Los artículos manufacturados por una compañía se producen en 3 máquinas distintas manejadas por tres

operarios diferentes. El dueño desea saber si hay diferencia (a) entre los operarios y (b) entre las máquinas.

Se realiza un experimento para conocer el número de artículos producidos al día, con los resultados que

recoge la siguiente tabla. Establecer la deseada información al nivel de significación 0.05.

Formulación de hipótesis:

1) H0: A = B = C = D y no existen diferencias significativas entre las máquinas

H1: algún i j y existen diferencias significativas entre las máquinas

2) H0: 1 = 2 = 3 y no existe diferencia significativa entre los operadores

H1: algún i j y existe diferencia significativa entre los operadores

Operador

1 2 3

Máquina A

Máquina B

Máquina C

23 27 24

34 30 28

28 25 27

Solución:

Calculamos los totales de filas, de columnas, la media de columnas, la media de filas y la media total, como

se indica en el siguiente cuadro:

Operador total Media de

1 2 3 de fila fila

Máquina A

Máquina B

Máquina C

23 27 24

34 30 28

28 25 27

74

92

80

74/3

92/3

80/3

Total de columna 85 82 79 Total final = 246

Media de columna 85/3 82/3 79/3 Media total = 82/3

La variación de las medias de filas respecto de la media global es:

VR = 3[( 74/3 – 82/3 )2 + ( 92/3 – 82/3 )

2 + ( 80/3 – 82/3 )

2 ] = 56 ; VR = 56

La variación de las medias de columnas respecto de la media global es:

VC = 3[( 85/3 – 82/3 )2 + ( 82/3 – 82/3 )

2 + ( 79/3 – 82/3 )

2 ] = 6 ; VC = 6

La variación total es:

V = ( 23 – 82/3 )2 + ( 27 – 82/3 )

2 + ( 24 – 82/3 )

2 + ( 34 – 82/3 )

2 + ( 30 – 82/3 )

2 + ( 28 – 82/3 )

2 +( 28 –

82/3 )2 + ( 25 – 82/3 )

2 + ( 27 – 82/3 )

2 +] = 88 ; V = 88

La variación aleatoria es VE = V – ( VR + VC ) = 88 – ( 56 + 6 ) = 26 ; VE = 26

Con estos datos hacemos el análisis de varianza del siguiente cuadro:

Variación Grados de

libertad

Cuadrado

medio F

VR = 56 a – 1 = 2 ŜR2 = 56/2 = 28

ŜR2 / ŜE

2 = 4,31

con 2 y 4 G. L .

VC = 6 b – 1 = 2 ŜC2 = 6/2 = 3

ŜC2 / ŜE

2 = 0,46

con 2 y 4 G. L .

VE = 26 (a-1)(b-1) = 4 ŜE2 = 26/4 = 6,5

V = 88 a b – 1 = 8

de la tabla F para un nivel de significación 0,05 y con 2 y 4 G. L.: F.95 = 6,94

RESPUESTAS:

a) como 0,46 < 6,94 , para un nivel de significación 0,05 concluimos que no existe diferencia

significativa entre operarios.

b) como 4,31 < 6,94 , para un nivel de significación 0,05 concluimos que no existe diferencia

significativa entre maquinas.

Una empresa quiere comparar cuatro tipos de llantas: A, B, C y D. Sus vidas medias en rodaje (en miles de

millas) se dan en siguiente tabla, donde cada tipo ha sido probado en seis coches similares asignados al azar a

las llantas. Determinar si hay diferencia significativa al nivel de significación (a) 0.05 y (b) 0.01 entre las

llantas.

