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Objetivos de la clase:
Reconocer los tipos de solución de
una EDO.
Resolución de Problemas con
valor inicial (PVI).
Métodos de Solución de EDO:
Variables Separables
Resolución de problemas de
aplicación.
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Cualquier función , definida en un intervalo I y con al
menos n derivadas continuas en I, tales que al sustituirse
en una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden
reduce la ecuación a una identidad, se dice que es una
solución de la ecuación en el intervalo.
Solución de una EDO
En otras palabras, posee al menos n derivadas y cumple:
IxxxxxF n 0))( , ),(' ),( ,( )( Siempre hemos de considerar una solución junto a su
intervalo I de definición, también llamado intervalo de
existencia, de validez o dominio de la solución.
Al proceso de obtención de las soluciones de una EDO se
le denomina integración de la ecuación.
Las soluciones de una EDO pueden ser:
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SOLUCIÓN GENERAL (SG):
Es una solución que contiene constantes de Integración.
'SOLUCIÓN PARTICULAR (SP):
Por ejemplo:
En y' = y o y' - y = 0 la solución general es: xy = ce
y tiene infinitas soluciones (familia uniparamétrica),
dependiendo del valor que toma c.
Se obtiene de la SG dando valores particulares a la
constante, siendo soluciones únicas. Se les conoce como
problemas con valor inicial PVI, por ejemplo del caso
anterior, si: x
x
x
c =1 y = e
c = 2 y = 2e
c = 3 y = 3e
Nota:
Hay casos donde la EDO no tiene solución como: 0)'( 22 xy
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Ejemplo (1):
2)3( y03' yxy
Verificar que y=cx3 es solución de la ecuación diferencial
. Halle la solución particular sujeta a la
condición inicial:
Solución:
Para obtener la solución particular, apliquemos la condición
inicial y(-3)=2 en la solución general esto es:
Derivando y=cx3 tenemos que y’=3cx2, luego, sustituyendo
en la ED: 2 3x 3cx - 3 cx = 0
de esta manera y=Cx3 es solución de la ED.
32 = c( = -27c-3) de donde:
2c = -
27
La solución particular es: 32
y x27
Por lo tanto y = x2 + c no es solución de la ecuación
diferencial:
xdx
dy
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Ejemplo (2):
Comprobar que y = x2 + c no es solución de la ecuación
diferencial: y' x
Solución:
Derivando y = x2 + c tenemos y' 2x
Sustituyendo el valor de la derivada encontrada en la
ecuación diferencial tenemos:
12
2
xx
Tomando c = 0, tenemos: y = x cos x, una solución
particular.
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Ejemplo (3):
y = cx – x cos x es la solución general de:
xy’ – y = x2 sen x en (-, ).
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( solución definida por partes) Ejemplo (4):
Podemos comprobar que la familia uniparamétrica y = cx4
es una solución de xy – 4y = 0 en (-, ).
0 ,
0 ,
4
4
xx
xxyLa función definida a trozos:
es una solución particular donde elegimos c = −1 para x < 0
y c = 1 para x 0.
Soluciones explícitas Solución por tramos
No podemos encontrar ningún valor de c en la
familia de soluciones y = (x2/4 + c)2 que nos
proporcione la solución y = 0, así que llamamos a
y = 0, solución singular.
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Nota Importante:
Solución singular: Es una solución que no puede
obtenerse al especificar los valores de los parámetros de
la familia de soluciones.
Por ejemplo:
y = (x2/4 + c)2 es la familia de soluciones de
dy/dx = xy1/2, sin embargo:
y(x) = 0 también es una solución de la ED anterior.
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OBTENCIÓN DE LA ED A PARTIR DE
LA SOLUCIÓN GENERAL
2. Derivemos la solución general tantas veces como el
número de constantes de integración aparezcan en
ella. En otras palabra, si la solución general tienen n
constantes de integración diferentes, entonces
derivaremos n veces tal solución.
Para obtener la ED a partir de su solución general,
aplicaremos el siguiente método:
1. Observemos el número de constantes de integración
que aparecen en la solución general dada.
