A 6 4 5 5 4 5 7 4 6 8
B 10 8 7 7 9 7 9 12 8 8
C 7 5 6 5 9 9 7 5 4 6
D 8 4 6 5 5 5 7 9 7 10
Solución:
Formulación de hipótesis:
1) H0: A = B = C = D y no existen diferencias significativas entre las máquinas
H1: A B C D y existen diferencias significativas entre las máquinas
2) H0: I = II y no existe diferencia significativa entre los días
H1: I II y existe diferencia significativa entre los días
3) H0: No existe interacción entre máquinas y días
H1: Existe interacción entre máquinas y días
Cálculo de la variación total (de la tabla dato): 4,15040
268107....5546V
2222222
Cálculo de la variación subtotal (de la segunda tabla):
4,8040
268
2
15
2
12
2
15
2
11
2
13
2
15
2
9
2
11
2
12
2
16
2
17
2
15
2
19
2
17
2
17
2
12
2
11
2
9
2
11
2
11V
22222222222
2222222222
S
Cálculo de la variación entre filas: 0,5140
268
10
66
10
63
10
85
10
54V
22222
F
Cálculo de la variación entre columnas: 4,1140
268
8
59
8
47
8
54
8
51
8
57V
222222
C
Cálculo de la variación debida a la interacción: VI = VS – VF – VC = 80,4 – 51,0 – 11,4 = 18
Cálculo de la variación de error: VE = V – (VI + VF + VC) = 150,4 – (18 + 51,0 + 11,4) = 70
Tabla ANOVA
Valores de F de tabla:
para las filas: F(3; 20; 5%) = 3,10
para las columnas: F(4; 20; 5%) = 2,87
para la interacción: F(12; 20; 5%) = 2,28
CONCLUSIONES:
Como Finteracción < F(12; 20; 5%) = 2,90, cae
en zona de aceptación, por lo que concluimos
que no existe interacción entre las máquinas y
los días.
Como Ffilas > F(3; 20; 5%) = 3,10, cae en
zona de rechazo, por lo que concluimos que
existe diferencia significativa entre las
máquinas.
Como Fcolumnas < F(4; 20; 5%) = 2,87, cae en zona de aceptación, por lo que concluimos que no existe
diferencia significativa entre los días.
Criterio de corrección:
Formulación de hipótesis: 2 puntos (1 por los factores y 1 por la interacción)
Cálculo de variaciones y de F: 4 puntos
Cálculo de F de tabla: 2 puntos (1 por los factores y 1 por la interacción)
Conclusión: 2 puntos (1 por los factores y 1 por la interacción)
Total: 10 puntos
Máquina Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes total
A 11 11 9 11 12 54
B 17 17 19 15 17 85
C 16 12 11 9 15 63
D 13 11 15 12 15 66
total 57 51 54 47 59 268
Variación Grados de
libertad
Cuadrado
medio F
Entre filas
(máquinas)
51,0
3 0,17S2
F 86,45,3
0,17
Entre columnas
(días)
11,4
4 85,2S2
c 81,05,3
85,2
Interacción
18 12 5,1S2
I 43,05,3
5,1
Residual o aleatoria
70 20 5,3S2
E
Total
150,4 39
Resolución con excel
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
A 6 4 5 5 4
5 7 4 6 8
B 10 8 7 7 9
7 9 12 8 8
C 7 5 6 5 9
9 7 5 4 6
D 8 4 6 5 5
5 7 9 7 10
Análisis de varianza de dos factores con varias muestras por grupo
RESUMEN Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Total
A
Cuenta 2 2 2 2 2 10
Suma 11 11 9 11 12 54
Promedio 5,5 5,5 4,5 5,5 6 5,4
Varianza 0,5 4,5 0,5 0,5 8 1,822222222
B
Cuenta 2 2 2 2 2 10
Suma 17 17 19 15 17 85
Promedio 8,5 8,5 9,5 7,5 8,5 8,5
Varianza 4,5 0,5 12,5 0,5 0,5 2,5
C
Cuenta 2 2 2 2 2 10
Suma 16 12 11 9 15 63
Promedio 8 6 5,5 4,5 7,5 6,3
Varianza 2 2 0,5 0,5 4,5 2,9
D
Cuenta 2 2 2 2 2 10
Suma 13 11 15 12 15 66
Promedio 6,5 5,5 7,5 6 7,5 6,6
Varianza 4,5 4,5 4,5 2 12,5 3,822222222
Total
Cuenta 8 8 8 8 8
Suma 57 51 54 47 59
Promedio 7,125 6,375 6,75 5,875 7,375
Varianza 3,267857143 3,410714286 6,785714286 1,839285714 4,553571429
ANÁLISIS DE VARIANZA
Origen de
las
variaciones
Suma de
cuadrados
Grados de
libertad
Promedio de
los
cuadrados F Probabilidad
Valor crítico
para F
Muestra 51 3 17 4,857142857 0,010684338 3,098391224
Columnas 11,4 4 2,85 0,814285714 0,53092907 2,866081402
Interacción 18 12 1,5 0,428571429 0,932901768 2,277580574
Dentro del
grupo 70 20 3,5
Total 150,4 39
La siguiente tabla muestra las vidas medias, en miles de horas, de muestras de tres tipos distintos de tubos de
televisión producidos por cierta empresa. Se desea determinar si hay diferencias entre ellos empleando un
nivel de significación del 5%.
Muestra 1 407 411 409
Muestra 2 404 406 408 405 402
Muestra 3 410 408 406 408
Solución : Formulación de hipótesis:
1) H0: 1 = 2 = 3 y no existen diferencias significativas entre las vidas medias de los tipos de tubos
H1: 1 2 3 y existen diferencias significativas entre las vidas medias de los tipos de tubos
Calculamos los totales de filas, la media de filas y la media total, como se indica en el siguiente cuadro:
total de
fila
media de
fila
A 407 411 409 1227 409
B 404 406 408 405 402 2025 405
C 410 408 406 408 1632 408
total = 4884 Media total = 407
La variación de las medias de filas respecto de la media global es:
VB = 3(409 – 407)2 + 5(405 – 407)
2 + 4(408 – 407)
2 = 36 ; VB = 36
La variación total es:
V = (407 – 407 )2 + (411 – 407 )
2 + (409 – 407 )
2 + (404 – 407 )
2 + (406 – 407 )
2 + (408 – 407 )
2 + (405 –
407 )2 + (402 – 407 )
2 + (410 – 407 )
2 + (408 – 407 )
2 + (406 – 407 )
2 + (408 – 407 )
2 = 1763/6 V = 72
La variación VW es: VW = V – VB = 72 – 36 = 37 ; VW = 36
Con estos datos hacemos el análisis de varianza del siguiente cuadro:
Variación Grados de
libertad
Cuadrado
medio F
VB = 36 a – 1 = 2 ŜB2 = 36/2 = 18
ŜB2 / ŜW
2 = 4.5
con 2 y 9 G. L .
VW = 36 n – a = 12 – 3 = 9 ŜW2 = 36/9 = 4
V = 72 n–1 = 12 – 1 = 11
de la tabla F para un nivel de significación 0,05; con 2 y 9 G. L.: F.95 = 4,26
Conclusión: como 4,5 > 4,26, para un nivel de significación 0,05 concluimos que existe diferencia
significativa entre las llantas.
Asignación de puntos
Formulación de hipótesis: 2 puntos
Cálculo de variaciones: 3 puntos
Valores en tabla Anova: 2 puntos
F de tabla: 1 punto
Conclusión: 2 puntos
Total: 10 puntos
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