A 33 38 36 40 31 35

B 32 40 42 38 30 34

C 31 37 35 33 34 30

D 29 34 32 30 33 31

Solución : Formulación de hipótesis:

1) H0: A = B = C = D y no existen diferencias significativas entre los tipos de llantas

H1: algún i j y existen diferencias significativas entre algunos tipos de llantas

Calculamos los totales de filas, la media de filas y la media total, como se indica en el siguiente cuadro:

total de

fila

media de

fila

A 33 38 36 40 31 35 213 71/2

B 32 40 42 38 30 34 216 36

C 31 37 35 33 34 30 200 100/3

D 29 34 32 30 33 31 189 63/2

total = 818 Media total = 409/12

La variación de las medias de filas respecto de la media global es:

VB = 6 (71/2 – 409/12 )2 + ( 36 – 409/12 )

2 +( 100/3 – 409/12 )

2 +( 63/2 – 409/12 )

2 = 155/2 ; VB = 77,5

La variación total es:

V = ( 33 – 409/12 )2 +( 38 – 409/12 )

2 +( 36 – 409/12 )

2 +( 40 – 409/12 )

2 +( 31 – 409/12 )

2 +( 35 – 409/12 )

2

+ ( 32 – 409/12 )2 +( 40 – 409/12 )

2 +( 42 – 409/12 )

2 +( 38 – 409/12 )

2 +( 30 – 409/12 )

2 +( 34 – 409/12 )

2 +(

31 – 409/12 )2 +( 37 – 409/12 )

2 +( 35 – 409/12 )

2 +( 33 – 409/12 )

2 +( 34 – 409/12 )

2 +( 30 – 409/12 )

2 +( 29

– 409/12 )2 +( 34 – 409/12 )

2 +( 32 – 409/12 )

2 +( 30 – 409/12 )

2 +( 33 – 409/12 )

2 +( 31 – 409/12 )

2 = 1763/6

V = 293,83 La variación VW es: VW = V – VB = 1763/6 – 155/2 = 649/3 ; VW = 216,33

Con estos datos hacemos el análisis de varianza del siguiente cuadro:

Variación Grados de

libertad

Cuadrado

medio F

VB = 75,5 a – 1 = 3 ŜB

2 = 77,5/83 =

25,17

ŜB2 / ŜW

2 = 2.39

con 3 y 20 G. L .

VW = 216,33 a(b – 1) = 45 = 20 ŜW

2 = 216,33/20 =

10,82

V = 293,83 ab–1 = 46 – 1 = 23

de la tabla F para un nivel de significación 0,05; con 3 y 20 G. L.: F.95 = 3,10

de la tabla F para un nivel de significación 0,01; con 3 y 20 G. L.: F.99 = 4,94

RESPUESTAS:

a) como 2,33 < 3,10 , para un nivel de significación 0,05 concluimos que no existe diferencia

significativa entre las llantas.

b) como 2,33 < 4,94 , para un nivel de significación 0,01 concluimos que no existe diferencia

significativa entre las llantas.

Un empresario desea determinar la eficacia de cuatro tipos distintos de máquinas (A, B, C y D) en la

producción de tornillos. Para ello anota la cantidad de tornillos defectuosos producidos cada día de una

semana en dos turnos de trabajo, con los resultados que se muestra en la siguiente tabla. Determinar si existe

diferencia, al nivel de significación 0,05 entre: a) las máquinas b) los turnos

Maquina Primer turno Segundo turno

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

A 6 4 5 5 4 5 7 4 6 8

B 10 8 7 7 9 7 9 12 8 8

C 7 5 6 5 9 9 7 5 4 6

D 8 4 6 5 5 5 7 9 7 10

Solución:

Formulación de hipótesis:

1) H0: A = B = C = D y no existen diferencias significativas entre las máquinas

H1: algún i j y existen diferencias significativas entre las máquinas

2) H0: I = II y no existe diferencia significativa entre los turnos

H1: I II y existe diferencia significativa entre los turnos

3) H0: No existe interacción entre máquinas y turnos

H1: Existe interacción entre máquinas y turnos

Cálculo de la variación total (de la tabla dato):

4,15040

268107....5546V

2222222

Cálculo de la variación subtotal (de la segunda tabla):

6,6540

268

5

38

5

28

5

31

5

32

5

44

5

41

5

30

5

24V

222222222

S

Cálculo de la variación entre filas:

0,5140

268

10

66

10

63

10

85

10

54V

22222

F

Cálculo de la variación entre columnas:

1,840

268

20

143

20

125V

222

C

Cálculo de la variación debida a la interacción:

VI = VS – VF – VC = 65,6 – 51,0 – 8,1 = 6,5

Cálculo de la variación de error:

VE = V – (VI + VF + VC) = 150,4 – (6,5 + 51,0 + 8,1) = 84,8

Tabla ANOVA

Valores de F de tabla:

para las filas: F(3; 32; 5%) = 2,90

para las columnas: F(1; 32; 5%) = 4,15

para la interacción: F(3; 32; 5%) = 2,90

CONCLUSIONES:

Como Finteracción < F(3; 32; 5%) = 2,90, cae en

zona de aceptación, por lo que concluimos

que no existe interacción entre las máquinas y

los turnos.