3. Tomando en cuenta el resultado de la última derivada
obtenida, se nos pueden presentar los siguientes casos:
a)Si en la última derivada ya no aparecen constantes de
integración, esta será la ED que de la solución general
dada.
Como en esta derivada no aparecen constantes de
integración, quiere decir que esta es la ED pedida.
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b)Si la última derivada contiene constantes de
integración, habrá que eliminarlas, pudiendo utilizar
para esto, las ecuaciones de las derivadas
encontradas, así como también la solución general
dada. En la ED NO deben aparecer constantes de
integración.
Ejemplo (1):
Encuentre la ED cuya solución general es y = x2 + c.
Solución:
Observemos que sólo aparece una constante de
integración, de manera que derivamos una sola vez la
solución general y = x2 + c. Asi: 2
dyx
dx
Por lo tanto:
es la ED de la solución general, puesto que ya no
aparecen constantes de integración.
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Encuentre la ED cuya solución general es y = c x2.
Ejemplo (2):
Solución:
Observemos que sólo aparece una constante de
integración, de manera que derivamos una sola vez la
solución general y = cx2.
2 .. 1)...(dy
cxdx
Así
Despejamos c de la solución general , y lo
reemplazamos en (1): 2
yc
x
22
2dy ydy yx
d xx dxx
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Encuentre la ED de las siguientes soluciones generales
de:
Ejercicios:
1 2) x xy c e c ea
tan(3) )b y x c
2 2 2
1 2) cc x y c
TAREA N°1 Determine si cada ecuación es solución o no de la ecuación
diferencial dada: 2
5 2 3
28 3 ; 6 160)
d yy x x C x
da
x
cos 1 cos ; cos) x dye y C seny senx y senx
dxb
3
2 2; 4 8 0)dy dy
y C x C xy ydx
cdx
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Función vs solución
La gráfica de una solución
de una EDO se llama curva
solución. Como es una
función diferenciable, es
continua en su intervalo de
definición I. Puede, entonces,
haber diferencias entre la
gráfica de la función y la
solución. Veamos un
ejemplo:
(a) y = 1/x considerada como una función, tiene dominio
de definición (-, 0) U (0, ).
Es discontinua y no diferenciable en x = 0.
(b) y = 1/x es también
solución de:
Se entiende que es
solución en algún
intervalo I en el que es
diferenciable y cumple la EDO. Por ejemplo, en (0, ).
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y' + y = 0x
Solución explícita de una EDO:
La variable dependiente está expresada solamente en
términos de variables independientes y constantes.
Por ejemplo, la solución de xy' + y = 0 en (0, ) es
y = (x) = 1/x.
Solución implícita de una EDO
Una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de una
EDO en un intervalo I, siempre que exista al menos una
función y = (x) que satisface tanto la relación como la ED en I.
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Ejemplo:
COMPROBACIÓN DE UNA SOLUCIÓN IMPLÍCITA.
x2 + y2 = 25 es una solución implícita de en el
intervalo -5 < x < 5.
dy x
dx y
Puesto que al derivar de forma implícita respecto a x, se
obtiene: 2 2( ) ( ) (25) 2 2 . 0
d d d dyx y x y
dx dx dx dx
De donde: dy x
dx y
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Gráfica de
la solución
implícita:
x2+y2=25
Despejando y de la solución implícita podemos encontrar
dos soluciones explícitas:
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PROBLEMAS DE VALORES INICIALES (PVI)
Es encontrar la solución y(x) de una ED que además
satisfaga condiciones adicionales en y(x) y en sus
derivadas.
Por ejemplo: En un intervalo I que contiene a xo ,se trata de resolver la ecuación: n
(n-1)
n
d y= f(x, y, y', …, y )
dx
Sujeta a las siguientes condiciones:
(n-1)
0 0 0 1 0 n-1y(x ) = y , y'(x ) = y , …, y (x ) = y
A esto se le llama problema de valor inicial (PVI).
Y a las condiciones se las llama: condiciones iniciales.