Como Ffilas > F(3; 32; 5%) = 2,90, cae en

zona de rechazo, por lo que concluimos que

existe diferencia significativa entre las

máquinas.

Como Fcolumnas < F(1; 32; 5%) = 4,15, cae en zona de aceptación, por lo que concluimos que no existe

diferencia significativa entre los turnos.

Criterio de corrección:

Formulación de hipótesis: 3 puntos

Cálculo de variaciones y de F: 3 puntos

Cálculo de F de tabla: 1 punto

Conclusión: 3 puntos

Máquina Primer

turno

Segundo

turno total

A 24 30 54

B 41 44 85

C 32 31 63

D 28 38 66

total 125 143 268

Variación Grados de

libertad

Cuadrado

medio F

Entre filas

(máquinas)

51,0

3 0,17S2F 42,6

65,2

0,17

Entre columnas

(turnos)

8,1

1 1,8S2c 06,3

65,2

1,8

Interacción

6,5 3

167,2S2I

817,0

65,2

167,2

Residual o aleatoria

84,8 32 65,2S2

E

Total

150,4 39

Total: 10 puntos

En un experimento llevado a cabo para determinar cual de tres sistemas de misiles es preferible, se midió el

promedio de consumo de los propulsores para 24 encendidos estáticos. Se utilizaron cuatro tipos diferentes

de propulsores. En el experimento se obtuvieron observaciones duplicadas de promedios de consumo en cada

combinación de tratamientos, según se muestra en la siguiente tabla.

A un nivel de significación 0,05, probar las hipótesis: a) no existe diferencia en las tasas medias de

consumo cuando se utilizan diferentes tipos de misiles; b) no existe diferencia en las tasas medias de

consumo de los cuatro tipos de propulsor; c) no existe interacción entre los diferentes tipos de misiles y los

diferentes tipos de propulsor.

Solución:

Formulación de hipótesis:

1) H0: a1 = a2 = a3 = a4 y no existen diferencias significativas entre sistemas de misiles

H1: a1 a2 a3 a4 y existen diferencias significativas entre sistemas de misiles

2) H0: b1 = b2 = b3 = b4 y no existe diferencia significativa entre los turnos

H1: b1 b2 b3 b4 y existe diferencia significativa entre los turnos

3) H0: No existe interacción entre sistemas de misiles y propulsores

H1: Existe interacción entre sistemas de misiles y propulsores

Tipo de propulsor

Sistema de

misiles b1 b2 b3 b4

a1 34,0

32,7

30,1

32,8

29,8

26,7

29,0

28,9

a2 32,0

33,2

30,2

29,8

28,7

28,1

27,6

27,8

a3 28,4

29,3

27,3

28,9

29,7

27,3

28,8

29,1

Solución:

Cálculo de totales en la tabla

b1 b2 b3 b4 Total

a1 66,7 62,9 56,5 57,9 244,0

a2 65,2 60,0 56,8 55,4 237,4

a3 27,7 56,2 57,.0 57,9 228,8

Total 189,6 179,1 170,3 171,2 710,2

SST = 34,02 + 32,7

2 + ... + 29,1

2 –

24

7102

=91,68

SSA = 52,1424

710

8

8,2284,2370,244 2222

SSB = 08,4024

710

6

2,1713,1701,1796,189 22222

SS(AB) = 17,2200,2101608,2105652,210302

9,57...2,657,66 222

SSE = 91,68 – 14,52 – 40,08 – 22,17 = 14,91

Con estos valores tenemos la siguiente tabla:

Fuente de

variación

Suma de

cuadrados

Grados de

libertad

Cuadrado medio f

calculada

Sistema de misiles 14,52 2 7,26 5,85

Tipo de propulsor 40,08 3 16,36 10,77

Interacción 22,17 6 3,70 2,98

Error 14,91 12 1,24

Total 91,68 23

Regiones críticas: f1 > 3,89 ; f2 > 3,49 ; f3 < 3,00

Con estos valores, se concluye que:

a) la interacción es insignificante al nivel 0,05.

b) sistemas diferentes de misiles implican diferentes tasas de promedio de consumo del propulsor

c) las tasas de promedio de consumo del propulsor no son las mismas para los cuatro tipos de propulsor.

Se desea determinar si el rendimiento académico de un alumno de la FIUNA está condicionado al tipo de

carrera que cursa. Para ello se ha encuestado a 30 alumnos de las 6 carreras con que cuenta ésta casa de

estudios. Se trabajará con un nivel de significación del 5% y el rendimiento será medido a través de las notas

obtenidas en un examen general.

carreras

Ing. Civil 2 4 5 2 3

Ing. Industrial 2 3 4 5 5

Ing. Electromecánica 1 2 3 3 5

Ing. C. Geográficas 4 3 3 5 2

Ing. Electrónica 1 2 4 4 5

Ing. Mecánica 3 3 2 1 3

Solución:

Se formula las hipótesis

H0: 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 y no existe diferencia entre los diferentes niveles del factor CARRERA con

relación a la variable de respuesta RENDIMIENTO ACADEMICO

HA: 1 2 3 4 5 6 y existe diferencia entre los diferentes niveles del factor CARRERA con

relación a la variable de respuesta RENDIMIENTO ACADEMICO

carreras réplicas iX

1 2 4 5 2 3 16

2 2 3 4 5 5 19

3 1 2 3 3 5 14

4 4 3 3 5 2 17

5 1 2 4 4 5 16

6 3 3 2 1 3 12

94

87,530

94121617141916

5

1SC

2222222

carreras

47,4730

8836342

30

94312...542SC

2222222

total

Formulación de la tabla ANOVA

Valores de F de tabla: 2,62

Como Fcal = 0,68 < 2,62 = Ftabla, no se rechaza H0 y se concluye que no existe suficiente evidencia para

admitir que el factor CARRERA determina diferencias en el RENDIMIENTO ACADEMICO.

Fuente de variación

Grados de libertad

Suma de cuadrados

Cuadrado medio

Fcalc

carrera 5 5,87 1,17 0,68

error 24 41,6 1,73

Total 29 47,47

Una empresa quiere comparar cuatro tipos de llantas: A, B, C y D. Sus vidas medias en rodaje (en miles de

millas) se dan en siguiente tabla, donde cada tipo ha sido probado en seis coches similares asignados al azar a

las llantas. Formular el modelo ANOVA apropiado y determinar si existe diferencia significativa al nivel de

significación (a) 0.05 y (b) 0.01 entre las llantas.

A 33 38 36 40 31 35

B 32 40 42 38 30 34

C 31 37 35 33 34 30

D 29 34 32 30 33 31

Solución : Calculamos los totales de filas, la media de filas y la media total, como se indica en el siguiente cuadro:

Se formula las hipótesis

H0: A = B = C = D y no existe diferencia entre los

diferentes niveles del factor TIPO DE LLANTA con

relación a la variable de respuesta VIDA EN RODAJE

HA: A B C D y existe diferencia entre los

diferentes niveles del factor TIPO DE LLANTA con

relación a la variable de respuesta VIDA EN RODAJE

5,7724

818189200216213

6

1SC

22222

llantas

83,29324

66912428174

24

818)313340323429303433

353731343038424032353140363833(24

1SC

2222222222

222222222222222

total

Con estos datos hacemos el análisis de varianza del siguiente cuadro:

Valores de tabla:

de la tabla F para un nivel de significación 0,05; con 3 y 20 G. L.: F.95 = 3,10

de la tabla F para un nivel de significación 0,01; con 3 y 20 G. L.: F.99 = 4,94

RESPUESTAS:

a) como 2,39 < 3,10 , para un nivel de significación 0,05 concluimos que no existe evidencia para

admitir que el factor tipo de llantas determine diferencia significativa en la vida en rodaje de las

llantas.