PVI de primer y segundo orden:
son problemas de valor inicial de primer y segundo orden,
respectivamente. Fácilmente interpretables de manera
geométrica, como vemos en las figuras.
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0 0
dyResolver : = f(x, y)
dx
sujeta a : y(x ) = y
2
2
0 0 0 1
d yResolver : = f(x, y, y')
dx
suejta a : y(x ) = y , y'(x ) = y
y = 3ex
y = -(2/e)ex
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Ejemplo (1):
Sabemos que y = cex es una
familia uniparamétrica de
soluciones de la EDO:
y’ = y en (-, ).
Si y(0) = 3, entonces
3 = ce0 = c. Así y = 3ex es una
solución de este problema de
valor inicial.
Si queremos una solución que
pase por (1, -2), entonces la
condición es: y(1) = -2. De
modo que -2 = ce, c = -2e-1. Y
tenemos y = -(2/e)ex.
De la misma manera, a partir de x( / 2) = 1 obtenemos
c2 = ¼.
Ejemplo (2):
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Para la ecuación: de x + 16x = 0.
la solución general es: x = c1cos(4t) + c2sen(4t) Halle una solución del siguiente PVI:
x + 16x = 0, x( /2) = −2, x( /2) = 1.
Solución:
Reemplazamos: x( /2) = − 2 en x = c1cos(4t) + c2sen(4t),
y obtenemos c1 = −2.
La solución pedida es:
x = −2 cos 4t + ¼ sen 4t
La solución de: y’ + 2xy2 = 0 es y = 1/(x2 + c).
Si imponemos y(0) = -1, obtenemos c = -1
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Importante:
Considérense las siguientes
distinciones:
1) Como función, el dominio de:
es el conjunto de todos los
números reales excepto -1 y 1.
2
1y =
x -1
2) Como una solución: los intervalos de definición mayores
posibles son (-, 1), (-1, 1) y (1, ).
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3) Como un problema de
valor inicial, con y(0) = -1.
El intervalo de definición
mayor es (-1, 1).
ECUACIONES DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO
1. ECUACIONES DE VARIABLES
SEPARABLES
Veamos ahora:
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ECUACIÓN SEPARABLE
)()( yhxgdx
dy
Se dice que una ecuación diferencial de primer orden de la
forma:
es separable o que tiene variables separables.
También puede ser de la forma:
; ( ) 0g
h yh
xdy
dx y
Los cuales se podrían escribir como:
g
h
1dy x dx
y h g h y dy x dx; (y) 0
Donde h(y) es una función exclusivamente de y y g(x) es
una función exclusivamente de x.
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La solución general se obtiene integrando en ambos
miembros de esta ecuación, es decir:
( ) ( ) g y dy h x dx C
Ejemplo (1):
Resolver la ecuación ; (4) 3dy x
ydx y
Solución:
Separando variables ydy = -xdx
Integrando a ambos lados, se tiene.
ydy xdx 2 2
2 2
y xc
cuyo equivalente es: 2 2x y k
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Ahora, reemplazando la condición inicial x=4, y=-3: 2 2: 4 ( 3) 25se tiene k
2 2 25es decir x y es una circunferencia de radio 5
Ejemplo (2):
03 ydxdyx )(Resolver:
Solución: Dividiendo entre (x+3)y, se obtiene el equivalente:
03
dy dx
y x
Integrando: 0
3
dy dx
y x
se tiene: ln(y) = ln(x+3) + c , de donde:
ln( ) ln( 3) ln( 3). ( 3).y x c x c ce e e e y x e
es decir: ( 3)y k x
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Ejemplo (3):
Resolver: 2( )cos 2 ; (0) 0y ydy
e y x e sen x ydx
Solución:
Dividiendo ambos lados entre , se tiene: cosye x
2 2
cos
y
y
e y sen xdy dx
e x
2 .cos( )
cos
y y senx xe ye dy dx
x
Integrando: se tiene: ( ) 2y ye ye dy senxdx
( )y y y y yye dy ye e dy ye e 2cosy y ye ye e x c
Ahora con x=0; y=0 se tiene c=4, luego:
4 2cosy y ye ye e x
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