b) como 2,39 < 4,94 , para un nivel de significación 0,01 concluimos que no existe evidencia para

admitir que el factor tipo de llantas determine diferencia significativa en la vida en rodaje de las

llantas.

iX

A 33 38 36 40 31 35 213

B 32 40 42 38 30 34 216

C 31 37 35 33 34 30 200

D 29 34 32 30 33 31 189

total = 818

Fuente de variación

Grados de libertad

Suma de cuadrados

Cuadrado medio

Fcalc

llanta a – 1 = 3 77,5 25,83 2,39

error a(b – 1) = 45 = 20 216,33 10,82

Total ab–1 = 46 – 1 = 23 293,83

Una corporación muy grande tiene un grupo de individuos encargados de la mayoría de los trabajos

relacionado con el procesamiento de textos. A fin de proporcionar una atmósfera placentera y productiva, la

compañía pone música grabada durante la jornada laboral. Algunos individuos se quejan de que la música se

convierte en ocasiones en un factor de distracción. Como experimento, se permite grupos de muestra de 16

operadores tengan un grado de control variable sobre el volumen de la música (este va de 1 = ningún control

a 4 = control absoluto). Para cada individuo se obtiene una calificación de eficiencia

Grado de Control EFICIENCIA

1 42 57 52 37 58 58 56 57 41 49 53 55 53 42 48 48

2 55 50 65 22 65 56 63 58 65 57 52 61 64 57 65 66

3 63 57 55 24 64 56 61 60 63 64 67 66 66 52 47 65

4 66 63 64 49 64 60 62 62 58 54 65 60 63 64 57 61

Asegúrese de identificar el o los factor(es); escribir el modelo matemático y establézcase la(s) hipótesis por

probar. Utilizando las informaciones precedentes probar si existe o no diferencias respecto a las hipótesis

formuladas

Solución:

HIPOTESIS:

H0: 1 = 2 = 3 = 4 y no existe diferencia entre los diferentes niveles del grado de control con relación a

la variable de respuesta

H1: 1 2 3 4 y existe diferencia entre los diferentes niveles del grado de control con relación a la

variable de respuesta

G. de Control EFICIENCIA xi ix

1 42 57 52 37 58 58 56 57 41 49 53 55 53 42 48 48 806 50,375

2 55 50 65 22 65 56 63 58 65 57 52 61 64 57 65 66 921 57,5625

3 63 57 55 24 64 56 61 60 63 64 67 66 66 52 47 65 930 58,125

4 66 63 64 49 64 60 62 62 58 54 65 60 63 64 57 61 972 60,75

Total 3629 56,703

359,539564

3629211171

N

xx)total(SCC

22a

1i

b

1j

2

ji

Como el valor de Fcalculada (4,26) cae en zona de rechazo, rechazamos H0 y aceptamos HA y concluimos

que existe diferencia entre los diferentes niveles del factor grado de control con relación a la variable de

respuesta

Fuente de variación

Grados de libertad

Suma de cuadrados

Cuadrado medio

Fcalc

Grado de control a – 1 = 3 946,92 315,64 4,26

error a(b – 1) = 415 = 60 4448,437 74,14

Total ab–1 = 416 – 1 = 63 5396,359

F de tabla

922,94664

3629972930921806

16

1

ba

xx

b

1)fila(SCA

22222

2b

1i

2

i

i

Los artículos manufacturados por una compañía se producen en 3 máquinas distintas manejadas por tres

operarios diferentes. El dueño desea saber si hay diferencia (a) entre los operarios y (b) entre las máquinas.

Se realiza un experimento para conocer el número de artículos producidos al día, con los resultados que

recoge la siguiente tabla. Formular el modelo ANOVA adecuado y establecer si existe diferencias

significativa entre a) los operarios y b) entre las máquinas, al nivel de significación 0.05.

Operador

1 2 3

Máquina A

Máquina B

Máquina C

23 27 24

34 30 28

28 25 27

Solución: Modelo: dos factores sin réplicas, donde los factores son las máquinas y los operadores; y la variable de

respuesta la cantidad de artículos producidos.

Calculamos los totales de filas, de columnas, la media de columnas, la media de filas y la media total, como

se indica en el siguiente cuadro:

Operador

iX 1 2 3

Máquina A

Máquina B

Máquina C

23 27 24

34 30 28

28 25 27

74

92

80

jX 85 82 79 Total: 246

569

60516

3

20340

9

246809274

3

1SC

2222

maquinas

69

60516

3

20190

9

246798285

3

1SC

2222

operadores

889

605166812

9

246272528283034242723SC

2222222222

total

Con estos datos hacemos el análisis de varianza del siguiente cuadro:

de la tabla F para un nivel de significación 0,05 y con 2 y 4 G. L.: F.95 = 6,94

RESPUESTAS:

a) como 0,46 < 6,94 , para un nivel de significación 0,05 concluimos que no existe evidencia para

admitir que el factor operarios determine diferencia significativa en la cantidad de artículos

producidos.

b) como 4,31 < 6,94 , para un nivel de significación 0,05 concluimos que no existe evidencia para

admitir que el factor máquinas determine diferencia significativa en la cantidad de artículos

producidos.

Fuente de variación

Grados de libertad

Suma de cuadrados

Cuadrado medio

Fcalc

máquinas a – 1 = 2 56 28 4,31

operadores b – 1 = 2 6 3 0,46

error (a–1)(b–1) = 22 = 4 26 6,5

Total ab–1 = 33 – 1 = 8 88

La siguiente tabla muestra el número de artículos producidos por 4 trabajadores en dos máquinas distintas, I

y II, en diferentes días de la semana. Determinar si existe diferencia, al nivel de significación 0,05 entre: a)

los operadores b) las máquinas.

Operador Máquina I Máquina II

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

A 15 18 17 20 12 14 16 18 17 15

B 12 16 14 18 11 11 15 12 16 12

C 14 17 18 16 13 12 14 16 14 11

D 19 16 21 23 18 17 15 18 20 17

Solución:

Formulación de hipótesis:

1) H0: A = B = C = D y no existen diferencias significativas entre los operadores

H1: A B C D y existen diferencias significativas entre los operadores

2) H0: I = II y no existe diferencia significativa entre las máquinas.

H1: I II y existe diferencia significativa entre las máquinas.

3) H0: No existe interacción entre operadores y máquinas

H1: Existe interacción entre operadores y máquinas

Cálculo de la variación total (de la tabla dato):

4,32840

6281720....20171815V

2222222

Cálculo de la variación subtotal (de la segunda tabla):

8,15440

628

5

87

5

97

5

67

5

78

5

66

5

71

5

80

5

82V

222222222

S

Cálculo de la variación entre filas:

8,12940

628

10

184

10

145

10

137

10

162V

22222

F

Cálculo de la variación entre columnas:

6,1940

628

20

300

20

328V

222

C

Cálculo de la variación debida a la interacción:

VI = VS – VF – VC = 154,8 –129,8 – 19,6 = 5,4

Cálculo de la variación de error:

VE = V – (VI + VF + VC) = 328,4 – (5,4 + 129,8 + 19,6) = 173,6

Tabla ANOVA

Valores de F de tabla:

para las filas: F(3; 32; 5%) = 2,90

para las columnas: F(1; 32; 5%) = 4,15

para la interacción: F(3; 32; 5%) = 2,90

CONCLUSIONES:

Como Finteracción < F(3; 32; 5%) = 2,90, cae en

zona de aceptación, por lo que concluimos

que no existe interacción entre los operarios y

las máquinas.

Como Ffilas = 7,97 > F(3; 32; 5%) = 2,90, cae

en zona de rechazo, por lo que concluimos

que existe diferencia significativa entre los

operarios.

Como Fcolumnas = 3,61 < F(1; 32; 5%) = 4,15, cae en zona de aceptación, por lo que concluimos que no existe

diferencia significativa entre las máquinas.

Criterio de corrección:

Formulación de hipótesis: 3 puntos

Cálculo de variaciones y de F: 3 puntos

Cálculo de F de tabla: 1 punto

Conclusión: 3 puntos

Total: 10 puntos

Operador Máquina

I

Máquina

II total

A 82 80 162

B 71 66 137

C 78 67 145

D 97 87 184

total 328 300 628

Variación Grados de

libertad

Cuadrado

medio F

Entre filas

(operarios)

129,8

3 27,43S2

F

97,7

43,5

27,43

Entre columnas

(máquinas)

19,6

1 6,19S2

c 61,343,5

6,19

Interacción

5,4 3 8,1S2

I 33,043,5

8,1

Residual o aleatoria

173,6 32 43,5S2

E

Total

328,4 39

Un empresario desea determinar la eficacia de cuatro tipos distintos de máquinas (A, B, C y D) en la

producción de tornillos. Para ello anota la cantidad de tornillos defectuosos producidos cada día de una

semana en dos turnos de trabajo, con los resultados que se muestra en la siguiente tabla. Determinar si existe

diferencia, al nivel de significación 0,05 entre: a) las máquinas b) los días

Maquina Primer turno Segundo turno

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

A 6 4 5 5 4 5 7 4 6 8

B 10 8 7 7 9 7 9 12 8 8

C 7 5 6 5 9 9 7 5 4 6

D 8 4 6 5 5 5 7 9 7 10

Solución:

Formulación de hipótesis:

1) H0: A = B = C = D y no existen diferencias significativas entre las máquinas

H1: A B C D y existen diferencias significativas entre las máquinas

2) H0: I = II y no existe diferencia significativa entre los días

H1: I II y existe diferencia significativa entre los días

3) H0: No existe interacción entre máquinas y días

H1: Existe interacción entre máquinas y días

Cálculo de la variación total (de la tabla dato): 4,15040

268107....5546V

2222222

Cálculo de la variación subtotal (de la segunda tabla):

4,8040

268

2

15

2

12

2

15

2

11

2

13

2

15

2

9

2

11

2

12

2

16

2

17

2

15

2

19

2

17

2

17

2

12

2

11

2

9

2

11

2

11V

22222222222

2222222222

S

Cálculo de la variación entre filas: 0,5140

268

10

66

10

63

10

85

10

54V

22222

F

Cálculo de la variación entre columnas: 4,1140

268

8

59

8

47

8

54

8

51

8

57V

222222

C

Cálculo de la variación debida a la interacción: VI = VS – VF – VC = 80,4 – 51,0 – 11,4 = 18

Cálculo de la variación de error: VE = V – (VI + VF + VC) = 150,4 – (18 + 51,0 + 11,4) = 70

Tabla ANOVA

Valores de F de tabla:

para las filas: F(3; 20; 5%) = 3,10

para las columnas: F(4; 20; 5%) = 2,87

para la interacción: F(12; 20; 5%) = 2,28

CONCLUSIONES:

Como Finteracción < F(12; 20; 5%) = 2,90, cae

en zona de aceptación, por lo que concluimos

que no existe interacción entre las máquinas y

los días.

Como Ffilas > F(3; 20; 5%) = 3,10, cae en

zona de rechazo, por lo que concluimos que

existe diferencia significativa entre las

máquinas.

Como Fcolumnas < F(4; 20; 5%) = 2,87, cae en zona de aceptación, por lo que concluimos que no existe

diferencia significativa entre los días.

Criterio de corrección:

Formulación de hipótesis: 2 puntos (1 por los factores y 1 por la interacción)

Cálculo de variaciones y de F: 4 puntos

Cálculo de F de tabla: 2 puntos (1 por los factores y 1 por la interacción)

Conclusión: 2 puntos (1 por los factores y 1 por la interacción)

Total: 10 puntos

Máquina Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes total

A 11 11 9 11 12 54

B 17 17 19 15 17 85

C 16 12 11 9 15 63

D 13 11 15 12 15 66

total 57 51 54 47 59 268

Variación Grados de

libertad

Cuadrado

medio F

Entre filas

(máquinas)

51,0

3 0,17S2

F 86,45,3

0,17

Entre columnas

(días)

11,4

4 85,2S2

c 81,05,3

85,2

Interacción

18 12 5,1S2

I 43,05,3

5,1

Residual o aleatoria

70 20 5,3S2

E

Total

150,4 39

Resolución con excel

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

A 6 4 5 5 4

5 7 4 6 8

B 10 8 7 7 9

7 9 12 8 8

C 7 5 6 5 9

9 7 5 4 6

D 8 4 6 5 5

5 7 9 7 10

Análisis de varianza de dos factores con varias muestras por grupo

RESUMEN Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Total

A

Cuenta 2 2 2 2 2 10

Suma 11 11 9 11 12 54

Promedio 5,5 5,5 4,5 5,5 6 5,4

Varianza 0,5 4,5 0,5 0,5 8 1,822222222

B

Cuenta 2 2 2 2 2 10

Suma 17 17 19 15 17 85

Promedio 8,5 8,5 9,5 7,5 8,5 8,5

Varianza 4,5 0,5 12,5 0,5 0,5 2,5

C

Cuenta 2 2 2 2 2 10

Suma 16 12 11 9 15 63

Promedio 8 6 5,5 4,5 7,5 6,3

Varianza 2 2 0,5 0,5 4,5 2,9

D

Cuenta 2 2 2 2 2 10

Suma 13 11 15 12 15 66

Promedio 6,5 5,5 7,5 6 7,5 6,6

Varianza 4,5 4,5 4,5 2 12,5 3,822222222

Total

Cuenta 8 8 8 8 8

Suma 57 51 54 47 59

Promedio 7,125 6,375 6,75 5,875 7,375

Varianza 3,267857143 3,410714286 6,785714286 1,839285714 4,553571429

ANÁLISIS DE VARIANZA

Origen de

las

variaciones

Suma de

cuadrados

Grados de

libertad

Promedio de

los

cuadrados F Probabilidad

Valor crítico

para F

Muestra 51 3 17 4,857142857 0,010684338 3,098391224

Columnas 11,4 4 2,85 0,814285714 0,53092907 2,866081402

Interacción 18 12 1,5 0,428571429 0,932901768 2,277580574

Dentro del

grupo 70 20 3,5

Total 150,4 39

La siguiente tabla muestra las vidas medias, en miles de horas, de muestras de tres tipos distintos de tubos de

televisión producidos por cierta empresa. Se desea determinar si hay diferencias entre ellos empleando un

nivel de significación del 5%.

Muestra 1 407 411 409

Muestra 2 404 406 408 405 402

Muestra 3 410 408 406 408

Solución : Formulación de hipótesis:

1) H0: 1 = 2 = 3 y no existen diferencias significativas entre las vidas medias de los tipos de tubos

H1: 1 2 3 y existen diferencias significativas entre las vidas medias de los tipos de tubos

Calculamos los totales de filas, la media de filas y la media total, como se indica en el siguiente cuadro:

total de

fila

media de

fila

A 407 411 409 1227 409

B 404 406 408 405 402 2025 405

C 410 408 406 408 1632 408

total = 4884 Media total = 407

La variación de las medias de filas respecto de la media global es:

VB = 3(409 – 407)2 + 5(405 – 407)

2 + 4(408 – 407)

2 = 36 ; VB = 36

La variación total es:

V = (407 – 407 )2 + (411 – 407 )

2 + (409 – 407 )

2 + (404 – 407 )

2 + (406 – 407 )

2 + (408 – 407 )

2 + (405 –

407 )2 + (402 – 407 )

2 + (410 – 407 )

2 + (408 – 407 )

2 + (406 – 407 )

2 + (408 – 407 )

2 = 1763/6 V = 72

La variación VW es: VW = V – VB = 72 – 36 = 37 ; VW = 36

Con estos datos hacemos el análisis de varianza del siguiente cuadro:

Variación Grados de

libertad

Cuadrado

medio F

VB = 36 a – 1 = 2 ŜB2 = 36/2 = 18

ŜB2 / ŜW

2 = 4.5

con 2 y 9 G. L .

VW = 36 n – a = 12 – 3 = 9 ŜW2 = 36/9 = 4

V = 72 n–1 = 12 – 1 = 11

de la tabla F para un nivel de significación 0,05; con 2 y 9 G. L.: F.95 = 4,26

Conclusión: como 4,5 > 4,26, para un nivel de significación 0,05 concluimos que existe diferencia

significativa entre las llantas.

Asignación de puntos

Formulación de hipótesis: 2 puntos

Cálculo de variaciones: 3 puntos

Valores en tabla Anova: 2 puntos

F de tabla: 1 punto

Conclusión: 2 puntos

Total: 10 puntos